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Analysis A I

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1.0
1.1
Skizziere den Graphen $G_{g'}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem und gib die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g'$ an.
(5 BE)
#ableitung#monotonie
1.2.0
Zur Bestimmung des Funktionsterms $g(x)$ ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{llrrll} \text{I}\quad&216a+36b+6c+d&=& 0 \\ \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 \\ \end{array}$
1.2.1
Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
(4 BE)
1.2.2
Bestimme $g(x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1.2.0.
(7 BE)
2.0
Gegeben ist nun die Funktion
$f: \quad x \to \frac{1}{10}\cdot g(x)=\frac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$
$f: \quad x \to \frac{1}{10}\cdot g(x)=$ $\frac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$
mit $\mathbb{D}_f= \mathbb{R},$ wobei $g$ die Funktion aus Teilaufgabe 1.2.2 ist. Der Graph wird mit $G_f$ bezeichnet.
2.1
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_f$ mit den Koordinatenachsen.
(7 BE)
2.2
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f.$ Runde die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.
(6 BE)
#extrempunkt
2.3
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_f.$
(4 BE)
#krümmung
2.4
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_f$ im Bereich $-1\leq x\leq 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1\,\text{LE}=1 \text{cm}.$
(5 BE)
2.5
Es gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6}f(x)\;\mathrm dx = 0.$ Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_f.$
(2 BE)
#integral
2.6
Die Parabel $G_p$ mit $p(x)= -0,1x^2+0,4x+1,2$ und $\mathbb{D}_p=\mathbb{R}$ schließt mit $G_f$ im $\text{I.}$ und $\text{IV.}$ Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein.
Zeichne $G_p$ für $-1\leq x\leq 10$ in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffiere das linke der beiden Flächenstücke und berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
(7 BE)
3.0
3.1
Ermittle die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ und gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:\quad h\to V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6\,\text{cm}$ betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: $V(h)=h\pi (100-h^2)$]
(4 BE)
#zylinder
3.2
Berechne $h$ so, dass $V(h)$ den absolut größten Wert annimmt, und untersuche, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
(9 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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