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Wahlteil B2

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Aufgabe 2.1

a)
  Schnittpunkt bestimmen
Du hast hier folgendes gegeben:
Die Gerade g4 mit der Gleichung g4:x=(511)+t(410) und die Ebene E mit der Ebenengleichung in Koordinatenform E:3x1+6x2+4x3=16.
Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:
  1. Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab
  2. Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach t auf
  3. Setze den berechneten Wert für t in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes
  Orthogonale Gerade bestimmen
Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen. Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt, wenn also folgende Gleichung gilt:
(x1x2x3)(y1y2y3)=x1y1+x2y2+x3y3=0
(x1x2x3)(y1y2y3) =x1y1+x2y2+x3y3=0
Du kannst nun in diese Gleichung die Richtungsvektoren der Geraden g4 und der Geraden ga einsetzen. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von a. Löst du diese Gleichung, so hast du die Werte für a, für welche die Geraden ga orthogonal zu g4 sind.
b)
  Schnittwinkel berechnen
Den Schnittwinkel α zwischen einer Gerade g und einer Ebene E lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
sin?(α)=|rn||r||n|
sin?(α)=|rn||r||n|
Dabei ist r ein Richtungsvektor von g und n ein Normalenvektor von E, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Einen solchen kannst du aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen. Den Betrag eines Vektors x kannst du über folgende Formel berechnen:
|(x1x2x3)|=x12+x22+x32
|(x1x2x3)|=x12+x22+x32
  Wert für a bestimmen
Nun sollst du alle Werte für a bestimmen, für die ga und E den Schnittwinkel 10 haben, dabei sollen aber nur Werte zwischen 10 und 10 betrachtet werden. Du kannst dazu die Formel von oben verwenden und dort wieder den Normalenvektor von E zusammen mit dem Richtungsvektor der Geradenschar einsetzen. Setzt du für α=10 ein, so erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von a, die du lösen kannst. Setze also nun n=(364) und ra=(a10) und α=10 in die Gleichung zur Winkelberechnung ein und forme soweit um, bis du ein Nullstellenproblem einer Funktion f(a) erhältst. Dieses kannst du dann mit deinem GTR lösen.
c)
  Lage der Geraden begründen
Du sollst nun begründen, dass alle Geraden ga in der Ebene F mit der Gleichung F:x3=1 liegen. Überlege dir dazu, zunächst was an der Ebene F besonders ist und betrachte dann die entsprechenden Koordinaten in der Geradengleichung.
  Geradengleichung bestimmen
Du sollst nun eine Gleichung der Geraden h finden. Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:
g:x=OP+tr
Dabei ist OP der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und r ein Richtungsvektor. Ein Punkt, der auf h liegen soll, ist in der Aufgabenstellung mit P(511) gegeben. Nun ist noch ein Richtungsvektor gesucht. Beachte dabei, dass die x3-Koordinate erhalten bleiben soll und der Richtungsvektor nicht linear abhängig zum Richtungsvektor von ga sein darf.
Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: tx=y, für ein tR.

Aufgabe B 2.2

a)
  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft. Wir betrachten dazu die Zufallsvariable X, die die Anzahl an Treffern des Athleten in fünf Schüssen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern n=5 und p=0,88 angenommen werden, da die Schüsse unabhängig voneinander sind, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss gleich ist und es nur die beiden möglichen Ergebnisse „ trifft“ oder „trifft nicht“ bei jedem Schuss gibt.
Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit:
P(X=4)
b)
  Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen
Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:
P(„Höchstens 1 Strafrunde “)=P(„Im ersten Durchgang ein Fehlschuss “)P(„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss “)+P(„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss “)P(„Im zweiten Durchgang ein Fehlschuss “)+P(„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss “)P(„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss “)
P(„Höchstens 1 Strafrunde “)=
Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein.
c)
  Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit im Durchgang, in dem stehend geschossen wird, mindestens viermal zu treffen soll mindestens 95% betragen. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür höchstens einmal nicht zu treffen.
Betrachten wir hier nun die neue Zufallsvariable W, die die Anzahl der Fehlschüsse im stehenden Durchgang beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem p. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann zu p0=1p.
Es soll also gelten:
P(W1)0,95
Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von p. Löse diese nach p auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:
P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
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