Pflichtteil - 2016 (Baden-Württemberg, Abitur, GTR) - Lösungen - SchulLV.de
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Pflichtteil

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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Gesucht ist die erste Ableitungsfunktion von $f(x)=(5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right)$. Hierbei handelt es sich um ein Produkt zweier Funktionsterme. $(5x+1)$ und $\sin\left(x^2\right)$, wobei $\sin\left(x^2\right)$ eine Verkettung ist. Hierfür benötigst du also sowohl die Ketten- als auch die Produktregel.
$\begin{array}{rll} f(x)&=& (5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right)\\ f'(x)&=&5 \cdot \sin\left(x^2\right)+(5x+1) \cdot 2x \cdot \cos\left(x^2\right) \end{array}$
$ f(x)= (5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right) $
$\begin{array}{rll} f(x)&=& (5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right)\\ f'(x)&=&5 \cdot \sin\left(x^2\right)+(5x+1) \cdot 2x \cdot \cos\left(x^2\right) \end{array}$
#sinusfunktion#ableitung

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Stammfunktion berechnen
Um diejenige Stammfunktion $F$ von $f$ mit $F(3)=1$ zu berechnen, berechnest du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstanten $C$. Danach musst du $F(3)=1$ in die allgemeine Stammfunktion einsetzen und den unbekannten Parameter $C$ berechnen.
1. Schritt: Allgemeine Stammfunktion berechnen
Da es sich bei $(2x-4)^3$ um eine Verkettung handelt, kannst du lineare Substitution anwenden, um eine Stammfunktion zu bilden.
Um die allgemeine Stammfunktion der gegebenen Funktion zu bilden, kannst du diese zunächst als Produkt schreiben.
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\dfrac{48} {\left(2x-4\right)^3}\\[5pt] f(x)&=& 48\cdot(2x-4)^{-3}\\[5pt] F(x)&=&48\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(2x-4)^{-2}\cdot\dfrac{1}{2} + C\\[5pt] &=&-12 \cdot (2x-4)^{-2} +C\\[5pt] &=&-\dfrac{12}{(2x-4)^{2}}+C \end{array}$
$F(x)=-\dfrac{12}{(2x-4)^{2}}+C$
2. Schritt: Parameter $C$ berechnen
$\begin{array}{rll} F(3)&=&1\\[5pt] \dfrac{-12}{(2\cdot 3-4)^{2}}+C&=&1\\[5pt] \dfrac{-12}{(2)^{2}}+C&=&1\\[5pt] -3+C&=&1 &\quad\mid\; +3\\[5pt] C&=&+4\\[5pt] \end{array}$
$F(3)=1$
Somit lautet die Stammfunktion $F=-\dfrac{12}{(2x-4)^{2}}+4$.
#stammfunktion

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Bei dem Lösen der Gleichung $3-\mathrm{e}^x =\dfrac{2}{\mathrm{e}^x}$ musst du $\mathrm{e}^x$ substituieren, um anschließend eine quadratische Gleichung lösen zu können. Danach musst du resubstituieren und mit Hilfe des natürlichen Logarithmus $\ln$ die Lösungen für $x$ zu erhalten:
$\begin{array}{rlllll} 3-\mathrm{e}^x&=&\dfrac{2}{\mathrm{e}^x} & \text{Substitution: } \mathrm{e}^x=u\\ 3-u&=&\dfrac{2}{u} & \mid\; \cdot u\\ 3\cdot u -u^{2}&=&2 &\mid\; +u^2 \quad \mid\; -3u\\ u^2 -3u +2&=&0& \\ \end{array}$
$ 3-\mathrm{e}^x=\dfrac{2}{\mathrm{e}^x} $
pq-Formel:
$ x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
$ x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
Dabei gilt: $p=-3$ und $q=+2$
$\begin{array}{rll} u_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt] u_{1,2}&=&-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(+2)}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[5pt] u_{1,2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\[5pt] u_1&=&2\\[5pt] u_2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du resubstituieren. Dazu setzt du die Werte für $u_1$ und $u_2$ in die Gleichung $u=e^x$ ein.
$\begin{array}{rll} u_1&=&\mathrm{e}^{x_1}\\ 2&=&\mathrm{e}^{x_1}& \mid\; \ln()\\ x_1&=& \ln(2)\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} u_2&=&\mathrm{e}^{x_2}\\ 1&=&\mathrm{e}^{x_2}& \mid\; \ln()\\ x_2&=& \ln(1)=&0\\ \end{array}$
Die Gleichung hat die Lösungen $x_1=\ln(2)$ und $x_2=0$. Die Lösungsmenge lautet also: $\mathbb{L}=\{\ln(2),0\}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Tangente an dem Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass $y=x-\dfrac{4}{3}$ eine Gleichung der Tangente an dem Wendepunkt von $f$ ist. Bestimme zuerst die Koordinaten des Wendepunktes wie folgt:
  1. Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von $f$
  2. Notwendiges Kriterium
  3. Hinreichendes Kriterium
  4. Setze nun den Wert $x_1$ des Wendepunktes in den Funktionsterm von $f$ ein
1. Schritt: Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von $f$
Die Funktion $f$ kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\dfrac{1}{6}x^3+x^2-x \\[5pt] f'(x)&=& -\dfrac{1}{2}x^2+2x-1 \\[5pt] f''(x)&=& -x +2\\[5pt] f'''(x)&=& -1\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0\\[5pt] -x_1+2&=& 0 \\[5pt] x_1&=& 2 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
$f'''(x)= -1\quad \neq0$
4. Schritt: Setze nun den Wert $x_1$ in den Funktionsterm von $f$ ein
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\dfrac{1}{6}x^3+x^2-x \\[5pt] f(2)&=& -\dfrac{1}{6}2^3+2^2-2 \\[5pt] f(2)&=& \dfrac{2}{3} \end{array}$
Der Graph von f hat damit einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)$.
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. Im Berührpunkt ist die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Kurve. Überprüfe die Tangente auf folgendes:
  1. Überprüfe, ob der Wendepunkt auf der Tangenten liegt, mittels einer Punktprobe
  2. Weise nach, dass die Steigung der Funktion $f$ an dem Wendepunkt mit der Steigung der Tangenten übereinstimmt
1. Schritt: Überprüfe, ob der Wendepunkt auf der Tangenten liegt, mittels einer Punktprobe.
Setze also den Punkt $W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)$ in die gegebene Tangentengleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x-\dfrac{4}{3} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=& 2-\dfrac{4}{3} \\[5pt] \end{array}$
Somit liegt der Wendepunkt auf der Tangente.
2. Schritt: Weise nach, dass die Steigung der Funktion $f$ mit der Steigung der Tangenten übereinstimmt
$\begin{array}[t]{rll} f'(2)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 2^2+2\cdot2-1 \\[5pt] &=& -2+4-1 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Funktion am Wendepunkt eine Steigung von $1$. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet:
$y=mx+b$
$y=mx+b$
Somit besitzt die Tangente mit der Funktionsgleichung $y=x-\dfrac{4}{3}$ die Steigung $m=1$, also ist $y=x-\dfrac{4}{3}$ die Tangente im Wendepunkt $W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)$.
#wendepunkt#tangente

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die Funktion $f$ die erste Ableitung von $F$ ist und beschreibt daher die Steigung des Graphen von $F$.
1.
$f(1)=F(1)$
Der Graph der Funktion $F$ besitzt an der Stelle $x=1$ einen Tiefpunkt, das bedeutet, dass die Steigung an der Stelle $0$ ist. Da die Funktion $f$ die Ableitungsfunktion von $F$ beschreibt weißt du somit, dass $f(1)=0$ gelten muss. Nun kannst du dir den Graph von $F$ anschauen, dort kannst du ablesen, dass der Graph an der Stelle $x=1$ auch den Funktionswert $0$ besitzt.
Die erste Aussage ist wahr.
2.
$\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm dx =4$
Das Integral kannst du mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnen.
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)$
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)$
Die Werte für $F(2)$ und $F(0)$ kannst du nun aus dem Graphen ablesen. Somit gilt:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}\mathrm f(x)dx&=&F(2)-F(0)\\ &=&4-2 \\ &=&2\\ \end{array}$
Die zweite Aussage ist somit falsch.
3.
$f'$ besitzt im Bereich $-1 \leq x \leq 1$ eine Nullstelle.
$f'$ entspricht der zweiten Ableitung von $F$. Da der Graph von $F$ an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt besitzt, muss die zweite Ableitung, also $f'(0)=0$ sein. Deshalb besitzt $f'$ an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle.
Die dritte Aussage ist richtig.
4.
$f(F(-2))>0$
Du kannst an der Abbildung ablesen, dass $F(-2)=0$ gilt. Nun musst du schauen, wie sich die Steigung von $F$ an der Stelle $x=0$ verhält. Da die Steigung bei $x=0$ negativ ist, ist sie auf jeden fall kleiner als $0$.
Die vierte Aussage ist falsch.
#nullstelle

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Untersuche, ob es einen Punkt auf $g$ gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind
Das heißt ein Punkt der Form $\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}$ muss auf $g$ liegen. Um diesen zu bestimmen musst du eine Punktprobe mit dem gesuchten Punkt auf der Geraden $g$ durchführen.
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Punktprobe:
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Nun erhälst du drei Gleichungen und kannst diesew drei Gleichungen nach den Unbekannten auflösen. Du siehst, dass du drei Gleichungen, aber nur zwei Variablen gegeben hast. Zum Lösen eines linearen Gleichungsystems mit zwei Variablen brauchst du auch nur zwei Gleichungen. Versuche daher das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen zu lösen und setzte zur Überprüfung dein Ergebnis in die dritte Gleichung ein.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& a &=& 3&+& t& \quad \\ \text{II}\quad& a&=& 0&+& 4t& \quad\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}- \text{I}\\ \text{III}\quad& a&=& 1&+& 3t&\quad\\ \hline \text{I}\quad& a &=& 3&+& t& \quad \\ \text{II}'\quad& 0&=& -3&+& 3t& \quad\\ \text{III}\quad& a&=& 1&+& 3t&\quad\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad& a &=& 3&+& t& \quad \\ \text{II}\quad& a&=& 0&+& 4t& \quad\\ \text{III}\quad& a&=& 1&+& 3t&\quad\\ \end{array} $
Auflösen von Gleichung $\boldsymbol{(\text{II})'}$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -3 +3t &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 3t&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] t&=& 1\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in Gleichung $\boldsymbol{(\textbf{I})}$:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 3+t &\quad \scriptsize \mid\; t=1\\[5pt] a&=& 4 \end{array}$
Um zu überprüfen, ob $t=1$ und $a=4$ tatsächlich die Lösung des Gleichungssystems ist, setzt du die Werte in die Gleichung $(\text{III})$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1+3\cdot t \\[5pt] 4&=& 4 \end{array}$
Somit ergeben sich für den gesuchten Punkt die Koordinaten $\quad \begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$.
b)
$\blacktriangleright$ Bestimme eine Gleichung von h
Bestimme eine Gleichung von $h$, sodass h durch den Punkt $Q(8\mid 5 \mid 10)$ verläuft und $g$ orthogonal schneidet. Für eine Geradengleichung benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Als Stützvektor kannst du den Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden wählen. Den Richtungsvektor, kannst du über die Orthogonalitätsvoraussetzung bestimmen. Die Gerade besitzt somit den Stützvektor $\overrightarrow{OQ}$, da die Gerade durch den Punkt $Q$ verläuft. Den Richtungsvektor der Geraden kannst du mit Hilfe der Verschiebung des Stützvektors zum Schnittpunkt der Geraden bestimmen. Den Schnittpunkt der Geraden kannst du hierbei beispielsweise mit $R$ bezeichnen. Dadurch ergibt sich für den Verschiebungsvektor der Gerade $h$ der Vektor $\overrightarrow{QR}$. Also den Verschiebungsvektor vom Ortsvekor von $Q$ zum Schnittpunkt mit der Geraden $g$.
Die allgemeine Geradengleichung für $h$ lautet somit:
$h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OQ} + s \cdot \overrightarrow{QR}$
Da du außerdem weißt, dass der Ortsvektor zum Schnittpunkt $R$ auf der bereits bekannten Geraden $g$ liegt, kannst du den Ortsvektor $\overrightarrow{OR}$ auch folgendermaßen beschreiben:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{OR}&=&\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OR}&=&\begin{pmatrix}3+r\\4r\\1+3r\end{pmatrix} \end{array}$
Zudem ist gegeben, dass der Verschiebungsvektor $\overrightarrow{QR}$ von $h$ senkrecht auf dem Verschiebungsvektor von $g$ liegen muss, da sich die beiden Geraden orthogonal schneiden. Deshalb gilt:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{QR} \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] \left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\right) \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] \left(\begin{pmatrix}3+r\\4r\\1+3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}r-5\\4r-5\\3r-9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] (r-5)+(4r-5)\cdot 4 + (3r-9) \cdot 3&=&0\\[5pt] r-5+16r-20 + 9r-27&=&0\\[5pt] 26r-52&=&0\\[5pt] r&=&2\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{QR} \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} =0$
Nun kannst du $r$ in die Geradengleichung von $g$ einsetzen und den Ortsvektor von $R$ berechnen.
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{OR} &=& \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OR} &=& \begin{pmatrix}5\\8\\7\end{pmatrix} \end{array}$
Für die Geradengleichung von $h$ folgt somit:
$\begin{array}{rll} h:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OQ} + s \cdot \left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\right)\\[5pt] h:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix} + s \cdot \left(\begin{pmatrix}5\\8\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix}\right)\\[5pt] h:\overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$ h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix} $
#geradengleichung

Aufgabe 7

In dieser Aufgabe hast du eine Ebene in Koordinatenform gegeben und sollst zuerst die parallelen Ebenen zur gegebenen Ebene $E$ bestimmen.
Anschließend musst du die zwei Ebenen bestimmen, welche einen Abstand von $2$ zum Ursprung haben.
Den Abstand einer Ebene in Koordinatenform berechnest du mithilfe des Normalenvekors $\overrightarrow{n}$, welcher durch die Koordinatenform gegeben ist. Der Normalenvektor lautet:
$\overrightarrow{n}= \begin{pmatrix}4\\4\\7\end{pmatrix}$
Den Abstand $s$ zum Ursprung berechnest du nun mithilfe des Betrags des Vektors $\overrightarrow{n}$ und dem Parameter $d$. Die Formel für den Abstand lautet somit:
$s=\dfrac{\vert d \vert}{\vert\overrightarrow{n} \vert}$
$s=\dfrac{\vert d \vert}{\vert\overrightarrow{n} \vert}$
Die gegebene Ebene $E$ lautet:
$E:4x_1+4x_2+7x_3=28$
Zuerst musst du nun also die zu $E$ parallelen Ebenen bestimmen. Diese Ebenen besitzen die gleiche Neigung im Raum. Deshalb bleibt der Normalenvektor identisch. Es verändert sich nur die Verschiebung der Ebenen im Raum, welche du hier mit dem Parameter $d$ angeben kannst. Die zu $E$ parallelen Ebenen lauten somit:
$E_d:4x_1+4x_2+7x_3=d$
Nun musst du die zwei Ebenen bestimmen, welche einen Abstand von $2$ zum Ursprung haben.
Dazu musst du die Formel für den Abstand vom Koordinatenursprung nach dem gesuchten Parameter $d$ umstellen, den Betrag des Vektors $\overrightarrow{n}$ einsetzen und den gesuchten Parameter $d$ bestimmen.
$\begin{array}{rll} s &=& \dfrac{\vert d \vert}{\vert\overrightarrow{n}\vert} &\quad \mid \cdot \vert\overrightarrow{n}\vert \\[5pt] \vert d \vert &=& s \cdot \vert\overrightarrow{n}\vert \\[5pt] \vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{4^2+4^2+7^2} \\[5pt] \vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{4^2+4^2+7^2} \\[5pt] \vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{81} \\[5pt] \vert d \vert &=& 18 \\[5pt] d_1 &=& 18 \\[5pt] d_2 &=& -18 \\[5pt] \end{array}$
Somit lauten die zwei Geradengleichungen:
$E_1: 4x_1+4x_2+7x_3 = 18$ und $E_2: 4x_1+4x_2+7x_3 = -18$
#ebenengleichung

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Bestimme zwei Ereignisse, bei denen die Wahrscheinlichkeit $0,7$ beträgt
Da das Glücksrad nur einmal gedreht wird, musst du betrachten, welche Wahrscheinlichkeiten addiert genau $0,7$ ergeben.
1. Ereignis: Das Glücksrad zeigt nach einmaligem Drehen auf die Zahl $1$ oder $3$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf die Zahl $1$ zeigt, liegt bei $0,4$. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf die Zahl $3$ zeigt liegt bei $0,3$. Deshalb liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad auf $1$ oder $3$ zeigt bei $0,4+0,3=0,7$.
2. Ereignis: Das Glücksrad zeigt nach einmaligem Drehen nicht auf die Zahl $3$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf die Zahl $3$ zeigt, liegt bei $0,3$. Somit kannst du das Gegenereignis betrachten, also, dass das Glücksrad nicht auf die Zahl $3$ zeigt. Hierbei liegt die Wahrscheinlichkeit bei $1-0,3=0,7$.
b)
$\blacktriangleright$ Verändere die Wahrscheinlichkeiten, sodass das Spiel fair ist
Fair nennt man ein Spiel, wenn der Erwartungswert $E(X)$ gleich $0$ ist. Somit ist der zu erwartende Gewinn des Spielers und des Spieleanbieters gleich $0$.
Den Erwartungswert berechnest du, indem du alle Werte $x_i$ der Zufallsgröße $X$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multiplizierst und anschließend addierst. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+…+x_n\cdot P(X=x_n)$
$$ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+ $$ $$…$$
Der Einsatz für das Spiel beträgt $2,50 €$ und die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in $€$ an.
Wähle nun, aus welcher Sicht du den Erwartungsswert berechnen möchtest. Eine Möglichkeit ist, dass du den Erwartungswert aus Sicht der Spieler berechnest. Das bedeutet, dass du den jeweiligen ausgezahlten Betrag noch von dem Einsatz subtrahieren musst, damit du letztendlich den insgesamt erwartenden Betrag eines Spielers berechnen kannst.
Die andere Möglichkeit ist, dass du den Erwartungswert aus Sicht des Spieleanbieters angibst. Somit erhält der Spieleanbieter pro Spiel zunächst $2,50€$ Gewinn, bis er dann den jeweiligen angezeigten Betrag auszahlen muss.
In dieser Aufgabe macht es keinen Unterschied aus welcher Sicht du den Erwartungswert berechnest, da das Spiel fair sein soll, somit also die Spieler und der Spieleanbieter nach mehreren Spielen keinen Gewinn oder Verlust einstreichen.
Wähle für die unbekannten Wahrscheinlichkeiten nun $2$ beliebige Variablen. Bezeichne beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für die Zahl $1$ mit $p$ und die Wahrscheinlichkeit für die Zahl $2$ mit $q$.
Da die gesamte Wahrscheinlichkeit immer $1$ bleiben muss, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für die Zahl $2$ auch durch $p$ angeben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=x_1) +P(X=x_2)+P(X=x_3)+P(X=x_4)&=& 1 \\[5pt] 1 -P(X=x_1) -P(X=x_3) -P(X=x_4)&=& P(X=x_2)\\[5pt] 1- p - 0,3 -0,2&=& q \\[5pt] 0,5- p&=& q\\[5pt] \end{array}$
$0,5- p= q$
Aus der Sicht der Spieler berechnet sich der Erwartungswert nun wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 0 \\[5pt] E(X)&=& x_1\cdot P(X=x_1)+ x_2\cdot P(X=x_2)+ x_3\cdot P(X=x_3)+ x_4\cdot P(X=x_4) \\[5pt] E(X)&=& x_1\cdot p+ x_2\cdot (0,5-p)+ x_3\cdot P(X=x_3)+ x_4\cdot P(X=x_4) \\[5pt] E(X)&=& x_1\cdot p+ x_2\cdot 0,5 -x_2\cdot p + x_3\cdot P(X=x_3)+ x_4\cdot P(X=x_4) \\[5pt] E(X)&=& p \cdot (x_1-x_2) + x_2\cdot 0,5 + x_3\cdot P(X=x_3)+ x_4\cdot P(X=x_4)\\[5pt] -p \cdot (x_1-x_2)&=& -E(X) + x_2\cdot 0,5 + x_3\cdot P(X=x_3)+ x_4\cdot P(X=x_4) \\[5pt] p&=& \dfrac {E(X) - x_2\cdot 0,5 - x_3\cdot P(X=x_3)- x_4\cdot P(X=x_4)} {(x_1-x_2)} \\[5pt] p&=& \dfrac {0 - (2€-2,50€) \cdot 0,5 - (3€-2,50€)\cdot 0,3 - (4€-2,50€)\cdot 0,2} {((1€-2,50€)-(2€-2,50€))} \\[5pt] p&=& \dfrac { (0,50€) \cdot 0,5 - (0,50€)\cdot 0,3 - (1,50€)\cdot 0,2} {(-1,00€)} \\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] \end{array}$
Für die Wahrscheinlichkeit für die zweite Zahl gilt nun:
$\begin{array}[t]{rll} q &=& 0,5 -p \\[5pt] &=& 0,5 -0,2 \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] \end{array}$
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Beschreibe den Lösungsweg
Du hast von zwei Kugeln $K_1$ und $K_2$ die Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ sowie die Radien $r_1$ und $r_2$ gegeben. Du weißt außerdem, dass sich die Kugeln im Punkt $B(x\mid y\mid z)$ berühren. Beschreibe nun ein Verfahren, mit dem man für alle Kugeln $B$ bestimmen kann.
1.
Bestimmung des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$
Bestimme zuerst den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ zwischen den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$. Berechne also die Verschiebung $v$ wiefolgt:
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{M_1M_2}$
2.
Einheitsvektor des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$ bestimmen
Bestimme den Einheitsvektor $\overrightarrow{v_0}$ des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$. Den Einheitsvektor $\overrightarrow{v_0}$ kannst du berechnen, indem du den Vektor $\overrightarrow{v}$ durch den Betrag von $\overrightarrow{v}$ teilst.
$\overrightarrow{v_0}=\dfrac{\overrightarrow{v}}{\vert\overrightarrow{v}\vert}$
3.
Ortsvektor vom Punkt $B$ als Gerade darstellen
Nun kannst du den Ortsvektor des Punktes $B$ als Gerade in Abhängigkeit des Radius $r_1$ darstellen. Hierfür musst du eine Geradengleichung aufstellen. Als Ortsvektor der Geradengleichung kannst du den Ortsvektor des Mittelpunktes $M_1$ wählen. Von diesem Punkt aus musst du nun um zum Punkt $B$ zu gelangen, die Länge $r_1$ in Richtung des Einheitsvektors $\overrightarrow{v_0}$ verschieben. Somit lässt sich der Punkt $B$ wie folgt darstellen:
$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1} + r_1 \cdot \overrightarrow{v_0}$
#kugel
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