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Wahlteil B1
Abb. 1: Quader
Wahlteil B1
Abb. 1: Quader
Die Ebene $E$ schneidet die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$, $S(2 \mid 10 \mid 2)$, $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$. Der kleine Teilkörper hat also die Eckpunkte $Q$, $R$, $S$, $T$, $B$, $C$.
a)
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Begründe, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$.
(Teilergebnis: $E:-x_1+2x_2+2x_3=22$)
(6 P)
#trapez#flächeninhalt#koordinatenform
b)
Der kleine Teilkörper wird mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt.
Bestimme die Höhe des zusammengesetzten Körpers.
(1,5 P)
c)
Der Container besitzt eine Tür, die im geschlossenen Zustand durch das Viereck $ODAF$ dargestellt wird. Die Tür ist drehbar um die Kante, die durch die Strecke $OD$ beschreiben wird.
Jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0; a\geq 0$ beschreibt eine mögliche Stellung dieser Tür.
Bestimme den Wert für $a$, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt.
(2,5 P)
#ebenengleichung
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Ebene $E$ die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$, $S(2 \mid 10 \mid 2)$, $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ schneidet. Somit hast du gegeben, dass diese Punkte auf der Ebenen $E$ liegen.
Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
Aus den vier gegebenen Punkten kannst du nun die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Für jeden Punkt kannst du die Koordinaten in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen und anschließend das Gleichungssystem nach den Parametern auflösen.
$\blacktriangleright$  Trapez begründen
Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt. Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, falls zwei Seiten des Vierecks parallel zueinander liegen.
Zwei Seiten liegen hierbei parallel zueinander, falls die Verbindungsvektoren der Seiten linear abhängig voneinander sind. Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind linear abhängig, falls es ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass die folgende Gleichung gilt:
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
Bestimme somit die Verbindungsvektoren der Seiten und prüfe sie anschließend auf lineare Abhängigkeit.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ bestimmen. Die allgemeine Gleichung für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
Hierbei geben $a$ und $c$ die Längen der Seiten an, welche parallel zueinander stehen und $h$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf den Seiten steht. Die zugehörigen Vektoren der beiden parallelen Seiten hast du bereits in der vorherigen Teilaufgabe bestimmt. Dazu musst du noch die entsprechende Länge des Vektors bestimmen. Außerdem benötigst du noch die Höhe, welche senkrecht auf den parallelen Seiten steht.
Die Länge der Höhe des Trapezes kannst du durch den Abstand des Punktes $R$ zur Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft bestimmen.
Bestimme somit die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft in Koordinatenform und bestimme die Koordinaten eines Punktes $M$, welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters.
Du weißt, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ senkrecht zur Seite $\overrightarrow{QT}$ verlaufen muss. Somit kannst du durch die Bedingung des Skalarprodukts $\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}=0$ den Wert des Parameters und dadurch die Koordinaten des Punktes $M$ bestimmen und die Länge der Höhe durch die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MR}$ bestimmen.
b)
$\blacktriangleright$  Höhe bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe des zusammengesetzten Körpers bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird.
Da die Schnittkanten in der Ebene $E$ liegen, kannst du die Höhe des kleinen Teilkörpers bestimmen, indem du den Abstand der Ebene $E$ zu dem Punkt $C$ bestimmst. Anschließend musst du noch die Höhe des großen Teilkörpers zu der Höhe des kleinen Teilkörpers addieren, umso die gesamte Höhe des zusammengesetzten Teilkörpers zu bestimmen.
Eine Ebene mit der Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ besitzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$. Für den Abstand $d$ einer Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ und Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ zu einem Punkt $P(x \mid y \mid z)$ gilt die folgende Formel:
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dotsc$
c)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Du sollst den Wert für $a$ bestimmen, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt. Du hast hierfür gegeben, dass jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0 ;a\geq 0$ eine mögliche Stellung dieser Tür beschreibt. Die Tür ist hierbei drehbar um die Kante, welche durch die Strecke $OD$ beschrieben wird. Im geschlossenen Zustand wird die Tür durch das Viereck $ODAF$ dargestellt.
Hierbei liegt das Viereck $ODAF$ in der $x_1x_3$-Ebene. Somit weißt du, dass der Winkel, welcher die Ebene $T_a$ und die $x_1x_3$-Ebene einschließt, gleich $30^°$ sein soll.
Für zwei Ebenen in Koordinatengleichung mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt für den Winkel $\alpha$, welche die beiden Ebenen einschließen:
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Wahlteil B1 In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Ebene $E$ die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$, $S(2 \mid 10 \mid 2)$, $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ schneidet. Somit hast du gegeben, dass diese Punkte auf der Ebenen $E$ liegen.
Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
Aus den vier gegebenen Punkten kannst du nun die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Für jeden Punkt kannst du die Koordinaten in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen und anschließend das Gleichungssystem nach den Parametern auflösen.
Mit den gegebenen Punkten folgt durch Einsetzen folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a \cdot 2+b \cdot 9 +c \cdot 3&=& d \\ \text{II}\quad& a \cdot 2+b \cdot 10 +c \cdot 2&=& d \\ \text{III}\quad& a \cdot 0+b \cdot 10 +c \cdot 1&=& d \\ \text{IV}\quad& a \cdot 0+b \cdot 8 +c \cdot 3&=& d \\ \hline \text{I}\quad& 2a+9b +3c&=& d \\ \text{II}\quad& 2a+10b +2c&=& d \\ \text{III}\quad& 10b + c&=& d &\quad \scriptsize \mid \; -10b\\ & c&=& d-10b \\ \text{IV}\quad& 8b + 3c&=& d \\ \end{array}$
$\text{I}: a \cdot \dotsc$
$c$ kannst du nun in $\text{IV}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV}\quad 8b + 3c&=& d &\quad \scriptsize \mid\;c=d-10b \\[5pt] 8b + 3\cdot (d-10b)&=& d \\[5pt] 8b +3d-30b&=& d \\[5pt] -22b+3d&=& d &\quad \scriptsize \mid\;-3d \\[5pt] -22b&=& -2d &\quad \scriptsize \mid\;:(-22) \\[5pt] b&=& \frac{1}{11}d \end{array}$
$ b=\frac{1}{11}d $
Das lässt sich wiederum in $c$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& d-10b&\quad \scriptsize \mid\; b = \frac{1}{11}d \\[5pt] c&=& d-10\cdot \frac{1}{11}d \\[5pt] c&=& \frac{1}{11}d \end{array}$
$ c= \frac{1}{11}d$
$b$ und $c$ lassen sich nun in $\text{I}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 2a+9b +3c &=& d \\[5pt] 2a+9\cdot \frac{1}{11}d +3\cdot \frac{1}{11}d &=& d \\[5pt] 2a+\frac{12}{11}d&=& d &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{12}{11}d \\[5pt] 2a&=&-\frac{1}{11}d &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] a&=& -\frac{1}{22}d \\[5pt] \end{array}$
$ a= -\frac{1}{22}d $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2a+10b +2c&=& d \\[5pt] 2\cdot \left(-\frac{1}{22}d \right)+10\cdot \frac{1}{11}d +2\cdot \frac{1}{11}d&=& d \\[5pt] 2\cdot \left(-\frac{1}{22}d \right)+10\cdot \frac{1}{11}d +2\cdot \frac{1}{11}d&=& d \\[5pt] d&=& d \end{array}$
$ d=d $
Alle Variablen hängen also weiterhin von $d$ ab. Da hierbei gefordert ist, dass du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ angeben sollst kannst du $d$ beliebig wählen. Mit $d=22$ folgen für die Parameter die folgenden Werte:
$a=-1$, $b=2$, $c=2$ und $d=22$
Somit folgt für die Ebenengleichung in Koordinatenform die Gleichung $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$.
$\blacktriangleright$  Trapez begründen
Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt. Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, falls zwei Seiten des Vierecks parallel zueinander liegen.
Zwei Seiten liegen hierbei parallel zueinander, falls die Verbindungsvektoren der Seiten linear abhängig voneinander sind. Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind linear abhängig, falls es ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass die folgende Gleichung gilt:
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
Bestimme somit die Verbindungsvektoren der Seiten und prüfe sie anschließend auf lineare Abhängigkeit.
An der dargestellten Skizze kannst du erahnen, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander stehen könnten. Somit kannst du mit deiner Überprüfung bei diesen zwei Seiten beginnen.
Für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{RS}$ gilt mit den Ortsvektoren der Punkte $R(2 \mid 9 \mid 3)$ und $S(2 \mid 10 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=&\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}\\[5pt] &=&\pmatrix{2\\10 \\2}-\pmatrix{2\\9 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\1 \\-1} \end{array}$
Entsprechend gilt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}$ mit den Ortsvektoren der Punkte $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und $T(0 \mid 10 \mid 1)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QT}&=&\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OQ}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\10 \\1}-\pmatrix{0\\8 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2 \\-2} \end{array}$
Daraus folgt die folgende Gleichung zur Betrachtung der linearen Abhängigkeit:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& k \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] \pmatrix{0\\1 \\-1}&=& k \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$
Somit folgt, dass für $k=2$ die Gleichung erfüllt ist und somit die Verbindungsvektoren linear abhängig sind. Damit hast du gezeigt, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander sind.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ bestimmen. Die allgemeine Gleichung für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
Hierbei geben $a$ und $c$ die Längen der Seiten an, welche parallel zueinander stehen und $h$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf den Seiten steht. Die zugehörigen Vektoren der beiden parallelen Seiten hast du bereits in der vorherigen Teilaufgabe bestimmt. Dazu musst du noch die entsprechende Länge des Vektors bestimmen. Außerdem benötigst du noch die Höhe, welche senkrecht auf den parallelen Seiten steht.
Die Länge der Höhe des Trapezes kannst du durch den Abstand des Punktes $R$ zur Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft bestimmen.
Bestimme somit die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft in Koordinatenform und bestimme die Koordinaten eines Punktes $M$, welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters.
Du weißt, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ senkrecht zur Seite $\overrightarrow{QT}$ verlaufen muss. Somit kannst du durch die Bedingung des Skalarprodukts $\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}=0$ den Wert des Parameters und dadurch die Koordinaten des Punktes $M$ bestimmen und die Länge der Höhe durch die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MR}$ bestimmen.
In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ bestimmt. Somit folgt mit dem Ortsvektor des Punktes $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und mit dem Parameter $t$ die folgende Geradengleichung in Koordinatenform:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OQ}+ t \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8 \\3}+ t \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}= \dotsc$
Somit gelten für einen allgemeinen Punkt $M$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ die Koordinaten $M(0 \mid 8 +2t \mid 3 - 2t)$. Damit folgt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ mit dem Punkt $R(2 \mid 9 \mid 3)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\9 \\3} - \pmatrix{0\\ 8+2t \\3-2t}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2t \\2t}\\[5pt] \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{2\\1-2t \\2t} \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}&=& 0\\[5pt] 2-4t -4t&=& 0\\[5pt] 2-8t &=& 0 & \quad \mid \, +8t\\[5pt] 2 &=& 8t & \quad \mid \, :8\\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& t \end{array}$
$t=\dfrac{1}{4}$
Dadurch folgt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{MR}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\pmatrix{2\\1-2t \\2t} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2 \cdot \dfrac{1}{4} \\2 \cdot \dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=& \pmatrix{2 \\\dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{2}}\\[5pt] \end{array}$
Hierbei gilt $\overrightarrow{RS}=\pmatrix{0\\1 \\-1}$, $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ und $\overrightarrow{MR}=\pmatrix{2 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}}$.
Mit dem Vektorbetrag folgt folgende Lösung für den Flächeninhalt des Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \left|\overrightarrow{RS}\right| +\left|\overrightarrow{QT}\right| \right) \cdot \left|\overrightarrow{MR}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{9}{2} \end{array}$
$A=\dfrac{9}{2} $
Somit beträgt der Flächeninhalt des Trapezes $\dfrac{9}{2} \, \text{m}^2$.
b)
$\blacktriangleright$  Höhe bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe des zusammengesetzten Körpers bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird.
Da die Schnittkanten in der Ebene $E$ liegen, kannst du die Höhe des kleinen Teilkörpers bestimmen, indem du den Abstand der Ebene $E$ zu dem Punkt $C$ bestimmst. Anschließend musst du noch die Höhe des großen Teilkörpers zu der Höhe des kleinen Teilkörpers addieren, umso die gesamte Höhe des zusammengesetzten Teilkörpers zu bestimmen.
Eine Ebene mit der Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ besitzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$. Für den Abstand $d$ einer Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ und Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ zu einem Punkt $P(x \mid y \mid z)$ gilt die folgende Formel:
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dotsc$
In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinatengleichung der Ebene $E$ mit $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ bestimmt. Somit gilt für den Normalenvektor der Ebene $E$ $\overrightarrow{n}=\pmatrix{-1\\2 \\2}.$
Außerdem gilt $C(0 \mid 10 \mid 3)$. Daraus folgt für den Abstand der Ebene $E$ zum Punkt $C$ mit der Norm deines GTR:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|} \\[5pt] &=&\dfrac{|-1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 +2 \cdot 2-22|}{\left| \pmatrix{-1\\2\\2} \right|} \\[5pt] &=&\dfrac{ 4}{\sqrt{9}} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3} \\[5pt] \end{array}$
$d=\dfrac{4}{3}$
An der $x_3$-Koordinate der gegebenen Punkte $A$, $B$ und $C$ kannst du erkennen, dass die Höhe des großen Teilkörpers $3$ Meter beträgt. Somit gilt für die Höhe des zusammengesetzten Körpers $h_{ges}$:
$\begin{array}[t]{rll} h_{ges}&=& 3 \text{ m} +\dfrac{4}{3} \text{ m} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{3} \text{ m} \\[5pt] &\approx& 4,33 \text{ m} \\[5pt] \end{array}$
Damit beträgt die Höhe des zusammengesetzten Körpers etwa $4,33 \text{ m}$.
c)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Du sollst den Wert für $a$ bestimmen, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt. Du hast hierfür gegeben, dass jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0 ;a\geq 0$ eine mögliche Stellung dieser Tür beschreibt. Die Tür ist hierbei drehbar um die Kante, welche durch die Strecke $OD$ beschrieben wird. Im geschlossenen Zustand wird die Tür durch das Viereck $ODAF$ dargestellt.
Hierbei liegt das Viereck $ODAF$ in der $x_1x_3$-Ebene. Somit weißt du, dass der Winkel, welcher die Ebene $T_a$ und die $x_1x_3$-Ebene einschließt, gleich $30^°$ sein soll.
Für zwei Ebenen in Koordinatengleichung mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt für den Winkel $\alpha$, welche die beiden Ebenen einschließen:
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
Der Normalenvektor für die Ebene $T_a$ lautet $\overrightarrow{n_1}=\pmatrix{a\\1\\0}$. Die Koordinatengleichung der $x_1x_3$-Ebene lautet $x_2=0$, da alle Punkte, welche in der $x_1x_3$-Ebene liegen als $x_2$-Koordinate den Wert $0$ besitzen. Somit lautet ein Normalenvektor der $x_1x_3$-Ebene $\overrightarrow{n_2}=\pmatrix{0\\1 \\0}$.
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \\[5pt] \cos 30^°&=& \dfrac{\pmatrix{a\\1\\0} \cdot \pmatrix{0\\1 \\0}}{\left|\pmatrix{a\\1\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\1 \\0}\right|} \\[5pt] \cos 30^°&=& \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}} \\[5pt] \cos 30^°&=& \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} &\quad \scriptsize \mid \; \cdot \sqrt{a^2+1}\\[5pt] \cos 30^° \cdot \sqrt{a^2+1}&=&1 &\quad \scriptsize \mid \; :\cos 30^°\\[5pt] \sqrt{a^2+1}&=&\dfrac{1}{\cos 30^° } &\quad \scriptsize \mid \; ^2\\[5pt] a^2+1&=&\dfrac{1}{\left(\cos 30^°\right)^2 } &\quad \scriptsize \mid \; -1\\[5pt] a^2&=&\dfrac{1}{\left(\cos 30^°\right)^2 }-1 \\[5pt] a&=&\pm\sqrt{\dfrac{1}{\left(\cos 30^°\right)^2 }-1} \\[5pt] a&\approx&\pm 0,58 \\[5pt] \end{array}$
$a\approx\pm 0,58$
In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass $a \geq 0$ gelten soll. Somit ist die gesuchte Lösung $a\approx 0,58.$
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Ebene $E$ die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$, $S(2 \mid 10 \mid 2)$, $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ schneidet. Somit hast du gegeben, dass diese Punkte auf der Ebenen $E$ liegen.
Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$
Aus den vier gegebenen Punkten kannst du nun die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen. Für jeden Punkt kannst du die Koordinaten in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen und anschließend das Gleichungssystem nach den Parametern auflösen.
Mit den gegebenen Punkten folgt durch Einsetzen folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a \cdot 2+b \cdot 9 +c \cdot 3&=& d \\ \text{II}\quad& a \cdot 2+b \cdot 10 +c \cdot 2&=& d \\ \text{III}\quad& a \cdot 0+b \cdot 10 +c \cdot 1&=& d \\ \text{IV}\quad& a \cdot 0+b \cdot 8 +c \cdot 3&=& d \\ \end{array}$
$\text{I}: a \cdot \dotsc$
Wahlteil B1
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Wahlteil B1
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Da hierbei gefordert ist, dass du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ angeben sollst kannst du $T$ beliebig wählen. Mit $T=22$ folgen für die Parameter die folgenden Werte:
$a=-1$, $b=2$, $c=2$ und $d=22$
Somit folgt für die Ebenengleichung in Koordinatenform die Gleichung $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$.
$\blacktriangleright$  Trapez begründen
Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt. Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, falls zwei Seiten des Vierecks parallel zueinander liegen.
Zwei Seiten liegen hierbei parallel zueinander, falls die Verbindungsvektoren der Seiten linear abhängig voneinander sind. Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind linear abhängig, falls es ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass die folgende Gleichung gilt:
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$
Bestimme somit die Verbindungsvektoren der Seiten und prüfe sie anschließend auf lineare Abhängigkeit.
An der dargestellten Skizze kannst du erahnen, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander stehen könnten. Somit kannst du mit deiner Überprüfung bei diesen zwei Seiten beginnen.
Für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{RS}$ gilt mit den Ortsvektoren der Punkte $R(2 \mid 9 \mid 3)$ und $S(2 \mid 10 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=&\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}\\[5pt] &=&\pmatrix{2\\10 \\2}-\pmatrix{2\\9 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\1 \\-1} \end{array}$
Entsprechend gilt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}$ mit den Ortsvektoren der Punkte $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und $T(0 \mid 10 \mid 1)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QT}&=&\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OQ}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\10 \\1}-\pmatrix{0\\8 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2 \\-2} \end{array}$
Daraus folgt die folgende Gleichung zur Betrachtung der linearen Abhängigkeit:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& k \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] \pmatrix{0\\1 \\-1}&=& k \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$
Somit folgt, dass für $k=2$ die Gleichung erfüllt ist und somit die Verbindungsvektoren linear abhängig sind. Damit hast du gezeigt, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander sind.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ bestimmen. Die allgemeine Gleichung für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$
Hierbei geben $a$ und $c$ die Längen der Seiten an, welche parallel zueinander stehen und $h$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf den Seiten steht. Die zugehörigen Vektoren der beiden parallelen Seiten hast du bereits in der vorherigen Teilaufgabe bestimmt. Dazu musst du noch die entsprechende Länge des Vektors bestimmen. Außerdem benötigst du noch die Höhe, welche senkrecht auf den parallelen Seiten steht.
Die Länge der Höhe des Trapezes kannst du durch den Abstand des Punktes $R$ zur Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft bestimmen.
Bestimme somit die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft in Koordinatenform und bestimme die Koordinaten eines Punktes $M$, welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters.
Du weißt, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ senkrecht zur Seite $\overrightarrow{QT}$ verlaufen muss. Somit kannst du durch die Bedingung des Skalarprodukts $\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}=0$ den Wert des Parameters und dadurch die Koordinaten des Punktes $M$ bestimmen und die Länge der Höhe durch die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MR}$ bestimmen.
In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ bestimmt. Somit folgt mit dem Ortsvektor des Punktes $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und mit dem Parameter $t$ die folgende Geradengleichung in Koordinatenform:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OQ}+ t \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8 \\3}+ t \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}= \dotsc$
Somit gelten für einen allgemeinen Punkt $M$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ die Koordinaten $M(0 \mid 8 +2t \mid 3 - 2t)$. Damit folgt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ mit dem Punkt $R(2 \mid 9 \mid 3)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\9 \\3} - \pmatrix{0\\ 8+2t \\3-2t}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2t \\2t}\\[5pt] \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{2\\1-2t \\2t} \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}&=& 0\\[5pt] 2-4t -4t&=& 0\\[5pt] 2-8t &=& 0 & \quad \mid \, +8t\\[5pt] 2 &=& 8t & \quad \mid \, :8\\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& t \end{array}$
$t=\dfrac{1}{4}$
Dadurch folgt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{MR}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\pmatrix{2\\1-2t \\2t} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2 \cdot \dfrac{1}{4} \\2 \cdot \dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=& \pmatrix{2 \\\dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{2}}\\[5pt] \end{array}$
Hierbei gilt $\overrightarrow{RS}=\pmatrix{0\\1 \\-1}$, $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ und $\overrightarrow{MR}=\pmatrix{2 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}}$.
Wahlteil B1
Abb. 2: Flächeninhalt berechnen
Wahlteil B1
Abb. 2: Flächeninhalt berechnen
Somit beträgt der Flächeninhalt des Trapezes $\dfrac{9}{2} \, \text{m}^2$.
#lineareabhängigkeit#gleichungssystem#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Höhe bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe des zusammengesetzten Körpers bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird.
Da die Schnittkanten in der Ebene $E$ liegen, kannst du die Höhe des kleinen Teilkörpers bestimmen, indem du den Abstand der Ebene $E$ zu dem Punkt $C$ bestimmst. Anschließend musst du noch die Höhe des großen Teilkörpers zu der Höhe des kleinen Teilkörpers addieren, umso die gesamte Höhe des zusammengesetzten Teilkörpers zu bestimmen.
Eine Ebene mit der Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ besitzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$. Für den Abstand $d$ einer Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ und Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ zu einem Punkt $P(x \mid y \mid z)$ gilt die folgende Formel:
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|}$
$d=\dotsc$
In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinatengleichung der Ebene $E$ mit $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ bestimmt. Somit gilt für den Normalenvektor der Ebene $E$ $\overrightarrow{n}=\pmatrix{-1\\2 \\2}.$
Außerdem gilt $C(0 \mid 10 \mid 3)$. Daraus folgt für den Abstand der Ebene $E$ zum Punkt $C$ mit der Norm deines GTR:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\dfrac{|n_1 \cdot x + n_2 \cdot y +n_3 \cdot z-c|}{|\overrightarrow{n}|} \\[5pt] &=&\dfrac{|-1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 +2 \cdot 2-22|}{\left| \pmatrix{-1\\2\\2} \right|} \\[5pt] &=&\dfrac{ 4}{\sqrt{9}} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3} \\[5pt] \end{array}$
$d=\dfrac{4}{3}$
An der $x_3$-Koordinate der gegebenen Punkte $A$, $B$ und $C$ kannst du erkennen, dass die Höhe des großen Teilkörpers $3$ Meter beträgt. Somit gilt für die Höhe des zusammengesetzten Körpers $h_{ges}$:
$\begin{array}[t]{rll} h_{ges}&=& 3 \text{ m} +\dfrac{4}{3} \text{ m} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{3} \text{ m} \\[5pt] &\approx& 4,33 \text{ m} \\[5pt] \end{array}$
Damit beträgt die Höhe des zusammengesetzten Körpers etwa $4,33 \text{ m}$.
#vektorbetrag#normalenvektor#abstand
c)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Du sollst den Wert für $a$ bestimmen, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt. Du hast hierfür gegeben, dass jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0 ;a\geq 0$ eine mögliche Stellung dieser Tür beschreibt. Die Tür ist hierbei drehbar um die Kante, welche durch die Strecke $OD$ beschrieben wird. Im geschlossenen Zustand wird die Tür durch das Viereck $ODAF$ dargestellt.
Hierbei liegt das Viereck $ODAF$ in der $x_1x_3$-Ebene. Somit weißt du, dass der Winkel, welcher die Ebene $T_a$ und die $x_1x_3$-Ebene einschließt, gleich $30^°$ sein soll.
Für zwei Ebenen in Koordinatengleichung mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt für den Winkel $\alpha$, welche die beiden Ebenen einschließen:
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$
Der Normalenvektor für die Ebene $T_a$ lautet $\overrightarrow{n_1}=\pmatrix{a\\1\\0}$. Die Koordinatengleichung der $x_1x_3$-Ebene lautet $x_2=0$, da alle Punkte, welche in der $x_1x_3$-Ebene liegen als $x_2$-Koordinate den Wert $0$ besitzen. Somit lautet ein Normalenvektor der $x_1x_3$-Ebene $\overrightarrow{n_2}=\pmatrix{0\\1 \\0}$.
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \\[5pt] \cos 30^°&=& \dfrac{\pmatrix{a\\1\\0} \cdot \pmatrix{0\\1 \\0}}{\left|\pmatrix{a\\1\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\1 \\0}\right|} \\[5pt] \end{array}$
$\cos 30^°=\dotsc$
Für diese Gleichung kannst du mit der Norm, dem Skalarprodukt und dem Solve-Befehl deines GTR den Wert für $a$ bestimmen.
Wahlteil B1
Abb. 3: Gleichung lösen
Wahlteil B1
Abb. 3: Gleichung lösen
In der Aufgabenstellung hast du hierfür gegeben, dass $a \geq 0$ gelten soll. Somit ist die gesuchte Lösung $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
#schnittwinkel#vektorbetrag#normalenvektor
Bildnachweise [nach oben]
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