Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (GTR)
Sortierung nach Jahrgängen
Abi 2018
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2017
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2016
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2015
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2014
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2013
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2012
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2011
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2010
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2009
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2008
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2007
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2006
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2005
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2004
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
LV-Abi 1
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
LV-Abi 2
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2

Pflichtteil

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{x}\cdot\mathrm e^{2x}$.
(2P)

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{4}{(2x+1)^{3}}\mathrm dx$.
(2P)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung $x^{4}=4+3x^{2}$.
(3P)

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\cos(x)$ und $g(x)=2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)-2$.
a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von $g$ aus dem Graphen von $f$ erhält.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von $g$ für $0\leq x\leq 4$.
(4P)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt die Graphen $K_f$ und $K_g$ zweier Funktionen $f$ und $g$.
a) Bestimmen Sie $f(g(3))$.
Bestimmen Sie einen Wert für $x$ so, dass $f(g(x))=0$ ist.
b) Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x)=f(x)\cdot g(x)$.
Bestimmen Sie $h'(2)$.

(4P)

Aufgabe 6

Gegeben sind die Ebenen $E:x_{1}+x_{2}=4$ und $F:x_{1}+x_{2}+2x_{3}=4$.
a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von $E$ und $F$ an.
b) Die Ebene $G$ ist parallel zur $x_{1}$-Achse und schneidet die $x_{2}x_{3}$-Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene $F$.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene $G$ an.
(5P)

Aufgabe 7

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid10\mid1)$, $B(-3\mid13\mid1)$ und $C(2\mid3\mid1)$.
Die Gerade $g$ verläuft durch $A$ und $B$.
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $C$ von der Geraden $g$.
(4P)

Aufgabe 8

An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.
a) Formulieren Sie ein Ereignis $A$, für das gilt:
$P(A)=\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{8}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}$ $+10\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9}\cdot\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}$
$\begin{array}{rcl} P(A)&=&\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{8}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} \\ &+&10\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9}\cdot\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10} \end{array}$
b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?
(3P)

Aufgabe 9

Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene.
Die Kugel berührt diese Ebene.
Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.
(3P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Bilde die Ableitung
Um die Ableitung zu bilden kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Schreibe den Wurzelterm der Funktion zunächst um
  2. Leite die Funktion mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel ab

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Berechne das Integral
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion.
Es gilt der Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx&=&[F(x)]^{b}_a\\ &=&F(b)-F(a)\\ \end{array}$
Eine Stammfunktion einer Funktion $f$ bildest du folgendermaßen:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^n\\[5pt] F(x)&=&\dfrac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c\\[5pt] \end{array}$
Um die Stammfunktion der gegebenen Funktion zu bilden, kannst du diese zunächst als Produkt schreiben.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Löse die Gleichung
Um die Gleichung zu lösen, musst du zunächst alle Bestandteile der Gleichung auf eine Seite der Gleichung bringen. Der höchste Exponent von $x$ beträgt $4$. Diese Gleichung kannst du demnach durch Substitution lösen. Anschließend kannst du die Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel, oder der $\boldsymbol{pq}$-Formel lösen. Anschließend musst du resubstituieren.

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$ Erkläre den Graphen $\boldsymbol g$
Du hast in der Aufgabe zwei Kosinus-Funktionen gegeben.
Die allgemeine Kosinus-Funktion lautet:
$\begin{array}{rll} {f(x)}&=&{a\cdot\cos(bx+c)+d}\\ \end{array}$
Der Faktor $a$ gibt die Streckung bzw. Stauchung der Amplitude an. Durch den Faktor $b$ wird die Periode verändert. Eine Verschiebung in die $x$-Richtung kommt durch den Faktor $c$ zustande. Das $d$ gibt eine Verschiebung in $y$-Richtung an.
Um zu erklären wie man den Graphen $g$ aus $f$ erhält schaust du, wie sich die Amplitude und Periode ändert. Außerdem prüfst du, ob der Graph der Funktion $g$ verschoben ist.
Die Periode wird mit folgender Formel berechnet:
$\begin{array}{rll} T&=&\dfrac{2\pi}{b}\\ \end{array}$
b) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol g$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $g$ im Bereich $0\leq x\leq4$ bestimmen.
Setze dazu die Funktion $g$ gleich $0$.
Die Kosinus-Funktion hat bei den Werten $0$, $2\pi$,… den Wert $1$.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{f(g(3))}$
Um $f(g(3))$ zu bestimmen, liest du zunächst den Wert von $g(3)$ ab. Anschließend liest du den Funktionswert von $f$ für diesen x-Wert ab.
$\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{f(g(x))=0}$
Bei dieser Aufgabe schaust du zunächst wo der Graph $K_f$ eine Nullstelle hat. Anschließend liest du den $x$-Wert von $K_g$ ab, der diesen Wert hat.
b) $\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{h'(2)}$
Du hast folgende Funktion gegeben:
$\begin{array}{rll} h(x)&=&f(x)\cdot g(x)\\ \end{array}$
Du kannst die Ableitung der Funktion $h$ mit der Produktregel bestimmen.
$\begin{array}{rll} h'(x)&=&f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ \end{array}$
Lies aus dem Koordinatensystem die Funktionswerte von $f(2)$, $f'(2)$, $g(2)$ und $g'(2)$ und setze diese in die Ableitung ein.

Aufgabe 6

a) $\blacktriangleright$ Stelle die Ebenen $\boldsymbol E$ und $\boldsymbol F$ dar
Um die Ebenen $E$ und $F$ in einem Koordinatensystem darstellen zu können, benötigst du die Spurpunkte der Ebenen.
Die Spurpunkte liegen auf den Koordinatenachsen. Der Spurpunkt der $x_1$-Achse hat die Koordinaten $S_1(x_1\mid0\mid0)$, der der $x_2$-Achse $S_2(0\mid x_2\mid0)$. Dementsprechend hat der Spurpunkt der $x_3$-Achse die Koordinaten $S_3(0\mid0\mid x_3)$. Du erhältst die Spurpunkte, indem du die $x$-Werte der anderen Achsen gleich $0$ setzt und die Ebenengleichung nach deinem gewünschten $x$ auflöst.
$\blacktriangleright$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden
Du weißt, dass die beiden Ebenen $E$ und $F$ die gleichen Spurpunkte $S_1$ und $S_2$ haben. Mit Hilfe der zwei Punkte kannst du eine Parametergleichung der Schnittgeraden aufstellen.
b) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung der Ebene $\boldsymbol G$ an
Die Ebene $G$ soll parallel zu der $x_1$-Achse verlaufen. Das bedeutet, dass der Faktor vor dem $x_1$ gleich $0$ ist. Außerdem besitzt die Ebene dieselbe Spurgerade, die die $x_2x_3$-Ebene schneidet wie die Ebene $F$.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Bestimme den Abstand $\boldsymbol d$
Um den Abstand $d$ des Punktes $C$ von der Geraden $g$ zu bestimmen, brauchst du außer der Geradengleichung den Punkt $P$ auf der Geraden, der von $C$ den geringsten Abstand hat. Der Abstand zwischen dem Punkt $P$ und dem Punkt $C$ ist dann am geringsten, wenn die Gerade durch die zwei Punkte orthogonal auf der Geraden $g$ steht. Zwei Geraden sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren $0$ ergibt.
Um den Abstand zu bestimmen kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle eine Geradengleichung von $g$ auf
  2. Bestimme mit Hilfe des Skalarprodukts den Parameter $t$ der Geradengleichung und somit den Punkt $P$
  3. Bestimme den Abstand der Punkte $P$ und $C$

Aufgabe 8

a) $\blacktriangleright$ Formuliere ein Ereignis $\boldsymbol A$
Bei dem Ereignis $A$ liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette lautet:
$\begin{array}{rll} P(X=k)&=&\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}&\scriptsize{ 0\leq k\leq n }\\ \end{array}$
  • $n$: Länge der Bernoulli-Kette
  • $k$: Anzahl der Treffer
  • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
Schaue dir die einzelnen Terme und ihre Bedeutung an.
b) $\blacktriangleright$ Berechne die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol {P(X=2)}$
Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an. Die Wahrscheinlichkeit ein Spiel zu verlieren, ist bei jedem Spiel gleich groß. Die Zufallsvariable ist somit binomialverteilt und folgt somit der Bernoulli-Verteilung. Setze die Kettenlänge, Anzahl der Treffer und die Erfolgswahrscheinlichkeit in die Bernoulli-Formel ein.
Für die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gilt $p=\frac{2}{3}$. Es wird viermal gespielt, d.h. die Kettenlänge der Bernoulli-Kette beträgt $n=4$. Der Spieler verliert genau zweimal, daher gilt: $k=2$
Setze diese Werte in die Bernoulli- Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Beschreibe den Lösungsweg
Du hast einen Mittelpunkt $M$ einer Kugel und eine Ebene gegeben. Die Ebene berührt die Kugel in einem Berührpunkt $B$. Eine Gerade durch die Punkte $M$ und $B$ muss demnach orthogonal zu der Ebene stehen. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebenen entspricht dem Berührpunkt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Bilde die Ableitung
Um die Ableitung zu bilden kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Schreibe den Wurzelterm der Funktion zunächst um
  2. Leite die Funktion mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel ab
1. Schritt: Umschreiben
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\sqrt{x}\cdot \mathrm e^{2x} \\[5pt] f(x)&=&x^{\frac{1}{2}}\cdot \mathrm e^{2x} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ableiten
$\begin{array}{rll} f'(x)&=&\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\cdot \mathrm e^{2x}+x^{\frac{1}{2}}\cdot2\mathrm e^{2x}\\ f'(x)&=&\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\right)\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Berechne das Integral
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion.
Es gilt der Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx&=&[F(x)]^{b}_a\\ &=&F(b)-F(a)\\ \end{array}$
Eine Stammfunktion einer Funktion $f$ bildest du folgendermaßen:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^n\\[5pt] F(x)&=&\dfrac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c\\[5pt] \end{array}$
Um die Stammfunktion der gegebenen Funktion zu bilden, kannst du diese zunächst als Produkt schreiben.
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{4}{(2x+1)^3}\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1} 4\cdot(2x+1)^{-3}\mathrm dx\\[5pt] &=&\left[4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(2x+1)^{-2}\cdot\dfrac{1}{2}\right]^1_0\\[5pt] &=&\left[-(2x+1)^{-2}\right]^1_0\\[5pt] &=&-(2\cdot1+1)^{-2}-(-(2\cdot0+1)^{-2})\\[5pt] &=&-3^{-2}+1^{-2}\\[5pt] &=&-\dfrac{1}{9}+1\\[5pt] &=&\dfrac{8}{9}\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Löse die Gleichung
Um die Gleichung zu lösen, musst du zunächst alle Bestandteile der Gleichung auf eine Seite der Gleichung bringen. Der höchste Exponent von $x$ beträgt $4$. Diese Gleichung kannst du demnach durch Substitution lösen. Anschließend kannst du die Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel, oder der $\boldsymbol{pq}$-Formel lösen. Anschließend musst du resubstituieren.
$\begin{array}{rll} x^4&=&4+3x^2&& \scriptsize{\mid\; -3x^2-4}\\ x^4-3x^2-4&=&0&& \scriptsize{\mid\;\text{Substitution mit}\; u=x^2 }\\ u^2-3u-4&=&0&&\\ \end{array}$
Nun hast du eine quadratische Gleichung gegeben. Du kannst sie mit der Mitternachtsformel oder der $pq$-Formel lösen.
Mitternachtsformel:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] \end{array}$
Es gilt: $a=1$, $b=-3$ und $c=-4$
Setze diese Werte nun in die Mitternachtsformel ein.
$\begin{array}{rll} u_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3\pm5}{2}\\[5pt] u_1&=&4\\[5pt] u_2&=&-1\\[5pt] \end{array}$
pq-Formel:
$\begin{array}{rll} x_1,2&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\ \end{array}$
Dabei gilt: $p=-3$ und $q=-4$
$\begin{array}{rll} u_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt] u_{1,2}&=&-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(-4)}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+4}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{16}{4}}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{5}{2}\\[5pt] u_1&=&4\\[5pt] u_2&=&-1\\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du resubstituieren. Dazu setzt du die Werte für $u_1$ und $u_2$ in die Gleichung $u=x^2$ ein.
$\begin{array}{rll} u_1&=&x^2\\ 4&=&x^2& \mid\; \scriptsize{\sqrt{\;}}\\ \pm\sqrt{4}&=&x_{1,2}\\ x_1&=&-2\\ x_2&=&2\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} u_2&=&x^2\\ -1&=&x^2& \mid\; \scriptsize{\sqrt{\;}}\\ \end{array}$
Da die Wurzel negativ ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
Die Gleichung hat die Lösung $x_1=-2$ und $x_2=2$. Die Lösungsmenge lautet also: $L=\{-2,2\}$

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$ Erkläre den Graphen $\boldsymbol g$
Du hast in der Aufgabe zwei Kosinus-Funktionen gegeben.
Die allgemeine Kosinus-Funktion lautet:
$\begin{array}{rll} {f(x)}&=&{a\cdot\cos(bx+c)+d}\\ \end{array}$
Der Faktor $a$ gibt die Streckung bzw. Stauchung der Amplitude an. Durch den Faktor $b$ wird die Periode verändert. Eine Verschiebung in die $x$-Richtung kommt durch den Faktor $c$ zustande. Das $d$ gibt eine Verschiebung in $y$-Richtung an.
Um zu erklären wie man den Graphen $g$ aus $f$ erhält schaust du, wie sich die Amplitude und Periode ändert. Außerdem prüfst du, ob der Graph der Funktion $g$ verschoben ist.
Den Graphen $g$ erhältst du aus dem Graphen $f$, indem die Funktion gestreckt und verschoben wird. Außerdem verändert sich die Periode.
Die Funktion $g$ hat demnach eine Amplitude von $2$ und ist um einen Faktor $2$ in negative $y$-Richtung verschoben. Die Periode hat sich ebenfalls verändert. Die Periode wird mit folgender Formel berechnet:
$\begin{array}{rll} T&=&\dfrac{2\pi}{b}\\ \end{array}$
Die Funktion $g$ hat also die Periode $T=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4$.
Du erhältst den Graphen $g$ aus dem Graphen $f$, wenn du den Graphen $f$ mit $2$ streckst und um $2$ Längeneinheiten in negative $y$-Richtung verschiebst. Außerdem ändert sich die Periode von $2\pi$ in $4$.
b) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol g$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $g$ im Bereich $0\leq x\leq4$ bestimmen.
Setze dazu die Funktion $g$ gleich $0$.
$\begin{array}{rll} 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-2&=&0& \mid\; +2\\ 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)&=&2&\ \mid\; :2\\ \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)&=&1\\ \end{array}$
Die Kosinus-Funktion hat bei den Werten $0$, $2\pi$,… den Wert $1$.
Bestimme nun das $x$ so, dass der Kosinus diese Werte annimmt.
$\begin{array}{rll} \frac{\pi}{2}x&=&0& \mid\; \cdot\frac{2}{\pi}\\ x&=&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} \frac{\pi}{2}x&=&2\pi& \mid\; \cdot\frac{2}{\pi}\\ x&=&4\\ \end{array}$
Das bedeutet, dass die Funktion $g$ in dem gegebenen Bereich die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=4$ hat.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{f(g(3))}$
Um $f(g(3))$ zu bestimmen, liest du zunächst den Wert von $g(3)$ ab. Anschließend liest du den Funktionswert von $f$ für diesen x-Wert ab.
Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x=3$ den Wert $-1$. Der Wert bei $f(-1)$ beträgt $5$
Der Wert $f(g(3))$ beträgt $5$.
$\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{f(g(x))=0}$
Bei dieser Aufgabe schaust du zunächst wo der Graph $K_f$ eine Nullstelle hat. Anschließend liest du den $x$-Wert von $K_g$ ab, der diesen Wert hat.
Der Graph $K_f$ hat eine Nullstelle bei $x=4$. Nun überprüfst du, wo der Graph $K_g$ den Wert $4$ annimmt. Dies ist bei $x=-2$ der Fall.
Alternativ
Der Graph $K_f$ hat bei $x=0$ eine Nullstelle. Der Graph $K_g$ nimmt bei $x=2$ den Wert $0$ an.
Ein Wert damit $f(g(x))=0$ gilt, ist der Wert $x=-2$ oder $x=2$.
b) $\blacktriangleright$ Bestimme $\boldsymbol{h'(2)}$
Du hast folgende Funktion gegeben:
$\begin{array}{rll} h(x)&=&f(x)\cdot g(x)\\ \end{array}$
Du kannst die Ableitung der Funktion $h$ mit der Produktregel bestimmen.
$\begin{array}{rll} h'(x)&=&f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ \end{array}$
Lies aus dem Koordinatensystem die Funktionswerte von $f(2)$, $f'(2)$, $g(2)$ und $g'(2)$ und setze diese in die Ableitung ein.
Es gilt $f(2)=-4$. Dieser Punkt ist ein Tiefpunkt. Das bedeutet, dass die Ableitung nach der notwendigen Bedingung für ein Minimum an der Stelle $x=2$ den Wert $0$ annehmen muss. Dadurch weißt du, dass $f'(2)=0$ ist.
Der Funktionswert $g(2)$ beträgt $0$. Die lineare Funktion $g$ hat die Steigung $-1$. Dies kannst du aus dem Schaubild mit Hilfe des Steigungsdreiecks bestimmen. Demnach beträgt die Ableitung $-1$ an der Stelle $x=2$.
Nun kannst du die Werte in die Ableitung der Funktion $h$ einsetzen.
$\begin{array}{rll} h'(2)&=&f'(2)\cdot g(2)+f(2)\cdot g'(2)\\ h'(2)&=&0\cdot0+(-4)\cdot(-1)\\ h'(2)&=&4\\ \end{array}$
Es gilt: $h'(2)=4$

Aufgabe 6

a) $\blacktriangleright$ Stelle die Ebenen $\boldsymbol E$ und $\boldsymbol F$ dar
Um die Ebenen $E$ und $F$ in einem Koordinatensystem darstellen zu können, benötigst du die Spurpunkte der Ebenen.
Die Spurpunkte liegen auf den Koordinatenachsen. Der Spurpunkt der $x_1$-Achse hat die Koordinaten $S_1(x_1\mid0\mid0)$, der der $x_2$-Achse $S_2(0\mid x_2\mid0)$. Dementsprechend hat der Spurpunkt der $x_3$-Achse die Koordinaten $S_3(0\mid0\mid x_3)$. Du erhältst die Spurpunkte, indem du die $x$-Werte der anderen Achsen gleich $0$ setzt und die Ebenengleichung nach deinem gewünschten $x$ auflöst.
Um den Spurpunkt $S_1$ der Ebene $E$ zu bestimmen, setzt du das $x_2=0$. Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}{rll} x_1+x_2&=&4\\ x_1+0&=&4\\ x_1&=&4\\ \end{array}$
Der Spurpunkt $S_1$ hat demnach die Koordinaten $S_1(4\mid0\mid0)$.
Analog dazu bestimmst du auch den Spurpunkt $S_2$ der Ebene $E$:
$\begin{array}{rll} x_1+x_2&=&4\\ 0+x_2&=&4\\ x_2&=&4\\ \end{array}$
Dieser hat die Koordinaten $S_2(0\mid4\mid0)$.
Bei der Ebene $F$ verfährst du genauso. Diese hat die selben Spurpunkte $S_1$ und $S_2$ wie die Ebene $E$.
Für den Spurpunkt $S_3$ erhältst du folgendes:
$\begin{array}{rll} x_1+x_2+2x_3&=&4\\ 0+0+2x_3&=&4&\mid\; :2\\ x_3&=&2\\ \end{array}$
Du erhältst die Spurpunkte $S_1(4\mid0\mid0)$, $S_2(0\mid4\mid0)$ und $S_3(0\mid0\mid2)$.
Zeichne diese Punkte nun in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Spurpunkte.
$\blacktriangleright$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden
Du weißt, dass die beiden Ebenen $E$ und $F$ die gleichen Spurpunkte $S_1$ und $S_2$ haben. Mit Hilfe der zwei Punkte kannst du eine Parametergleichung der Schnittgeraden aufstellen.
Wenn du den Punkt $S_1$ als Stützpunkt verwendest, erhältst du folgende Parametergleichung der Schnittgeraden:
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OS_1}+t\cdot\overrightarrow{S_1S_2}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0-4\\4-0\\0-0\end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Schnittgeraden lautet:
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\\ \end{array}$
b) $\blacktriangleright$ Gib eine Gleichung der Ebene $\boldsymbol G$ an
Die Ebene $G$ soll parallel zu der $x_1$-Achse verlaufen. Das bedeutet, dass der Faktor vor dem $x_1$ gleich $0$ ist. Außerdem besitzt die Ebene dieselbe Spurgerade, die die $x_2x_3$-Ebene schneidet wie die Ebene $F$.
Die Ebene $G$ hat daher auch dieselbe Ebenengleichung wie die Ebene $F$. Allerdings mit den Unterschied, dass der Faktor vor dem $x_1$ gleich $0$ ist.
Eine Ebenengleichung lautet:
$\begin{array}{rll} G:x_2+2x_3&=&4\\ \end{array}$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Bestimme den Abstand $\boldsymbol d$
Um den Abstand $d$ des Punktes $C$ von der Geraden $g$ zu bestimmen, brauchst du außer der Geradengleichung den Punkt $P$ auf der Geraden, der von $C$ den geringsten Abstand hat. Der Abstand zwischen dem Punkt $P$ und dem Punkt $C$ ist dann am geringsten, wenn die Gerade durch die zwei Punkte orthogonal auf der Geraden $g$ steht. Zwei Geraden sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren $0$ ergibt.
Um den Abstand zu bestimmen kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle eine Geradengleichung von $g$ auf
  2. Bestimme mit Hilfe des Skalarprodukts den Parameter $t$ der Geradengleichung und somit den Punkt $P$
  3. Bestimme den Abstand der Punkte $P$ und $C$
1. Schritt: Aufstellen der Geradengleichung $\boldsymbol g$
Als Stützvektor wird hier der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ gewählt.
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}1\\10\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-3-1\\13-10\\0-0\end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}1\\10\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Bestimmung der Koordinaten des Punktes $\boldsymbol P$
Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$. Daher hat er die von $t$ abhängigen Koordinaten $P(1-4t\mid10+3t\mid1)$.
Das Skalarprodukt des Vektors $\overrightarrow{PC}$ und der Richtungsvektor der Geraden soll $0$ ergeben, damit sie orthogonal zueinander stehen.
Der Vektor $\overrightarrow{PC}$ lautet:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{PC}&=&\begin{pmatrix}2-(1-4t)\\3-(10+3t)\\1-1\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}2-1+4t\\3-10-3t\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1+4t\\-7-3t\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Skalarprodukt:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{PC}\circ\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}1+4t\\-7-3t\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] (1+4t)\cdot(-4)+(-7-3t)\cdot3+0\cdot0&=&0\\[5pt] -4-16t-21-9t&=&0\\[5pt] -25-25t&=&0& \mid\; +25\\[5pt] -25t&=&25& \mid\; :(-25)\\[5pt] t&=&-1\\[5pt] \end{array}$
Wenn du den Wert $t=-1$ in die Geradengleichung $g$ einsetzt, erhältst du die Koordinaten des Punktes $P$.
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}1\\10\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OP}&=&\begin{pmatrix}1\\10\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OP}&=&\begin{pmatrix}1\\10\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OP}&=&\begin{pmatrix}5\\7\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(5\mid7\mid1)$.
3. Schritt: Berechnung des Abstands $\boldsymbol d$
Der Abstand $d$ zwischen den Punkten $P$ und $C$ entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{PC}$:
$\begin{array}{rll} d&=&\left|\overrightarrow{PC}\right|\\[5pt] d&=&\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}\right|\\[5pt] d&=&\left|\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\7\\1\end{pmatrix}\right|\\[5pt] d&=&\left|\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] d&=&\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+0^2}\\[5pt] d&=&\sqrt{9+16}\\[5pt] d&=&\sqrt{25}\\[5pt] d&=&5\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $C$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $d=5$.

Aufgabe 8

a) $\blacktriangleright$ Formuliere ein Ereignis $\boldsymbol A$
Bei dem Ereignis $A$ liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette lautet:
$\begin{array}{rll} P(X=k)&=&\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}&\scriptsize{ 0\leq k\leq n }\\ \end{array}$
  • $n$: Länge der Bernoulli-Kette
  • $k$: Anzahl der Treffer
  • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
Schaue dir die einzelnen Terme und ihre Bedeutung an.
Das Ereignis setzt sich aus mehreren Teilen zusammen. Der erste Teile lautet: $\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^8\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$
Dieser Teil gibt an, dass das Ereignis eine Kettenlänge von $10$ hat. Außerdem gibt es $8$ Treffer.
Im zweiten Teil kommt die Wahrscheinlichkeit dazu, dass man neunmal verliert. Den Ausdruck $10\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^9\cdot\frac{1}{3}$ kann man umschreiben in $\begin{pmatrix}10\\9\end{pmatrix}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^9\cdot\frac{1}{3}$.
Die $\left(\frac{2}{3}\right)^{10}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man zehnmal verliert.
Man verliert also entweder achtmal, neunmal oder zehnmal.
Das Ereignis $A$ lautet:
$P(A)$: Man verliert mindestens $8$ von $10$ Spielen.
b) $\blacktriangleright$ Berechne die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol {P(X=2)}$
Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an. Die Wahrscheinlichkeit ein Spiel zu verlieren, ist bei jedem Spiel gleich groß. Die Zufallsvariable ist somit binomialverteilt und folgt somit der Bernoulli-Verteilung. Setze die Kettenlänge, Anzahl der Treffer und die Erfolgswahrscheinlichkeit in die Bernoulli-Formel ein.
Für die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gilt $p=\frac{2}{3}$. Es wird viermal gespielt, d.h. die Kettenlänge der Bernoulli-Kette beträgt $n=4$. Der Spieler verliert genau zweimal, daher gilt: $k=2$
Setze diese Werte in die Bernoulli- Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.
$\begin{array}{rll} P(X=k)&=&\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}&\scriptsize 0\leq k\leq n \\[5pt] P(X=2)&=&\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\cdot\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^{4-2} \\[5pt] P(X=2)&=&\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot \dfrac{4}{9}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} \\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{4!}{2!\cdot(4-2)!}\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{9}\\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot(2)!}\cdot\dfrac{4}{81}\\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{24}{2\cdot2\cdot1}\cdot\dfrac{4}{81}\\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{24}{4}\cdot\dfrac{4}{81}\\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{24}{81}\\[5pt] P(X=2)&=&\dfrac{8}{27}\\[5pt] \end{array}$
Der Spieler verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{8}{27}$ genau zweimal.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Beschreibe den Lösungsweg
Du hast einen Mittelpunkt $M$ einer Kugel und eine Ebene gegeben. Die Ebene berührt die Kugel in einem Berührpunkt $B$. Eine Gerade durch die Punkte $M$ und $B$ muss demnach orthogonal zu der Ebene stehen. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebenen entspricht dem Berührpunkt.
Um den Kugelradius und den Berührpunkt zu bestimmen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle eine Lotgerade zu der Ebene durch den Mittelpunkt $M$ auf. Dabei dienen die Koordinaten des Punktes $M$ als Stützvektor. Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgerade. \item Berechne den Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene. Der Schnittpunkt entspricht dem Berührpunkt $B$.
  2. Berechne den Abstand der Punkte $M$ und $B$. Der Abstand entspricht dem Kugelradius. Den Abstand berechnest du mit der Formel:
$\begin{array}{rll} d&=&\sqrt{(m_1-b_1)^2+(m_2-b_2)^2+(m_3-b_3)^2}\\ \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App