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Aufgabe 2.1

a)
  Schnittpunkt bestimmen
Du hast hier folgendes gegeben:
Die Gerade g4 mit der Gleichung g4:x=(511)+t(410) und die Ebene E mit der Ebenengleichung in Koordinatenform E:3x1+6x2+4x3=16.
Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:
  1. Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab
  2. Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach t auf
  3. Setze den berechneten Wert für t in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes
1. Schritt: Koordinaten ablesen
Die Koordinaten der Punkte, die auf der Gerade g4 liegen, ergeben sich, indem man jede „Zeile“ einzeln abliest:
x1=5+4t, x2=1+t und x3=1
2. Schritt: Koordinaten einsetzen und Gleichung lösen
16=3x1+6x2+4x316=3(5+4t)+6(1+t)+4116=25+18t259=18t:1812=t
16=3x1+6x2+4x3
3. Schritt: Ortsvektor berechnen
Setze nun t=12 in die Geradengleichung ein, so erhältst du folgendes:
OS=(511)12(410)=(3121)
Damit hat der Schnittpunkt der Geraden g4 und der Ebene E die Koordinaten S(3121).
  Orthogonale Gerade bestimmen
Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen. Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt :
(x1x2x3)(y1y2y3)=x1y1+x2y2+x3y3=0
(x1x2x3)(y1y2y3)=x1y1+x2y2+x3y3=0
Du kannst nun in diese Gleichung die Richtungsvektoren der Geraden g4 und der Geraden ga einsetzen. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von a. Löst du diese Gleichung, so hast du die Werte für a, für welche die Geraden ga orthogonal zu g4 sind.
(410)(a10)=04a+1+0=014a=1:4a=14
Die Gerade g14 ist orthogonal zu g4.
b)
  Schnittwinkel berechnen
Setze den Richtungsvektor der Geraden und einen Normalenvektor der Ebene in die Formel für den Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Gerade ein. Im vorliegenden Fall erigbt sich folgendes:
r=(410) und n=(364)
sin?(α)=|(410)(364)||(410)||(364)|sin?(α)=1842+12+0232+62+42sin?(α)=181.037sin1α=sin1?(181.037)33,98
sin?(α)=
Der Schnittwinkel zwischen g4 und E beträgt ca. 33,98.
  Wert für a bestimmen
Nun sollst du alle Werte für a bestimmen, für die ga und E den Schnittwinkel 10 haben, dabei sollen aber nur Werte zwischen 10 und 10 betrachtet werden. Du kannst dazu die Formel von oben verwenden und dort wieder den Normalenvektor von E zusammen mit dem Richtungsvektor der Geradenschar einsetzen. Setzt du für α=10 ein, so erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von a, die du lösen kannst. Setze also nun n=(364) und ra=(a10) und α=10 in die Gleichung zur Winkelberechnung ein und forme soweit um, bis du ein Nullstellenproblem einer Funktion f(a) erhältst. Dieses kannst du dann mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen dieser Funktion im Graph-Menü anzeigen lässt und anschließend über folgenden Befehl die Nullstellen im vorgegebenen Intervall bestimmst:
2ND TRACE(CALC) 2: zero
2ND TRACE(CALC) 2: zero
sin?(10)=|(364)(a10)||(364)||(a10)|sin?(10)=|3a+6|61a2+1sin?(10)0=|3a+6|61a2+1sin?(10)GTRa13,76a21,27
sin?(10)=
Für a13,76 und a21,27 hat der Schnittwinkel von ga und E die Weite 10.
c)
  Lage der Geraden begründen
Du sollst nun begründen, dass alle Geraden ga in der Ebene F mit der Gleichung F:x3=1 liegen. Überlege dir dazu, zunächst was an der Ebene F besonders ist und betrachte dann die entsprechenden Koordinaten in der Geradengleichung.
Dir sollte auffallen, dass in F nur die x3-Koordinate Bedeutung hat. In der Ebene liegen also alle Punkte, die die x3-Koordinate 1 besitzen. Außerdem kannst du sehen, dass der letzte Eintrag des Richtungsvektors von ga 0 ist und der Stützvektor den letzten Eintrag 1 hat. Damit haben also alle Punkte auf den Geraden ga die x3-Koordinate 1 und liegen somit in F.
  Geradengleichung bestimmen
Du sollst nun eine Gleichung der Geraden h finden. Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:
g:x=OP+tr
g:x=OP+tr
Dabei ist OP der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und r ein Richtungsvektor. Ein Punkt, der auf h liegen soll, ist in der Aufgabenstellung mit P(511) gegeben. Nun ist noch ein Richtungsvektor gesucht. Beachte dabei, dass die x3-Koordinate erhalten bleiben soll und der Richtungsvektor nicht linear abhängig zum Richtungsvektor von ga sein darf.
Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: tx=y, für ein tR.
Daraus, dass die x3-Koordinate von allen Punkten auf h 1 bleiben soll, erhält man automatisch, dass der Richtungsvektor von h die Form rh=(r1r20) hat. Nun müssen noch r1 und r2 gefunden werden, so dass (r1r20) und (a10) nicht linear abhängig sind. Beachte dabei, dass a jeden reellen Wert annehmen kann. Findest du keine Werte für r1 und r2 durch Ausprobieren, dann kannst du dir auch die Gleichungen aufschreiben, die sich aus einer linearen Abhängigkeit ergeben würden:
t(r1r20)=(a10) tr1=a und tr2=1.
Setzt du nun r2=0, so kann die zweite Gleichung dort niemals erfüllt werden. Für r3 kannst du dann einen beliebigen Wert wählen. Insgesamt ergibt sich beispielsweise die folgende Geradengleichung für h:
h:x=(511)+s(100)

Aufgabe 2.2

a)
  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft. Wir betrachten dazu die Zufallsvariable X, die die Anzahl an Treffern des Athleten in fünf Schüssen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern n=5 und p=0,88 angenommen werden, da die Schüsse unabhängig voneinander sind, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss gleich ist und es nur die beiden möglichen Ergebnisse „ trifft“ oder „trifft nicht“ bei jedem Schuss gibt.
Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit:
P(X=4)
Diese kannst du mit dem binompdf-Befehl deines GTR berechnen. Diesen findest du unter
2ND VARS(DISTR) A: binompdf
2ND VARS(DISTR) A: binompdf
Dort musst du nun die Parameter n=5 ,p=0,88 und k=4 der Reihe nach eingeben.
Es gilt also P(X=4)0,3598=35,98%.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 35,98% trifft der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal.
b)
  Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen
Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:
P(„Höchstens 1 Strafrunde“)=P(„Im ersten Durchgang ein Fehlschuss“)P(„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“)+P(„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“)P(„Im zweiten Durchgang ein Fehlschuss“)+P(„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“)P(„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“)
P(„Höchstens 1 Strafrunde“)=
Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein:
Y beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der ersten Runde. Dann ist Y aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parameter n=5 und p=0,07.
Z beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der zweiten Runde. Dann ist Z ebenfalls binomialverteilt mit den Parametern n=5 und p=0,12.
Gesucht sind dann nun P(Y=0), P(Y=1), P(Z=0) und P(Z=1). Berechne diese wie oben mit deinem GTR:
  • P(Y=0)0,70
  • P(Y=1)0,26
  • P(Z=0)0,53
  • P(Z=1)0,36
Damit ergibt sich dann insgesamt folgendes Ergebnis:
P(„Höchstens eine Strafrunde“)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)+P(Y=0)P(Z=0)0,700,36+0,260,53+0,700,53=0,760876,08%
P(„Höchstens eine Strafrunde“)=
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 76,08% muss der Athlet höchstens eine Strafrunde laufen.
c)
  Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit im Durchgang, in dem stehend geschossen wird, mindestens viermal zu treffen soll mindestens 95% betragen. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür höchstens einmal nicht zu treffen.
Betrachten wir hier nun die neue Zufallsvariable W, die die Anzahl der Fehlschüsse im stehenden Durchgang beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem p. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann zu p0=1p.
Es soll also gelten:
P(W1)0,95
Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von p. Löse diese nach p auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:
P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
Damit ergibt sich nun:
P(W1)0,95P(W=0)+P(W=1)0,95(50)p0(1p)5+(51)p1(1p)40,95(1p)5+5p(1p)40,950,95(1p)5+5p(1p)40,950
P(W1)0,95
Du kannst nun die linke Seite der Ungleichung als Funktion auffassen, und deren Nullstellen wie oben mit deinem GTR berechnen.
Damit ergibt sich folgende Einschränkung für p:
0,066p0,076
Wesentlich ist dabei nur p0,076, da negative Wahrscheinlichkeiten keinen Sinn ergeben. Diese Ungleichung kannst du wiederum umformen, um eine Aussage über p0=1p zu erhalten:
p0,076(1)p0,076+11p0,924
Der Athlet muss eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens 92,4% erreichen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens vier von fünf Schüssen zu treffen.
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