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Jahr mit dem höchsten Anstieg der Emissionsrate berechnen
Gesucht ist das $t,$ für das die Steigung des Graphen von $k,$ also die erste Ableitungsfunktion $\dot k$ ihr absolutes Maximum annimmt.
Benötigt werden also die Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion $\ddot k .$
$\begin{array}[t]{rll}
\dot k(t) &=& 0,05\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,01\cdot t^2 +t\right) \\[10pt]
\ddot k(t) &=& 0,05\cdot (-0,02)\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,01\cdot t^2 +t\right)+ 0,05\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,02\cdot t+1 \right) \\[5pt]
&=& 0,05\cdot (-0,02)\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +t+t-50 \right) \\[5pt]
&=& -0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right) \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
\dot k(t) &=& … \\[10pt]
\ddot k(t) &=& -0,001\cdot … \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
\dot k(t) &=& 0,05\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,01\cdot t^2 +t\right) \\[10pt]
\ddot k(t) &=& 0,05\cdot (-0,02)\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,01\cdot t^2 +t\right)+ 0,05\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,02\cdot t+1 \right) \\[5pt]
&=& 0,05\cdot (-0,02)\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +t+t-50 \right) \\[5pt]
&=& -0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right) \\[5pt]
\end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll}
\ddot k(t)&=& 0 \\[5pt]
0&=& -0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right)&\quad \scriptsize \mid\; :\left(-0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t} \right)\neq 0\\[5pt]
0&=& -0,01\cdot t^2 +2t-50 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,01) \\[5pt]
0&=& t^2 -200t + 5.000 &\quad \scriptsize abc\text{-Formel} \\[5pt]
t_{1/2}&=& \dfrac{-(-200)\pm\sqrt{(-200)^2-4\cdot 1\cdot 5.000}}{2\cdot 1} \\[5pt]
&=& \dfrac{200\pm\sqrt{20.000}}{2} \\[5pt]
&=& 100\pm\sqrt{5.000} \\[5pt]
t_1&=& 100-\sqrt{5.000} \\[5pt]
&\approx& 29,3 \\[10pt]
t_2&=& 100+\sqrt{5.000}\\[5pt]
&\approx& 170,7
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
\ddot k(t)&=& 0 \\[5pt]
… \\[5pt]
t_1&=& 100-\sqrt{5.000} \\[5pt]
&\approx& 29,3 \\[10pt]
t_2&=& 100+\sqrt{5.000}\\[5pt]
&\approx& 170,7
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
\ddot k(t)&=& 0 \\[5pt]
0&=& -0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right)&\quad \scriptsize \mid\; :\left(-0,001\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t} \right)\neq 0\\[5pt]
0&=& -0,01\cdot t^2 +2t-50 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,01) \\[5pt]
0&=& t^2 -200t + 5.000 &\quad \scriptsize abc\text{-Formel} \\[5pt]
t_{1/2}&=& \dfrac{-(-200)\pm\sqrt{(-200)^2-4\cdot 1\cdot 5.000}}{2\cdot 1} \\[5pt]
&=& \dfrac{200\pm\sqrt{20.000}}{2} \\[5pt]
&=& 100\pm\sqrt{5.000} \\[5pt]
t_1&=& 100-\sqrt{5.000} \\[5pt]
&\approx& 29,3 \\[10pt]
t_2&=& 100+\sqrt{5.000}\\[5pt]
&\approx& 170,7
\end{array}$
Da $\mathrm e^{-0,02\cdot t}$ für jedes $t$ positiv ist, wird das Vorzeichen vom Rest des Funktionsterms von $\ddot k$ bestimmt: $-0,001\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right).$
Dabei handelt es sich um den Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel.
An der Nullstelle $t_1\approx 29,3 $ findet für $\ddot k$ also ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, an der Stelle $t_2\approx 170,7$ wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv.
Damit besitzt $\dot k$ an der Stelle $t_1\approx 29,3$ ein relatives Maximum und in $t_2\approx 170,7$ ein relatives Minimum.
Da für alle $t< 29,3$ gilt $\ddot k(t) >0,$ gilt auch $\dot k(t) \leq \dot k(29,3).$ Bei $t_1\approx 29,3$ liegt also auch das globale Maximum von $\dot k$ im Intervall $[0;56]$ (1950 bis heute).
Der größte Zuwachs der CO$_2$-Emissionsrate war also im Jahr 1979.