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Wahlteil A2

Aufgaben PLUS
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Aufgabe A 2.1

Ein Klimaforscher beschreibt die Entwicklung der globalen Durchschnittstemperatur modellhaft durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=2,8\cdot \mathrm e^{0,008t}-0,03t +11,1;$ $0\leq t\leq 200.$
Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren seit Beginn des Jahres 1900 und $f(t)$ die globale Durchschnittstemperatur in Grad Celsius an.
Bearbeite die folenden Teilaufgaben anhand dieses Modells.
a)
Gib die globale Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 1900 an.
Gib die niedrigste globale Durchschnittstemperatur seit 1900 an.
In welchem Jahr wird die globale Durchschnittstemperatur $16,0^{\circ}C$ überschreiten?
Ermittle die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000.
Bestimme den Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im durch die Modellierung beschriebenen Zeitraum.
(4,5 BE)
#änderungsrate
b)
Formuliere eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung $f(t+10)-f(t)=0,5$ führt.
Nachdem die globale Durchschnittstemperatur ihren niedrigsten Wert erreicht hat, steigt sie immer weiter an.
Zeige, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft.
(3,5 BE)
c)
Es werden Klimaschutzmaßnahmen geplant. Greifen diese zum Zeitpunkt $t_0,$ so bleibt die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur konstant bei dem Wert, der durch das Modell des Klimaforschers für $t_0$ vorausgesagt wird.
Bestimme den spätesten Zeitpunkt $t_0,$ zu dem die Maßnahmen greifen müssen, damit die globale Durchschnittstemperatur $15,7^{\circ}C$ bis zum Beginn des Jahres 2050 nicht überschreiten wird.
(3 BE)
d)
Infolge alternativer Klimaschutzmaßnahmen kann der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur ab Beginn des Jahres 2020 durch beschränktes Wachstum modelliert werden. Der Graph der zugehörigen Funktion $g$ schließt sich dabei ohne Knick an den Graphen der Funktion $f$ an.
Außerdem stellt sich nach diesem neuen Modell langfristig eine globale Durchschnittstemperatur von $16,8^{\circ}C$ ein.
Bestimme einen Funktionsterm von $g.$
(4 BE)

Aufgabe A 2.2

Für jedes $a> 0$ ist eine Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=-ax^4+4ax^2$ gegeben.
#funktionenschar
a)
Begründe, dass der Graph von $f_a$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
Zeige ohne Verwendung des CAS, dass die Nullstellen der Funktion $f_a$ unabhängig von $a$ sind.
(2 BE)
#achsensymmetrie
b)
Sowohl der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{32}{15}\pi\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ als auch der Graph von $f_a$ schließen für $0\leq x\leq 2$ eine Fläche mit der $x$-Achse ein.
Bestimme $a$ so, dass beide Flächen den gleichen Inhalt haben.
(3 BE)
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