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Stochastik S I

Aufgaben
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Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0
Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten Tennisbälle hinsichtlich der Qualität geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass $90\,\%$ der Bälle den richtigen Durchmesser aufweisen $(D),$ $10\,\%$ Fehler in der Form $(\overline{F})$ sowie $20\,\%$ Fehler in der Elastizität $(\overline{E})$ zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhängig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig aus- gewählter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.
1.1
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
(5 BE)
#baumdiagramm
1.2.0
Gegegen seien folgende Ereignisse:
„Der Ball weist genau $2$ Fehler auf. “
$\{DFE;DF\overline{E};\overline{D}FE;\overline{D}F\overline{E}\}$
1.2.1
Gib $E_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fasse $E_2$ möglichst einfach in Worte. Prüfe ferner $E_1$ und $E_2$ auf stochastische Unabhängigkeit.
(5 BE)
#stochastischeunabhängigkeit
1.2.2
Gib ein Ereignis $E_3$ an, für das gilt: $ 10\cdot P(E_3) = P(E_2)$
(2 BE)
2.0
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in 1.0 genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.
2.1
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$
(2 BE)
2.2
Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
(5 BE)
#standardabweichung#erwartungswert
In den Teilaufgaben 3 und 4 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit $p = 0,65.$
3
Einem Vorratsbehälter werden der Reihe nach $15$ Bälle mit Zurücklegen entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Genau $5$ Bälle sind fehlerfrei. “
„Genau $7$ Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“
„Mindestens $10$, aber weniger als $14$ Bälle sind fehlerfrei.“
„Nur $2$ entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“
(6 BE)
4.0
Nach Anschaffung einer neuen Maschine behauptet der Hersteller, dass der Anteil fehlerfreier Bälle auf über $65\,\%$ gestiegen ist (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest mit $100$ zufällig ausgewählten Bällen durchgeführt.
#hypothesentest
4.1
Sind mindestens $70$ Bälle fehlerfrei, so geht man von einer verbesserten Maschine aus.
Gib die Testgröße sowie die Nullhypothese an und berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
(4 BE)
4.2
Ermittle den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5\,\%$-Niveau.
(4 BE)
5.0
Die Tennisfreunde Bernie Ball und Nobby Netz vereinbaren eine kleine Trainingseinheit von $4$ Spielen. Bei jedem Spiel hat Bernie die konstante Gewinnwahrscheinlichkeit $p > 0 .$
Das Ereignis „Bernie gewinnt genau einmal“ ist doppelt so wahrscheinlich wie das Ereignis „Bernie gewinnt nie“.
5.1
Berechne hieraus $p.$
[Ergebnis: $p=\frac{1}{3}$ ]
(4 BE)
5.2
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
„Bernie gewinnt genau zweimal. “
„Bernie gewinnt höchstens einmal.“
(3 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ermitteln
Stochastik S I
Stochastik S I
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik S I
Abb. 1: Baumdiagramm
Gehe alle möglichen Pfade nacheinander durch und berechne die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadmultiplikationsregel.
$\begin{array}[t]{rll} P(DFE)&=& 0,9\cdot0,9\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,648 \\[10pt] P(DF\overline{E})&=& 0,9\cdot 0,9\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,162\\[10pt] P(D\overline{F}E)&=&0,9\cdot 0,1\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,072 \\[10pt] P(D\overline{F}\overline{E})&=& 0,9\cdot 0,1\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,018\\[10pt] P(\overline{D}FE)&=&0,1\cdot 0,9\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,072 \\[10pt] P(\overline{D}F\overline{E})&=& 0,1\cdot0,9\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,018 \\[10pt] P(\overline{D}\overline{F}E)&=& 0,1\cdot 0,1\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,008 \\[10pt] P(\overline{D}\overline{F}\overline{E})&=&0,1\cdot 0,1\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,002 \end{array}$
#pfadregeln
1.2.1
$\blacktriangleright$  Ereignis in Mengenschreibweise angeben
$E_1=\{D\overline{F}\overline{E};\overline{D}F\overline{E};\overline{D}\overline{F}E\}$
$\blacktriangleright$  Ereignis in Worten angeben
$E_2:$ „Der Ball weist keinen Fehler in der Form auf.“
$\blacktriangleright$  Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn gilt $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B).$
$E_1\cap E_2 = \{\overline{D}F\overline{E}\}$
Mit der Pfadadditionsregel und dem Ergebnis aus 1.1 folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&=& 0,018 \\[10pt] P(E_1)&=& 0,018 + 0,008+0,018 \\[5pt] &=& 0,044\\[10pt] P(E_2)&=& 0,648 + 0,162 + 0,072 + 0,018 \\[5pt] &=& 0,9 \\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=& 0,044 \cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,0396 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&=& 0,018 \\[10pt] P(E_1)&=& 0,044\\[10pt] P(E_2)&=& 0,9 \\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=& 0,0396 \\[10pt] \end{array}$
Es ist also $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1)\cdot P(E_2).$ Die beiden Ereignisse $E_1$ und $E_2$ sind stochastisch abhängig.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Ereignis angeben
Nach 1.2.1 gilt $P(E_2) = 0,9.$ Für $E_3$ soll also gelten $P(E_3)= 0,09.$ Du benötigst also Elementarereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten in Summe $0,09$ ergeben.
Eine mögliche Lösung ist:
$E_3= \{D\overline{F}E;D\overline{F}\overline{E}\}$
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen
Die Zufallsgröße $X$ kann vier verschiedene Werte annehmen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du über die Pfadadditionsregel mithilfe der Elementarereignisse bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& P(DFE) \\[5pt] &=& 0,648\\[10pt] P(X=1)&=& P(DF\overline{E}) +P(D\overline{F}E) +P(\overline{D}FE) \\[5pt] &=& 0,162 + 0,072 + 0,072 \\[5pt] &=& 0,306 \\[10pt] P(X=2) &=& P(D\overline{F}\overline{E}) + P(\overline{D}F\overline{E}) + P(\overline{D}\overline{F}E) \\[5pt] &=& 0,018 + 0,018 + 0,008\\[5pt] &=& 0,044\\[10pt] P(X=3)&=& P(\overline{D}\overline{F}\overline{E}) \\[5pt] &=& 0,002 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& 0,648\\[10pt] P(X=1)&=& 0,306 \\[10pt] P(X=2) &=& 0,044\\[10pt] P(X=3)&=& 0,002 \\[5pt] \end{array}$
#pfadregeln
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 0\cdot P(X=0) + 1\cdot P(X=1) + 2\cdot P(X=2)+ 3\cdot P(X=3) \\[5pt] &=& 0\cdot 0,648 + 1\cdot 0,306 +2\cdot 0,044 +3\cdot 0,002 \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 0,4 \end{array}$
Der Erwartungswert beträgt also $E(X)= 0,4.$ Für die Standardabweichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma^2&=& (0-0,4)^2\cdot 0,648+(1-0,4)^2\cdot 0,306 + (2-0,4)^2\cdot 0,044 + (3-0,4)^2\cdot 0,002 \\[5pt] \sigma^2&=& 0,34 \\[5pt] \sigma&=& \sqrt{0,34} \\[5pt] \sigma&\approx& 0,58 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&\approx& 0,58 \end{array}$
Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(0,4-0,58 \leq X \leq 0,4+0,58 )&=& P(-0,18\leq X \leq 0,98 ) \\[5pt] &=& P(X=0) \\[5pt] &=& 0,648 \end{array}$
$… = 0,648 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,648$ weichen die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert ab.
3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der fehlerfreien Bälle unter den $15$ entnommenen Bällen beschreibt. Da der Ball entweder fehlerfrei oder fehlerhaft ist, es aber keine anderen Möglichkeiten gibt, und die Bälle mit Zurücklegen entnommen werden, kann $Y$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=15$ und $p=0,648$ angenommen werden.
Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für $E_4:$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=& P(Y=5) \\[5pt] &=& \binom{15}{5}\cdot 0,648^5\cdot 0,352^{10} \\[5pt] &\approx& 0,0100 \\[5pt] &=&1,00\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=& 1,00\,\% \end{array}$
Für das zweite Ereignis kannst du die Pfadmultiplikationsregel und ebenfalls die Binomialverteilung verwenden, indem du die $15$ Bälle in zwei Durchgänge unterteilst. Der erste Durchgang umfasst die ersten fünf Bälle, von denen keiner fehlerfrei sein soll. Der zweite Durchgang umfasst die übrigen $10$ Bälle, von denen genau $7$ fehlerfrei sein sollen.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& 0,352^5\cdot \binom{10}{7}\cdot 0,648^7\cdot 0,352^3 \\[5pt] &\approx& 0,0014 \\[5pt] &=& 0,14\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(E_5)\approx 0,14\,\% $
Für $E_6$ kann ebenfalls $Y$ verwendet werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=& P(10\leq Y \leq 13) ; \\[5pt] &=& P(Y=10) + P(Y=11)+P(Y=12)+P(Y=13) \\[5pt] &=& \binom{15}{10}\cdot 0,648^{10}\cdot 0,352^5 + \binom{15}{11}\cdot 0,648^{11}\cdot 0,352^4\\[5pt] && + \binom{15}{12}\cdot 0,648^{12}\cdot 0,352^3 + \binom{15}{13}\cdot 0,648^{13}\cdot0,352^2 \\[5pt] &\approx& 0,5441 \\[5pt] &=& 54,41\,\% \end{array}$
$ P(E_6)\approx 54,41\,\% $
Für das vierte Ereignis musst du die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, die es gibt, sodass zwei fehlerhafte Bälle hintereinander folgen, aber alle anderen Bälle fehlerfrei sind. Die beiden fehlerhaften Bälle könnten beispielsweise die ersten oder die letzten Bälle sein. Es könnte erst ein fehlerfreier Ball und dann die zwei fehlerhaften Bälle gezogen werden usw. Es gibt insgesamt $14$ Möglichkeiten. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_7)&=&14\cdot 0,352^2\cdot 0,648^13 \\[5pt] &\approx& 0,0062 \\[5pt] &=& 0,62\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(E_7)\approx 0,62\,\% $
#binomialverteilung
4.1
$\blacktriangleright$  Testgröße und Nullhypothese angeben
Die Testgröße $T$ beschreibt die Anzahl der fehlerfreien Bälle unter $100$ zufällig ausgewählten Bällen. Diese ist binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,65.$
Da die Gegenhypothese $H_1:\, p> 0,65$ lautet, wird ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt. Die Nullhypothese lautet daher:
$H_0:\, p = 0,65$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art berechnen
Der Annahmebereich der Nullhypothese ist:
$A= \{0;1;…;69\}$
Der Ablehnungsbereich ist entsprechend:
$\overline{A} = \{70;71;…;100\}$
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(T\geq 70)&=& 1- P(T\leq 69) &\quad \scriptsize \text{Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung}\\[5pt] &=& 1- F_{100;0,65}(69) \\[5pt] &\approx& 1- 0,82698 \\[5pt] &=& 0,17302 \\[5pt] &=& 17,302\,\% \end{array}$
$ P(T\geq 70)\approx 17,302\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. $17,302\,\%.$
#binomialverteilung
4.2
$\blacktriangleright$  Maximalen Ablehnungsbereich ermitteln
Es gilt mit der gleichen Testgröße $T$ wie oben:
  • Nullhypothese: $H_0:\, p =0,65$
  • Gegenhypothese: $H_1:\, p > 0,65$
  • neues Signifikanzniveau: $\alpha = 5\,\%$
  • Annahmebereich: $A= \{0;1;…;k\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A}=\{k+1;k+2;…;100\}$
Aufgrund des Signifikanzniveaus muss folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(T\geq k+1)&\leq & 0,05 \\[5pt] 1-P(T\leq k)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;+P(T\leq k) \\[5pt] 1&\leq& 0,05+P(T\leq k) &\quad \scriptsize \mid\; -0,05 \\[5pt] 0,95&\leq& P(T\leq k) \end{array}$
$ 0,95\leq P(T\leq k) $
Bestimme also mithilfe der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ das kleinste $k,$ für das gerade noch $ P(T\leq k) \geq 0,95 $ gilt. Du erhältst $k=73.$
Der maximale Ablehnungsbereich ist demnach:
$\overline{A}=\{74;75;…;100\}$
5.1
$\blacktriangleright$  Bernies Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Spiele beschreibt, die Bernie unter den vier gespielten Spielen gewinnt. Da Bernies Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ konstant ist und Bernie entweder gewinnt oder nicht gewinnt, kann $Z$ als binomialverteilt mit $n=4$ und unbekanntem $p> 0$ angenommen werden.
Es soll gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)&=& 2\cdot P(Z=0) \\[5pt] \binom{4}{1}\cdot p^1\cdot (1-p)^3&=& 2\cdot \binom{4}{0}\cdot p^0\cdot (1-p)^4 \\[5pt] 4\cdot p\cdot (1-p)^3&=& 2\cdot (1-p)^4 &\quad \scriptsize \mid\;:(1-p)^3\,\text{mit } p\neq 1 \\[5pt] 4\cdot p&=&2\cdot (1-p) &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 2p&=&1-p &\quad \scriptsize \mid\; +p\\[5pt] 3p&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] p&=&\frac{1}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)&=& 2\cdot P(Z=0) \\[5pt] &… &\\[5pt] p&=&\frac{1}{3} \end{array}$
Da $p=1$ im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist, da Bernie dann sicher jedes Spiel gewinnen würde, gilt $p=\frac{1}{3}.$
#binomialverteilung
5.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Mit den obigen Ergebnissen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_8)&=& P(Z=2) \\[5pt] &=& \dbinom{4}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^2\cdot \left(\dfrac{2}{3} \right)^2 \\[5pt] &\approx& 0,2963\\[10pt] P(E_9)&=&P(Z\leq 1) \\[5pt] &=& P(Z=0)+P(Z=1) \\[5pt] &=& \dbinom{4}{0}\cdot \left( \dfrac{1}{3}\right)^0\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 + \dbinom{4}{1}\cdot \left( \dfrac{1}{3}\right)^1\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 0,5926 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_8)&\approx& 0,2963\\[10pt] P(E_9)&\approx& 0,5926 \end{array}$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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