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Wahlteil A1

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Aufgabe A 1.1

Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden.
Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion f mit
f(t)=6.000te0,5t;t0
(t in Monaten nach der Einführung, f(t) in Käufer pro Monat).
a)
Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet.
Gib die maximale momentane Änderungsrate an.
Bestimme den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als $4.000$ Käufer pro Monat ist.
Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt.
(4,5 P)
#änderungsrate
b)
Zeige, dass für t>2 die Funktion f streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt.
Interpretiere dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.
(4 P)
#monotonie
c)
Ermittle die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App.
Bestimme den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5.000 neue Käufer gibt.
(3,5 P)
d)
Bei einer anderen neuen App werden maximal $30.000$ Käufer erwartet.
In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt.
Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits $20.000$ Käufer.
Bestimme einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
(3 P)
#wachstum

Aufgabe A 1.2

Die Funktion g ist gegeben durch g(x)=x1x3;x0.
a)
Die Tangente an den Graphen von g im Punkt B verläuft durch P(00,5).
Bestimme die Koordinaten von B.
(2,5 P)
#tangente
b)
Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y=2x1 besitzt.
Ermittle die x-Koordinate dieses Punktes
(2,5 P)
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