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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=\left(4+\mathrm e^{3x}\right)^{5}$.
(2P)

Aufgabe 2

Berechne das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{\pi}\left(4x-\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)\mathrm dx$.
(2P)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung $\left(x^{3}-3x\right)\cdot\left(\mathrm{e}^{2x}-5\right)=0$.
(3P)

Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle $x=2$ die Tangente mit der Gleichung $y=4x-12$.
Bestimme eine Funktionsgleichung von $f$.
(4P)

Aufgabe 5

Pflichtteil
Pflichtteil
(5P)

Aufgabe 6

Gegeben sind die drei Punkte $A(4\mid0\mid4)$, $B(0\mid4\mid4)$ und $C(6\mid6\mid2)$.
a)
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm ergänzt.
Veranschauliche durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.
(4P)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene $E:\;4x_{1}+3x_{3}=12$.
a)
Stelle, $E$ in einem Koordinatensystem dar.
b)
Bestimme alle Punkte der $x_{3}$ Achse, die von $E$ den Abstand 3 haben.
(3P)

Aufgabe 8

Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:
Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50%

Das Glücksrad wird $n$-mal gedreht.
Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
a)
Begründe, dass $X$ binomialverteilt ist.
Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$:
$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7
$P(X=k)$ 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05
$k$ $P(X=k)$
0 0,01
1 0,06
2 0,14
3 0,21
4 0,22
5 0,17
6 0,11
7 0,05
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
c)
Entscheide, welcher der folgenden Werte von $n$ der Tabelle zugrunde liegen kann. 20, 25 oder 30.
Begründe deine Entscheidung.
(4P)

Aufgabe 9

Mit $V=\pi\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{4}\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{2}\mathrm dx$ wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.
Skizziere diesen Sachverhalt und beschreibe den Körper.
(3P)

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=\left(4+\mathrm e^{3x}\right)^{5}$.
(2P)

Aufgabe 2

Berechne das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{\pi}\left(4x-\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)\mathrm dx$.
(2P)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung $\left(x^{3}-3x\right)\cdot\left(\mathrm{e}^{2x}-5\right)=0$.
(3P)

Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle $x=2$ die Tangente mit der Gleichung $y=4x-12$.
Bestimme eine Funktionsgleichung von $f$.
(4P)

Aufgabe 5

Pflichtteil
Pflichtteil
(5P)

Aufgabe 6

Gegeben sind die drei Punkte $A(4\mid0\mid4)$, $B(0\mid4\mid4)$ und $C(6\mid6\mid2)$.
a)
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm ergänzt.
Veranschauliche durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.
(4P)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene $E:\;4x_{1}+3x_{3}=12$.
a)
Stelle, $E$ in einem Koordinatensystem dar.
b)
Bestimme alle Punkte der $x_{3}$ Achse, die von $E$ den Abstand 3 haben.
(3P)

Aufgabe 8

Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:
Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50%

Das Glücksrad wird $n$-mal gedreht.
Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
a)
Begründe, dass $X$ binomialverteilt ist.
Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$:
$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7
$P(X=k)$ 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05
$k$ $P(X=k)$
0 0,01
1 0,06
2 0,14
3 0,21
4 0,22
5 0,17
6 0,11
7 0,05
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
c)
Entscheide, welcher der folgenden Werte von $n$ der Tabelle zugrunde liegen kann. 20, 25 oder 30.
Begründe deine Entscheidung.
(4P)

Aufgabe 9

Mit $V=\pi\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{4}\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{2}\mathrm dx$ wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.
Skizziere diesen Sachverhalt und beschreibe den Körper.
(3P)
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Die gegebene Funktion ist eine verkettete Funktion. Bilde also die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel:
$f(x) = u(v(x)) \Rightarrow f'(x) = u'(v(x))\cdot v'(x)$
$ f(x) = u(v(x)) $ $…$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Integral berechnen
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion $g(x) = 4x-\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Es gilt der Hauptsatz der Integralrechnung:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)$
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)$
Bilde also zunächst eine Stammfunktion $G$ und berechne anschließend das Integral.
1. Schritt: Stammfunktion
Um eine Stammfunktion zu bilden, beachte, dass eine Stammfunktion von $\sin(x)$ die Funktion $-\cos(x)$ ist und wende lineare Substitution an, da es sich bei $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ um eine Verkettung handelt, bei der die innere Funktion linear ist:
$f(x) = u(v(x)) \Rightarrow U(v(x))\cdot \dfrac{1}{v'(x)}$
$f(x) = u(v(x)) \Rightarrow U(v(x))\cdot \dfrac{1}{v'(x)}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Bei dem Lösen der Gleichung kann dir der Satz vom Nullprodukt helfen. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Betrachte also jeden Faktor einzeln:

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Sammle alle Informationen über $f$ aus dem Aufgabentext und übersetze diese in eine mathematische Schreibweise
  2. Löse das entstandene Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt.
1)
$\blacktriangleright$ Der Graph von $\boldsymbol{f}$ hat bei $\boldsymbol{x=-3}$ einen Tiefpunkt
Überprüfe hierzu, ob sowohl notwendiges Kriterium als auch hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt sind:
$f'(x_T)=0$ und ein Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung von $-$ zu $+$ müssen für einen Tiefpunkt erfüllt sein.
2)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f(-2) < f(-1)}$
Damit diese Aussage gilt, muss die Steigung zwischen den beiden Stellen $-2$ und $-1$ positiv sein. Überprüfe dies anhand der Abbildung.
3)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f''(-2)+f'(-2) < 1}$
Überlege dir, ob du etwas über den Funktionswert von $f'$ und $f''$ an der Stelle $-2$ aus der Abbildung ablesen kannst. Beachte dabei, dass an dieser Stelle offensichtlich ein Hochpunkt des Graphen von $f'$ liegt.
4)
$\blacktriangleright$ Der Grad von $\boldsymbol{f}$ ist mindestens vier
Überlege dir zunächst, was du über den Grad von $f'$ sagen kannst. $f$ muss dann einen Grad mehr besitzen.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleichschenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei der Seiten gleich lang sind. Berechne also die Länge der Seiten des Dreiecks über den Betrag der Verbindungsvektoren. Den Vektorbetrag berechnet man mit Hilfe folgender Formel:
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
b)
$\blacktriangleright$ Skizze anlegen
Zeichne zunächst eine Skizze des Dreiecks $ABC$. Achte dann darauf, dass der vierte Punkt so liegen muss, dass jeweils gegenüberligende Seiten parallel zueinander sind.
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Punktes bestimmen
Betrachte dazu die Skizze. Du weißt, dass der Vektor $\overrightarrow{C'A}$ parallel sein muss zum Vektor $\overrightarrow{BC}$. Zudem muss er gleich lang sein, da es sich bei dem Parallelogramm $ABCC'$ um ein Quadrat handelt. Daher gilt $\overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{BC}$. Du erhältst nun den Ortsvektor von $C'$, indem du zu dem Ortsvektor von $A$ den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{C'A} = -\overrightarrow{BC}$ addierst.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Ebene in Koordinatensystem darstellen
Ebenen können am besten mit Hilfe der Spurpunkte in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Berechne also zunächst die Spurpunkte von $E$ und zeichne diese dann in ein Koordinatensystem ein.
1. Schritt: Spurpunkte berechnen
Den Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse erhältst du, indem du in der Koordinatengleichung $x_2 =0$ und $x_3=0$ einsetzt und dann nach $x_1$ löst. Den Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse erhältst du analog durch Einsetzen von $x_1 =0 $ und $x_3 =0 $. Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse ergibt sich dann durch Einsetzen von $x_1 =0$ und $x_2 =0$.
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen
Du sollst nun alle Punkte der $x_3$-Achse bestimmen, die von $E$ den Abstand $3$ haben. Du kannst dabei wie folgt vorgehen:
  1. Stelle eine Geradengleichung der $x_3$-Achse auf
  2. Berechne den Abstand zwischen einem Punkt auf der $x_3$-Achse und der Ebenengleichung in Abhängigkeit von dem Parameter der Geradengleichung
  3. Setze den Abstand gleich 3 und löse nach $t$ auf
  4. Setze die Werte von $t$ in die Geradengleichung der $x_3$-Achse ein und berechne so die Koordinaten der Punkte
Den Abstand $d$ zwischen einem Punkt $z$ und einer Ebene $E$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a \Rightarrow d = \dfrac{\left|n_1\cdot z_1 + n_2 \cdot z_2 +n_3 \cdot z_3 -a\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$
$ E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3$ $ = a$

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsvariable als binomialverteilt angenommen werden kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, die als Treffer und Niete bezeichnet werden können
  • In jedem Durchgang ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer gleich
  • Die Durchgänge sind unabhängig voneinander
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $3$ mal rot gedreht wird lässt sich berechnen als $P(X\geq3)$. Mit Hilfe des Gegenereignisses und der Tabelle aus der Aufgabenstellung kannst du diese Wahrscheinlichkeit berechnen. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ergibt sich wie folgt: $P(X\geq k) = 1- P(X\leq k-1)$
c)
$\blacktriangleright$ Stichprobenumfang bestimmen
Um zu entscheiden, ob der angegebenen Tabelle $n = 20$, $n = 25$ oder $n=30$ zugrunde liegt, kannst du den Erwartungswert von $X$ für alle drei Möglichkeiten berechnen. Der Erwartungswert hat in der Verteilung die größte Wahrscheinlichkeit. In der Tabelle ist $k=4$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Vergleiche also für welches $n$ der Erwartungswert am nächsten an $4$ liegt. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariablen berechnet sich durch
$\mu = n\cdot p$

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Sachverhalt skizzieren
Hier wird das Volumen eines Rotationskörpers berechnet. Dieser entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 4-\frac{1}{2}x$ um die $x$-Achse. Skizziere also den Graphen dieser Funktion. Anhand der Skizze kannst du dann auch erkennen, um was für einen Körper es sich handelt.
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Die gegebene Funktion ist eine verkettete Funktion. Bilde also die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5\\ f'(x)&=&5\cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\cdot 3\cdot\mathrm e ^{3x} \\ f'(x)&=&15\cdot \mathrm e ^{3x} \cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\\ \end{array}$
$ f(x)=\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5 $
Pflichtteil
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5\\ f'(x)&=&5\cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\cdot 3\cdot\mathrm e ^{3x} \\ f'(x)&=&15\cdot \mathrm e ^{3x} \cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\\ \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Integral berechnen
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x) = 4x-\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Beachte den Hauptsatz der Integralrechnung.
Bilde also zunächst eine Stammfunktion $G$ und berechne anschließend das Integral.
1. Schritt: Stammfunktion
Um eine Stammfunktion zu bilden, beachte, dass eine Stammfunktion von $\sin(x)$ die Funktion $-\cos(x)$ ist und wende lineare Substitution an, da es sich bei $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ um eine Verkettung handelt:
$\begin{array}{rll} g(x)&=&4x-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] G(x)&=&\frac{4}{2}\cdot x^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] G(x)&=&2\cdot x^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(4x -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)\mathrm dx&=& G(\pi)-G(0)\\[5pt] &=&2\cdot \pi^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)- \left(2\cdot 0^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{0}{2}\right)\right)\\[5pt] &=&2\pi^2+ 2\cdot 0 - (0+ 2\cdot 1)\\[5pt] &=&2\pi^2-2\\[5pt] \end{array}$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(4x -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)\mathrm dx = …$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Bei dem Lösen der Gleichung kann dir der Satz vom Nullprodukt helfen. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Betrachte also jeden Faktor einzeln:
$\begin{array}{rlllll} x^3-3x&=&0\\ x(x^2-3)&=&0& \text{ erneute Anwendung des Satzes vom Nullprodukt} \Rightarrow x_1 = 0\\ x^2-3&=&0& \mid\; +3\\ x^2&=&3& \mid\; \sqrt{\;}\\ x_2&=&+\sqrt{3}& \text{ und }\quad x_3\quad =\quad -\sqrt{3}\\ \end{array}$
$ x^3-3x=0 $
$\begin{array}{rlllll} \mathrm e^{2x}-5&=&0&\mid\; +5\\ \mathrm e^{2x}&=&5& \mid\; \ln(\;)\\ 2x&=&\ln(5)& \mid\; : 2\\ x_4 &=&\dfrac{\ln(5)}{2}\\ \end{array}$
$\Rightarrow \mathbb{L}= \left\{0;+\sqrt{3};-\sqrt{3};\dfrac{\ln(5)}{2} \right\}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Sammle alle Informationen über $f$ aus dem Aufgabentext und übersetze diese in eine mathematische Schreibweise
  2. Löse das entstandene Gleichungssystem
1. Schritt: Informationen sammeln Aus der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen filtern:
  1. $f$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades
  2. der zugehörige Graph besitzt im Ursprung einen Hochpunkt
  3. der zugehörige Graph besitzt an der Stelle $x=2$ eine Tangente mit der Gleichung $t: y = 4x-12$
  1. Aus 1. erhältst du die allgemeine Funktionsgleichung von $f$: $f(x) = a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d$.
  2. Aus 2. erhältst du zwei Informationen:
    1. Der Graph verläuft durch den Ursprung: $f(0) = 0$
    2. Der Graph besitzt an der Stelle $x_H=0$ einen Hochpunkt: $f'(0)=0$
  3. Aus 3. erfährst du ebenfalls zwei Dinge:
    1. Der Graph besitzt an der Stelle $x = 2$ die gleiche Steigung wie die Tangente $t$: $f'(2) = 4$
    2. Der Graph schneidet die Tangente $t$ an der Stelle $x = 2$: $f(2) = t(2) = -4$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Du hast nun das folgende Gleichungssystem mit den $4$ Unbekannten $a$, $b$, $c$ und $d$ gegeben:
$\begin{array}{rlllll} &f(x)&=&a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d&\\ Ⅰ& f(0) &=&0& \\ Ⅱ& f'(0)&=&0& \\ Ⅲ& f'(2) &=&4\\ Ⅳ& f(2)&=&-4\\ \end{array}$
$ f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d$
Du siehst, dass du die erste Ableitungsfunktion von $f$ benötigst:
$f'(x) = 3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x +c$
Setzt du nun ein, so erhältst du folgende Gleichungen:
$\begin{array}{lrllll} &f(x)&=&&&a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d&\\ &f'(x)&=&&&3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x +c&\\ Ⅰ\text{a} & 0 &=& f(0) &=& a\cdot 0^3 +b\cdot 0^2 +c\cdot 0 +d = d& \\ Ⅱ\text{a}& 0&=&f'(0)&=& 3\cdot a\cdot 0^2 +2\cdot b\cdot 0 +c = c \\ Ⅲ\text{a}& 4 &=& f'(2)&=& 3\cdot a\cdot 2^2 +2\cdot b\cdot 2 +c = 12\cdot a + 4\cdot b +c \\ Ⅳ\text{a}& -4&=&f(2)&=& a\cdot 2^3 +b\cdot 2^2 +c\cdot 2 +d = 8\cdot a +4\cdot b +2\cdot c +d \\ \end{array}$
$ f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d $
Aus den ersten beiden Gleichungen weißt du also bereits $c =0$ und $d =0$. Das lineare Gleichungssystem, das sich so aus den letzten beiden Gleichungen ergibt, kannst du nun mit dem Einsetzungsverfahren nach $a$ und $b$ lösen: Löse dazu $Ⅲa\;$ nach $a$ und $Ⅳa\;$ nach $b$ auf:
$\begin{array}{lrllll} Ⅲ\text{a}& 4&=&12\cdot a + 4\cdot b & \mid\; -4b\\ &4-4b&=&12a& \mid\; : 12\\ Ⅲ\text{b} & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b &=& a \\[5pt] Ⅳ\text{a}& -4 &=& 8\cdot a +4\cdot b & \mid\; -8a\\ & -4-8a &=& 4\cdot b &\mid\; :4 \\ Ⅳ\text{b}& -1-2a &=& b & \\ \end{array}$
Ⅲ $\text{a } 4=12\cdot a + 4\cdot b \mid -4b $
Setze nun $Ⅳ\text{b }$ in $Ⅲ\text{b }$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{lrllll} Ⅲ\text{b} & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b &=& a \\[5pt] & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-1-2a\right) &=& a \\[5pt] &\frac{1}{3} +\frac{1}{3}+\frac{2}{3}a &=& a &\mid\; -\frac{2}{3}a\\ & \frac{2}{3} &=& \frac{1}{3}a &\mid \cdot 3 \\ & 2 &=& a & \\ \end{array}$
Ⅲ $\text{b} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b = a $
Setzt du dies wiederum in $Ⅳ\text{b }$ ein, so erhältst du:
$b =-1-2a = -1-2\cdot 2 = -5$
$\Rightarrow f(x) = 2\cdot x^3 -5\dot x^2$

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt.
1)
$\blacktriangleright$ Der Graph von $\boldsymbol{f}$ hat bei $\boldsymbol{x=-3}$ einen Tiefpunkt
Überprüfe hierzu, ob sowohl notwendiges Kriterium als auch hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt sind:
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass $f'$ bei $x =-3$ eine Nullstelle besitzt. Daher ist das notwendige Kriterium erfüllt.
Du kannst der Abbildung auch entnehmen, dass $f'$ für Werte kleiner als $-3$ negative Werte und für Werte direkt nach $x =-3$ positive Werte annimmt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von $-$ zu $+$ vor. Damit ist auch das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Die erste Aussage ist wahr.
2)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f(-2) < f(-1)}$
Damit diese Aussage gilt, muss die Steigung zwischen den beiden Stellen $-2$ und $-1$ positiv sein. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass der Graph von $f'$ in diesem Bereich oberhalb der $x$-Achse verläuft. Die Steigung ist also positiv.
Die zweite Aussage ist wahr.
3)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f''(-2) + f'(-2) < 1}$
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass $f'(-2) = 2$ gilt.Zudem kannst du sehen, dass der Graph von $f'$ an der Stelle $x =-2$ einen Hochpunkt besitzt. Wegen des notwendigen Kriteriums für Hochpunkte muss also die zweite Ableitung $f''$ an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen. Damit folgt: $f''(-2) +f'(-2) = 0 +2 = 2 < 1$
Die dritte Aussage ist falsch.
4)
$\blacktriangleright$ Der Grad von $\boldsymbol{f}$ ist mindestens vier
Du kannst sehen, dass der Graph von $f'$ mindestens zwei Extrempunkte besitzt. Dies bedeutet, dass $f'$ mindestens den Grad drei haben muss. Da $f'$ die Ableitung von $f$ und damit auf jeden Fall einen Grad weniger besitzt, muss $f$ mindestens den Grad vier haben.
Die vierte Aussage ist wahr.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleichschenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei der Seiten gleich lang sind. Berechne also die Länge der Seiten des Dreiecks über den Betrag der Verbindungsvektoren. Den Vektorbetrag berechnet man mit Hilfe folgender Formel:
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Berechne nun also die Beträge der Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$:
$\left|\overrightarrow{AB} \right| = \left|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right| = \left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2} = \sqrt{32}$
$ \left|\overrightarrow{AB} \right| = \left|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right| $
$\left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \right| = \left|\begin{pmatrix}2\\6\\-2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2+6^2+(-2)^2} = \sqrt{44}$
$ \left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \right| $
$\left|\overrightarrow{BC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \right| = \left|\begin{pmatrix}6\\2\\-2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{6^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{44}$
$ \left|\overrightarrow{BC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \right| $
Da $\left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{BC} \right|$ gilt, ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.
b)
$\blacktriangleright$ Skizze anlegen
Zeichne zunächst eine Skizze des Dreiecks $ABC$. Achte dann darauf, dass der vierte Punkt so liegen muss, dass jeweils gegenüberligende Seiten parallel zueinander sind. Es ergibt sich folgende Skizze:
Pflichtteil
Pflichtteil
Es gibt also drei mögliche Punkte, die das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm ergänzen.
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Punktes bestimmen
Betrachte dazu die obige Skizze. Du weißt, dass der Vektor $\overrightarrow{C'A}$ parallel sein muss zum Vektor $\overrightarrow{BC}$. Zudem muss er gleich lang sein, da es sich bei dem Parallelogramm $ABCC'$ um ein Quadrat handelt. Daher gilt $\overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{BC}$. Du erhältst nun den Ortsvektor von $C'$, indem du zu dem Ortsvektor von $A$ den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{C'A} = -\overrightarrow{BC}$ addierst:
$\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \left(-\overrightarrow{BC}\right) = \begin{pmatrix}4\\0\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\2\\-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\6 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \left(-\overrightarrow{BC}\right) $
$\Rightarrow $ Der Punkt $C'(-2\mid\;-2\mid\;6)$ ergänzt das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Ebene in Koordinatensystem darstellen
Ebenen können am besten mit Hilfe der Spurpunkte in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Berechne also zunächst die Spurpunkte von $E$ und zeichne diese dann in ein Koordinatensystem ein.
1. Schritt: Spurpunkte berechnen
Den Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse erhältst du, indem du in der Koordinatengleichung $x_2 =0$ und $x_3=0$ einsetzt und dann nach $x_1$ löst:
$4x_1+3\cdot 0 = 12 \Leftrightarrow 4x_1 = 12 \Leftrightarrow x_1 = 3$
$ 4x_1+3\cdot 0 = 12 \Leftrightarrow 4x_1 $
$\Rightarrow S_1(3\mid\;0\mid\;0)$ ist der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse.
Den Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse erhältst du analog durch Einsetzen von $x_1 =0 $ und $x_3 =0 $:
$4\cdot0 + 3\cdot 0 = 12$
Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, schneidet $E$ die $x_2$-Achse nicht und liegt somit parallel zu dieser.
Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse ergibt sich nun durch Einsetzen von $x_1 =0$ und $x_2 =0$:
$4\cdot0 + 3\cdot x_3 = 12 \Leftrightarrow 3x_3 = 12 \Leftrightarrow x_3 = 4$
$ 4\cdot0 + 3\cdot x_3 = 12 \Leftrightarrow 3x_3 $
Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse hat die Koordinaten $S_3(0\mid\;0\mid\;4)$.
2. Schritt: Ebene darstellen
Deine Zeichnung solle nun ähnlich wie die folgende aussehen:
Pflichtteil
Pflichtteil
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen
Du sollst nun alle Punkte der $x_3$-Achse bestimmen, die von $E$ den Abstand $3$ haben. Du kannst dabei wie folgt vorgehen:
  1. Stelle eine Geradengleichung der $x_3$-Achse auf
  2. Berechne den Abstand zwischen einem Punkt auf der $x_3$-Achse und der Ebenengleichung in Abhängigkeit von dem Parameter der Geradengleichung
  3. Setze den Abstand gleich 3 und löse nach $t$ auf
  4. Setze die Werte von $t$ in die Geradengleichung der $x_3$-Achse ein und berechne so die Koordinaten der Punkte
Den Abstand $d$ zwischen einem Punkt $z$ und einer Ebene $E$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a \Rightarrow d = \dfrac{\left|n_1\cdot z_1 + n_2 \cdot z_2 +n_3 \cdot z_3 -a\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$
$$ E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3$$
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Eine Gleichung der Geraden, die die $x_3$-Achse darstellt, ergibt sich mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ wie folgt:
$g: \overrightarrow{x} = t\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Abstand berechnen
Die Gerade $g$ beschreibt in Abhängigkeit von $t$ jeden Punkt auf der $x_3$-Achse. Setze also nun für $z$ die Punkte der $x_3$-Achse ein. Die einzelnen Komponenten erhältst du, indem du jede Zeile der Geradengleichung einzeln abliest:
$z_1 = 0$, $z_2 = 0$ , $z_3 = t$
Den Vektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ kannst du aus der Ebenengleichung ablesen: $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$ und $a = 12$
In die Abstandsformel eingesetzt ergibt sich nun der Abstand in Abhängigkeit von $t$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d_t &=&\dfrac{\left|4\cdot 0 + 0 \cdot 0 +3 \cdot t -12\right|}{\sqrt{4^2+0^2+3^2}} \\ &=& \dfrac{\left|3t-12\right|}{5}\\ \end{array}$
3. Schritt: Gleichsetzen
Da der Abstand $3$ betragen soll, musst du nun $d_t = 3$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&3 \\[5pt] \dfrac{\left|3t-12\right|}{5}&=&3 \quad \scriptsize \mid\;\; \cdot 5 \\[5pt] \left|3t-12\right| &=&15 \\[5pt] \end{array}$
Aus dieser Betragsgleichung ergeben sich nun 2 Gleichungen, die du nach $t$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 3t-12&=&15 \quad \scriptsize \mid\;\; +12 \\[5pt] 3t &=&27 \quad \scriptsize \mid\;\; :3\\[5pt] t_1 &=&9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3t-12&=&-15 \quad \scriptsize \mid\;\; +12 \\[5pt] 3t &=&-3 \quad \scriptsize \mid\;\; :3\\[5pt] t_1 &=&-1 \end{array}$
4. Schritt: In Geradengleichung einsetzen
Setze nun die berechneten Werte für $t$ in die Geradengleichung für die $x_3$-Achse ein. Du erhältst so die Ortsvektoren der gesuchten Punkte:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x_1}&=&t_1\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \quad \scriptsize \mid\;\; t_1 = 9 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x_2}&=&t_2\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \quad \scriptsize \mid\;\; t_2 = -1 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Die Punkte $A(0\mid\; 0\mid\; 9)$ und $B(0\mid\;0\mid\; -1)$ liegen auf der $x_3$-Achse und haben von $E$ den Abstand $3$.

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsvariable als binomialverteilt angenommen werden kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, die als Treffer und Niete bezeichnet werden können
  • In jedem Durchgang ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer gleich
  • Die Durchgänge sind unabhängig voneinander
Überprüfe also diese Bedingungen für $X$:
  • $X$ gibt an, wie oft die Farbe rot gedreht wurde. Es werden also nur die möglichen Ergebnisse „rot“ und „nicht rot“ betrachtet.
  • Da sich die Aufteilung des Rades nicht ändert, bleibt auch die Wahrscheinlichkeit bei jeder Drehung gleich das rote Feld zu treffen.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, das rote Feld zu treffen hängt nicht vom vorherigen Dreh ab, daher sind die einzelnen Durchgänge unabhängig voneinander.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $3$ mal rot gedreht wird lässt sich berechnen als $P(X\geq3)$. Mit Hilfe des Gegenereignisses und der Tabelle aus der Aufgabenstellung kannst du diese Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq3)&=&1-P(X\leq2) \\[5pt] &=&1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))\quad \scriptsize \text{Tabelle}\\ &=&1-(0,01+0,06+0,14) \\[5pt] &=&1-(0,21) \\[5pt] &=&0,79 \\[5pt] &=&79\,\% \\ \end{array}$
$ P(X\geq3)=1-P(X\leq2) $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $n$ Drehungen mindestens $3$-mal gedreht wurde beträgt ca. $79\,\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Stichprobenumfang bestimmen
Um zu entscheiden, ob der angegebenen Tabelle $n = 20$, $n = 25$ oder $n=30$ zugrunde liegt, kannst du den Erwartungswert von $X$ für alle drei Möglichkeiten berechnen. Der Erwartungswert hat in der Verteilung die größte Wahrscheinlichkeit. In der Tabelle ist $k=4$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Vergleiche also für welches $n$ der Erwartungswert am nächsten an $4$ liegt. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariablen berechnet sich durch
$\mu = n\cdot p$
Damit ergibt sich für die verschiedenen $n$ folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} n=20& \mu_{20} = 20\cdot 0,2&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] n=25& \mu_{25} = 25\cdot 0,2&=& 5&\quad \scriptsize \\[5pt] n=30& \mu_{30} = 30\cdot 0,2&=& 6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da für $n=20$ gilt $\mu_{20} =4$ und $4$ in der Tabelle der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist, liegt der angegebenen Tabelle wahrscheinlich $n=20$ zugrunde.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Sachverhalt skizzieren
Hier wird das Volumen eines Rotationskörpers berechnet. Dieser entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 4-\frac{1}{2}x$ um die $x$-Achse. Skizziere also den Graphen dieser Funktion. Anhand der Skizze kannst du dann auch erkennen um was für einen Körper es sich handelt. Es ergibt sich folgende Skizze:
Pflichtteil
Pflichtteil
Anhand der Skizze kannst du erkennen, dass es sich bei dem Körper, der durch die Rotation entsteht, um einen Kegel handelt. Die Spitze befindet sich an der Nullstelle von $f$ im Punkt $(8\mid\;0) $. Da das Integral allerdings nur von $0$ bis $4$ geht, wird dadurch auch nur der Rotationskörper bis zur Gerade zu $x=4$ beschrieben. Es entsteht also ein Kegelstumpf.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Die gegebene Funktion ist eine verkettete Funktion. Bilde also die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5\\ f'(x)&=&5\cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\cdot 3\cdot\mathrm e ^{3x} \\ f'(x)&=&15\cdot \mathrm e ^{3x} \cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\\ \end{array}$
$ f(x)=\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5 $
Pflichtteil
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\left(4+ \mathrm e^{3x}\right)^5\\ f'(x)&=&5\cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\cdot 3\cdot\mathrm e ^{3x} \\ f'(x)&=&15\cdot \mathrm e ^{3x} \cdot (4+\mathrm e^{3x})^4\\ \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Integral berechnen
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x) = 4x-\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Beachte den Hauptsatz der Integralrechnung.
Bilde also zunächst eine Stammfunktion $G$ und berechne anschließend das Integral.
1. Schritt: Stammfunktion
Um eine Stammfunktion zu bilden, beachte, dass eine Stammfunktion von $\sin(x)$ die Funktion $-\cos(x)$ ist und wende lineare Substitution an, da es sich bei $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ um eine Verkettung handelt:
$\begin{array}{rll} g(x)&=&4x-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] G(x)&=&\frac{4}{2}\cdot x^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] G(x)&=&2\cdot x^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(4x -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)\mathrm dx&=& G(\pi)-G(0)\\[5pt] &=&2\cdot \pi^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)- \left(2\cdot 0^2 + 2\cdot\cos\left(\frac{0}{2}\right)\right)\\[5pt] &=&2\pi^2+ 2\cdot 0 - (0+ 2\cdot 1)\\[5pt] &=&2\pi^2-2\\[5pt] \end{array}$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(4x -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)\mathrm dx = …$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Bei dem Lösen der Gleichung kann dir der Satz vom Nullprodukt helfen. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Betrachte also jeden Faktor einzeln:
$\begin{array}{rlllll} x^3-3x&=&0\\ x(x^2-3)&=&0& \text{ erneute Anwendung des Satzes vom Nullprodukt} \Rightarrow x_1 = 0\\ x^2-3&=&0& \mid\; +3\\ x^2&=&3& \mid\; \sqrt{\;}\\ x_2&=&+\sqrt{3}& \text{ und }\quad x_3\quad =\quad -\sqrt{3}\\ \end{array}$
$ x^3-3x=0 $
$\begin{array}{rlllll} \mathrm e^{2x}-5&=&0&\mid\; +5\\ \mathrm e^{2x}&=&5& \mid\; \ln(\;)\\ 2x&=&\ln(5)& \mid\; : 2\\ x_4 &=&\dfrac{\ln(5)}{2}\\ \end{array}$
$\Rightarrow \mathbb{L}= \left\{0;+\sqrt{3};-\sqrt{3};\dfrac{\ln(5)}{2} \right\}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Sammle alle Informationen über $f$ aus dem Aufgabentext und übersetze diese in eine mathematische Schreibweise
  2. Löse das entstandene Gleichungssystem
1. Schritt: Informationen sammeln Aus der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen filtern:
  1. $f$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades
  2. der zugehörige Graph besitzt im Ursprung einen Hochpunkt
  3. der zugehörige Graph besitzt an der Stelle $x=2$ eine Tangente mit der Gleichung $t: y = 4x-12$
  1. Aus 1. erhältst du die allgemeine Funktionsgleichung von $f$: $f(x) = a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d$.
  2. Aus 2. erhältst du zwei Informationen:
    1. Der Graph verläuft durch den Ursprung: $f(0) = 0$
    2. Der Graph besitzt an der Stelle $x_H=0$ einen Hochpunkt: $f'(0)=0$
  3. Aus 3. erfährst du ebenfalls zwei Dinge:
    1. Der Graph besitzt an der Stelle $x = 2$ die gleiche Steigung wie die Tangente $t$: $f'(2) = 4$
    2. Der Graph schneidet die Tangente $t$ an der Stelle $x = 2$: $f(2) = t(2) = -4$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Du hast nun das folgende Gleichungssystem mit den $4$ Unbekannten $a$, $b$, $c$ und $d$ gegeben:
$\begin{array}{rlllll} &f(x)&=&a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d&\\ Ⅰ& f(0) &=&0& \\ Ⅱ& f'(0)&=&0& \\ Ⅲ& f'(2) &=&4\\ Ⅳ& f(2)&=&-4\\ \end{array}$
$ f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d$
Du siehst, dass du die erste Ableitungsfunktion von $f$ benötigst:
$f'(x) = 3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x +c$
Setzt du nun ein, so erhältst du folgende Gleichungen:
$\begin{array}{lrllll} &f(x)&=&&&a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d&\\ &f'(x)&=&&&3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x +c&\\ Ⅰ\text{a} & 0 &=& f(0) &=& a\cdot 0^3 +b\cdot 0^2 +c\cdot 0 +d = d& \\ Ⅱ\text{a}& 0&=&f'(0)&=& 3\cdot a\cdot 0^2 +2\cdot b\cdot 0 +c = c \\ Ⅲ\text{a}& 4 &=& f'(2)&=& 3\cdot a\cdot 2^2 +2\cdot b\cdot 2 +c = 12\cdot a + 4\cdot b +c \\ Ⅳ\text{a}& -4&=&f(2)&=& a\cdot 2^3 +b\cdot 2^2 +c\cdot 2 +d = 8\cdot a +4\cdot b +2\cdot c +d \\ \end{array}$
$ f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d $
Aus den ersten beiden Gleichungen weißt du also bereits $c =0$ und $d =0$. Das lineare Gleichungssystem, das sich so aus den letzten beiden Gleichungen ergibt, kannst du nun mit dem Einsetzungsverfahren nach $a$ und $b$ lösen: Löse dazu $Ⅲa\;$ nach $a$ und $Ⅳa\;$ nach $b$ auf:
$\begin{array}{lrllll} Ⅲ\text{a}& 4&=&12\cdot a + 4\cdot b & \mid\; -4b\\ &4-4b&=&12a& \mid\; : 12\\ Ⅲ\text{b} & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b &=& a \\[5pt] Ⅳ\text{a}& -4 &=& 8\cdot a +4\cdot b & \mid\; -8a\\ & -4-8a &=& 4\cdot b &\mid\; :4 \\ Ⅳ\text{b}& -1-2a &=& b & \\ \end{array}$
Ⅲ $\text{a } 4=12\cdot a + 4\cdot b \mid -4b $
Setze nun $Ⅳ\text{b }$ in $Ⅲ\text{b }$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{lrllll} Ⅲ\text{b} & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b &=& a \\[5pt] & \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-1-2a\right) &=& a \\[5pt] &\frac{1}{3} +\frac{1}{3}+\frac{2}{3}a &=& a &\mid\; -\frac{2}{3}a\\ & \frac{2}{3} &=& \frac{1}{3}a &\mid \cdot 3 \\ & 2 &=& a & \\ \end{array}$
Ⅲ $\text{b} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}b = a $
Setzt du dies wiederum in $Ⅳ\text{b }$ ein, so erhältst du:
$b =-1-2a = -1-2\cdot 2 = -5$
$\Rightarrow f(x) = 2\cdot x^3 -5\dot x^2$

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt.
1)
$\blacktriangleright$ Der Graph von $\boldsymbol{f}$ hat bei $\boldsymbol{x=-3}$ einen Tiefpunkt
Überprüfe hierzu, ob sowohl notwendiges Kriterium als auch hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt sind:
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass $f'$ bei $x =-3$ eine Nullstelle besitzt. Daher ist das notwendige Kriterium erfüllt.
Du kannst der Abbildung auch entnehmen, dass $f'$ für Werte kleiner als $-3$ negative Werte und für Werte direkt nach $x =-3$ positive Werte annimmt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von $-$ zu $+$ vor. Damit ist auch das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Die erste Aussage ist wahr.
2)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f(-2) < f(-1)}$
Damit diese Aussage gilt, muss die Steigung zwischen den beiden Stellen $-2$ und $-1$ positiv sein. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass der Graph von $f'$ in diesem Bereich oberhalb der $x$-Achse verläuft. Die Steigung ist also positiv.
Die zweite Aussage ist wahr.
3)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f''(-2) + f'(-2) < 1}$
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass $f'(-2) = 2$ gilt.Zudem kannst du sehen, dass der Graph von $f'$ an der Stelle $x =-2$ einen Hochpunkt besitzt. Wegen des notwendigen Kriteriums für Hochpunkte muss also die zweite Ableitung $f''$ an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen. Damit folgt: $f''(-2) +f'(-2) = 0 +2 = 2 < 1$
Die dritte Aussage ist falsch.
4)
$\blacktriangleright$ Der Grad von $\boldsymbol{f}$ ist mindestens vier
Du kannst sehen, dass der Graph von $f'$ mindestens zwei Extrempunkte besitzt. Dies bedeutet, dass $f'$ mindestens den Grad drei haben muss. Da $f'$ die Ableitung von $f$ und damit auf jeden Fall einen Grad weniger besitzt, muss $f$ mindestens den Grad vier haben.
Die vierte Aussage ist wahr.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleichschenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei der Seiten gleich lang sind. Berechne also die Länge der Seiten des Dreiecks über den Betrag der Verbindungsvektoren. Den Vektorbetrag berechnet man mit Hilfe folgender Formel:
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\left|\overrightarrow{a} \right| = \left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Berechne nun also die Beträge der Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$:
$\left|\overrightarrow{AB} \right| = \left|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right| = \left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2} = \sqrt{32}$
$ \left|\overrightarrow{AB} \right| = \left|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right| $
$\left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \right| = \left|\begin{pmatrix}2\\6\\-2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2+6^2+(-2)^2} = \sqrt{44}$
$ \left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \right| $
$\left|\overrightarrow{BC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \right| = \left|\begin{pmatrix}6\\2\\-2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{6^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{44}$
$ \left|\overrightarrow{BC} \right| = \left|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \right| $
Da $\left|\overrightarrow{AC} \right| = \left|\overrightarrow{BC} \right|$ gilt, ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.
b)
$\blacktriangleright$ Skizze anlegen
Zeichne zunächst eine Skizze des Dreiecks $ABC$. Achte dann darauf, dass der vierte Punkt so liegen muss, dass jeweils gegenüberligende Seiten parallel zueinander sind. Es ergibt sich folgende Skizze:
Pflichtteil
Pflichtteil
Es gibt also drei mögliche Punkte, die das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm ergänzen.
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Punktes bestimmen
Betrachte dazu die obige Skizze. Du weißt, dass der Vektor $\overrightarrow{C'A}$ parallel sein muss zum Vektor $\overrightarrow{BC}$. Zudem muss er gleich lang sein, da es sich bei dem Parallelogramm $ABCC'$ um ein Quadrat handelt. Daher gilt $\overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{BC}$. Du erhältst nun den Ortsvektor von $C'$, indem du zu dem Ortsvektor von $A$ den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{C'A} = -\overrightarrow{BC}$ addierst:
$\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \left(-\overrightarrow{BC}\right) = \begin{pmatrix}4\\0\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\2\\-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\6 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \left(-\overrightarrow{BC}\right) $
$\Rightarrow $ Der Punkt $C'(-2\mid\;-2\mid\;6)$ ergänzt das Dreieck $ABC$ zu einem Parallelogramm.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Ebene in Koordinatensystem darstellen
Ebenen können am besten mit Hilfe der Spurpunkte in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Berechne also zunächst die Spurpunkte von $E$ und zeichne diese dann in ein Koordinatensystem ein.
1. Schritt: Spurpunkte berechnen
Den Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse erhältst du, indem du in der Koordinatengleichung $x_2 =0$ und $x_3=0$ einsetzt und dann nach $x_1$ löst:
$4x_1+3\cdot 0 = 12 \Leftrightarrow 4x_1 = 12 \Leftrightarrow x_1 = 3$
$ 4x_1+3\cdot 0 = 12 \Leftrightarrow 4x_1 $
$\Rightarrow S_1(3\mid\;0\mid\;0)$ ist der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse.
Den Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse erhältst du analog durch Einsetzen von $x_1 =0 $ und $x_3 =0 $:
$4\cdot0 + 3\cdot 0 = 12$
Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, schneidet $E$ die $x_2$-Achse nicht und liegt somit parallel zu dieser.
Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse ergibt sich nun durch Einsetzen von $x_1 =0$ und $x_2 =0$:
$4\cdot0 + 3\cdot x_3 = 12 \Leftrightarrow 3x_3 = 12 \Leftrightarrow x_3 = 4$
$ 4\cdot0 + 3\cdot x_3 = 12 \Leftrightarrow 3x_3 $
Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse hat die Koordinaten $S_3(0\mid\;0\mid\;4)$.
2. Schritt: Ebene darstellen
Deine Zeichnung solle nun ähnlich wie die folgende aussehen:
Pflichtteil
Pflichtteil
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen
Du sollst nun alle Punkte der $x_3$-Achse bestimmen, die von $E$ den Abstand $3$ haben. Du kannst dabei wie folgt vorgehen:
  1. Stelle eine Geradengleichung der $x_3$-Achse auf
  2. Berechne den Abstand zwischen einem Punkt auf der $x_3$-Achse und der Ebenengleichung in Abhängigkeit von dem Parameter der Geradengleichung
  3. Setze den Abstand gleich 3 und löse nach $t$ auf
  4. Setze die Werte von $t$ in die Geradengleichung der $x_3$-Achse ein und berechne so die Koordinaten der Punkte
Den Abstand $d$ zwischen einem Punkt $z$ und einer Ebene $E$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a \Rightarrow d = \dfrac{\left|n_1\cdot z_1 + n_2 \cdot z_2 +n_3 \cdot z_3 -a\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$
$$ E: n_1\cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3\cdot x_3$$
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Eine Gleichung der Geraden, die die $x_3$-Achse darstellt, ergibt sich mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ wie folgt:
$g: \overrightarrow{x} = t\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Abstand berechnen
Die Gerade $g$ beschreibt in Abhängigkeit von $t$ jeden Punkt auf der $x_3$-Achse. Setze also nun für $z$ die Punkte der $x_3$-Achse ein. Die einzelnen Komponenten erhältst du, indem du jede Zeile der Geradengleichung einzeln abliest:
$z_1 = 0$, $z_2 = 0$ , $z_3 = t$
Den Vektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ kannst du aus der Ebenengleichung ablesen: $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$ und $a = 12$
In die Abstandsformel eingesetzt ergibt sich nun der Abstand in Abhängigkeit von $t$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d_t &=&\dfrac{\left|4\cdot 0 + 0 \cdot 0 +3 \cdot t -12\right|}{\sqrt{4^2+0^2+3^2}} \\ &=& \dfrac{\left|3t-12\right|}{5}\\ \end{array}$
3. Schritt: Gleichsetzen
Da der Abstand $3$ betragen soll, musst du nun $d_t = 3$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&3 \\[5pt] \dfrac{\left|3t-12\right|}{5}&=&3 \quad \scriptsize \mid\;\; \cdot 5 \\[5pt] \left|3t-12\right| &=&15 \\[5pt] \end{array}$
Aus dieser Betragsgleichung ergeben sich nun 2 Gleichungen, die du nach $t$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 3t-12&=&15 \quad \scriptsize \mid\;\; +12 \\[5pt] 3t &=&27 \quad \scriptsize \mid\;\; :3\\[5pt] t_1 &=&9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3t-12&=&-15 \quad \scriptsize \mid\;\; +12 \\[5pt] 3t &=&-3 \quad \scriptsize \mid\;\; :3\\[5pt] t_1 &=&-1 \end{array}$
4. Schritt: In Geradengleichung einsetzen
Setze nun die berechneten Werte für $t$ in die Geradengleichung für die $x_3$-Achse ein. Du erhältst so die Ortsvektoren der gesuchten Punkte:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x_1}&=&t_1\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \quad \scriptsize \mid\;\; t_1 = 9 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x_2}&=&t_2\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \quad \scriptsize \mid\;\; t_2 = -1 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Die Punkte $A(0\mid\; 0\mid\; 9)$ und $B(0\mid\;0\mid\; -1)$ liegen auf der $x_3$-Achse und haben von $E$ den Abstand $3$.

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsvariable als binomialverteilt angenommen werden kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, die als Treffer und Niete bezeichnet werden können
  • In jedem Durchgang ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer gleich
  • Die Durchgänge sind unabhängig voneinander
Überprüfe also diese Bedingungen für $X$:
  • $X$ gibt an, wie oft die Farbe rot gedreht wurde. Es werden also nur die möglichen Ergebnisse „rot“ und „nicht rot“ betrachtet.
  • Da sich die Aufteilung des Rades nicht ändert, bleibt auch die Wahrscheinlichkeit bei jeder Drehung gleich das rote Feld zu treffen.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, das rote Feld zu treffen hängt nicht vom vorherigen Dreh ab, daher sind die einzelnen Durchgänge unabhängig voneinander.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $3$ mal rot gedreht wird lässt sich berechnen als $P(X\geq3)$. Mit Hilfe des Gegenereignisses und der Tabelle aus der Aufgabenstellung kannst du diese Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq3)&=&1-P(X\leq2) \\[5pt] &=&1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))\quad \scriptsize \text{Tabelle}\\ &=&1-(0,01+0,06+0,14) \\[5pt] &=&1-(0,21) \\[5pt] &=&0,79 \\[5pt] &=&79\,\% \\ \end{array}$
$ P(X\geq3)=1-P(X\leq2) $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $n$ Drehungen mindestens $3$-mal gedreht wurde beträgt ca. $79\,\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Stichprobenumfang bestimmen
Um zu entscheiden, ob der angegebenen Tabelle $n = 20$, $n = 25$ oder $n=30$ zugrunde liegt, kannst du den Erwartungswert von $X$ für alle drei Möglichkeiten berechnen. Der Erwartungswert hat in der Verteilung die größte Wahrscheinlichkeit. In der Tabelle ist $k=4$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Vergleiche also für welches $n$ der Erwartungswert am nächsten an $4$ liegt. Der Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariablen berechnet sich durch
$\mu = n\cdot p$
Damit ergibt sich für die verschiedenen $n$ folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} n=20& \mu_{20} = 20\cdot 0,2&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] n=25& \mu_{25} = 25\cdot 0,2&=& 5&\quad \scriptsize \\[5pt] n=30& \mu_{30} = 30\cdot 0,2&=& 6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da für $n=20$ gilt $\mu_{20} =4$ und $4$ in der Tabelle der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist, liegt der angegebenen Tabelle wahrscheinlich $n=20$ zugrunde.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Sachverhalt skizzieren
Hier wird das Volumen eines Rotationskörpers berechnet. Dieser entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 4-\frac{1}{2}x$ um die $x$-Achse. Skizziere also den Graphen dieser Funktion. Anhand der Skizze kannst du dann auch erkennen um was für einen Körper es sich handelt. Es ergibt sich folgende Skizze:
Pflichtteil
Pflichtteil
Anhand der Skizze kannst du erkennen, dass es sich bei dem Körper, der durch die Rotation entsteht, um einen Kegel handelt. Die Spitze befindet sich an der Nullstelle von $f$ im Punkt $(8\mid\;0) $. Da das Integral allerdings nur von $0$ bis $4$ geht, wird dadurch auch nur der Rotationskörper bis zur Gerade zu $x=4$ beschrieben. Es entsteht also ein Kegelstumpf.
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