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Stochastik S II

Aufgaben
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Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0
Die Fluggesellschaft TransAir bietet ihren Fluggästen neben den Standardmenüs $(S)$ auch vegetarische Menüs $(\overline{S})$ an. Es werden nun die Fluggäste betrachtet, die tatsächlich essen und trinken.
Diese Passagiere entscheiden sich zu $80\,\%$ für den Menütyp $S,$ und von diesen wählen $75\,\%$ Fleisch $(F),$ der Rest Fisch $(\overline{F}).$
Von denen, die den Menütyp $\overline{S}$ bevorzugen, entscheidet sich ein Fünftel für vegane Kost $(V),$ der Rest für nicht vegane Kost $(\overline{V}).$
Alle Fluggäste haben ferner die Wahlmöglichkeit zwischen einem alkoholischen Getränk $(A)$ und einem alkoholfreien Getränk $(\overline{A}).$ Wählt ein Fluggast ein Standardmenü, so entscheidet er sich zu $50\,\%$ für ein alkoholisches Getränk, ansonsten nur zu $25\,\%.$ Die Entscheidung eines zufällig ausgewählten Passagiers für Menütyp, Speise und Getränk wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1.1
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
(5 BE)
#baumdiagramm
1.2.0
Gegeben seien folgende Ereignisse:
„Ein Fluggast entscheidet sich für ein alkoholfreies Getränk.“
$\{SFA;SF\overline{A};\overline{S}VA;\overline{S}V\overline{A}\}$
1.2.1
Gib $E_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fasse $E_2$ möglichst einfach in Worte.
Prüfe ferner $E_1$ und $E_2$ auf stochastische Unabhängigkeit.
(5 BE)
#stochastischeunabhängigkeit
1.2.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(E_1 \cup E_2) .$
(2 BE)
1.2.3
Analysiere den Fehler in der Rechnung $P(E_2) = \frac{4}{8} = 0,5.$
(2 BE)
2.0
Von den in Aufgabe 1 beschriebenen Menüvarianten ist nur die vegetarische Kost mit einem alkoholfreien Getränk ohne Aufpreis erhältlich. Für ein Standardmenü wird ein Aufpreis von $3\,€$ und für ein alkoholisches Getränk ein Aufpreis von $2\,€$ erhoben. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den möglichen Aufpreis in $€.$ Dann lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X:$
$x$$ 0$$2 $$3 $$5 $
$P(X=x)$$0,15 $$ 0,05$$0,4 $$0,4 $
$x$$P(X=x)$
$ 0$$ 0,15$
$ 2$$ 0,05$
$ 3$$0,4 $
$5 $$ 0,4$
2.1
Begründe die Richtigkeit der angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
(4 BE)
2.2
Berechne den durchschnittlich zu zahlenden Aufpreis sowie die Standardabweichung von $X.$
(3 BE)
#standardabweichung
2.3
Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ in einem Histogramm dar und trage auch die Ergebnisse von 2.2 sinnvoll darin ein.
(4 BE)
3.0
Im vollbesetzten Flugzeug sitzen $200$ Fluggäste in $25$ Reihen. In jeder Reihe sitzen gleich viele Passagiere. Nach 2.0 beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim Menü keinen Aufpreis zahlen zu müssen, $p = 0,15.$
3.1
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Mindestens 30 Fluggäste zahlen keinen Aufpreis. “
„Mehr als 25, aber höchstens 35 Fluggäste zahlen keinen Aufpreis. “
„In den ersten drei Reihen sitzt jeweils genau ein Fluggast, der keinen Aufpreis zahlt. “
„In der ersten Reihe zahlen nur die Fluggäste auf den beiden Fensterplätzen keinen Aufpreis. “
(8 BE)
3.2.0
TransAir vermutet, dass infolge des gestiegenen Gesundheitsbewusstseins in der Bevölkerung der Anteil der vegetarischen Antialkoholiker, also derjenigen, die keinen Aufpreis zahlen müssen, zugenommen hat (Gegenhypothese). Daher wird für das in 3.0 beschriebene Flugzeug ein Hypothesentest auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ vorgenommen.
#hypothesentest
3.2.1
Gib die Nullhypothese sowie die Testgröße an und bestimme den größtmöglichen Ablehnungsbereich für die Nullhypothese.
(5 BE)
3.2.2
Berechne, wie hoch der prozentuale Anteil der Fluggäste, die keinen Aufpreis zahlen, in diesem Flugzeug höchstens sein darf, damit die Nullhypothese nicht verworfen wird.
(2 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse berechnen
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Gehe alle möglichen Pfade nacheinander durch und berechne die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadmultiplikationsregel.
$\begin{array}[t]{rll} P(SFA)&=& 0,8\cdot0,75\cdot 0,5 \\[5pt] &=& 0,3 \\[10pt] P(SF\overline{A})&=& 0,8\cdot 0,75\cdot 0,5 \\[5pt] &=& 0,3\\[10pt] P(S\overline{F}A)&=&0,8\cdot 0,25\cdot 0,5 \\[5pt] &=& 0,1 \\[10pt] P(S\overline{F}\overline{A})&=& 0,8\cdot 0,25\cdot 0,5 \\[5pt] &=& 0,1\\[10pt] P(\overline{S}VA)&=&0,2\cdot 0,2\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 0,01 \\[10pt] P(\overline{S}V\overline{A})&=& 0,2\cdot0,2\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,03 \\[10pt] P(\overline{S}\overline{V}A)&=& 0,2\cdot 0,8\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 0,04 \\[10pt] P(\overline{S}\overline{V}\overline{A})&=&0,2\cdot 0,8\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,12 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(SFA)&=&0,3 \\[10pt] P(SF\overline{A})&=& 0,3\\[10pt] P(S\overline{F}A)&=& 0,1 \\[10pt] P(S\overline{F}\overline{A})&=& 0,1\\[10pt] P(\overline{S}VA)&=&0,01 \\[10pt] P(\overline{S}V\overline{A})&=&0,03 \\[10pt] P(\overline{S}\overline{V}A)&=& 0,04 \\[10pt] P(\overline{S}\overline{V}\overline{A})&=& 0,12 \end{array}$
#pfadregeln
1.2.1
$\blacktriangleright$  Ereignis in Mengenschreibweise angeben
$E_1=$ $\{SF\overline{A};S\overline{F}\overline{A};\overline{S}V\overline{A};\overline{S}\overline{V}\overline{A}\}$
$\blacktriangleright$  Ereignis in Worte fassen
$E_2:\,$ „Ein Fluggast wählt Fisch oder ein veganes Gericht.“
$\blacktriangleright$  Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn gilt $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B).$
$E_1\cap E_2 = \{SF\overline{A};\overline{S}V\overline{A}\}$
Mit der Pfadadditionsregel und dem Ergebnis aus 1.1 folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&=& 0,3+0,03\\[5pt] &=& 0,33\\[10pt] P(E_1)&=& 0,3+0,1+0,03+0,12 \\[5pt] &=& 0,55\\[10pt] P(E_2)&=& 0,3+0,3+0,01+0,03 \\[5pt] &=& 0,64\\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=& 0,55 \cdot 0,64 \\[5pt] &=& 0,352 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&=& 0,33\\[10pt] P(E_1)&=&0,55\\[10pt] P(E_2)&=&0,64\\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=&0,352 \\[10pt] \end{array}$
Es ist also $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1)\cdot P(E_2).$ Die beiden Ereignisse $E_1$ und $E_2$ sind stochastisch abhängig.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$E_1\cup E_2=\{SF\overline{A};S\overline{F}\overline{A};\overline{S}V\overline{A};\overline{S}\overline{V}\overline{A};SFA;\overline{S}VA\}$
$ E_1\cup E_2= … $
Mit der Pfadadditionsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cup E_2)&=&0,3+0,1+0,03+0,12+0,3+0,01 \\[5pt] &=& 0,86 \end{array}$
$ P(E_1\cup E_2) = 0,86 $
1.2.3
$\blacktriangleright$  Fehler analysieren
Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind und auf dieser Grundlage die Laplace-Regel angewendet:
$P(E_2)=\dfrac{\left|E_2\right|}{\left|\Omega\right|} = \dfrac{4}{8}$
Allerdings ist in Aufgabenteil 1.1 zu sehen, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind. Die Formel kann daher hier nicht angewendet werden und liefert ein falsches Ergebnis.
#laplaceexperiment
2.1
$\blacktriangleright$  Richtigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung begründen
Die Zufallsgröße $X$ gibt den Aufpreis in $€$ eines zufällig ausgewählten Menüs an. $X$ kann vier verschiedene Werte annehmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& P(\overline{S}\overline{V}\overline{A}) + P(\overline{S}V\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,12 + 0,03 \\[5pt] &=& 0,15 \\[10pt] P(X=2)&=& P(\overline{S}\overline{V}A)+P(\overline{S}VA) \\[5pt] &=& 0,04 + 0,01 \\[5pt] &=& 0,05 \\[10pt] P(X=3)&=& P(SF\overline{A}) + P(S\overline{F}\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,3+ 0,1 \\[5pt] &=& 0,4 \\[10pt] P(X=5)&=& P(SFA) + P(S\overline{F}A) \\[5pt] &=& 0,3 + 0,1 \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& 0,15 \\[10pt] P(X=2)&=& 0,05 \\[10pt] P(X=3)&=& 0,4 \\[10pt] P(X=5)&=&0,4 \end{array}$
2.2
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Aufpreis berechnen
Der durchschnittliche Aufpreis entspricht dem Erwartungswert von $X:$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 0\cdot P(X=0) + 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3) +5\cdot P(X=5) \\[5pt] &=& 0\cdot 0,15 + 2\cdot 0,05 + 3\cdot 0,4 +5\cdot 0,4 \\[5pt] &=& 3,3 \end{array}$
$ E(X)=3,3 $
Der durchschnittlich zu zahlende Aufpreis beträgt $3,30\,€.$
$\blacktriangleright$  Standardabweichung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \sigma^2&=& (0-3,3)^2\cdot 0,15 + (2-3,3)^2\cdot0,05 + (3-3,3)^2\cdot 0,4 + (5-3,3)^2\cdot 0,4 \\[5pt] \sigma^2&=& 2,91 \\[5pt] \sigma&\approx& 1,71 \end{array}$
$ \sigma \approx 1,71 $
#erwartungswert
2.3
$\blacktriangleright$  Histogramm erstellen
Abb. 2: Histogramm
Abb. 2: Histogramm
3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Fluggäste ohne Aufpreis unter den $200$ Fluggästen im Flugzeug beschreibt. Da Fluggäste entweder einen Aufpreis zahlen oder nicht und diese Wahrscheinlichkeit bei jedem Fluggast gleich ist, kann $Y$ als binomialverteilt mit $n=200$ und $p = 0,15$ angenommen werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_3)&=& P(Y\geq 30) \\[5pt] &=&1- P(X\leq 29) \\[5pt] &=& 1- F_{200;0,15}(29)&\quad \scriptsize \text{Binomial-Tabelle} \\[5pt] &\approx& 1- 0,46973 \\[5pt] &=& 0,53027 \\[10pt] P(E_4)&=& P(26\leq Y \leq 35) \\[5pt] &=& P(Y\leq 35) - P(Y\leq 25) \\[5pt] &=& F_{200;0,15}(35)-F_{200;0,15}(25) &\quad \scriptsize \text{Binomial-Tabelle}\\[5pt] &\approx& 0,86127-0,18762 \\[5pt] &=& 0,67365 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_3)&\approx& 0,53027 \\[10pt] P(E_4)&\approx& 0,67365 \\[5pt] \end{array}$
Für Ereignis $E_5$ musst du nur die ersten drei Reihen des Flugzeugs betrachten. In jeder Reihe sitzen jeweils $8$ Fluggäste. Betrachte die Zufallsgröße $Y_8,$ die die Anzahl der Fluggäste ohne Aufpreis in einer Reihe beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n=8$ und $p=0,15.$ Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& P(Y_8 = 1) \cdot P(Y_8=1)\cdot P(Y_8=1) \\[5pt] &=& \left( \binom{8}{1}\cdot 0,15^1\cdot 0,85^7\right)^3 \\[5pt] &\approx& 0,05693 \\[5pt] \end{array}$
$ P(E_5)\approx 0,05693 $
Es gibt nur einen Pfad, der zu Ereignis $E_6$ gehört:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=& 0,15\cdot 0,85^6\cdot 0,15 \\[5pt] &\approx& 0,00849 \end{array}$
$ P(E_6)\approx 0,00849 $
#pfadregeln#binomialverteilung
3.2.1
$\blacktriangleright$  Testgröße und Nullhypothese angeben
Die Testgröße $T$ beschreibt die Anzahl der Fluggäste unter $200$ Fluggästen, die keinen Aufpreis zahlen. Diese ist binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,15.$
Da die Gegenhypothese $H_1:\, p> 0,15$ lautet, wird ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt. Die Nullhypothese lautet daher:
$H_0:\, p = 0,15$
$\blacktriangleright$  Maximalen Ablehnungsbereich ermitteln
Es gilt mit der Testgröße $T$ von oben:
  • Nullhypothese: $H_0:\, p =0,15$
  • Gegenhypothese: $H_1:\, p > 0,15$
  • Signifikanzniveau: $\alpha = 5\,\%$
  • Annahmebereich: $A= \{0;1;…;k\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A}=\{k+1;k+2;…;100\}$
Aufgrund des Signifikanzniveaus muss folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(T\geq k+1)&\leq & 0,05 \\[5pt] 1-P(T\leq k)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;+P(T\leq k) \\[5pt] 1&\leq& 0,05+P(T\leq k) &\quad \scriptsize \mid\; -0,05 \\[5pt] 0,95&\leq& P(T\leq k) \end{array}$
$ 0,95\leq P(T\leq k) $
Bestimme also mithilfe der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=200$ das kleinste $k,$ für das gerade noch $ P(T\leq k) \geq 0,95 $ gilt. Du erhältst $k=38.$
Der maximale Ablehnungsbereich ist demnach:
$\overline{A}=\{39;40;…;200\}$
3.2.2
$\blacktriangleright$  Höchstmöglichen prozentualen Anteil berechnen
Die höchstmögliche Anzahl an Fluggästen ohne Aufpreis, sodass die Nullhypothese nicht verworfen wird, beträgt $38.$ Bei $200$ Fluggästen entspricht dies einem Anteil von:
$\frac{38}{200} = 0,19 = 19\,\%$
Es dürfen höchstens $19\,\%$ der Fluggäste keinen Aufpreis zahlen, damit die Nullhypothese nicht verworfen wird.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
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