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Aufgabe 1

Ableitung bilden
Gesucht ist die erste Ableitungsfunktion von f(x)=(5x+1)sin?(x2). Hierbei handelt es sich um ein Produkt zweier Funktionsterme. (5x+1) und sin?(x2), wobei sin?(x2) eine Verkettung ist. Hierfür benötigst du also sowohl die Ketten- als auch die Produktregel.

Aufgabe 2

Stammfunktion berechnen
Um diejenige Stammfunktion F von f mit F(3)=1 zu berechnen, berechnest du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstanten C. Danach musst du F(3)=1 in die allgemeine Stammfunktion einsetzen und den unbekannten Parameter C berechnen.

Aufgabe 3

Gleichung lösen
Bei dem Lösen der Gleichung 3ex=2ex musst du ex substituieren, um anschließend eine quadratische Gleichung lösen zu können. Danach musst du resubstituieren und mit Hilfe des natürlichen Logarithmus ln die Lösungen für x zu erhalten:

Aufgabe 4

  Tangente an dem Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass y=x43 eine Gleichung der Tangente an dem Wendepunkt von f ist. Bestimme zuerst die Koordinaten des Wendepunktes wie folgt:
  1. Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von f
  2. Notwendiges Kriterium
  3. Hinreichendes Kriterium
  4. Setze nun den Wert x1 des Wendepunktes in den Funktionsterm von f ein
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. Im Berührpunkt ist die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Kurve. Überprüfe die Tangente auf folgendes:
  1. Überprüfe, ob der Wendepunkt auf der Tangenten liegt, mittels einer Punktprobe
  2. Weise nach, dass die Steigung der Funktion f an dem Wendepunkt mit der Steigung der Tangenten übereinstimmt

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die Funktion f die erste Ableitung von F ist und beschreibt daher die Steigung des Graphen von F.

Aufgabe 6

a)
Untersuche, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind
Das heißt ein Punkt der Form (aaa) muss auf g liegen. Um diesen zu bestimmen musst du eine Punktprobe mit dem gesuchten Punkt auf der Geraden g durchführen.
b)
Bestimme eine Gleichung von h
Bestimme eine Gleichung von h, sodass h durch den Punkt Q(8510) verläuft und g orthogonal schneidet. Für eine Geradengleichung benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Als Stützvektor kannst du den Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden wählen. Den Richtungsvektor, kannst du über die Orthogonalitätsvoraussetzung bestimmen. Die Gerade besitzt somit den Stützvektor OQ, da die Gerade durch den Punkt Q verläuft. Den Richtungsvektor der Geraden kannst du mit Hilfe der Verschiebung des Stützvektors zum Schnittpunkt der Geraden bestimmen. Den Schnittpunkt der Geraden kannst du hierbei beispielsweise mit R bezeichnen. Dadurch ergibt sich für den Verschiebungsvektor der Gerade h der Vektor QR. Also den Verschiebungsvektor vom Ortsvekor von Q zum Schnittpunkt mit der Geraden g.
Die allgemeine Geradengleichung für h lautet somit:
h:x=OQ+sQR

Aufgabe 7

In dieser Aufgabe hast du eine Ebene in Koordinatenform gegeben und sollst zuerst die parallelen Ebenen zur gegebenen Ebene E bestimmen.
Anschließend musst du die zwei Ebenen bestimmen, welche einen Abstand von 2 zum Ursprung haben.
Den Abstand einer Ebene in Koordinatenform berechnest du mithilfe des Normalenvekors n, welcher durch die Koordinatenform gegeben ist. Der Normalenvektor lautet:
n=(447)
Den Abstand s zum Ursprung berechnest du nun mithilfe des Betrags des Vektors n und dem Parameter d. Die Formel für den Abstand lautet somit:
s=|d||n|
s=|d||n|
Die gegebene Ebene E lautet:
E:4x1+4x2+7x3=28
Zuerst musst du nun also die zu E parallelen Ebenen bestimmen. Diese Ebenen besitzen die gleiche Neigung im Raum. Deshalb bleibt der Normalenvektor identisch. Es verändert sich nur die Verschiebung der Ebenen im Raum, welche du hier mit dem Parameter d angeben kannst.

Aufgabe 8

a)
Bestimme zwei Ereignisse, bei denen die Wahrscheinlichkeit 0,7 beträgt
Da das Glücksrad nur einmal gedreht wird, musst du betrachten, welche Wahrscheinlichkeiten addiert genau 0,7 ergeben.
b)
Verändere die Wahrscheinlichkeiten, sodass das Spiel fair ist
Fair nennt man ein Spiel, wenn der Erwartungswert E(X) gleich 0 ist. Somit ist der zu erwartende Gewinn des Spielers und des Spieleanbieters gleich 0.
Den Erwartungswert berechnest du, indem du alle Werte xi der Zufallsgröße X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=xi) multiplizierst und anschließend addierst. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)++xnP(X=xn)
E(X)=x1P(X=x1)+
Der Einsatz für das Spiel beträgt 2,50 und die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in an.
Wähle nun, aus welcher Sicht du den Erwartungsswert berechnen möchtest. Eine Möglichkeit ist, dass du den Erwartungswert aus Sicht der Spieler berechnest. Das bedeutet, dass du den jeweiligen ausgezahlten Betrag noch von dem Einsatz subtrahieren musst, damit du letztendlich den insgesamt erwartenden Betrag eines Spielers berechnen kannst.
Die andere Möglichkeit ist, dass du den Erwartungswert aus Sicht des Spieleanbieters angibst. Somit erhält der Spieleanbieter pro Spiel zunächst 2,50 Gewinn, bis er dann den jeweiligen angezeigten Betrag auszahlen muss.
In dieser Aufgabe macht es keinen Unterschied aus welcher Sicht du den Erwartungswert berechnest, da das Spiel fair sein soll, somit also die Spieler und der Spieleanbieter nach mehreren Spielen keinen Gewinn oder Verlust einstreichen.
Wähle für die unbekannten Wahrscheinlichkeiten nun 2 beliebige Variablen. Bezeichne beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 mit p und die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 2 mit q.

Aufgabe 9

Beschreibe den Lösungsweg
Du hast von zwei Kugeln K1 und K2 die Mittelpunkte M1 und M2 sowie die Radien r1 und r2 gegeben. Du weißt außerdem, dass sich die Kugeln im Punkt B(xyz) berühren. Beschreibe nun ein Verfahren, mit dem man für alle Kugeln B bestimmen kann. Gehe hierbei wie folgt vor:
1. Bestimmung des Verschiebungsvektors v
2. Einheitsvektor des Verscheibungsvektors v bestimmen
3. Ortsvektor vom Punkt B als Gerade darstellen
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BW, Gymnasium (G9)
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