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Wahlteil A1

Aufgaben
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Aufgabe A 1.1

a)
Berechne den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils.
Bestimme die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist.
Bestimme die Länge der Brücke.
Ermittle die durchschnittliche Steigung des Geländeprofils zwischen dem östlichen Ende der Brücke und dem höchsten Punkt des Profils.
(5 BE)
#steigung
b)
An einem Punkt der Brücke, der im Modell die Koordinaten $P(1\mid 5)$ hat, wird ein $30$ Meter langes Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt. Das untere Ende des Seils soll zu jedem Punkt des Geländeprofils einen Mindestabstand von $15$ Metern haben.
Untersuche, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird.
(3 BE)
c)
Eine Drohne steigt vertikal von einer Position auf, die durch den Punkt $D(2,5\mid f(2,5))$ dargestellt wird. Die Drohne verfügt über eine Kamera.
Ermittle, ab welcher Höhe über dem Gelände die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen kann, der durch den Punkt $P(1\mid 5)$ dargestellt wird.
(4 BE)
d)
Bei der Schneeschmelze füllt sich das Tal mit Wasser. Dabei entsteht ein See, der im Querschnitt $30$ Meter breit ist.
Berechne die durchschnittliche Tiefe des Sees.
(3,5 BE)

Aufgabe A 1.2

Für jede reelle Zahl $k$ ist eine Funktion $f_k$ mit $f_k(x)= k\cdot \mathrm e^{x}-2x\cdot \mathrm e^x$ gegeben.
#funktionenschar
a)
Weise nach, dass für jedes $k$ die Extremstelle von $f_k$ genau in der Mitte zwischen der Nullstelle und der Wendestelle von $f_k$ liegt.
(2,5 BE)
#extrempunkt#nullstelle
b)
Zeige ohne Verwendung des CAS, dass $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k$ ist.
(2 BE)
#stammfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe A 1.1Wahlteil A1

a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Du kannst den fMin bzw. fMax-Befehl deines CAS verwenden um den höchsten und tiefsten Punkt des Profils zu bestimmen.
1. Schritt: Höchsten und tiefsten Punkt des Profils bestimmen
$\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du die Stelle $x\in[0;3,8],$ an der der Funktionswert von $f$ am kleinsten bzw. größten ist.
$\text{fMin(f(x),x,0,3.8)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(f(x),x,0,3.8)}$
$\text{fMin(f(x),x,0,3.8)}$ bzw. $\text{fMax(f(x),x,0,3.8)}$
$x_{\text{min}} \approx 0,654104$
$x_{\text{max}} \approx 2,55235$
Die zugehörigen Funktionswerte lassen sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{lll} f(0,654104)&\approx& 3,85 \\[5pt] f(2,55235)&\approx& 6,85 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du den kleinsten bzw. größten Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{min}}$ bzw. $x_{\text{max}}$.
$\text{fMin(f(x),x,0,3.8)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(f(x),x,0,3.8)}$
$\text{fMin(f(x),x,0,3.8)}$ bzw. $\text{fMax(f(x),x,0,3.8)}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x_{\text{min}})&\approx& 3,85\\[5pt] f(x_{\text{max}})&\approx& 6,85 \end{array}$
2. Schritt: Höhenunterschied berechnen
Die Differenz ist dann:
$6,85 - 3,85 = 3,00$
Der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils beträgt ca. $300\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Steilste Stelle des Geländes bestimmen
Gesucht ist die Stelle $x_1$ mit der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $f.$ Da diese durch $f'$ beschrieben wird, ist also die Stelle im betrachteten Intervall gesucht, an der $\left| f'(x)\right|$ maximal wird. Wie oben ergibt sich mit dem fMax-Befehl des CAS:
$x_1 = 0 $
Das Gelände ist an der Stelle am steilsten, die im Modell durch $x_1=0$ beschrieben wird.
$\blacktriangleright$  Länge der Brücke bestimmen
Die Brücke befindet sich in einer Höhe von $500$ Metern. Die Endpunkte sind im Modell also die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Geraden $y= 5.$ Gesucht sind also die Stellen $x$ mit $f(x)=5.$ Verwende den solve-Befehl deines CAS.
$\text{solve(f(x)=0,x)}$
$\text{solve(f(x)=0,x)}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 5 \\[5pt] x_2&\approx& 0,16 \\[5pt] x_3&\approx& 1,36 \\[5pt] \end{array}$
Die Differenz ist $1,36-0,16 = 1,2.$ Die Brücke ist also ca. $120\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung ermitteln
Aus den vorherigen Aufgabenteilen weißt du, dass das östliche Ende der Brücke im Modell im Punkt $E(1,36\mid 5)$ und der höchste Punkt des Profils im Modell im Punkt $H(2,55\mid 6,85)$ liegt. Mit dem Differenzenquotienten ergibt sich die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6,85 - 5}{2,55-1,36}&\approx& 1,55 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung zwischen östlichem Brückenende und dem höchsten Punkt des Profils beträgt ca. $1,55.$
#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Mindestabstand überprüfen
Da sich das eine Ende des Seils im Punkt $P(1\mid 5)$ befindet, befindet sich das untere Ende des Seils im Punkt $P'(1\mid 4,7).$ Der Abstand des Punkts $P'$ zum Graphen von $f$ kann in Abhängigkeit von $x$ als Funktion $d$ dargestellt werden:
$d(x)= \sqrt{(4,7-f(x))^2 +(1-x)^2}$
$d(x)=$ $\sqrt{(4,7-f(x))^2 +(1-x)^2}$
Mit dem CAS kann nun wie zuvor mithilfe des fMin-Befehls das Minimum von $d$ bestimmt werden:
$x_{\text{min}} \approx 1,20$ und $d(x_{\text{min}}) \approx 0,22.$
Der minimale Abstand zwischen dem unteren Ende des Seils und dem Geländeprofil beträgt ca. $22\,\text{m}.$ Der Mindestabstand wird also eingehalten.
c)
$\blacktriangleright$  Benötigte Höhe der Drohne ermitteln
Die Blickrichtung der Drohnenkamera kann durch eine Gerade modelliert werden. Die Kamera kann ab dem Punkt den Punkt $P$ erfassen, wenn diese Gerade im Modell eine Tangente an den Graphen von $f$ ist, die gleichzeitig durch den Punkt $P$ verläuft.
Für eine Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(x_q\mid f(x_q))$ gilt nach der entsprechenden Formel:
$t:\quad y=f'(x_q)\cdot (x-x_q)+f(x_q)$
Diese soll durch den Punkt $P(1\mid 5)$ verlaufen. Mit dem solve-Befehl des CAS kann die Gleichung nach $x_q$ gelöst werden:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& f'(x_q)\cdot (1-x_q)+f(x_q) &\quad \mid \; CAS \\[5pt] x_{q_1} &\approx& 2,07 \\[5pt] x_{q_2}&\approx& 3,86 > 3,8 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{q_1} &\approx& 2,07 \\[5pt] x_{q_2}&\approx& 3,86 > 3,8 \end{array}$
Die zweite Lösung liegt nicht im betrachteten Bereich. Die benötigte Tangente liegt also an der Stelle $x_q\approx 2,07$ am Graphen von $f$ an. Die zugehörige Tangentengleichung ergibt sich mithilfe des CAS zu:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& f'(2,07)\cdot (x-2,07)+f(2,07) \\[5pt] &\approx& 1,41\cdot (x-2,07)+ 6,51 \\[5pt] &=& 1,41x + 3,59 \end{array}$
$ t:\, y= 1,41x + 3,59 $
Die Drohne bewegt sich entlang der Gerade $x=2,5.$
$t(2,5)\approx 7,12$
Die Höhe des Geländes ist an der Stelle:
$f(2,5)\approx 6,84$
Die Differenz beschreibt die Höhe der Drohne über dem Gelände:
$7,12-6,84 = 0,28$
Ab einer Höhe von ca. $28$ Metern über dem Gelände kann die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen.
#tangente
d)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Tiefe des Sees berechnen
Die Wasseroberfläche des Sees liegt im Modell auf einer Geraden mit der Gleichung $y=b.$
1. Schritt: Endpunkte der Wasseroberfläche bestimmen
Da der See $30$ Meter breit ist, liegt das westliche Ende der Wasseroberfläche im Modell in der Stelle $x_s$ mit $f(x_s) = f(x_s+0,3).$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt als einzige Lösung im angegebenen Intervall, da das westliche Ende des Sees westlich des Tiefpunkts des Geländeprofils liegen muss:
$x_s\approx 0,51$ und $f(x_s)\approx 3,93$
Die Wasseroberfläche des Sees liegt im Modell also auf der Geraden mit $y= 3,93$ im Intervall $[0,51\, ; \, 0,81].$
2. Schritt: Durchschnittliche Tiefe des Sees berechnen
Die Tiefe des Sees an der Stelle $x$ wird durch die Differenz $3,93-f(x)$ beschrieben. Der Durchschnitt dieser Differenz ergibt sich mithilfe eines Integrals, das du mit dem CAS berechnen kannst:
$\frac{1}{0,81-0,51}\displaystyle\int_{0,51}^{0,81}(3,93-f(x))\;\mathrm dx \approx 0,05$
$ …\approx 0,05 $
Der See ist durchschnittlich $5$ Meter tief.
#integral

Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$  Lage der Extremstelle nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=& 0 \\[5pt] k \cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] k-2x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt] k&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \frac{k}{2}&=& x \end{array}$
$ x=\frac{k}{2} $
Die Nullstelle von $f_k$ ist also $x_0 = \frac{k}{2}.$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 \\[5pt] k\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x -2\cdot \mathrm e^x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] k-2x-2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt] k-2&=& 2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \frac{k-2}{2}&=& x \end{array}$
$ x=\frac{k-2}{2} $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen ergibt sich für $f_k$ die Extremstelle $x_E= \frac{k-2}{2}.$
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x)&=& 0 \\[5pt] k\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x -4\cdot \mathrm e^x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] k-2x-4&=& &\quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt] k-4&=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \frac{k-4}{2}&=&x \end{array}$
$ x=\frac{k-4}{2} $
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen ergibt sich für $f_k$ die Wendestelle $x_W= \frac{k-4}{2}.$ Die Mitte zwischen Nullstelle und Wendestelle ist:
$\dfrac{\frac{k}{2}+\frac{k-4}{2}}{2} = \dfrac{k-2}{2} = x_E$
b)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Damit $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k$ ist, muss $f_{k+2}'(x)=f_k(x)$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} f_{k+2}&=& (k+2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] f_{k+2}'(x)&=& (k+2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x -2\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (k+2-2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& k\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x\\[5pt] &=& f_k(x) \end{array}$
$ f_{k+2}'(x) = … = f_k(x) $
Also ist $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k.$
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