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Aufgaben
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Aufgabe A 1.1

a)
Berechne den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils.
Bestimme die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist.
Bestimme die Länge der Brücke.
Ermittle die durchschnittliche Steigung des Geländeprofils zwischen dem östlichen Ende der Brücke und dem höchsten Punkt des Profils.
(5 BE)
#steigung
b)
An einem Punkt der Brücke, der im Modell die Koordinaten $P(1\mid 5)$ hat, wird ein $30$ Meter langes Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt. Das untere Ende des Seils soll zu jedem Punkt des Geländeprofils einen Mindestabstand von $15$ Metern haben.
Untersuche, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird.
(3 BE)
c)
Eine Drohne steigt vertikal von einer Position auf, die durch den Punkt $D(2,5\mid f(2,5))$ dargestellt wird. Die Drohne verfügt über eine Kamera.
Ermittle, ab welcher Höhe über dem Gelände die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen kann, der durch den Punkt $P(1\mid 5)$ dargestellt wird.
(4 BE)
d)
Bei der Schneeschmelze füllt sich das Tal mit Wasser. Dabei entsteht ein See, der im Querschnitt $30$ Meter breit ist.
Berechne die durchschnittliche Tiefe des Sees.
(3,5 BE)

Aufgabe A 1.2

Für jede reelle Zahl $k$ ist eine Funktion $f_k$ mit $f_k(x)= k\cdot \mathrm e^{x}-2x\cdot \mathrm e^x$ gegeben.
#funktionenschar
a)
Bestimme die Nullstelle von $f_k.$
(1 BE)
#extrempunkt#nullstelle
b)
Zeige, dass $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k$ ist.
Der Graph von $f_2$ schließt mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Bestimme ihren Inhalt exakt.
(3,5 BE)
#stammfunktion
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Du kannst das Grafik-Menü deines GTRs verwenden um die Koordinaten des höchsten und tiefsten Punkts des Profils zu bestimmen.
1. Schritt: Höchsten und tiefsten Punkt des Profils bestimmen
$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS
Lass dir den Graphen von $f$ in deinem GTR anzeigen und bestimme anschließend die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte im relevanten Bereich für $0\leq x\leq 3,8.$
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum / 4: maximum
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum / 4: maximum
Die Funktionswerte an den Intervallrändern kannst du ebenfalls im Grafik-Menü bestimmen:
2nd $\to$ trace(calc) $\to$ 1: value
2nd $\to$ trace(calc) $\to$ 1: value
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Lass dir den Graphen von $f$ in deinem GTR anzeigen und bestimme anschließend die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte im relevanten Bereich für $0\leq x\leq 3,8.$
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX / F3: MIN
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX / F3: MIN
Die Funktionswerte an den Intervallrändern kannst du ebenfalls im Grafik-Menü bestimmen:
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F1: Y-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F1: Y-CAL
Es ergibt sich ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0,65\mid 3,85)$ und ein Hochpunkt mit $H(2,55\mid 6,85).$
Für die Intervallränder gilt $f(0)=6$ und $f(3,8)\approx 5,88.$
2. Schritt: Höhenunterschied berechnen
Die Differenz ist dann:
$6,85 - 3,85 = 3,00$
Der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt des Profils beträgt ca. $300\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Steilste Stelle des Geländes bestimmen
Gesucht ist die Stelle $x_1$ mit der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $f.$ Da diese durch $f'$ beschrieben wird, ist also die Stelle im betrachteten Intervall gesucht, an der $\left| f'(x)\right|$ maximal wird. Wie oben ergibt sich mit dem Grafik-Menü des GTRs:
$x_1 = 0 $
Das Gelände ist an der Stelle am steilsten, die im Modell durch $x_1=0$ beschrieben wird.
$\blacktriangleright$  Länge der Brücke bestimmen
Die Brücke befindet sich in einer Höhe von $500$ Metern. Die Endpunkte sind im Modell also die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Geraden $y= 5.$
Lass dir beide Graphen dazu im GTR anzeigen und bestimme die Schnittpunkte.
$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F5: INTSECT
F5 (G-Solv) $\to$ F5: INTSECT
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 5 \\[5pt] x_2&\approx& 0,16 \\[5pt] x_3&\approx& 1,36 \\[5pt] \end{array}$
Die Differenz ist $1,36-0,16 = 1,2.$ Die Brücke ist also ca. $120\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung ermitteln
Aus den vorherigen Aufgabenteilen weißt du, dass das östliche Ende der Brücke im Modell im Punkt $E(1,36\mid 5)$ und der höchste Punkt des Profils im Modell im Punkt $H(2,55\mid 6,85)$ liegt. Mit dem Differenzenquotienten ergibt sich die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6,85 - 5}{2,55-1,36}&\approx& 1,55 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung zwischen östlichem Brückenende und dem höchsten Punkt des Profils beträgt ca. $1,55.$
#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Mindestabstand überprüfen
Da sich das eine Ende des Seils im Punkt $P(1\mid 5)$ befindet, befindet sich das untere Ende des Seils im Punkt $P'(1\mid 4,7).$ Der Abstand des Punkts $P'$ zum Graphen von $f$ kann in Abhängigkeit von $x$ als Funktion $d$ dargestellt werden:
$d(x)= \sqrt{(4,7-f(x))^2 +(1-x)^2}$
$d(x)=$ $\sqrt{(4,7-f(x))^2 +(1-x)^2}$
Mit dem GTR kann nun wie zuvor mithilfe des Grafik-Menüs das Minimum von $d$ bestimmt werden:
$x_{\text{min}} \approx 1,20$ und $d(x_{\text{min}}) \approx 0,22.$
Der minimale Abstand zwischen dem unteren Ende des Seils und dem Geländeprofil beträgt ca. $22\,\text{m}.$ Der Mindestabstand wird also eingehalten.
c)
$\blacktriangleright$  Benötigte Höhe der Drohne ermitteln
Die Blickrichtung der Drohnenkamera kann durch eine Gerade modelliert werden. Die Kamera kann ab dem Punkt den Punkt $P$ erfassen, wenn diese Gerade im Modell eine Tangente an den Graphen von $f$ ist, die gleichzeitig durch den Punkt $P$ verläuft.
Für eine Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(x_q\mid f(x_q))$ gilt nach der entsprechenden Formel:
$t:\quad y=f'(x_q)\cdot (x-x_q)+f(x_q)$
$ t: \quad y = … $
Diese soll durch den Punkt $P(1\mid 5)$ verlaufen. Für die Ableitung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 1,2 x^3-8,4x^2+16,6x-7,6 \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=… $
Mit dem intersect-Befehl des GTRs kann die Gleichung nach $x_q$ gelöst werden:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& f'(x_q)\cdot (1-x_q)+f(x_q) \\[5pt] 5&=& \left(1,2 x_q^3-8,4x_q^2+16,6x_q-7,6 \right)\cdot (1-x_q)+0,3 x_q^4-2,8x_q^3+8,3x_q^2-7,6x_q+6 \\[5pt] 5&=& 1,2 x_q^3-8,4x_q^2+16,6x_q-7,6 -1,2 x_q^4+8,4x_q^3-16,6x_q^2+7,6x_q\\[5pt] && +0,3 x_q^4-2,8x_q^3+8,3x_q^2-7,6x_q+6 \\[5pt] 5&=& 6,8 x_q^3-16,7x_q^2+16,6x_q-1,6 -0,9 x_q^4&\quad \mid \; GTR \\[5pt] x_{q_1} &\approx& 2,07 \\[5pt] x_{q_2}&\approx& 3,86 > 3,8 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{q_1} &\approx& 2,07 \\[5pt] x_{q_2}&\approx& 3,86 > 3,8 \end{array}$
Die zweite Lösung liegt nicht im betrachteten Bereich. Die benötigte Tangente liegt also an der Stelle $x_q\approx 2,07$ am Graphen von $f$ an. Die zugehörige Tangentengleichung ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& f'(2,07)\cdot (x-2,07)+f(2,07) \\[5pt] &\approx& 1,41\cdot (x-2,07)+ 6,51 \\[5pt] &=& 1,41x + 3,59 \end{array}$
$ t:\, y= 1,41x + 3,59 $
Die Drohne bewegt sich entlang der Gerade $x=2,5.$
$t(2,5)\approx 7,12$
Die Höhe des Geländes ist an der Stelle:
$f(2,5)\approx 6,84$
Die Differenz beschreibt die Höhe der Drohne über dem Gelände:
$7,12-6,84 = 0,28$
Ab einer Höhe von ca. $28$ Metern über dem Gelände kann die Kamera den Ort auf der Brücke erfassen.
#tangente
d)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Tiefe des Sees berechnen
Die Wasseroberfläche des Sees liegt im Modell auf einer Geraden mit der Gleichung $y=b.$
1. Schritt: Endpunkte der Wasseroberfläche bestimmen
Da der See $30$ Meter breit ist, liegt das westliche Ende der Wasseroberfläche im Modell in der Stelle $x_s$ mit $f(x_s) = f(x_s+0,3).$ Lass dir die beiden Graphen von $f(x)$ und $f(x+0,3)$ im GTR anzeigen und bestimme mit dem intersect-Befehl die Schnittstellen.
Es folgt als einzige Lösung im angegebenen Intervall, da das westliche Ende des Sees westlich des Tiefpunkts des Geländeprofils liegen muss:
$x_s\approx 0,51$ und $f(x_s)\approx 3,93$
Die Wasseroberfläche des Sees liegt im Modell also auf der Geraden mit $y= 3,93$ im Intervall $[0,51\, ; \, 0,81].$
2. Schritt: Durchschnittliche Tiefe des Sees berechnen
Die Tiefe des Sees an der Stelle $x$ wird durch die Differenz $3,93-f(x)$ beschrieben. Der Durchschnitt dieser Differenz ergibt sich mithilfe eines Integrals, das du mit dem GTR berechnen kannst, indem du dir zunächst den Graphen zu $y=3,93-f(x)$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\frac{1}{0,81-0,51}\displaystyle\int_{0,51}^{0,81}(3,93-f(x))\;\mathrm dx \approx 0,05$
$ …\approx 0,05 $
Der See ist durchschnittlich $5$ Meter tief.
#integral

Aufgabe A 1.2

a)
$\blacktriangleright$  Nullstelle bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f_k(x) \\[5pt] 0&=& k\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] 0&=& k-2x &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 2x&=& k &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=& \frac{k}{2} \end{array}$
$ x= \frac{k}{2} $
Die Nullstelle von $f_k$ ist $x=\frac{k}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Damit $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k$ ist, muss $f_{k+2}'(x)=f_k(x)$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} f_{k+2}&=& (k+2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] f_{k+2}'(x)&=& (k+2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x -2\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (k+2-2)\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& k\cdot \mathrm e^x -2x\cdot \mathrm e^x\\[5pt] &=& f_k(x) \end{array}$
$ f_{k+2}'(x) = … = f_k(x) $
Also ist $f_{k+2}$ eine Stammfunktion von $f_k.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals exakt bestimmt werden. Die untere Integrationsgrenze ist $a=0,$ die obere ist die Nullstelle $b=x_0 = \frac{2}{2} = 1$ von $f_2:$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}f_2(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& f_4(1)-f_4(0)\\[5pt] &=& 4\cdot \mathrm e^1-2\cdot 1\cdot \mathrm e^1 - 4\cdot \mathrm e^0 +2\cdot 0\cdot \mathrm e^0 \\[5pt] &=& 2\mathrm e-4 \end{array}$
$ A= 2\mathrm e-4$
Der Inhalt der Fläche beträgt $2\mathrm e-4$ Flächeneinheiten.
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