Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Fachoberschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)
Fachabitur T ...
Prüfung
wechseln
Fachabitur NT (WTR)
Fachabitur T (WTR)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

B I

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ sind die Ebenen $E_a$ und $F$ sowie die Gerade $h$ gegeben. Dabei gilt:
$E_a : 2a \cdot x_1 - (a - 1) \cdot x_3 + 2 = 0$
$E_a : 2a \cdot x_1 - (a - 1) \cdot x_3 + 2 = 0$
mit $a \in \mathbb{R}$ und $h : \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\-1 \\-1} + \lambda \cdot \pmatrix{2\\1 \\-1},$ $\lambda \in \mathbb{R} $.
Die Ebene $F$ enthält die Gerade $h$ und verläuft parallel zur $x_2$-Achse.
1.1
Stelle eine Gleichung der Ebene $F$ in Koordinatenform auf.
$[$ Mögliches Teilergebnis: $F : x_1 + 2x_3 -1 =0$ $]$
(3 BE)
#koordinatenform
1.2
Untersuche die gegenseitige Lage von $h$ und $E_a$ in Abhängigkeit von $a$.
(5 BE)
1.3
Untersuche, ob sich die Ebenen $E_a$ und $F$ senkrecht schneiden können, und für welchen Wert von $a$ die Ebenen $E_a$ und $F$ parallel sind.
(5 BE)
1.4
Ermittle alle Werte von $a$, für die sich die Ebenen $E_a$ und $F$ unter einem Winkel von $45°$ schneiden.
(7 BE)
#schnittwinkel
2.0
Für die Berechnungen wird ein kartesisches Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ verwendet, dessen $x_1 x_2$-Ebene waagrecht verläuft. In diesem Koordinatensystem gilt $A$ $(2\mid 100\mid 0)$ und $B$ $(1002 \mid 350 \mid 254)$. Die Mittelachsen der Tunnelröhren liegen auf den Geraden $g_1$ bzw. $g_2$. Vom Punkt $A$ aus wird in Richtung $ \overrightarrow{u} = \pmatrix{4\\1\\1}$ und vom Punkt $B$ aus in die Gegenrichtung gebohrt. Alle Koordinaten sind in Meter angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.
2.1
Weise nach, dass der Punkt $B$ genau $ 4 \, \text{m}$ oberhalb (in $x_3$-Richtung) von $g_1$ liegt.
(5 BE)
2.2
Untersuche, ob bei diesen Verhältnissen die Tunnelröhren wenigstens teilweise aufeinander treffen.
(5 BE)

(30 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:
1.1
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
B I Ein Normalenvektor der Ebene $F$ kann über das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren berechnet werden. Als Spannvektoren können der Richtungsvektor von $h$ sowieo ein Richtungsvektor der $x_2$-Achse verwendet werden, da $F$ parallel zu dieser verlaufen soll.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \pmatrix{2\\1\\-1} \times \pmatrix{0\\1\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot 0 - (-1)\cdot 1\\ (-1) \cdot 0 - 2\cdot 0 \\ 2\cdot 1 -1\cdot 0}\\[5pt] &=& \pmatrix{1\\ 0\\ 2} \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\ 0\\ 2} $
Mithilfe der Koordinaten des Aufpunkts von $h$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} F:\quad 1\cdot x_1 +0\cdot x_2 + 2\cdot x_3 -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; P(3\mid -1\mid -1) \\[5pt] 1\cdot 3 +2\cdot (-1) -d &=& 0 \\[5pt] 1-d&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +d\\[5pt] 1&=& d \end{array}$
$ 1 = d $
Eine Ebenengleichung von $F$ in Koordinatenform lautet also $F:\quad x_1 +2x_3 -1 = 0.$
#kreuzprodukt
1.2
$\blacktriangleright$  Gegenseitige Lage untersuchen
Aus der Ebenengleichung von $E_a$ lässt sich der Normalenvektor
$\overrightarrow{n}_a=\pmatrix{2a\\0\\ -(a-1)} = \pmatrix{2a\\0\\-a+1}$
$ \overrightarrow{n}_a = \pmatrix{2a\\0\\-a+1}$
ablesen. Der Richtungsvektor von $h$ ist $\overrightarrow{r}= \pmatrix{2\\1\\-1}.$
Die Ebene und die Gerade sind parallel, wenn $\overrightarrow{r}$ und $\overrightarrow{n}_a$ senkrecht zueinander stehen, ihr Skalarprodukt also Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_a \circ \overrightarrow{r}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{2a\\0\\-a+1}\circ \pmatrix{2\\1\\-1}&=& 0 \\[5pt] 2a\cdot 2 + 0\cdot 1 + (-a+1)\cdot (-1) &=& 0 \\[5pt] 4a+a-1 &=& 0 \\[5pt] 5a-1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 5a&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] a&=& 0,2 \end{array}$
$ a = 0,2 $
Für $a=0,2$ verlaufen $E_a$ und $h$ parallel. Es bleibt noch zu überprüfen, ob $h$ in dem Fall in $E_a$ liegt oder ob die beiden echt parallel sind. Für $a=0,2$ gilt für die Koordinaten des Aufpunkts von $h:$
$\begin{array}[t]{rll} E_{0,2}:\quad 0,4\cdot x_1 +0,8\cdot x_3 +2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;P(3\mid -1\mid -1)\\[5pt] 0,4\cdot 3 +0,8\cdot (-1) +2&=& 0 \\[5pt] 2,4&=& 0 \end{array}$
$ … 2,4 = 0 $
Die Koordinaten des Aufpunkts erfüllen die Ebenengleichung von $E_{0,2}$ nicht, damit kann die Gerade $h$ nicht in $E_{0,2}$ enthalten sein. Damit gilt insgesamt:
  • Für $a=0,2$ sind $E_a$ und $h$ echt parallel.
  • Für $a\neq 0$ schneiden sich $E_a$ und $h$ in genau einem Punkt.
#skalarprodukt
1.3
$\blacktriangleright$  Senkrechten Schnitt prüfen
Die Ebenen $E_a$ und $F$ schneiden sich senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht zueinander stehen, wenn also das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2a\\0\\-(a-1)} \circ \pmatrix{1\\0\\2}&=& 0 \\[5pt] 2a -2(a-1) &=& 0 \\[5pt] 2a-2a +2 &=& 0 \\[5pt] 2&=& 0 \end{array}$
$ … 2=0 $
Dies ist ein Widerspruch. Die beiden Ebenen schneiden sich also für keinen Wert von $a$ senkrecht.
$\blacktriangleright$  Parallelität überprüfen
Die beiden Ebenen $E_a$ und $F$ sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. Dazu muss es einen Faktor $b$ geben, für den gilt:
$\pmatrix{2a\\0\\1-a} = b\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem in Abhängigkeit von $a$ und $b:$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2a&=& b \\ \text{II}\quad&0&=& 0 \\ \text{III}\quad&1-a&=& 2b\\ \end{array}$
Einsetzen von $\text{I}$ in $\text{III}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1-a&=& 2b &\quad \scriptsize \mid\; b=2a\\[5pt] 1-a&=& 2\cdot 2a \\[5pt] 1-a&=& 4a &\quad \scriptsize \mid\;+a \\[5pt] 1&=& 5a &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] 0,2&=& a \end{array}$
$ a = 0,2 $
Für $a=0,2$ sind die beiden Ebenen $E_a$ und $F$ parallel.
#skalarprodukt
1.4
$\blacktriangleright$  Parameterwerte berechnen
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \left(45^{\circ}\right)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{2a\\0\\1-a} \circ \pmatrix{1\\0\\2}\right|}{\left|\pmatrix{2a\\0\\1-a} \right| \cdot \left|\pmatrix{1\\0\\2} \right|} \\[5pt] \dfrac{\sqrt{2}}{2}&=& \dfrac{\left|2a\cdot 1 +0\cdot 0 + (1-a)\cdot 2\right|}{\sqrt{(2a)^2 +0^2 +(1-a)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+2^2} } \\[5pt] \dfrac{\sqrt{2}}{2}&=& \dfrac{2}{\sqrt{4a^2 +1-2a+a^2} \cdot \sqrt{5} } \\[5pt] \dfrac{\sqrt{2}}{2}&=& \dfrac{2}{\sqrt{5a^2 +1-2a} \cdot \sqrt{5} } \\[5pt] \dfrac{\sqrt{2}}{2}&=& \dfrac{2}{\sqrt{25a^2 +5-10a}} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{2}{4}&=& \dfrac{4}{25a^2+5-10a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(25a^2+5-10a\right) \\[5pt] \left(25a^2+5-10a\right) \cdot \dfrac{1}{2} &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;: \dfrac{1}{2} \\[5pt] 25a^2+5-10a&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] 25a^2-10a-3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; abc\text{-Formel}\\[5pt] a_{1/2}&=& \dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2 -4\cdot 25\cdot (-3)}}{2\cdot 25} \\[5pt] &=& \dfrac{10\pm \sqrt{400}}{50} \\[5pt] a_1&=& \dfrac{10- 20}{50} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{5} \\[10pt] a_2&=& \dfrac{10+ 20}{50} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{5} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& -\dfrac{1}{5} \\[10pt] a_2&=& \dfrac{3}{5} \\[5pt] \end{array}$
Für $a_1=-\frac{1}{5}$ und $a_2 = \frac{3}{5}$ schneiden sich die Ebenen $E_a$ und $F$ genau im $45^{\circ}$-Winkel.
2.1
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts nachweisen
Die Gerade $g_1$ verläuft vom Punkt $A$ aus in Richtung des Vektors $\overrightarrow{u}.$ Eine Geradengleichung lautet also beispielsweise:
$g_1:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\100\\0} + s\cdot \pmatrix{4\\1\\1}$
$ g_1: \quad \overrightarrow{x}=… $
Damit $B$ genau $4$ Meter oberhalb von $g_a$ liegt, muss es auf $g_1$ einen Punkt $B'$ geben, der die gleichen $x_1$- und $x_2$-Koordinaten wie $B$ hat und dessen $x_3$-Koordinate um $4$ geringer ist als die von $B:$ $B'(1.002 \mid 350\mid 250).$ Überprüfe also, ob dieser Punkt auf $g_1$ liegt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \pmatrix{2\\100\\0} + s\cdot \pmatrix{4\\1\\1} \\[5pt] \pmatrix{1.002 \\ 350\\ 250}&=& \pmatrix{2\\100\\0} + s\cdot \pmatrix{4\\1\\1} &\quad \scriptsize \mid\; - \pmatrix{2\\100\\0} \\[5pt] \pmatrix{1.000 \\ 250\\ 250}&=& s\cdot \pmatrix{4\\1\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{1.000 \\ 250\\ 250}= s\cdot \pmatrix{4\\1\\1} $
Diese Gleichung ist für $s=250$ erfüllt. Der Punkt $B'$ liegt also auf $g_1$ und damit liegt $B$ genau 4 Meter oberhalb von $g_1.$
2.2
$\blacktriangleright$  Aufeinandertreffen der Tunnelröhren überprüfen
Da die Tunnelröhren einen Radius von $2$ Metern haben, treffen sie zumindest teilweise aufeinander, wenn der Abstand der Mittelachsen weniger als $4$ Meter beträgt.
Überprüfe also ob der Abstand von $g_1$ und $g_2$ kleiner als $4$ ist.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Abstand der Geraden berechnen
Zum Aufstellen einer Hilfsebene, die senkrecht zu $g_1$ durch den Punkt $A$ verläuft, kann der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ als Normalenvektor und $A$ als Aufpunkt verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} H: \quad 4x_1 +x_2 +x_3 -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;A(2\mid 100\mid 0) \\[5pt] 4\cdot 2 + 100 +0 -d &=& 0 \\[5pt] 108 -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +d\\[5pt] 108 &=& d \end{array}$
$ 108 = d $
Eine Ebenengleichung der Hilfsebene ist also $H: \quad 4x_1 +x_2 +x_3 -108 = 0.$ Für die Gerade $g_2$ kann $B$ als Aufpunkt verwendet werden. Sie verläuft entgegengesetzt zu $\overrightarrow{u},$ also in Richtung $-\overrightarrow{u}:$
$g_2: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1.002\\350\\254} +t\cdot \pmatrix{-4\\-1\\-1}.$
$ g_2:\quad \overrightarrow{x}=… $
Die Koordinaten von $g_2$ kannst du nun in die Ebenengleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x_1 +x_2 +x_3 -108 &=& 0 \\[5pt] 4\cdot (1.002-4t) + (350-t) + (254-t) -108&=& 0 \\[5pt] 4.008 -16t +350-t +254 -t -108 &=& 0 \\[5pt] 4.504 -18t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +18t\\[5pt] 4.504&=& 18t &\quad \scriptsize \mid\; :18 \\[5pt] \frac{2.252}{9}&=&t \end{array}$
$ t = \frac{2.252}{9} $
Der Schnittpunkt von $g_2$ und $H$ ist also:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{1.002\\350\\254} + \frac{2.252}{9}\cdot \pmatrix{-4\\-1\\-1} = \pmatrix{\frac{10}{9}\\\frac{898}{9} \\ \frac{34}{9} }$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{\frac{10}{9}\\\frac{898}{9} \\ \frac{34}{9} }$
Da $H$ so gewählt ist, dass $A$ der Schnittpunkt von $H$ und $g_a$ ist, ist der Abstand der beiden Geraden der Abstand der beiden Punkt $A$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} d(g_a,g_2)&=& d(A,S) \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{SA} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{\frac{8}{9} \\ \frac{2}{9}\\ -\frac{34}{9}} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ \left( \frac{8}{9}\right)^2 +\left(\frac{2}{9} \right)^2+\left(-\frac{34}{9} \right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{136}{9}}\\[5pt] &\approx& 3,89 \\[5pt] \end{array}$
$ d(g_a,g_2) \approx 3,89 $
Der Abstand der beiden Geraden ist also kleiner als $4,$ wodurch auch der Abstand der beiden Mittelachsen der Tunnelröhren kleiner als $4$ Meter ist. Sie treffen also zumindest teilweise aufeinander.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Verwendung der Ergebnisse aus 2.1
Der Punkt $B$ liegt horizontal gesehen $4$ Meter über der Mittelachse $g_1.$ Zusammen mit dem direkten Abstand zwischen den beiden Geraden bildet diese Entfernung ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge $4.$ Da die Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, muss demnach $d< 4$ sein.
Der Abstand der beiden Geraden und damit auch der Mittelachsen der beiden Tunnelröhren ist also kleiner als $4,$ sodass sich die beiden Tunnelröhren zumindest teilweise treffen.
#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App