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A II

Aufgaben
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1.0
Gegeben sind die reellen Funktionen $f_a:\quad x\mapsto \dfrac{x^2-2x+a}{x-2}$ mit der jeweils maximalen Definitionsmenge $\mathbb{D}_{f_a}\subset \mathbb{R}.$
#funktionenschar
1.1
Gib die maximale Definitionsmenge $\mathbb{D}_{f_a}$ an und bestimme die Art der Definitionslücke von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$
(5 BE)
#definitionsbereich
1.2
Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Lage und die Vielfachheit der Nullstellen von $f_a.$
(7 BE)
1.3
Ermittle für $a>0$ die Art und die Abszisse aller relativen Extrempunkte des Graphen von $f_a.$
(9 BE)
#extrempunkt
1.4.0
Für $a=1$ erhält man die Funktion $f_1,$ die im Folgenden mit $f$ bezeichnet wird, d.h.
$f(x)=f_1(x)= \dfrac{x^2-2x+1}{x-2}.$
1.4.1
Bestimme die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von $f.$ Gib auch die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ an.
(5 BE)
#asymptote
1.4.2
Zeichne unter der Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen von $f$ sowie sämtliche Asymptoten für $-2\leq x \leq 6$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}.$
(5 BE)
1.4.3
Der Graph von $f$ und die Winkelhalbierende des I. Quadranten schließen mit den senkrechten Geraden mit den Gleichungen $x = 3$ und $x = b$ mit $b \in \mathbb{R}$ und $b > 3$ ein Flächenstück ein. Kennzeichne dieses Flächenstück in deiner Zeichnung aus 1.4.2 für $b = 4.$ Bestimme anschließend den Wert von $b$ so, dass der Flächeninhalt dieses Flächenstücks die Maßzahl $2$ hat.
(6 BE)
2.0
Gegeben ist die reelle Funktion $g:\quad x\mapsto \ln\left(f(x)\right)$ mit der Funktion $f$ aus 1.4.0 und der maximalen Definitionsmenge $\mathbb{D}_g\subset \mathbb{R}.$
2.1
Begründe ohne weitere Rechnung, dass für die Definitionsmenge $\mathbb{D}_g $ gilt: $\mathbb{D}_g= ]2; \infty [ .$
Untersuche außerdem das Verhalten der Funktionswerte $g(x)$ an den Rändern der Definitionsmenge $\mathbb{D}_g.$
(5 BE)
#definitionsbereich
2.2
Bestimme die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunkts des Graphen der Funktion $g.$
[Mögliches Teilergebnis: $g'(x)= \dfrac{x-3}{x^2-3x+2}$ ]
(5 BE)
#extrempunkt
2.3
Begründe ohne Verwendung der 2. Ableitung von $g,$ dass der Graph von $g$ für $x > 3$ mindestens einen Wendepunkt besitzt.
(4 BE)
#wendepunkt
3.0
Um die Ausbreitung von Borkenkäfern in bayerischen Wäldern zu erforschen, wird der Befall eines ausgewählten Baumes über den Zeitraum von 12 Monaten untersucht. Die Anzahl der in diesem Baum befindlichen Borkenkäfer kann näherungsweise durch den Term $N(t)= N_0\cdot \mathrm e^{\lambda \cdot \left(t^2-12t\right)}$ mit $t, λ\in \mathbb{R}$ und $t \geq 0,$ $\lambda < 0$ beschrieben werden, wobei $N_0$ die Anzahl der Borkenkäfer zu Beginn des Beobachtungszeitraums und $t$ die Zeit in Monaten ab Beobachtungsbeginn ist.
Es ist bekannt, dass sich die Anzahl der Borkenkäfer nach dem ersten Monat verdreifacht hat und nach einem weiteren Monat $133$ Borkenkäfer gezählt wurden. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden, sofern nicht anders gefordert. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.
#wachstum
3.1
Bestimme $\lambda$ und $N_0.$ Runde dabei $N_0$ auf eine ganze Zahl.
Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $\lambda = -0,10$ und $N_0= 18.$
(5 BE)
3.2
Ab einem Befall von $540$ Borkenkäfern gilt der Baum als dauerhaft geschädigt. Berechne den Zeitpunkt $t_0,$ zu dem diese Anzahl erstmalig erreicht ist.
(5 BE)
3.3
Bestimme den Zeitpunkt $t_{\text{max}},$ zu dem der Befall des Baumes am größten ist.
[Mögliches Teilergebnis: $\dot N(t)= -3,6\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot (t^2-12t)}\cdot (t-6)$ ]
(4 BE)
3.4
$\ddot N$ besitzt nur die beiden einfachen Nullstellen $t_{1,2}= 6\pm \sqrt{5}$ (Nachweis nicht erforderlich).
Bestimme den Zeitpunkt $t_v,$ zu dem sich die Borkenkäfer am stärksten vermehren.
(5 BE)

(70 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Die Definitionsmenge wird durch die Nullstelle des Nennerterms eingeschränkt. Diese ist $x_0=2$ und kann daher nicht in der Definitionsmenge enthalten sein. Weitere Einschränkungen gibt es nicht.
$\mathbb{D}_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
$\blacktriangleright$  Art der Definitionslücke bestimmen
Wenn $x_0 = 2$ gleichzeitig Nullstelle des Nenners und mit gleicher Vielfachheit Nullstelle des Zählers ist, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke.
Die Nullstellen des Zählers ergeben sich in Abhängigkeit von $a:$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& x^2-2x+a &\quad \scriptsize \mid\; abc\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot a}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{1-a} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} =1\pm \sqrt{1-a} $
Für $a=0$ sind die beiden Nullstellen $x_1= 0$ und $x_2= 2.$ Es ist dann:
$f_0(x)= \dfrac{x^2-2x+0}{x-2} = x $
$ f_0(x)=x $
Für $a=0$ handelt es sich bei $x_0=2$ also um eine hebbare Definitionslücke. Für $a\neq 0$ ist $x_0=2$ eine Polstelle 1. Ordnung.
1.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Für $a=0$ ist mit 1.1: $f_0(x)= x.$ In dem Fall besitzt $f_a$ also nur eine einfache Nullstelle $x=0.$
Da die Nullstellen von $f_a$ die Nullstellen des Zählers sind, sind diese nach Aufgabe 1.1:
$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{1-a}$
  • Für $a=1$ ist $\sqrt{1-a} =0.$ $f_a$ besitzt dann also nur eine einfache Nullstelle bei $x = 1.$
  • Für $a>1$ ist $1-a <0.$ Da Wurzeln aus negativen Beträgen aber nicht zulässig sind, besitzt $f_a$ in dem Fall keine Nullstelle.
  • Für $a< 1$ mit $a\neq 0$ besitzt $f_a$ zwei Nullstellen mit einfacher Vielfachheit $x_{1}= 1-\sqrt{1-a}$ und $x_2 = 1+\sqrt{1-a}.$
1.3
$\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen
Für die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ ergibt sich mit der Quotientenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& \dfrac{(2x-2)\cdot (x-2) - \left(x^2-2x+a\right)\cdot 1}{(x-2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2x^2-4x-2x+4 - x^2+2x-a}{(x-2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2-4x+4 -a}{(x-2)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(x) = … $
1. Schritt: Mögliche Extremstellen bestimmen
Für das notwendige Kriterium für Extremstellen ergeben sich folgende Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{x^2-4x+4 -a}{(x-2)^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-2)^2 \\[5pt] x^2-4x+4 -a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; abc\text{-Formel}\\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot (4-a)}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4\pm \sqrt{16 - 16+4a}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{4\pm \sqrt{4a}}{2} \\[5pt] &=&2\pm\sqrt{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} = 2\pm\sqrt{a} $
Der Graph von $f_a$ besitzt an den Stellen $x_{1/2} = 2\pm\sqrt{a}$ zwei mögliche relative Extremstellen.
2. Schritt: Art der Extrema bestimmen
Da der Nenner für alle $x \in \mathbb{D}_{f_a}$ positiv ist, hängt das Vorzeichen von $f_a'(x)$ nur vom Zähler ab. Dieser ist der Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel. Daher gilt:
  • An der Nullstelle $x_1 = 2- \sqrt{a}$ findet für $f_a'$ ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt. Der Graph von $f_a$ besitzt also einen relativen Hochpunkt mit der Abszisse $x_1= 2- \sqrt{a}$.
  • An der Nullstelle $x_2 = 2+ \sqrt{a}$ findet für $f_a'$ ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv statt. Der Graph von $f_a$ besitzt also einen relativen Tiefpunkt mit der Abszisse $x_2= 2+ \sqrt{a}$.
#quotientenregel
1.4.1
$\blacktriangleright$  Asymptoten angeben
Mit der Polynomdivision ergibt sich für den Funktionsterm:
$(x^2$$-$$2x$$+$$1)$$:$$(x-2)$$=$$x +\dfrac{1}{x-2}$
$-$ $(x^2$$-$$2x)$
$ $$ $$1$
$ … = x +\frac{1}{x-2} $
Es ist also $f(x)= x +\dfrac{1}{x-2}.$ Damit besitzt der Graph von $f$ eine schiefe Asymptote mit $y=x$ und eine vertikale Asymptote mit $x = 2.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte angeben
Mit den Ergebnisse aus 1.3 folt mit $a=1:$
$x_H = 2-\sqrt{1} = 1 $ und $y_H= f(1)= 0 $
$x_T = 2+\sqrt{1} = 3 $ und $y_T = f(3)= 4$
Der Graph von $f$ besitzt den Hochpunkt $H(1\mid 0)$ und den Tiefpunkt $T(3\mid 4).$
1.4.2
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
1.4.3
$\blacktriangleright$  Flächenstück kennzeichnen
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $b$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& \displaystyle\int_{3}^{b}\left(f(x)-x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{3}^{b}\left(x+\dfrac{1}{x-2}-x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{3}^{b}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [\ln(x-2)]_3^b\\[5pt] &=& \ln(b-2)-\ln(3-2)\\[5pt] &=& \ln(b-2) - \ln(1)\\[5pt] &=&\ln(b-2) \\[5pt] \end{array}$
$ A(b)= \ln(b-2)$
Gleichsetzen mit $2$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& 2 \\[5pt] \ln(b-2)&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e\\[5pt] b-2&=& \mathrm e^2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] b&=& \mathrm e^2 +2\\[5pt] &\approx& 9,39 \end{array}$
$ b\approx 9,39 $
Für $b= 2+\mathrm e^2\approx 9,39$ besitzt das beschriebene Flächenstück die Maßzahl $2.$
#integral
2.1
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge begründen
Da für den Logarithmus nur positive Werte als Argument zugelassen sind, muss für alle $x\in \mathbb{D}_g$ gelten $f(x) > 0.$ Da der Graph von $f$ nur für $x>2$ oberhalb der $x$-Achse verläuft, ist $f(x) >0$ genau dann erfüllt, wenn $x> 2$ ist. Weitere Einschränkungen gibt es nicht.
Also muss $\mathbb{D}_g = ]2;\infty[$ sein.
$\blacktriangleright$  Randverhalten untersuchen
Für $x\to 2^+$ gilt $f(x)\to +\infty$ und daher auch $g(x) \to \infty.$
Für $x\to +\infty$ gilt $f(x)\to \infty $ und daher auch $g(x)\to \infty.$
2.2
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen
Mithilfe der Quotientenregel und der Kettenregel folgt für die erste Ableitungsfunktion von $g:$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \ln(f(x)) \\[5pt] g'(x)&=& \dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}}\cdot \dfrac{(2x-2)\cdot (x-2)-(x^2-2x+1)\cdot 1}{(x-2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x-2}{x^2-2x+1}\cdot \dfrac{(2x-2)\cdot (x-2)-(x^2-2x+1)}{(x-2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{(2x-2)\cdot (x-2)-(x^2-2x+1)}{(x^2-2x+1)(x-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{2(x-1)\cdot (x-2)-(x-1)^2}{(x-1)^2(x-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot (x-2)-(x-1)}{(x-1)(x-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{2x-4-x+1}{(x-1)(x-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(x)= \frac{x-3}{(x-1)(x-2)}$
Die einzige Nullstelle von $g'$ lässt sich direkt aus dem Zähler ablesen:
$x_E = 3$
Der Nenner ist für alle $x> 2 $ positiv. Im Definitionsbereich von $g$ hängt das Vorzeichen von $g'(x)$ also nur vom Zähler ab. Dieser ist für $x<3$ negativ und für $x> 3$ positiv.
An der Stelle $x=3$ besitzt der Graph von $g$ daher einen relativen Tiefpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} g(3)&=& \ln \left(\dfrac{3^2-2\cdot 3+1}{3-2} \right) \\[5pt] &=& \ln \left(4\right) \\[5pt] \end{array}$
$ g(3)=\ln \left(4\right) $
Der Graph von $g$ besitzt den relativen Tiefpunkt $T\left(3\mid \ln 4\right).$
#quotientenregel#kettenregel
2.3
$\blacktriangleright$  Existenz eines Wendepunkts begründen
Der Graph von $g$ besitzt einen Wendepunkt an den Stellen, an denen der Graph von $g'$ einen Extrempunkt besitzt. Laut 2.2 ist $g'(3)=0$ und $g'(x)> 0$ für $x>3.$ Zudem ist:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}g'(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x-3}{x^2-3x+2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{L'Hospital} \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{2x-3} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}g'(x) = 0 $
Da also $g'(x)$ für $x=3$ den Wert Null annimmt, anschließend positiv ist und sich dann auf lange Sicht wieder dem Wert Null nähert, muss der Graph von $g'$ für $x>3$ mindestens einen Hochpunkt besitzen.
Damit besitzt der Graph von $g$ für $x>3$ mindestens einen Wedepunkt.
#l'hospital
3.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Bedingungen ablesen:
  1. $N(1) = 3\cdot N_0$
  2. $N(2)= 133$
Mit 1. ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot N_0&=& N(1) \\[5pt] 3\cdot N_0&=& N_0\cdot \mathrm e^{\lambda \cdot \left(1^2-12\cdot 1\right)} \\[5pt] 3\cdot N_0&=& N_0\cdot \mathrm e^{-11\lambda} &\quad \scriptsize \mid\;: N_0 \\[5pt] 3&=& \mathrm e^{-11\lambda} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln(3)&=& -11\lambda &\quad \scriptsize \mid\;:(-11) \\[5pt] -\dfrac{\ln(3)}{11}&=&\lambda \end{array}$
$ -\dfrac{\ln(3)}{11}=\lambda $
Einsetzen in 2. liefert:
$\begin{array}[t]{rll} N(2)&=& 133 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{\lambda \cdot \left(2^2-12\cdot 2\right)} &=& 133 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{-20\lambda} &=& 133 &\quad \scriptsize \mid\;\lambda=-\frac{\ln(3)}{11} \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{20\cdot \frac{\ln(3)}{11}}&=& 133 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{20\cdot \frac{\ln(3)}{11}} \\[5pt] N_0&\approx& 18 \end{array}$
$ N_0\approx 18 $
Es ist $N_0 \approx 18$ und $\lambda = -\dfrac{\ln(3)}{11} \approx -0,10.$
3.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Es ist $N(t) = 18\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}.$
$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=& 540 \\[5pt] 18\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}&=&540 &\quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}&=& 30 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -0,10\cdot \left(t^2-12t \right)&=& \ln(30) &\quad \scriptsize \mid\; -\ln(30) \\[5pt] -0,10t^2+1,20t-\ln(30)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; abc\text{-Formel} \\[5pt] t_{1/2}&=& \dfrac{-1,20\pm \sqrt{1,20^2-4\cdot (-0,10)\cdot (-\ln(30))}}{2\cdot (-0,10)}\\[5pt] &=& \dfrac{-1,20\pm \sqrt{1,44-0,40\cdot\ln(30)}}{-0,20} \\[5pt] &=&6\pm \sqrt{36-10\cdot\ln(30)} \\[10pt] t_1&=& 6- \sqrt{36-10\cdot\ln(30)}\\[5pt] &\approx& 4,59\\[10pt] t_2&=&6+ \sqrt{36-10\cdot\ln(30)} \\[5pt] &\approx& 7,41\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 4,59\\[10pt] t_2&\approx& 7,41\\[5pt] \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t_0\approx 4,59$ ist die Anzahl von $540$ Borkenkäfern erstmalig erreicht.
3.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit maximalem Befall bestimmen
Für die erste Ableitungsfunktion von $N$ folgt mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=& 18\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)} \\[10pt] \dot N(t)&=& 18\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)} \cdot (-0,10)\cdot \left(2t-12 \right) \\[5pt] &=& -1,80\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}\cdot \left(2t-12 \right) \\[5pt] &=& -3,60\cdot \mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}\cdot \left(t-6 \right) \\[5pt] \end{array}$
$ \dot N(t)= … $
Die einzige Nullstelle von $\dot N(t)$ liegt bei $t_1=6.$ Da $\mathrm e^{-0,10\cdot \left(t^2-12t \right)}$ für alle $x\in \mathbb{R}$ positiv ist und $-3,60$ konstant negativ ist, hängt das Vorzeichen von $\dot N(t)$ nur von dem Faktor $(t-6)$ ab.
Dieser ist für $x<6$ negativ und für $x>6$ positiv. Insgesamt ist also:
  • $\dot N(t)> 0$ für alle $x<6$ und
  • $\dot N(t) < 0$ für alle $x> 6.$
Daher besitzt $N(t)$ an der Stelle $t_{\text{max}}=6$ ein relatives Maximum. Da es keine anderen möglichen Extremstellen gibt und $N(t)$ stetig ist, ist dies auch das globale Maximum.
Der Befall des Baumes ist zum Zeitpunkt $t_{\text{max}}=6$ am größten.
#kettenregel
3.4
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der stärksten Vermehrung bestimmen
Der Zeitpunkt, zu dem sich die Käfer am stärksten vermehren, ist der Zeitpunkt $t,$ zu dem $\dot N$ maximal wird.
Da es sich bei den beiden Nullstellen von $\ddot N$ um einfache Nullstellen handelt, findet in beiden ein Vorzeichenwechsel statt. In beiden Stellen wird also $\dot N$ extremal.
Da es nur zwei relative Extrema gibt, muss eines davon ein Maximum und eines ein Minimum sein. Das Maximum muss in dem Fall aufgrund der Stetigkeit von $N$ $\dot N$ einen höheren Funktionswert haben als das Minimum.
Da $\dot N(t)>0$ für alle $x<6$ und $\dot N(t)<0$ für alle $x> 6$ ist, muss es sich also bei der ersten Nullstelle von $\ddot N$ um die Maximalstelle von $\dot N$ handeln und bei der zweiten Nullstelle um die Minimalstelle von $\dot N.$
Zum Zeitpunkt $t_1 = 6-\sqrt{5} \approx 3,76$ vermehren sich die Borkenkäfer am stärksten.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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