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A I

Aufgaben
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1.0
Gegeben ist die reelle Funktion $g' : x \mapsto \dfrac{1}{6+x}$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}_{g'} = ]-6;6[$. Sie ist die Ableitungsfunktion der reellen Funktion $g$, welche die Definitionsmenge $D_g = D_{g'}$ besitzt.
1.1
Bestimme das Verhalten von $g' (x)$ an den Rändern der Definitionsmenge.
(4 BE)
1.2
Bestimme das Monotonieverhalten von $g$.
(3 BE)
#monotonie
1.3
(4 BE)
1.4
Ermittle einen Funktionsterm $g(x)$ für den Fall, dass die Funktion $g$ eine Nullstelle bei $x = -3$ hat.
(5 BE)
2.0
Gegeben sind nun die reellen Funktionen $g$ mit $g : x\mapsto \ln \left(2 + \dfrac{x}{3}\right)$ und $f$ mit $f : x \mapsto g(x) - g (-x)$ und der Definitionsmenge $\mathbb{D}_f = ] -6;6[$ sowie dem zugehörigen Graphen $G_f$.
2.1
Weise nach, dass für den Funktionsterm von $f$ gilt:
$f(x)= \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x} \right).$
(3 BE)
2.2
Berechne die Nullstelle von $f$ und zeige, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
(6 BE)
#punktsymmetrie
2.3
Untersuche das Monotonieverhalten von $f.$
[Mögliches Teilergebnis: $f'(x)= \dfrac{12}{36-x^2}$ ]
(6 BE)
#monotonie
2.4
Zeichne mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen von $f$ für $x\in \mathbb{D}_f$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1\,\text{LE} = 1\,\text{cm}.$
(4 BE)
2.5
Gegeben ist die Funktion
$F:\quad x\mapsto x\cdot \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x} \right) + 6\cdot \ln\left(36-x^2 \right)$
$ F:\quad x\mapsto … $
mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}_F = \mathbb{D}_f.$ Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(4 BE)
#stammfunktion
2.6.0
Die $x$-Achse, der Graph $G_f$ und die Gerade mit der Gleichung $x = k$ mit $0 < k < 6$ schließen ein endliches Flächenstück mit der von $k$ abhängigen Maßzahl $A(k)$ des Flächeninhalts ein.
2.6.1
Kennzeichne dieses Flächenstück für $k = 4$ in deinem Schaubild aus 2.4 und zeige, dass für $A(k)$ gilt:
$A(k) = ( k + 6 ) \cdot \ln(k + 6) + ( 6 - k ) \cdot \ln(6 - k) - 12\cdot \ln(6).$
$ A(k)=… $
(6 BE)
2.6.2
Weise mit Hilfe einer der l’Hospitalschen Regeln nach, dass für den linksseitigen Grenzwert gilt:
$ \lim\limits_{k\to 6^-}\left[(6-k)\cdot \ln (6-k) \right] = 0.$
$ \lim\limits_{k\to 6^-} … $
Berechne weiterhin den Grenzwert des Flächeninhalts $A(k)$ für $k \to 6^-$ exakt.
(6 BE)
#l'hospital#grenzwert
3.0
Bei der Synthese eines Medikaments wird die Temperatur $T(t)$ (in $^{\circ}$C) während der Reaktionsdauer $t$ (in Minuten) mit $t\geq 0$ kontinuierlich gemessen.
Dabei gilt:
$T ( t ) = 10\cdot \left( t \cdot e^{1 - k\cdot t} + c \right)$
$ T(t)=… $
mit $k,c \in \mathbb{R}$ und $k \neq 0 .$
Zum Zeitpunkt $t = 0$ wird eine Temperatur von $18\,^{\circ}°$C gemessen. Nach einer Reaktionsdauer von $8$ Minuten beträgt die Temperatur $47,43\,^{\circ}°$C. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen zu runden.
3.1
Bestimme die Werte der Parameter $k$ und $c.$
(5 BE)
3.2
Berechne das Temperaturmaximum während der Reaktion.
[Mögliches Teilergebnis: $\frac{\text{d}}{\text{d}t}T(t)= 10\cdot \mathrm e^{1-0,25\cdot t}-2,5\cdot t\cdot \mathrm e^{1-0,25\cdot t}$ ]
(7 BE)
3.3
Um die Qualität des Endprodukts nicht zu gefährden, darf in der Abkühlphase die Temperaturabnahme in jeder Minute höchstens $4\,^{\circ}$C betragen. Zeige, dass dies selbst im Augenblick der stärksten Abkühlung eingehalten wird.
(7 BE)

(70 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Randverhalten untersuchen
A I Für $x\to -6^+$ gilt $x\to -6, $ also $6+x \to 0^+.$ Für den Bruch gilt daher für $x\to -6^+:$
$\dfrac{1}{6+x} \to \infty$
Für $x\to 6$ gilt dagegen:
$\lim\limits_{x\to 6} \dfrac{1}{6+x} = \dfrac{1}{6+6} = \dfrac{1}{12}$
$\lim\limits_{x\to 6} \frac{1}{6+x}= \frac{1}{12} $
#grenzwert
1.2
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten bestimmen
Für alle $x> -6$ ist $6+x$ positiv, da entweder ein betragsmäßig kleinerer negativer oder ein positiver Wert zu $6$ hinzuaddiert wird. Dadurch ist auch $g'(x) > 0$ für alle $x\in \mathbb{D}_{g'} .$
Also ist $g$ streng monoton steigend in $ \mathbb{D}_{g'} =\mathbb{D}_{g}.$
1.3
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeiten der Graphen begründen
  • $G_1$ ist streng monoton steigend in $]-6; 6[,$ allerdings gilt für die Steigung $g_1'$ für $x\to 6:$ $g_1'(x)\to \infty.$ Laut 1.1 muss aber $g'(x) \to \frac{1}{12}$ sein für $x\to 6.$ $G_1$ kann also nicht der Graph von $g$ sein.
  • $G_2$ ist für $x\in ]-6;6[$ streng monoton fallend und kann daher nicht der Graph von $g$ sein.
  • $G_3$ ist in $]-6;6[$ streng monoton steigend und die Steigung des Graphen nähert sich für $x\to 6$ einem annähernd konstanten Wert an, der $\frac{1}{12}$ sein kann. Bei $G_3$ kann es sich also um den Graphen von $g$ handeln.
1.4
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
$g$ muss eine Stammfunktion von $g'$ sein. Damit muss der Funktionsterm folgende Form haben:
$g(x)= \ln (6+x) + C$
Es soll $g(-3)=0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \ln (6+(-3)) + C&=& 0 \\[5pt] \ln(3) +C&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; - \ln(3) \\[5pt] C&=& -\ln(3) \end{array}$
$ C= -\ln(3) $
Damit folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \ln(6+x) -\ln(3) \\[5pt] &=& \ln\left(\dfrac{6+x}{3}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)= \ln\left(\frac{6+x}{3}\right) $
2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsterm nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x)-g(-x) \\[5pt] &=& \ln\left(2+\frac{x}{3}\right)-\ln\left(2+\frac{-x}{3}\right) \\[5pt] &=& \ln\left( \dfrac{2+\frac{x}{3}}{2+\frac{-x}{3}}\right) \\[5pt] &=& \ln\left( \dfrac{\frac{6+x}{3}}{\frac{6-x}{3}}\right)\\[5pt] &=& \ln\left( \dfrac{6+x}{3}\cdot \dfrac{3}{6-x}\right) \\[5pt] &=& \ln\left( \dfrac{6+x}{6-x}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ f(x)= \ln\left( \frac{6+x}{6-x}\right) $
#logarithmusgesetze
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstelle berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] \dfrac{6+x}{6-x}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (6-x) \\[5pt] 6+x&=&6-x &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 6+2x&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] 2x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$ x=0 $
Die Nullstelle von $f$ ist $x_1=0.$
$\blacktriangleright$  Punktsymmetrie zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \ln\left(\dfrac{6-x}{6+x} \right) \\[5pt] &=& \ln\left(\dfrac{(6+x)^{-1}}{(6-x)^{-1}} \right) \\[5pt] &=& \ln\left(\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right)^{-1} \right) \\[5pt] &=& -1\cdot \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right) \\[5pt] &=& - \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right) \\[5pt] &=& -f(x) \end{array}$
$ f(-x)=-f(x) $
Da $f(-x)=-f(x)$ ist, ist der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
2.3
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten untersuchen
Mit der Ketten- und der Quotientenregel folgt für die erste Ableitungsfunktion von $f:$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \dfrac{1}{\frac{6+x}{6-x}}\cdot \dfrac{1\cdot (6-x) - (6+x)\cdot (-1)}{(6-x)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{6-x}{6+x}\cdot \dfrac{6-x+ 6+x}{(6-x)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{6-x}{6+x}\cdot \dfrac{12}{(6-x)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6+x}\cdot \dfrac{12}{6-x} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{36-x^2 } \end{array}$
$ f'(x) = \dfrac{12}{36-x^2 } $
Da der Betrag von $x\in \mathbb{D}_f$ immer kleiner als $6$ ist, ist auch $x^2$ immer kleiner als 36. Der Nenner des Bruchs ist daher immer positiv, sodass auch der gesamte Bruch für alle $x\in \mathbb{D}_f$ positiv ist. Es gilt also für $x \in \mathbb{D}_f: $ $ f'(x)> 0. $
$f$ ist also auf dem gesamten Definitionsbereich $\mathbb{D}_f$ streng monoton steigend.
2.4
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
2.5
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $F'(x)= f(x)$ ist. Mit der Ketten-, Quotienten und der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F'(x)&=& 1\cdot \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right) + x\cdot \dfrac{12}{36-x^2 } + \dfrac{6}{36-x^2}\cdot \left(-2x \right) \\[5pt] &=& \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right)+\dfrac{12x}{36-x^2 } -\dfrac{12x}{36-x^2} \\[5pt] &=& \ln\left(\dfrac{6+x}{6-x}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ F'(x)= \ln\left(\frac{6+x}{6-x}\right)$
#kettenregel
2.6.1
$\blacktriangleright$  Maßzahl des Flächeninhalts zeigen
Die Maßzahl des Flächenstücks kann mithilfe eines Integrals über $f$ mit den Integrationsgrenzen $a=0$ und $b=k$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(k)&=& \displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(k) - F(0) \\[5pt] &=& k\cdot \ln\left( \dfrac{6+k}{6-k}\right) +6\cdot \ln\left(36 -k^2 \right) -0\cdot \ln\left( \dfrac{6+0}{6-0}\right) -6\cdot \ln\left(36 -0^2 \right) \\[5pt] &=& k\cdot \ln\left( \dfrac{6+k}{6-k}\right) +6\cdot \ln\left(36 -k^2 \right)-6\cdot \ln\left(36\right) \\[5pt] &=& k\cdot \ln\left(6+k\right)-k\cdot \ln\left( 6-k\right) +6\cdot \ln\left(\left(6-k \right)\cdot \left(6+k \right) \right)-6\cdot \ln\left(6^2\right) \\[5pt] &=&k\cdot \ln\left(6+k\right)-k\cdot \ln\left( 6-k\right) +6\cdot \ln\left(6-k \right)+ 6\cdot \ln\left(6+k \right)-6\cdot2\cdot \ln\left(6\right) \\[5pt] &=&\left(k+6 \right)\cdot \ln\left(6+k\right) + \left( 6-k \right)\cdot \ln\left(6-k \right) -12\cdot \ln\left(6\right)\\[5pt] \end{array}$
$ A(k)= \displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx … $
#integral
2.6.2
$\blacktriangleright$  Grenzwert nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{k\to6^-}\left((6-k)\cdot \ln(6-k) \right)&=& \lim\limits_{x\to6^-}\dfrac{\ln(6-k)}{\frac{1}{6-k}}&\quad \scriptsize \mid\;\text{L'Hospital} \\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to6^-}\dfrac{\frac{1}{6-k}\cdot (-1)}{\frac{1}{(6-k)^2}\cdot (-1)\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to6^-}\dfrac{\frac{1}{6-k}}{\frac{-1}{(6-k)^2}} \\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to6^-}\dfrac{-(6-k)^2}{6-k} \\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to6^-}-(6-k)\\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to6^-}\left(k-6\right)\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ … = 0 $
$\blacktriangleright$  Grenzwert des Flächeninhalts berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{k\to 6^-} A(k)&=&\lim\limits_{k\to 6^-}\left(\left(k+6 \right)\cdot \ln\left(6+k\right) + \left( 6-k \right)\cdot \ln\left(6-k \right) -12\cdot \ln\left(6\right) \right)\\[5pt] &=& \lim\limits_{k\to 6^-}\left(k+6 \right)\cdot \ln\left(6+k\right) + \underbrace{\lim\limits_{k\to 6^-}\left( 6-k \right)\cdot \ln\left(6-k \right)}_{= 0} -12\cdot \ln\left(6\right) \\[5pt] &=&\left(6+6 \right)\cdot \ln\left(6+6\right) -12\cdot \ln\left(6\right) \\[5pt] &=& 12\cdot \ln\left(12\right) -12\cdot \ln\left(6\right)\\[5pt] &=& 12\cdot \ln\left(2\cdot 6\right) -12\cdot \ln\left(6\right) \\[5pt] &=& 12\cdot \ln\left(2\right) + 12\cdot \ln\left( 6\right) -12\cdot \ln\left(6\right) \\[5pt] &=& 12\cdot \ln\left(2\right) \end{array}$
$ \lim\limits_{k\to 6^-} A(k) = 12\cdot \ln\left(2\right) $
3.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Für $T(t) = 10\cdot \left(t\cdot \mathrm e^{1-k\cdot t} +c \right)$ soll gelten:
  1. $T(0)= 18$
  2. $T(8) = 47,43$
Aus 1. ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot \left(0\cdot \mathrm e^{1-k\cdot 0} +c \right)&=& 18 \\[5pt] 10c &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] c&=& 1,8 \end{array}$
$ c= 1,8 $
Zusammen mit 2. ergibt sich dann::
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot \left(8\cdot \mathrm e^{1-k\cdot 8} +1,8 \right)&=& 47,43 \\[5pt] 80\cdot \mathrm e^{1-k\cdot 8} +18 &=& 47,43 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] 80\cdot \mathrm e^{1-k\cdot 8} &=& 29,43 &\quad \scriptsize \mid\;:80 \\[5pt] \mathrm e^{1-k\cdot 8}&=& 0,367875 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] 1-k\cdot 8&=& \ln(0,367875) &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -k\cdot 8&=& \ln(0,367875)-1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-8)\\[5pt] k&=& \dfrac{\ln(0,367875)-1}{-8}\\[5pt] k&\approx& 0,25 \end{array}$
$ k\approx 0,25 $
3.2
$\blacktriangleright$  Temperaturmaximum berechnen
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} T(t)&=& 10\cdot \left(t\cdot \mathrm e^{1-0,25\cdot t} +1,8\right)\\[10pt] T'(t)&=& 10\cdot \left(1\cdot \mathrm e^{1-0,25\cdot t}+ t\cdot (-0,25)\mathrm e^{1-0,25\cdot t}\right) \\[5pt] &=& 10\cdot \left(\mathrm e^{1-0,25\cdot t}-0,25\cdot t\cdot\mathrm e^{1-0,25\cdot t}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ T'(t)= … $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen ergeben sich mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot \left(\mathrm e^{1-0,25\cdot t}-0,25\cdot t\cdot\mathrm e^{1-0,25\cdot t} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] \mathrm e^{1-0,25\cdot t}-0,25\cdot t\cdot\mathrm e^{1-0,25\cdot t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{1-0,25\cdot t}\neq 0 \\[5pt] 1-0,25t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -0,25t&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,25) \\[5pt] t&=& 4 \end{array}$
$ t =4 $
Da $10>0$ und $\mathrm e^{1-0,25\cdot t}>0$ sind, ist $T'(t) <0 $ wenn $0,25t >1$ ist und $T'(t) >0,$ wenn $0,25 < 1$ ist.
Es ist also $T'(t) <0$ für $t>4$ und $T'(t)> 0$ für $t<4.$
An der Stelle $t=4$ besitzt $T$ also ein relatives Maximum und damit auch ein globales Maximum, da die erste Ableitungsfunktion $T'$ keine weiteren Nullstellen besitzt.
$\begin{array}[t]{rll} T(4)&=&10\cdot \left(4\cdot \mathrm e^{1-0,25\cdot 4} +1,8\right) \\[5pt] &=& 10\cdot \left(4 +1,8\right) \\[5pt] &=& 58 \end{array}$
$ T(4)=58 $
Die Temperatur erreicht während der Reaktion maximal $58^{\circ}.$
#extrempunkt
3.3
$\blacktriangleright$  Temperaturabnahme überprüfen
Der Zeitpunkt $t$ mit der stärksten Temperaturabnhame ist der Zeitpunkt $t,$ zu dem die erste Ableitung $T'$ ihr globales Minimum annimmt. Für die zweite Ableitungsfunktion $T''$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T''(t)&=& 10\cdot \left(-0,25\cdot \mathrm e^{1-0,25t}-0,25\cdot \mathrm e^{1-0,25t} - 0,25t\cdot (-0,25)\cdot \mathrm e^{1-0,25t} \right) \\[5pt] &=& 10\cdot \left(-0,5\cdot \mathrm e^{1-0,25t} + 0,0625t\cdot \mathrm e^{1-0,25t} \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{1-0,25t} + 0,625t\cdot \mathrm e^{1-0,25t} \\[5pt] \end{array}$
$ T''(t)=… $
Die Nullstellen ergeben sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} T''(t)&=& 0 \\[5pt] -5\cdot \mathrm e^{1-0,25t} + 0,625t\cdot \mathrm e^{1-0,25t}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^{1-0,25t} \\[5pt] -5+0,625t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] 0,625t&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:0,625 \\[5pt] t&=& 8 \end{array}$
$ t = 8 $
Wegen $ \mathrm e^{1-0,25t} <0$ ist $T''(t) <0,$ wenn $5> 0,625t$ ist und $T''(t)> 0,$ wenn $5< 0,625t$ ist.
Für $t<8$ ist also $T''(t)< 0$ und für $t>8$ ist $T''(t)> 0.$ An der Stelle $t=8$ besitzt $T'$ also ihr absolutes Minimum.
$\begin{array}[t]{rll} T'(8)&=& 10\cdot \left(\mathrm e^{1-0,25\cdot 8}-0,25\cdot 8\cdot\mathrm e^{1-0,25\cdot 8}\right) \\[5pt] &=& 10\cdot \left(\mathrm e^{-1}-2\cdot\mathrm e^{-1}\right) \\[5pt] &\approx& -3,68 \\[5pt] \end{array}$
$ T'(8)\approx -3,68 $
Die maximale Abkühlung beträgt $3,68^{\circ}$ pro Minute. Die Bedingung wird also selbst im Augenblick der stärksten Abkühlung eingehalten.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
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