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Wahlteil B2

Aufgaben
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Alle Aufgabenteile sind auch für das Abi ab 2019 geeignet.
Gegeben sind die Ebenen $E:\quad 4x_1 +2x_2+x_3 = 4$ und $F:\quad 2x_1+x_3=4.$
a)
Stelle die Ebene $E$ in einem Koordinatensystem dar.
Zeige, dass $E$ nicht orthogonal zu $F$ ist.
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebenen $E$ und $F.$
(3 BE)
#schnittgerade
Die Ebenen $E$ und $F$ gehören zur Ebenenschar $E_a:\quad ax_1+(a-2)x_2+x_3 = 4,$ $a\in \mathbb{R}.$
b)
Gib an, für welche Werte von $a$ die zugehörige Ebene $E_a$ alle drei Koordinatenachsen schneidet.
Für diese Werte von $a$ bilden die Spurpunkte von $E_a$ zusammen mit dem Koordinatenursprung die Eckpunkte einer Pyramide.
Bestimme einen Wert für $a$ so, dass das Pyramidenvolumen $6\,\text{VE}$ beträgt.
(4 BE)
#pyramide
c)
Bestimme den Wert für $a$ so, dass der Abstand von $P(0\mid 0\mid 1)$ zu $E_a$ maximal ist.
Begründe, dass die Schar keine zueinander parallelen Ebenen enthält.
(3 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Ebene im Koordinatensystem darstellenWahlteil B2
Als Spurpunkte von $E$ ergeben sich: $S_1(1\mid 0\mid 0),$ $S_2(0\mid 2\mid 0)$ und $S_3(0\mid 0\mid 4).$ Damit ergibt sich folgende Darstellung:
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Ebenen nicht orthogonal sind
Die Ebenen sind orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\2\\1} \circ \pmatrix{2\\0\\1}&=& 4\cdot 2 +2\cdot 0 + 1\cdot 1 \\[5pt] &=& 9 \neq 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{4\\2\\1} \circ \pmatrix{2\\0\\1}\\[5pt] =& 4\cdot 2 +2\cdot 0 + 1\cdot 1 \\[5pt] =& 9 \neq 0 \end{array}$
Die beiden Ebenen $E$ und $F$ sind also nicht orthogonal.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Ziel ist es $x_1,$ $x_2$ und $x_3$ in Abhängigkeit eines Geradenparameters $t$ darzustellen. Setze also beispielsweise $x_1=t.$ Dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x_1&=& t \\ \text{II}\quad&4t+2x_2+x_3&=& 4 \\ \text{III}\quad&2t+x_3&=& 4 \\ \end{array}$
Aus $\text{III}$ erhältst du direkt eine Darstellung für $x_3:$
$x_3 = 4-2t$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert dann eine Darstellung für $x_2:$
$\begin{array}[t]{rll} 4t+2x_2+x_3&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 4-2t \\[5pt] 4t+2x_2+4-2t&=& 4 \\[5pt] 2t+2x_2+4&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;-4;-2t \\[5pt] 2x_2&=& -2t&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x_2&=& -t \end{array}$
$ x_2=-t $
Eine Gleichung der Schnittgerade ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x} &=& \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{t\\-t\\4-2t} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\4}+t\cdot\pmatrix{1\\-1\\-2} \\[5pt] \end{array}$
$ s:\quad \overrightarrow{x} = … $
#skalarprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Ebene $E_a$ schneidet dann eine der Koordinatenachsen nicht, wenn einer der Koeffizienten Null ist. Damit sie also alle drei Achsen schneidet, darf vor keiner Koordinate der Koeffizient Null sein. Es darf daher nicht $a=0$ oder $a=2$ sein.
Für $a\in \mathbb{R}\setminus \{0;2\}$ schneidet $E_a$ alle drei Koordinatenachsen.
$\blacktriangleright$  Parameterwert für das richtige Pyramidenvolumen bestimmen
1. Schritt: Koordinaten der Spurpunkte bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} ax_1+(a-2)\cdot 0 +0 &=& 4 \\[5pt] ax_1&=& 4\\[5pt] x_1&=& \frac{4}{a}\\[5pt] \end{array}$
$ x_1= \frac{4}{a} $
Der Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse ist also $S_1\left(\frac{4}{a}\mid 0\mid 0\right).$
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot 0+(a-2)\cdot x_2 +0 &=& 4 \\[5pt] (a-2)\cdot x_2&=& 4\\[5pt] x_2&=& \frac{4}{a-2}\\[5pt] \end{array}$
$ x_2=\frac{4}{a-2} $
Der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse ist also $S_2\left(0\mid\frac{4}{a-2}\mid 0\right).$
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot 0+(a-2)\cdot 0 + x_3 &=& 4 \\[5pt] x_3&=& 4\\[5pt] \end{array}$
$ x_3=4 $
Der Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse ist also $S_3\left(0\mid 0\mid 4\right).$
2. Schritt: Gleichung für das Volumen aufstellen und lösen
Das Dreieck mit den Eckpunkten $S_1,$ $S_2$ und $O$ kann als Grundfläche der Pyramide aufgefasst werden und besitzt einen rechten Winkel in $O.$ Die Katheten des Dreiecks sind $\left|\frac{4}{a}\right|$ und $\left|\frac{4}{a-2}\right|$ Längeneinheiten lang. Die Größe der Grundfläche beträgt also:
$G = \dfrac{1}{2}\cdot \left|\dfrac{4}{a} \cdot \dfrac{4}{a-2}\right| = \left|\dfrac{8}{a(a-2)}\right|\,\text{[FE]}$
$ G= \left|\frac{8}{a(a-2)}\right|\,\text{[FE]} $
Die Höhe der Pyramide beträgt $4\,\text{LE}$. Mit der Formel für das Pyramidenvolumen ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} V(a)&=& \dfrac{1}{3}\cdot \left|\dfrac{8}{a(a-2)}\right|\,\text{FE} \cdot 4\,\text{LE} \\[5pt] &=& \left|\dfrac{32}{3a(a-2)}\right|\,\text{VE} \end{array}$
$ V(a)=\left|\frac{32}{3a(a-2)}\right|\,\text{VE} $
Gleichsetzen mit $6$ liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $a.$ Diese Gleichung kannst du mit dem intersect-Befehl deines GTRs lösen, indem du die Schnittstellen von $y=\left|\dfrac{32}{3a(a-2)}\right|$ und $ y=6$ bestimmst:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\dfrac{32}{3a(a-2)}\right| &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] a_1&=& -\frac{2}{3}\\[5pt] a_2&=& \frac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& -\frac{2}{3}\\[5pt] a_2&=& \frac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
Für $a=-\frac{2}{3}$ und $a= \frac{8}{3}$ beträgt das Volumen der Pyramide genau $6\,\text{VE}.$
c)
$\blacktriangleright$  Parameterwert für den maximalen Abstand bestimmen
1. Schritt: Hessesche Normalenform bestimmen
Der in der angegebenen Ebenengleichung von $E_a$ verwendete Normalenvektor lautet $\overrightarrow{n}_a= \pmatrix{a\\a-2\\1}.$ Der zugehörige Betrag ist:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{n} \right| &=& \left|\pmatrix{a\\a-2\\1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{a^2+(a-2)^2 + 1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{a^2+a^2-4a+4+1} \\[5pt] &=& \sqrt{2a^2-4a+5} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{n} \right| = \sqrt{…} $
Eine Darstellung von $E_a$ in der Hesseschen Normalenform lautet also:
$E_a: \quad \dfrac{ax_1+(a-2)x_2+x_3-4}{\sqrt{2a^2-4a+5}} = 0$
$ E_a: \quad … $
2. Schritt: Funktion für den Abstand aufstellen
Der Abstand eines Punkts $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$ zu $E_a$ kann dann mit folgendem Term bestimmt werden:
$d(E_a,P) = \dfrac{\left|ax_1+(a-2)x_2+x_3-4\right|}{\sqrt{2a^2-4a+5}}$
$d(E_a,P) =$ $\frac{\left|ax_1+(a-2)x_2+x_3-4\right|}{\sqrt{2a^2-4a+5}}$
Einsetzen der Koordinaten von $P(0\mid 0\mid 1)$ liefert folgende Funktion in Abhängigkeit von $a:$
$\begin{array}[t]{rll} d(a)&=& \dfrac{\left|a\cdot 0+(a-2)\cdot 0+1-4\right|}{\sqrt{2a^2-4a+5}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{\sqrt{2a^2-4a+5}} \end{array}$
$ d(a)=\dfrac{3}{\sqrt{2a^2-4a+5}} $
3. Schritt: Maximum bestimmen
Mit deinem GTR kannst du die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $d$ bestimmen. Lass dir den Graphen von $d$ im Graphik-Menü anzeigen.
$\blacktriangleright$ TI 84-Plus
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
$a_{\text{max}} = 1 $
Für $a=1$ ist der Abstand von $E_a$ und $P$ maximal.
$\blacktriangleright$  Nichtparallelität begründen
Zwei Ebenen $E_{a_1}$ und $E_{a_2}$ mit $a_1\neq a_2$ der Ebenenschar $E_a$ sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind, wenn es also einen Faktor $k\in \mathbb{R}$ gibt, sodass $\overrightarrow{n}_{a_1} = k\cdot \overrightarrow{n}_{a_2}$ ist. Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{a_1\\ a_1-2 \\ 1}&=&k\cdot \pmatrix{a_2\\a_2-2 \\ 1} \end{array}$
Aus der $x_3$-Koordinate folgt $k=1.$ Dann wäre aufgrund der $x_1$-Koordinate aber auch $a_1=a_2.$ Es gibt also keine zwei verschiedenen Werte für $a,$ sodass die Ebenen der Schar parallel sind.
#hesseschenormalform
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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