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Wahlteil C1

Aufgaben PLUS
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Aufgabe C 1.1

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
#binomialverteilung
a)
$800$ Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Genau $30$ der Teile sind fehlerhaft.“
„Mindestens $5\,\%$ der Teile sind fehlerhaft.“
(1,5 BE)
b)
Ermittle, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $100$ Teile keinen Fehler haben.
(2 BE)
c)
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens $4\,\%.$“ auf der Grundlage einer Stichprobe von $500$ Teilen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
(2,5 BE)
#hypothesentest

Aufgabe C 1.2

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei Sektoren in den Farben rot, grün und blau hat. Für einen Einsatz von $5\,\text{Euro}$ darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm $10\,\text{Euro}$ ausgezahlt.
Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, beträgt ebenfalls $\frac{1}{6}.$
a)
Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen.
Berechne den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
(1,5 BE)
b)
Die ursprünglichen Größen der Sektoren werden geändert. Dabei soll der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors größer als $180^{\circ}$ werden.
Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die drei Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
Bestimme die Weite des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.
(2,5 BE)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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