Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 11
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur (CAS)
Abitur bis 2011
Abitur (CAS)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur (CAS)
Abitur bis 2011
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Teil B

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0\mid 0\mid 0)$ und $P_2(5\mid 10\mid 0)$ dargestellt. Außerdem sind die Eckpunkte $A(3\mid 0\mid 2),$ $B(0\mid 3\mid 2),$ $E(6\mid 0\mid 0),$ $F( 0\mid 6\mid 0),$ $R(5\mid7\mid3)$ und $T(2\mid 10\mid 3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
a)
In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechne die Länge des Seils.
(3 BE)
b)
Die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$ Ermittle eine Gleichung von $L$ in Normalenform.
[Zur Kontrolle: $L:\quad 2x_1 + 2x_2 + 3x_3- 12 =0$]
(3 BE)
#normalenform
c)
Zeige, dass die Kletterwand die Form eines gleichschenkligen Trapezes hat, und berechne den Flächeninhalt der Kletterwand.
(5 BE)
#trapez
d)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
#schnittwinkel
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1,80\,\text{m}.$ Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.
e)
Begründe, dass der Flächeninhalt des Netzes unabhängig davon ist, in welcher Höhe sich die beiden $1,80\,\text{m}$ voneinander entfernten Eckpunkte des Netzes an Pfahl 2 befinden.
(2 BE)
f)
Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke $[RT]$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten $(5\mid 10\mid h)$ mit einer reellen Zahl $h > 3.$ Die untere Netzkante liegt auf der Geraden
$g:\quad \overrightarrow{X} =$ $\pmatrix{0\\0\\2}+ \lambda \cdot \pmatrix{5\\10\\h-2},$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Berechne den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.
(4 BE)

(20 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnen
1. Schritt: Koordinaten der Kantenmittelpunkte bestimmen
Mit der Mittelpunktsformel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{3\\0\\2} + \pmatrix{0\\3\\2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE} +\overrightarrow{OF}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\0\\0} + \pmatrix{0\\6\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=&\pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge berechnen
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ergibt sich über den Vektorbetrag, den du auch mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen kannst. Insgesamt ergibt sich also für die Länge $l$ des Seils:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,2\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \sqrt{1,5^2+1,5^2 +(-2)^2} \\[5pt] &\approx& 3,50 \\[5pt] \end{array}$
$ l\approx 3,50 $
Das Seil ist ca. $3,50\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform ermitteln
Ein Normalenvektor von $L$ kann über das Kreuzprodukt zweier nicht paralleler Verbindungsvektoren von drei Punkten bestimmt werden, die in der Ebene liegen sollen. Das Kreuzprodukt kannst du auch mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\0}\times \pmatrix{3\\0\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 3\cdot (-2) - 0\cdot 0 \\ 0\cdot 3 -(-3)\cdot (-2) \\ (-3)\cdot 0 - 3\cdot 3 } \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\-6\\-9} \\[5pt] &=& -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3}$
Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} L:\quad 2\cdot x_1 +2\cdot x_2 +3\cdot x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; F(0\mid 6\mid 0)\\[5pt] 2\cdot 0 +2\cdot 6 +3 \cdot 0 &=& d \\[5pt] 12&=& d \end{array}$
$ d = 12 $
Eine Gleichung von $L$ in Normalenform lautet:
$L:\quad 2 x_1 +2 x_2 +3 x_3 -12=0$
$ L: \,… $
#kreuzprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck $AEFB$ handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass mit großer Wahrscheinlichkeit die beiden Strecken $[AB]$ und $[EF]$ parallel sind. Überprüfe also, ob die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{-3\\3\\0}&=& a\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Diese Gleichung ist für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind also parallel. Die Kletterwand ist demnach trapezförmig.
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit zeigen
Das Trapez ist gleichschenklig, wenn es achsensymmetrisch ist. Die Symmetrieachse verläuft dann senkrecht zu den beiden parallelen Seiten durch ihre Mittelpunkte. Das Trapez ist also gleichschenklig, wenn $\overrightarrow{M_1M_2}$ senkrecht zu $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ ist. Dies ist der Fall, wenn das jeweilige Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{M_1M_2}&=& \pmatrix{-3\\3\\0} \circ \pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \\[5pt] &=& -3\cdot 1,5 +3\cdot 1,5 +0\cdot (-2) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_1M_2}&=& \pmatrix{-6\\6\\0} \circ \pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \\[5pt] &=& -6\cdot 1,5 +6\cdot 1,5 +0\cdot (-2) \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{M_1M_2}&=&0 \\[10pt] \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_1M_2}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Das Trapez $AEFB$ besitzt also die Gerade durch die Punkte $M_1$ und $M_2$ als Symmetrieachse und ist damit gleichschenklig. Die Kletterwand hat damit insgesamt die Form eines gleichschenkligen Trapezes.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Kletterwand berechnen
Aufgrund der obigen Ergebnisse bezüglich der Gleichschenkligkeit des Trapezes $AEFB$ entspricht die Länge der Strecke $[M_1M_2]$ der Höhe des Trapezes. Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \right|+\left|\overrightarrow{EF} \right|}{2}\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{18}+\sqrt{72}}{2}\cdot \sqrt{8,5} \\[5pt] &\approx& 18,55 \end{array}$
$ A\approx 18,55 $
Die Kletterwand hat einen Flächeninhalt von ca. $18,55\,\text{m}^2.$
#skalarprodukt
d)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Der Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Ein zugehöriger Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Kletterwand liegt im Modell in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{2\\2\\3}.$ Verwende die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen. Das Skalarprodukt kannst du auch mit dem dotP-Befehl deines CAS berechnen oder die Gleichung mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{2\\2\\3} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\2\\3} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{2^2+2^2+3^2} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{ \sqrt{17} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 43,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,3^{\circ} $
Die Kletterwand schließt einen Winkel der Größe von ca. $43,3^{\circ}$ ein.
e)
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit begründen
Da die beiden Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen sind sie parallel zueinander. Da jeweils zwei Ecken des Netzes an einem Pfahl befestigt sind, sind die beiden Seiten des Vierecks, die an den Pfählen befestigt sind, parallel zueinander. Das Viereck, das das Netz darstellt, ist also ein Trapez, dessen parallele Seiten beide $a=c=1,80\,\text{m}$ lang sind.
Die Höhe des Trapezes entspricht dem Abstand der beiden Pfähle und ist daher unabhängig von der Höhe, in der die Eckpunkte an den Pfählen befestigt werden.
Zur Flächenberechnung eines Trapezes wird außer der Höhe nur noch die Länge der beiden parallelen Seiten benötigt. Diese ist ebenfalls unabhängig von der Höhe der Befestigung, da sie laut Aufgabenstellung $1,80\,\text{m}$ beträgt. Insgesamt ist also der Flächeninhalt des Netzes unabhängig von der Höhe der Befestigung der Eckpunkte.
#trapez
f)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Gesucht ist der Schnittpunkt von $g$ mit der Gerade $h_2,$ auf der im Modell Pfahl 2 liegt. Dazu muss $h$ so bestimmt werden, dass $g$ die Gerade durch die Punkte $R$ und $T$ schneidet, da das Netz die Plattform in dieser Kante berühren soll.
Eine Gleichung dieser Geraden lautet:
$\begin{array}[t]{rll} h_1: \quad \overrightarrow{X} &=& \overrightarrow{OR} + \mu\cdot \overrightarrow{RT}\\[5pt] &=& \pmatrix{5\\7\\3} + \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \end{array}$
$ h_1: … $
Gleichsetzen mit $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\2} + \lambda\cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}&=& \pmatrix{5\\7\\3} + \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{0\\0\\2}; - \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \\[5pt] \lambda\cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}- \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &=& \pmatrix{5\\7\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\0\\2} + … $
Mit dem solve-Befehl des CAS kann diese Gleichung gelöst werden:
$\mu = \frac{1}{3},\quad$ $\lambda = 0,8\,,\quad$ $h = 3,25$
Der betrachtete Eckpunkt hat also die Koordinaten $(5\mid 10 \mid 3,25).$
Die Plattformen verlaufen horizontal. Der Abstand des betrachteten Eckpunktes des Netzes zur Plattform 2 ergibt sich daher über die Differenz der $x_3$-Koordinaten. Die Punkte auf der Plattform 2 haben im Modell alle die $x_3$-Koordinate $3.$ Die $x_3$-Koordinate des betrachteten Eckpunktes beträgt im Modell $3,25.$ Der betrachtete Eckpunkt des Netzes hat zur Plattform 2 also einen Abstand von $0,25\,\text{m}.$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App