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Wahlteil C2

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Wahlteil C2
Abb. 1: Glücksspielautomat
Wahlteil C2
Abb. 1: Glücksspielautomat
a)
Ein Spieler spielt zehn mal. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$A$: „Das Glücksrad $G_1$ zeigt genau fünf Mal die Zahl $1$.“
$B$: „Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$.“
$C$: „Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn.“
(3 P)
#wahrscheinlichkeit
b)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ soll in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt werden.
Berechne, wie oft du dazu mindestens spielen musst.
(2 P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Berechne, wie viel der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.
(2 P)
d)
Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt.
Dazu möchte er beim Glücksrad $G_2$ den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, der mit der Zahl $8$ beschriftet ist.
Berechne, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt werden darf.
(3 P)
#kreissektor
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad $G_1$ genau fünf Mal auf die Zahl $1$ zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit $A$ bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ bei einer Drehung die Zahl $1$ anzeigt beträgt $p=\dfrac{2}{5}$, da das Glücksrad aus insgesamt $5$ gleich großen Feldern besteht, wobei $2$ dieser Felder mit der Zahl $1$ beschriftet sind.
Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl $1$ zeigt, mit der Zufallsvariable $X$ bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gesucht.
Die Zufallsvariable $X$ ist somit binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{2}{5}$ und der Gesamtzahl der Drehungen $n=10$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$ beträgt. Dieses Ereignis wird mit $B$ bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau $10$ ergibt.
Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ auf die Zahl $8$ oder dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $8$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ entsprechend auf die Zahl $2$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt beträgt $\dfrac{2}{5}$ und auf die Zahl $8$ entsprechend $\dfrac{1}{5}$. Das Glücksrad $G_2$ zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{4}$ auf die Zahl $2$ und mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4}$ auf die Zahl $8$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler mindestens einmal den Hauptgewinn erzielt. Dieses Ereignis wird mit $C$ bezeichnet.
Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Hauptgewinne, welche ein Spieler erzielt, mit der Zufallsvariable $Y$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ gesucht. Der Hauptgewinn besteht darin, dass $16\,€$ ausgezahlt werden. Der Hauptgewinn wird genau dann ausgezahlt, falls beide Glücksräder auf die Zahl $8$ zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ kannst du mit dem Gegenereignis wie folgt umschreiben:
$P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)$
Die Anzahl der Hauptgewinne $Y$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und der Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt. Bestimme somit die Wahrscheinlichkeit $p$ und anschließend mit dem binomPDf-Befehl deines GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
b)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Spiele bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie oft du mindestens spielen musst damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt wird.
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Anzahl der erzielten Hauptgewinne binomialverteilt ist. Bezeichne die Anzahl der erzielten Hauptgewinne mit der Zufallsvariable $Z$. Die Zufallsvariable $Z$ ist mit der unbekannten Gesamtanzahl $n$ der Spiele und der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{20}$ aus der vorherigen Teilaufgabe binomialverteilt.
Du sollst hierbei $n$ so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)\geq0,95$ gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass du die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)$ wie folgt umschreiben kannst:
$P(Z\geq 1)=1-P(Z=0)$
$P(Z\geq 1)= \dotsc$
Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße $Z$ ist durch die folgende Formel gegeben:
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot \dotsc$
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Verdienst bestimmen
Du sollst den durchschnittlichen Verdienst des Betreibers berechnen. Berechne dazu den erwarteten Gewinn des Betreibers. Bezeichne beispielsweise den Gewinn des Betreibers in Euro mit der Zufallsvariable $X$.
Die Formel für den Erwartungswert für vier verschiedene Ereignisse lautet:
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$ E(X)=x_1 \cdot \dotsc $
Hierbei ist gegeben, dass ein Spieler die Summe der beiden angezeigten Zahlen auf den Glücksrädern ausgezahlt bekommt, falls die angezeigten Zahlen der Glücksräder identisch sind.
In diesem Fall gibt es somit die Möglichkeit, dass der Betreiber $14\,€$ verliert. Dies ist der Fall, falls der Spieler $16\,€$ ausgezahlt bekommt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Weiter gibt es die Möglichkeit, dass der Betreiber $2\,€$ verliert, falls der Spieler $4\,€$ ausgezahlt bekommt. Außerdem kann der Betreiber einen Gewinn von $0\,€$ erhalten, falls der Spieler $2\,€$ gewinnt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Zudem kann der Betreiber einen Gewinn von $2\,€$ erhalten, falls der Spieler verliert nachdem er $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat.
Somit musst du noch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Fälle bestimmen.
d)
$\blacktriangleright$  Mittelpunktswinkel berechnen
Du sollst berechnen, wie weit der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal gewählt werden darf. Dazu hast du gegeben, dass der Betreiber erreichen möchte, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt. Der Betreiber möchte dazu beim Glücksrad $G_2$ den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, welcher mit der Zahl $8$ beschriftet ist.
Aus der Teilaufgabe b) weißt du bereits, dass die Anzahl der Hauptgewinne binomialverteilt ist. Die Anzahl der Hauptgewinne hast du mit der Zufallsvariable $Y$ bezeichnet, welche mit $n=10$ und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit $p$ binomialverteilt ist.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Wahlteil C2 In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad $G_1$ genau fünf Mal auf die Zahl $1$ zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit $A$ bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ bei einer Drehung die Zahl $1$ anzeigt beträgt $p=\dfrac{2}{5}$, da das Glücksrad aus insgesamt $5$ gleich großen Feldern besteht, wobei $2$ dieser Felder mit der Zahl $1$ beschriftet sind.
Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl $1$ zeigt, mit der Zufallsvariable $X$ bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gesucht.
Wahlteil C2
Abb. 1: Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Wahlteil C2
Abb. 1: Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ etwa $20,1\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$ beträgt. Dieses Ereignis wird mit $B$ bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau $10$ ergibt.
Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ auf die Zahl $8$ oder dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $8$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ entsprechend auf die Zahl $2$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt beträgt $\dfrac{2}{5}$ und auf die Zahl $8$ entsprechend $\dfrac{1}{5}$. Das Glücksrad $G_2$ zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{4}$ auf die Zahl $2$ und mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4}$ auf die Zahl $8$.
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ eintritt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{2}{4}\\[5pt] &=& 0,2 \end{array}$
$P(B)=0,2$
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $B$ eintritt $20\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler mindestens einmal den Hauptgewinn erzielt. Dieses Ereignis wird mit $C$ bezeichnet.
Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Hauptgewinne, welche ein Spieler erzielt, mit der Zufallsvariable $Y$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ gesucht. Der Hauptgewinn besteht darin, dass $16\,€$ ausgezahlt werden. Der Hauptgewinn wird genau dann ausgezahlt, falls beide Glücksräder auf die Zahl $8$ zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ kannst du mit dem Gegenereignis wie folgt umschreiben:
$P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)$
Die Anzahl der Hauptgewinne $Y$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und der Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt. Bestimme somit die Wahrscheinlichkeit $p$ und anschließend mit dem binomPDf-Befehl deines GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt, folgt mit den Einzelwahrscheinlichkeiten aus der vorherigen Teilaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{20} \end{array}$
Somit ist die Zufallsvariable $Y$ mit $n=10$ und $p=\dfrac{1}{20}$ binomialverteilt. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 1)&=& 1-P(Y=0)\\[5pt] &\approx& 1- 0,599 \\[5pt] &\approx& 0,401 \\[5pt] \end{array}$
$P(Y\geq 1) \approx 0,401 $
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $C$ eintritt etwa $40,1\,\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Spiele bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie oft du mindestens spielen musst damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt wird.
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Anzahl der erzielten Hauptgewinne binomialverteilt ist. Bezeichne die Anzahl der erzielten Hauptgewinne mit der Zufallsvariable $Z$. Die Zufallsvariable $Z$ ist mit der unbekannten Gesamtanzahl $n$ der Spiele und der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{20}$ aus der vorherigen Teilaufgabe binomialverteilt.
Du sollst hierbei $n$ so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)\geq0,95$ gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass du die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)$ wie folgt umschreiben kannst:
$P(Z\geq 1)=1-P(Z=0)$
$P(Z\geq 1)= \dotsc$
Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße $Z$ ist durch die folgende Formel gegeben:
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot \dotsc$
Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit mit $p=\dfrac{1}{20}$:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\geq 1)&=& 1-P(Z=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{n}{0} \cdot \left(\dfrac{1}{20}\right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^{n-0} \\[5pt] &=& 1- \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^n \\[5pt] \end{array}$
$P(Z\geq 1)=\dotsc$
Da du die Mindestanzahl der Spiele bestimmen sollst, ist die kleinste Anzahl an Spielen $n$ gesucht für die die Ungleichung erfüllt ist.
Den Wert für $n$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR.
Achte darauf, dass du für die Lösung durch den Solve-Befehl die Gleichung $1- \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^n =0,95$ betrachten musst. Die Lösung der Gleichung entspricht der Mindestanzahl $n$. Die Ungleichung $P(Z\geq 1)\geq0,95$ ist somit ab einer Anzahl von $n$ Spielen erfüllt.
Wahlteil C2
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem GTR
Wahlteil C2
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem GTR
Damit gilt, dass ab einer Anzahl von mindestens $59$ Spielen die Wahrscheinlichkeit größer als $95\,\%$ ist, dass ein Spieler mindestens einen Hauptgewinn erzielt.
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Verdienst bestimmen
Du sollst den durchschnittlichen Verdienst des Betreibers berechnen. Berechne dazu den erwarteten Gewinn des Betreibers. Bezeichne beispielsweise den Gewinn des Betreibers in Euro mit der Zufallsvariable $X$.
Die Formel für den Erwartungswert für vier verschiedene Ereignisse lautet:
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$ E(X)=x_1 \cdot \dotsc $
Hierbei ist gegeben, dass ein Spieler die Summe der beiden angezeigten Zahlen auf den Glücksrädern ausgezahlt bekommt, falls die angezeigten Zahlen der Glücksräder identisch sind.
In diesem Fall gibt es somit die Möglichkeit, dass der Betreiber $14\,€$ verliert. Dies ist der Fall, falls der Spieler $16\,€$ ausgezahlt bekommt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Weiter gibt es die Möglichkeit, dass der Betreiber $2\,€$ verliert, falls der Spieler $4\,€$ ausgezahlt bekommt. Außerdem kann der Betreiber einen Gewinn von $0\,€$ erhalten, falls der Spieler $2\,€$ gewinnt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Zudem kann der Betreiber einen Gewinn von $2\,€$ erhalten, falls der Spieler verliert nachdem er $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat.
Somit musst du noch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Fälle bestimmen. Der Betreiber verliert $14\,€$, falls beide Glücksräder die Zahl $8$ anzeigen. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(X=-14)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=-14)&=& \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{20} \end{array}$
Entsprechend gelten für die weiteren Wahrscheinlichkeiten laut der Aufgabenstellung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=-2)&=& \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Betreiber $2\,€$ Gewinn erzielt ergibt sich nun aus der Gegenwahrscheinlichkeit zu den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& 1-P(X=-14) -P(X=-2) -P(X=0)\\[5pt] &=& 1- \dfrac{1}{20}- \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{20} \\[5pt] \end{array}$
$P(X=2)=\dfrac{13}{20}$
Somit gilt für den zu erwarteten Gewinn pro Spiel mit der oben genannten Formel für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)\\[5pt] &=& -14 \cdot P(X=-14) -2 \cdot P(X=-2) +0 \cdot P(X=0) + 2 \cdot P(X=2)\\[5pt] &=& -14 \cdot \dfrac{1}{20} -2 \cdot \dfrac{1}{5} +0 \cdot \dfrac{1}{10} + 2 \cdot \dfrac{13}{20}\\[5pt] &=& 0,2\\[5pt] \end{array}$
$E(X)=0,2$
Daraus folgt, dass der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel $0,20\,€$ verdient.
d)
$\blacktriangleright$  Mittelpunktswinkel berechnen
Du sollst berechnen, wie weit der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal gewählt werden darf. Dazu hast du gegeben, dass der Betreiber erreichen möchte, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt. Der Betreiber möchte dazu beim Glücksrad $G_2$ den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, welcher mit der Zahl $8$ beschriftet ist.
Aus der Teilaufgabe b) weißt du bereits, dass die Anzahl der Hauptgewinne binomialverteilt ist. Die Anzahl der Hauptgewinne hast du mit der Zufallsvariable $Y$ bezeichnet, welche mit $n=10$ und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit $p$ binomialverteilt ist.
Hierfür musst du die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels bestimmen und anschließend die folgende Ungleichung nach dem Mittelpunktswinkel auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq1)&\leq& 0,25 \\[5pt] 1-P(Y=0)&\leq& 0,25 \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Glücksrad auf die Zahl $8$ zeigt in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels $\alpha$ beträgt $\dfrac{\alpha}{360^°}$. Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler den Hauptgewinn gewinnt:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\alpha}{360^°} \\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du die Lösung der Ungleichung mit deinem GTR berechnen. Verwende hierzu den Solve-Befehl. Beachte hierbei, dass du dazu die Gleichung $1-P(Y=0)\leq 0,25$ lösen musst. Daraus erhältst du die maximale Größe des Mittelpunktwinkels.
Mit dem Solve-Befehl und des binomialPDf-Befehls deines GTR erhältst du:
$\alpha \approx 51,05^°$
Daraus folgt, dass der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal $51,05^°$ betragen darf, damit der Betreiber erreicht, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad $G_1$ genau fünf Mal auf die Zahl $1$ zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit $A$ bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ bei einer Drehung die Zahl $1$ anzeigt beträgt $p=\dfrac{2}{5}$, da das Glücksrad aus insgesamt $5$ gleich großen Feldern besteht, wobei $2$ dieser Felder mit der Zahl $1$ beschriftet sind.
Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl $1$ zeigt, mit der Zufallsvariable $X$ bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gesucht.
Die Zufallsvariable $X$ ist somit binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{2}{5}$ und der Gesamtzahl der Drehungen $n=10$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen.
Wahlteil C2
Abb. 1: Wahrscheinlichkeit bestimmen
Wahlteil C2
Abb. 1: Wahrscheinlichkeit bestimmen
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ etwa $20,1\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$ beträgt. Dieses Ereignis wird mit $B$ bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau $10$ ergibt.
Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ auf die Zahl $8$ oder dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $8$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ entsprechend auf die Zahl $2$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt beträgt $\dfrac{2}{5}$ und auf die Zahl $8$ entsprechend $\dfrac{1}{5}$. Das Glücksrad $G_2$ zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{4}$ auf die Zahl $2$ und mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4}$ auf die Zahl $8$.
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ eintritt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{2}{4}\\[5pt] &=& 0,2 \end{array}$
$P(B)=0,2$
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $B$ eintritt $20\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler mindestens einmal den Hauptgewinn erzielt. Dieses Ereignis wird mit $C$ bezeichnet.
Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Hauptgewinne, welche ein Spieler erzielt, mit der Zufallsvariable $Y$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ gesucht. Der Hauptgewinn besteht darin, dass $16\,€$ ausgezahlt werden. Der Hauptgewinn wird genau dann ausgezahlt, falls beide Glücksräder auf die Zahl $8$ zeigen.
Die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 1)$ kannst du mit dem Gegenereignis wie folgt umschreiben:
$P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)$
Die Anzahl der Hauptgewinne $Y$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und der Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt. Bestimme somit die Wahrscheinlichkeit $p$ und anschließend mit dem binomPDf-Befehl deines GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt, folgt mit den Einzelwahrscheinlichkeiten aus der vorherigen Teilaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{20} \end{array}$
Somit ist die Zufallsvariable $Y$ mit $n=10$ und $p=\dfrac{1}{20}$ binomialverteilt. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 1)&=& 1-P(Y=0)\\[5pt] &\approx& 1- 0,599 \\[5pt] &\approx& 0,401 \\[5pt] \end{array}$
$P(Y\geq 1) \approx 0,401 $
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $C$ eintritt etwa $40,1\,\%$.
#binomialverteilung#gegenwahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Spiele bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie oft du mindestens spielen musst damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt wird.
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Anzahl der erzielten Hauptgewinne binomialverteilt ist. Bezeichne die Anzahl der erzielten Hauptgewinne mit der Zufallsvariable $Z$. Die Zufallsvariable $Z$ ist mit der unbekannten Gesamtanzahl $n$ der Spiele und der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{20}$ aus der vorherigen Teilaufgabe binomialverteilt.
Du sollst hierbei $n$ so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)\geq0,95$ gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass du die Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 1)$ wie folgt umschreiben kannst:
$P(Z\geq 1)=1-P(Z=0)$
$P(Z\geq 1)= \dotsc$
Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße $Z$ ist durch die folgende Formel gegeben:
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\binom{n}{k} \cdot \dotsc$
Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit mit $p=\dfrac{1}{20}$:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\geq 1)&=& 1-P(Z=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{n}{0} \cdot \left(\dfrac{1}{20}\right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^{n-0} \\[5pt] &=& 1- \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^n \\[5pt] \end{array}$
$P(Z\geq 1)=\dotsc$
Da du die Mindestanzahl der Spiele bestimmen sollst, ist die kleinste Anzahl an Spielen $n$ gesucht für die die Ungleichung erfüllt ist.
Den Wert für $n$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR.
Achte darauf, dass du für die Lösung durch den Solve-Befehl die Gleichung $1- \left(1-\dfrac{1}{20} \right)^n =0,95$ betrachten musst. Die Lösung der Gleichung entspricht der Mindestanzahl $n$. Die Ungleichung $P(Z\geq 1)\geq0,95$ ist somit ab einer Anzahl von $n$ Spielen erfüllt.
Wahlteil C2
Abb. 2: Mindestanzahl bestimmen
Wahlteil C2
Abb. 2: Mindestanzahl bestimmen
Damit gilt, dass ab einer Anzahl von mindestens $59$ Spielen die Wahrscheinlichkeit größer als $95\,\%$ ist, dass ein Spieler mindestens einen Hauptgewinn erzielt.
#gegenwahrscheinlichkeit#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Verdienst bestimmen
Du sollst den durchschnittlichen Verdienst des Betreibers berechnen. Berechne dazu den erwarteten Gewinn des Betreibers. Bezeichne beispielsweise den Gewinn des Betreibers in Euro mit der Zufallsvariable $X$.
Die Formel für den Erwartungswert für vier verschiedene Ereignisse lautet:
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$E(X)=x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)$
$ E(X)=x_1 \cdot \dotsc $
Hierbei ist gegeben, dass ein Spieler die Summe der beiden angezeigten Zahlen auf den Glücksrädern ausgezahlt bekommt, falls die angezeigten Zahlen der Glücksräder identisch sind.
In diesem Fall gibt es somit die Möglichkeit, dass der Betreiber $14\,€$ verliert. Dies ist der Fall, falls der Spieler $16\,€$ ausgezahlt bekommt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Weiter gibt es die Möglichkeit, dass der Betreiber $2\,€$ verliert, falls der Spieler $4\,€$ ausgezahlt bekommt. Außerdem kann der Betreiber einen Gewinn von $0\,€$ erhalten, falls der Spieler $2\,€$ gewinnt, nachdem er bereits $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat. Zudem kann der Betreiber einen Gewinn von $2\,€$ erhalten, falls der Spieler verliert nachdem er $2\,€$ Spieleinsatz bezahlt hat.
Somit musst du noch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Fälle bestimmen. Der Betreiber verliert $14\,€$, falls beide Glücksräder die Zahl $8$ anzeigen. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(X=-14)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=-14)&=& \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{20} \end{array}$
Entsprechend gelten für die weiteren Wahrscheinlichkeiten laut der Aufgabenstellung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=-2)&=& \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Betreiber $2\,€$ Gewinn erzielt ergibt sich nun aus der Gegenwahrscheinlichkeit zu den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& 1-P(X=-14) -P(X=-2) -P(X=0)\\[5pt] &=& 1- \dfrac{1}{20}- \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{20} \\[5pt] \end{array}$
$P(X=2)=\dfrac{13}{20}$
Somit gilt für den zu erwarteten Gewinn pro Spiel mit der oben genannten Formel für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=2) +x_3 \cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=4)\\[5pt] &=& -14 \cdot P(X=-14) -2 \cdot P(X=-2) +0 \cdot P(X=0) + 2 \cdot P(X=2)\\[5pt] &=& -14 \cdot \dfrac{1}{20} -2 \cdot \dfrac{1}{5} +0 \cdot \dfrac{1}{10} + 2 \cdot \dfrac{13}{20}\\[5pt] &=& 0,2\\[5pt] \end{array}$
$E(X)=0,2$
Daraus folgt, dass der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel $0,20\,€$ verdient.
#erwartungswert
d)
$\blacktriangleright$  Mittelpunktswinkel berechnen
Du sollst berechnen, wie weit der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal gewählt werden darf. Dazu hast du gegeben, dass der Betreiber erreichen möchte, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt. Der Betreiber möchte dazu beim Glücksrad $G_2$ den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, welcher mit der Zahl $8$ beschriftet ist.
Aus der Teilaufgabe b) weißt du bereits, dass die Anzahl der Hauptgewinne binomialverteilt ist. Die Anzahl der Hauptgewinne hast du mit der Zufallsvariable $Y$ bezeichnet, welche mit $n=10$ und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit $p$ binomialverteilt ist.
Hierfür musst du die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels bestimmen und anschließend die folgende Ungleichung nach dem Mittelpunktswinkel auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq1)&\leq& 0,25 \\[5pt] 1-P(Y=0)&\leq& 0,25 \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Glücksrad auf die Zahl $8$ zeigt in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels $\alpha$ beträgt $\dfrac{\alpha}{360^°}$. Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Spieler den Hauptgewinn gewinnt:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\alpha}{360^°} \\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du die Lösung der Ungleichung mit deinem GTR berechnen. Verwende hierzu den Solve-Befehl. Beachte hierbei, dass du dazu die Gleichung $1-P(Y=0)\leq 0,25$ lösen musst. Daraus erhältst du die maximale Größe des Mittelpunktwinkels.
Mit dem Solve-Befehl und des binomialPDf-Befehls deines GTR erhältst du:
$\alpha \approx 51,05^°$
Daraus folgt, dass der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal $51,05^°$ betragen darf, damit der Betreiber erreicht, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt.
#binomialverteilung#gegenwahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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