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Aufgaben
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Aufgabe A 1.1

Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden.
Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} \, ; \, t\geq0$
($t$ in Monaten nach der Einführung, $f(t)$ in Käufer pro Monat).
a)
Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet.
Gib die maximale momentane Änderungsrate an.
Bestimme den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als $4.000$ Käufer pro Monat ist.
Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt.
(4,5 P)
#änderungsrate
b)
Zeige, dass für $t> 2$ die Funktion $f$ streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt.
Interpretiere dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.
(4 P)
#monotonie
c)
Ermittle die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App.
Bestimme den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es $5.000$ neue Käufer gibt.
(3,5 P)
d)
Bei einer anderen neuen App werden maximal $30.000$ Käufer erwartet.
In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt.
Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits $20.000$ Käufer.
Bestimme einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
(3 P)
#wachstum

Aufgabe A 1.2

Die Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=x-\dfrac{1}{x^3} \,; \, x \neq 0$.
a)
Die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $B$ verläuft durch $P(0 \mid -0,5)$.
Bestimme die Koordinaten von $B$.
(2,5 P)
#tangente
b)
Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von $g$, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung $y=2x-1$ besitzt.
Ermittle die $x$-Koordinate dieses Punktes
(2,5 P)
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Maximale momentane Änderungsrate angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale momentane Änderungsrate angeben. Du hast hierfür gegeben, dass die momentane Änderungsrate durch die Funktion $f$ mit $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ mit $t\geq0$ beschrieben wird. Somit sollst du das Maximum der Funktion $f$ bestimmen.
Dies kannst du mit deinem GTR tun.
Lass dir dazu den Graphen anzeigen.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum bestimmen, in dem die momentane Änderungsrate größer als $4.000$ Käufer ist. Hierzu kannst du die Funktion $y=4.000$ als Graphen in deinem Taschenrechner anzeigen lassen und die Schnittpunkte der Geraden $y$ und dem Graphen der Funktion $f$ bestimmen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
Du sollst die Zeitpunkte bestimmen, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. Somit sollst du die Extrempunkte der Ableitung untersuchen. Zeichne dazu die Ableitung als Graph in deinem GTR.
b)
$\blacktriangleright$  Monotonie zeigen
Du sollst zeigen, dass für $t> 2$ die Funktion $f$ streng monoton fallend ist. Die Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, falls für die Ableitungsfunktion $f'(t) < 0$ gilt. Bestimme somit zuerst die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$. Und zeige, dass $f'< 0$ ist für $t >2$.
$\blacktriangleright$  Positive Werte nachweisen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ für $t > 2$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion $f$ ist hierbei durch $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ gegeben. Betrachte somit die Funktionswerte, welche die Funktion annehmen kann.
$\blacktriangleright$  Nachweise interpretieren
Du sollst die zuvor gezeigten Nachweise in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen interpretieren. Du hast gezeigt, dass die Funktion $f$ für $t> 2$ streng monoton fallend ist und die Funktion $f$ nur positive Werte annimmt.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt ermitteln
Du sollst die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App ermitteln. Da die Funktion $f$ hierbei die momentane Änderungsrate der Käufer pro Monat angibt musst du die Fläche unter dem Graph der Funktion $f$ in den ersten sechs Monaten bestimmen. Hierzu musst du das Integral bestimmen in dem Bereich von $t=0$ bis $t=6$.
Lass dir dazu den Graphen anzeigen.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum von zwei Monaten bestimmen, in dem es $5.000$ neue Käufer gibt. Bezeichne beispielsweise den Beginn des Zeitraums mit der Unbekannten $a$. Du weißt hierbei erneut, dass das Integral der Funktion $f$ die Anzahl der Käufer beschreibt. Somit soll die folgende Gleichung gelten:
$\displaystyle\int_{a}^{a+2}f(t)\;\mathrm dt=5.000$
Löse die Gleichung mit dem Solve-Befehl.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Du sollst einen Funktionsterm bestimmen, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Hierfür hast du gegeben, dass bei einer anderen neuen App erwartet wird, dass es maximal $30.000$ Käufer gibt. Hierbei soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Außerdem hast du gegeben, dass es $6$ Monate nach Verkaufsbeginn bereits $20.000$ Käufer gibt.
Der allgemeine Funktionsterm für beschränktes Wachstum lautet:
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
Hierbei gibt $S$ die maximale Anzahl an Käufern an. $k$ beschreibt die Wachstumskonstante und $a$ einen Parameter. Durch die Bedingungen der Aufgabenstellung kannst du die unbekannten Parameter $a$, $S$ und $k$ bestimmen.

Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du sollst die Koordinaten von $B$ bestimmen. Du hast hierfür gegeben, dass die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $B$ durch den Punkt $P(0 \mid -0,5)$ verläuft. Die Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=x-\dfrac{1}{x^3}$ mit $x\neq 0$. Die allgemeine Tangentengleichung an dem Punkt $B(x_B \mid g(x_B))$ lautet mit der Ableitungsfunktion $g'(x)$:
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$ T(x)=\dotsc$
Somit sollst du die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ bestimmen. Du hast außerdem gegeben, dass der Punkt $P(0 \mid -0,5)$ auf der Tangenten liegt. Somit kannst du eine Punktprobe für die gegebene Tangentengleichung durchführen und daraus die unbekannte Koordinate $x_B$ berechnen. Die Koordinate $x_B$ kannst du anschließend in die Funktionsgleichung der Funktion $g$ einsetzen und die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinate bestimmen
Du sollst die $x$-Koordinate des Punktes bestimmen, welche auf dem Graphen von $g$ liegt und den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung $y=2x-1$ besitzt. Bezeichne bespielsweise den gesuchten Punkt mit $R$. Da der Punkt $R$ auf dem Graphen liegt gilt $(x_R \mid g(x_R))$.
Du weißt hierbei, dass der Graph von $g$ die gegebene Gerade in keinem Punkt schneidet. Der geringste Abstand von einem Punkt auf dem Graphen zu einer Gerade ist immer der Abstand, welcher senkrecht auf der Gerade steht zu dem Punkt. Da du weißt, dass sich die Gerade und der Graph von $g$ nicht schneiden weißt du, dass die Tangente im Punkt $R$ des Graphen von $g$ parallel zur gegebenen Gerade sein muss.
Parallele Geraden müssen die gleiche Steigung besitzen. Die Steigung der Geraden ist anhand der Geradengleichung mit $m=2$ gegeben. Daraus folgt, dass die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_R$ gleich $2$ sein muss. Somit gilt die Gleichung $g'(x_R)=2$.
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Maximale momentane Änderungsrate angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale momentane Änderungsrate angeben. Du hast hierfür gegeben, dass die momentane Änderungsrate durch die Funktion $f$ mit $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ mit $t\geq0$ beschrieben wird. Somit sollst du das Maximum der Funktion $f$ bestimmen.
Dies kannst du mit deinem GTR tun.
Abb. 1: Bestimmung des Hochpunkts
Abb. 1: Bestimmung des Hochpunkts
Somit ist die maximale momentane Änderungsrate ungefähr $4.414,55$ Käufer pro Monat.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum bestimmen, in dem die momentane Änderungsrate größer als $4.000$ Käufer ist. Hierzu kannst du die Funktion $y=4.000$ als Graphen in deinem Taschenrechner anzeigen lassen und die Schnittpunkte der Geraden $y$ und dem Graphen der Funktion $f$ bestimmen.
Abb. 2: Bestimmung der Schnittpunkte
Abb. 2: Bestimmung der Schnittpunkte
Somit hast du gezeigt, dass die momentane Änderungsrate im Bereich von ungefähr $1,238$ Monaten nach der Einführung bis $3,024$ Monaten nach der Einführung größer als $4.000$ Käufer pro Monat ist.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
Du sollst die Zeitpunkte bestimmen, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. Somit sollst du die Extrempunkte des Graphen der ersten Ableitung von $f$ untersuchen. Zeichne dazu die Ableitung als Graph in deinem GTR.
An dem Graphen der Ableitung kannst du erkennen, dass der maximale Funktionswert an der Stelle $x=0$ auftritt. Berechne somit den gesuchten Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Abb. 3: Koordinaten des Tiefpunkts
Abb. 3: Koordinaten des Tiefpunkts
Somit hast du gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle $t=0$ einen Hochpunkt besitzt und somit die momentane Änderungsrate zu Beginn nach $0$ Monaten die stärkste Zunahme besitzt.
Außerdem hast du gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle $t=4$ einen Tiefpunkt besitzt und somit die momentane Änderungsrate nach $4$ Monaten die stärkste Abnahme besitzt.
b)
$\blacktriangleright$  Monotonie zeigen
Du sollst zeigen, dass für $t> 2$ die Funktion $f$ streng monoton fallend ist. Die Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, falls für die Ableitungsfunktion $f'(t) < 0$ gilt. Bestimme somit zuerst die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$. Und zeige, dass $f'< 0$ ist für $t >2$.
Die Funktion $f$ ist durch die Funktionsgleichung $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ gegeben. Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt für die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $f'$:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}\\[5pt] f'(t)&=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} + 6.000 \cdot t \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} \\[5pt] &=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} (1+ t \cdot (-0,5)) \\[5pt] &=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} (1 -0,5t) \\[5pt] \end{array}$
$f'(t)= \dotsc$
Hierbei gilt, dass der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,5t} > 0$ ist für alle $t > 0$. Für $t > 2$ gilt, dass der Ausdruck $1-0,5t< 0$ ist und somit ist auch die Ableitungsfunktion $f'(t)$ für $t>2$ kleiner Null und damit ist die Funktion für $t>2$ streng monoton fallend.
$\blacktriangleright$  Positive Werte nachweisen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ für $t > 2$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion $f$ ist hierbei durch $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ gegeben. Betrachte somit die Funktionswerte, welche die Funktion annehmen kann.
Es gilt, dass der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,5t} > 0$ ist für alle $t$. Außerdem ist $t> 0$ , da hierbei nur Werte für $t> 2$ betrachtet werden. Daraus folgt, dass die Funktionswerte der Funktion $f$ immer positiv sein müssen.
$\blacktriangleright$  Nachweise interpretieren
Du sollst die zuvor gezeigten Nachweise in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen interpretieren. Du hast gezeigt, dass die Funktion $f$ für $t> 2$ streng monoton fallend ist und die Funktion $f$ nur positive Werte annimmt.
Hierbei gilt für die Grenzerte $\lim\limits_{t\to\infty} \left(\mathrm{e}^{-0,5t} \right)=0$ und $\lim\limits_{t\to\infty} \left(6.000 \cdot t\right)=\infty$. Bei Produkten einer $\mathrm{e}$-Funktion mit einer Polynomfunktion richtet sich der Grenzwert immer nach der $\mathrm{e}$-Funktion. Somit gilt für den Grenzwert der Funktion $f$ entsprechend $\lim\limits_{t\to\infty} f(t)=0$.
Damit folgt, dass die momentane Änderungrate für $t$ gegen unendlich gegen Null strebt. Somit ist die Zahl der Käufer nach oben beschränkt.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt ermitteln
Du sollst die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App ermitteln. Da die Funktion $f$ hierbei die momentane Änderungsrate der Käufer pro Monat angibt musst du die Fläche unter dem Graph der Funktion $f$ in den ersten sechs Monaten bestimmen. Hierzu musst du das Integral bestimmen in dem Bereich von $t=0$ bis $t=6$.
Abb. 4: Berechnung des Integrals
Abb. 4: Berechnung des Integrals
Somit hast du berechnet, dass die Gesamtzahl der Käufer in der ersten sechs Monaten etwa $19.220,4$ beträgt.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum von zwei Monaten bestimmen, in dem es $5.000$ neue Käufer gibt. Bezeichne beispielsweise den Beginn des Zeitraums mit der Unbekannten $a$. Du weißt hierbei erneut, dass das Integral der Funktion $f$ die Anzahl der Käufer beschreibt. Somit soll die folgende Gleichung gelten:
$\displaystyle\int_{A}^{A+2}f(t)\;\mathrm dt=5.000$
Löse die Gleichung mithilfe der partiellen Integration.
$\begin{array}[t]{rll} 5.000&=& \displaystyle\int_{A}^{A+2}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{A}^{A+2}6.000\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,5t}\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [6.000\cdot t\cdot \frac{1}{-0,5}\cdot \mathrm e^{-0,5t}]_A^{A+2}-\displaystyle\int_{A}^{A+2}6.000 \cdot \frac{1}{-0,5}\cdot\mathrm e^{-0,5t}\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [-12.000\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,5t}]_A^{A+2}+\displaystyle\int_{A}^{A+2}12.000\cdot\mathrm e^{-0,5t}\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [-12.000\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,5t}+12.000\cdot\frac{1}{-0,5}\cdot \mathrm e^{-0,5t}]_A^{A+2} \\[5pt] &=& [-12.000\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,5t}-24.000\cdot \mathrm e^{-0,5t}]_A^{A+2} \\[5pt] &=& [\left(-12.000\cdot t-24.000\right)\cdot \mathrm e^{-0,5t}]_A^{A+2} \\[5pt] &=& \left(-12.000\cdot (A+2)-24.000\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (A+2)} - \left(-12.000\cdot A-24.000\right)\cdot \mathrm e^{-0,5A} \\[5pt] \end{array}$
Abb. 5: Lösen mit dem GTR
Abb. 5: Lösen mit dem GTR
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Du sollst einen Funktionsterm bestimmen, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Hierfür hast du gegeben, dass bei einer anderen neuen App erwartet wird, dass es maximal $30.000$ Käufer gibt. Hierbei soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Außerdem hast du gegeben, dass es $6$ Monate nach Verkaufsbeginn bereits $20.000$ Käufer gibt.
Der allgemeine Funktionsterm für beschränktes Wachstum lautet:
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
Hierbei gibt $S$ die maximale Anzahl an Käufern an. $k$ beschreibt die Wachstumskonstante und $a$ einen Parameter. Durch die Bedingungen der Aufgabenstellung kannst du die unbekannten Parameter $a$, $S$ und $k$ bestimmen.
Für die maximale Anzahl an Käufern gilt aus der Aufgabenstellung $S=30.000$. Desweiteren weißt du, dass zur Zeit $t=0$ es keinen Käufer der App gibt. Somit gilt die Bedingung $g(0)=0$. Daraus lässt sich der Parameter $a$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0 \\[5pt] 30.000 -a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot 0} &=& 0\\[5pt] 30.000 -a \cdot \mathrm{e}^{ 0} &=& 0\\[5pt] 30.000 -a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +a\\[5pt] 30.000&=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a=30.000 $
Somit gilt $a=30.000$.
Aus der Aufgabenstellung hast du außerdem gegeben, dass es nach $6$ Monaten insgesamt $20.000$ Käufer gibt. Somit soll die Gleichung $g(6)=20.000$ gelten. Daraus lässt sich der Wert des Parameters $k$ berechnen. Hiermit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(6)&=& 20.000 \\[5pt] 30.000 -30.000 \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot 6} &=& 20.000 & \quad \scriptsize \mid -30.000\\[5pt] -30.000 \cdot \mathrm{e}^{ -6k} &=& -10.000 & \quad \scriptsize \mid :(-30.000)\\[5pt] \mathrm{e}^{ -6k} &=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,)\\[5pt] -6k&=& \ln\left(\dfrac{1}{3} \right) &\quad \scriptsize \mid\; :-6 \\[5pt] k&=& -\dfrac{1}{6} \cdot \ln\left(\dfrac{1}{3} \right) \\[5pt] &\approx& 0,183 \\[5pt] \end{array}$
$k \approx 0,183 $
Somit gilt $k \approx 0,183$ und damit folgt für den Funktionsterm $g(t)=30.000 - 30.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,183 \cdot t}$.

Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du sollst die Koordinaten von $B$ bestimmen. Du hast hierfür gegeben, dass die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $B$ durch den Punkt $P(0 \mid -0,5)$ verläuft. Die Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=x-\dfrac{1}{x^3}$ mit $x\neq 0$. Die allgemeine Tangentengleichung an dem Punkt $B(x_B \mid g(x_B))$ lautet mit der Ableitungsfunktion $g'(x)$:
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$ T(x)=\dotsc$
Somit sollst du die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ bestimmen. Du hast außerdem gegeben, dass der Punkt $P(0 \mid -0,5)$ auf der Tangenten liegt. Somit kannst du eine Punktprobe für die gegebene Tangentengleichung durchführen und daraus die unbekannte Koordinate $x_B$ berechnen. Die Koordinate $x_B$ kannst du anschließend in die Funktionsgleichung der Funktion $g$ einsetzen und die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.
Abb. 6: Lösen mit dem GTR
Abb. 6: Lösen mit dem GTR
Somit gilt $B\left(2 \, \Big| \dfrac{15}{8} \right)$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinate bestimmen
Du sollst die $x$-Koordinate des Punktes bestimmen, welche auf dem Graphen von $g$ liegt und den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung $y=2x-1$ besitzt. Bezeichne bespielsweise den gesuchten Punkt mit $R$. Da der Punkt $R$ auf dem Graphen liegt gilt $(x_R \mid g(x_R))$.
Du weißt hierbei, dass der Graph von $g$ die gegebene Gerade in keinem Punkt schneidet. Der geringste Abstand von einem Punkt auf dem Graphen zu einer Gerade ist immer der Abstand, welcher senkrecht auf der Gerade steht zu dem Punkt. Da du weißt, dass sich die Gerade und der Graph von $g$ nicht schneiden weißt du, dass die Tangente im Punkt $R$ des Graphen von $g$ parallel zur gegebenen Gerade sein muss.
Parallele Geraden müssen die gleiche Steigung besitzen. Die Steigung der Geraden ist anhand der Geradengleichung mit $m=2$ gegeben. Daraus folgt, dass die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_R$ gleich $2$ sein muss. Somit gilt die Gleichung $g'(x_R)=2$.
Mit deinem GTR erhältst du wie oben folgende Werte:
$x_{R1} \approx -1,316$ und $x_{R2} \approx 1,316$
Somit musst du noch entscheiden für welche $x$-Koordinate der Abstand am geringsten ist. Zeichne dazu die Funktionsgraphen der Geraden und der Funktion $g$ in deinem GTR und betrachte die Graphen.
Abb. 7: Schaubild der Graphen
Abb. 7: Schaubild der Graphen
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Maximale momentane Änderungsrate angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale momentane Änderungsrate angeben. Du hast hierfür gegeben, dass die momentane Änderungsrate durch die Funktion $f$ mit $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ mit $t\geq0$ beschrieben wird. Somit sollst du das Maximum der Funktion $f$ bestimmen.
Dies kannst du mit deinem GTR tun.
Abb. 1: Koordinaten des Hochpunktes bestimmen
Abb. 1: Koordinaten des Hochpunktes bestimmen
Somit ist die maximale momentane Änderungsrate ungefähr $4.414,55$ Käufer pro Monat.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum bestimmen, in dem die momentane Änderungsrate größer als $4.000$ Käufer ist. Hierzu kannst du die Funktion $y=4.000$ als Graphen in deinem Taschenrechner anzeigen lassen und die Schnittpunkte der Geraden $y$ und dem Graphen der Funktion $f$ bestimmen.
Abb. 2: Koordinaten der Schnittpunkte
Abb. 2: Koordinaten der Schnittpunkte
Somit hast du gezeigt, dass die momentane Änderungsrate im Bereich von ungefähr $1,238$ Monaten nach der Einführung bis $3,024$ Monaten nach der Einführung größer als $4.000$ Käufer pro Monat ist.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
Du sollst die Zeitpunkte bestimmen, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. Somit sollst du die Extrempunkte der Ableitung untersuchen. Zeichne dazu die Ableitung als Graph in deinem GTR.
An dem Graphen der Ableitung kannst du erkennen, dass der maximale Funktionswert an der Stelle $x=0$ auftritt. Berechne somit den gesuchten Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Abb. 3: Koordinaten der Extrempunkte
Abb. 3: Koordinaten der Extrempunkte
Somit hast du gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle $t=0$ einen Hochpunkt besitzt und somit die momentane Änderungsrate zu Beginn nach $0$ Monaten die stärkste Zunahme besitzt.
Außerdem hast du gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle $t=4$ einen Tiefpunkt besitzt und somit die momentane Änderungsrate nach $4$ Monaten die stärkste Abnahme besitzt.
#extrempunkt#ableitung
b)
$\blacktriangleright$  Monotonie zeigen
Du sollst zeigen, dass für $t> 2$ die Funktion $f$ streng monoton fallend ist. Die Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, falls für die Ableitungsfunktion $f'(t) < 0$ gilt. Bestimme somit zuerst die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$. Und zeige, dass $f'< 0$ ist für $t >2$.
Die Funktion $f$ ist durch die Funktionsgleichung $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ gegeben. Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt für die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $f'$:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}\\[5pt] f'(t)&=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} + 6.000 \cdot t \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} \\[5pt] &=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} (1+ t \cdot (-0,5)) \\[5pt] &=& 6.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,5t} (1 -0,5t) \\[5pt] \end{array}$
$f'(t)= \dotsc$
Hierbei gilt, dass der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,5t} > 0$ ist für alle $t > 0$. Für $t > 2$ gilt, dass der Ausdruck $1-0,5t< 0$ ist und somit ist auch die Ableitungsfunktion $f'(t)$ für $t>2$ kleiner Null und damit ist die Funktion für $t>2$ streng monoton fallend.
$\blacktriangleright$  Positive Werte nachweisen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ für $t > 2$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion $f$ ist hierbei durch $f(t)=6.000 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,5t}$ gegeben. Betrachte somit die Funktionswerte, welche die Funktion annehmen kann.
Es gilt, dass der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,5t} > 0$ ist für alle $t$. Außerdem ist $t> 0$ , da hierbei nur Werte für $t> 2$ betrachtet werden. Daraus folgt, dass die Funktionswerte der Funktion $f$ immer positiv sein müssen.
$\blacktriangleright$  Nachweise interpretieren
Du sollst die zuvor gezeigten Nachweise in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen interpretieren. Du hast gezeigt, dass die Funktion $f$ für $t> 2$ streng monoton fallend ist und die Funktion $f$ nur positive Werte annimmt.
Hierbei gilt für die Grenzerte $\lim\limits_{t\to\infty} \left(\mathrm{e}^{-0,5t} \right)=0$ und $\lim\limits_{t\to\infty} \left(6.000 \cdot t\right)=\infty$. Bei Produkten einer $\mathrm{e}$-Funktion mit einer Polynomfunktion richtet sich der Grenzwert immer nach der $\mathrm{e}$-Funktion. Somit gilt für den Grenzwert der Funktion $f$ entsprechend $\lim\limits_{t\to\infty} f(t)=0$.
Damit folgt, dass die momentane Änderungrate für $t$ gegen unendlich gegen Null strebt. Somit ist die Zahl der Käufer nach oben beschränkt.
#kettenregel#ableitung#funktionswert
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt ermitteln
Du sollst die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App ermitteln. Da die Funktion $f$ hierbei die momentane Änderungsrate der Käufer pro Monat angibt musst du die Fläche unter dem Graph der Funktion $f$ in den ersten sechs Monaten bestimmen. Hierzu musst du das Integral bestimmen in dem Bereich von $t=0$ bis $t=6$.
Abb. 4: Integral
Abb. 4: Integral
Somit hast du berechnet, dass die Gesamtzahl der Käufer in der ersten sechs Monaten etwa $19.220,4$ beträgt.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Du sollst den Zeitraum von zwei Monaten bestimmen, in dem es $5.000$ neue Käufer gibt. Bezeichne beispielsweise den Beginn des Zeitraums mit der Unbekannten $a$. Du weißt hierbei erneut, dass das Integral der Funktion $f$ die Anzahl der Käufer beschreibt. Somit soll die folgende Gleichung gelten:
$\displaystyle\int_{A}^{A+2}f(t)\;\mathrm dt=5.000$
Abb. 5: Gleichung lösen
Abb. 5: Gleichung lösen
Somit kommen im Zeitraum von ungefähr $4$ Monaten bis $6$ Monaten $5.000$ neue Käufer dazu.
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Du sollst einen Funktionsterm bestimmen, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Hierfür hast du gegeben, dass bei einer anderen neuen App erwartet wird, dass es maximal $30.000$ Käufer gibt. Hierbei soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Außerdem hast du gegeben, dass es $6$ Monate nach Verkaufsbeginn bereits $20.000$ Käufer gibt.
Der allgemeine Funktionsterm für beschränktes Wachstum lautet:
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
$g(t)=S-a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$
Hierbei gibt $S$ die maximale Anzahl an Käufern an. $k$ beschreibt die Wachstumskonstante und $a$ einen Parameter. Durch die Bedingungen der Aufgabenstellung kannst du die unbekannten Parameter $a$, $S$ und $k$ bestimmen.
Für die maximale Anzahl an Käufern gilt aus der Aufgabenstellung $S=30.000$. Desweiteren weißt du, dass zur Zeit $t=0$ es keinen Käufer der App gibt. Somit gilt die Bedingung $g(0)=0$. Daraus lässt sich der Parameter $a$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0 \\[5pt] 30.000 -a \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot 0} &=& 0\\[5pt] 30.000 -a \cdot \mathrm{e}^{ 0} &=& 0\\[5pt] 30.000 -a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +a\\[5pt] 30.000&=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a=30.000 $
Somit gilt $a=30.000$.
Aus der Aufgabenstellung hast du außerdem gegeben, dass es nach $6$ Monaten insgesamt $20.000$ Käufer gibt. Somit soll die Gleichung $g(6)=20.000$ gelten. Daraus lässt sich der Wert des Parameters $k$ berechnen. Hiermit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(6)&=& 20.000 \\[5pt] 30.000 -30.000 \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot 6} &=& 20.000 & \quad \scriptsize \mid -30.000\\[5pt] -30.000 \cdot \mathrm{e}^{ -6k} &=& -10.000 & \quad \scriptsize \mid :(-30.000)\\[5pt] \mathrm{e}^{ -6k} &=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,)\\[5pt] -6k&=& \ln\left(\dfrac{1}{3} \right) &\quad \scriptsize \mid\; :-6 \\[5pt] k&=& -\dfrac{1}{6} \cdot \ln\left(\dfrac{1}{3} \right) \\[5pt] &\approx& 0,183 \\[5pt] \end{array}$
$k \approx 0,183 $
Somit gilt $k \approx 0,183$ und damit folgt für den Funktionsterm $g(t)=30.000 - 30.000 \cdot \mathrm{e}^{-0,183 \cdot t}$.

Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du sollst die Koordinaten von $B$ bestimmen. Du hast hierfür gegeben, dass die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $B$ durch den Punkt $P(0 \mid -0,5)$ verläuft. Die Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=x-\dfrac{1}{x^3}$ mit $x\neq 0$. Die allgemeine Tangentengleichung an dem Punkt $B(x_B \mid g(x_B))$ lautet mit der Ableitungsfunktion $g'(x)$:
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$T(x)=g'(x_B) \cdot (x-x_b) + g(x_B)$
$ T(x)=\dotsc$
Somit sollst du die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ bestimmen. Du hast außerdem gegeben, dass der Punkt $P(0 \mid -0,5)$ auf der Tangenten liegt. Somit kannst du eine Punktprobe für die gegebene Tangentengleichung durchführen und daraus die unbekannte Koordinate $x_B$ berechnen. Die Koordinate $x_B$ kannst du anschließend in die Funktionsgleichung der Funktion $g$ einsetzen und die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.
Abb. 6: Gleichung lösen
Abb. 6: Gleichung lösen
Somit gilt $B\left(2 \, \Big| \dfrac{15}{8} \right)$.
#ableitung
b)
$\blacktriangleright$  Koordinate bestimmen
Du sollst die $x$-Koordinate des Punktes bestimmen, welche auf dem Graphen von $g$ liegt und den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung $y=2x-1$ besitzt. Bezeichne bespielsweise den gesuchten Punkt mit $R$. Da der Punkt $R$ auf dem Graphen liegt gilt $(x_R \mid g(x_R))$.
Du weißt hierbei, dass der Graph von $g$ die gegebene Gerade in keinem Punkt schneidet. Der geringste Abstand von einem Punkt auf dem Graphen zu einer Gerade ist immer der Abstand, welcher senkrecht auf der Gerade steht zu dem Punkt. Da du weißt, dass sich die Gerade und der Graph von $g$ nicht schneiden weißt du, dass die Tangente im Punkt $R$ des Graphen von $g$ parallel zur gegebenen Gerade sein muss.
Parallele Geraden müssen die gleiche Steigung besitzen. Die Steigung der Geraden ist anhand der Geradengleichung mit $m=2$ gegeben. Daraus folgt, dass die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_R$ gleich $2$ sein muss. Somit gilt die Gleichung $g'(x_R)=2$.
Abb. 7: Gleichung lösen
Abb. 7: Gleichung lösen
Somit musst du noch entscheiden für welche $x$-Koordinate der Abstand am geringsten ist. Zeichne dazu die Funktionsgraphen der Geraden und der Funktion $g$ in deinem GTR und betrachte die Graphen.
Abb. 8: Graphen
Abb. 8: Graphen
#parallel#steigung
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