A I

Gegeben sind die reellen Funktionen $f_a:\quad x \mapsto \dfrac{(x + 2a) \cdot (x -a)}{x-5}$ in der vom Parameter $a \in\mathbb{R}$ unabhängigen Definitionsmenge $\mathbb{D}_{f_a}= \mathbb{R} \setminus \{ 5 \}.$

Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Nullstellen von $f_a.$

Berechne sämtliche Werte von $a,$ für welche die Steigung des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x = 4$ den Wert $-6$ besitzt.

Für die nun folgenden Aufgaben wird die Funktion $g$ mit maximaler Definitionsmenge $\mathbb{D}_g \subset \mathbb{R}$ und der Funktionsgleichung $g(x)=\ln\left( f_{-2}(x)\right)$ betrachtet, d.h. es gilt $g(x)=\ln \left(\dfrac{(x-4)\cdot (x+2)}{x-5} \right).$

Zeige, dass für den maximalen Definitionsbereich $\mathbb{D}_g$ der Funktion $g$ gilt: $\mathbb{D}_g \subset \mathbb{R}$ und $\mathbb{D}_g = ]- 2\, ;\, 4 [\quad \cup\quad ] 5\,;\, \infty [.$

Untersuche das Verhalten der Funktionswerte $g(x)$ an den Rändern des Definitionsbereiches und gib die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten des Graphen von $g$ an.

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle von $g$ und ermittle mithilfe dieser Monotonieintervalle die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen von $g.$ Verwende dabei, dass für $x\in \mathbb{D}_g$ gilt: $(x+2)\cdot (x-4) \cdot (x-5)>0$ Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
[Mögliches Teilergebnis: $g'(x)=\dfrac{x^2-10x+18}{(x+2)\cdot (x-4)\cdot (x-5)}$ ]

Die Funktion $g$ besitzt näherungsweise die beiden Nullstellen $x_1 \approx - 0,8$ und $x_2 \approx 3,8$ (Nachweis nicht erforderlich). Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von $g$ für $- 2 < x \leq 9$ zusammen mit seinen senkrechten Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1\,\text{LE} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{cm}.$

Seit Beginn des 20. Jahrhunderts führt der vom Menschen verursachte zusätzliche Ausstoß von Kohlenstoffdioxid (CO$_2$) zu einer Verstärkung des Treibhauseffektes, das heißt zu einem globalen Temperaturanstieg mit weitreichenden Folgen. Nach einem mathematischen Modell soll die Entwicklung der weltweiten CO$_2$- Emissionen abgeschätzt werden. Dieses Modell lässt sich näherungsweise durch die mathematische Funktion $k:\quad t \mapsto a \cdot t^2 \cdot e^{- b\cdot t} +7$ mit $t,a,b \in \mathbb{R}$ und $t \geq 0 ,$ $a > 0 ,$ $b > 0$ darstellen. Dabei entspricht $k(t)$ der CO$_2$-Emissionsrate in Mrd. Tonnen pro Jahr zum Zeitpunkt $t,$ wobei $t$ die seit Beginn des Jahres 1950 vergangene Zeit in Jahren beschreibt. Unter der CO$_2$-Emissionsrate wird dabei im Folgenden die ausgestoßene Masse an CO$_2$ pro Zeiteinheit verstanden. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

Nach diesem Szenario lag die CO$_2$-Emissionsrate zu Beginn des Jahres 2000 bei genau $30$ Mrd. Tonnen pro Jahr und zu Beginn des Jahres 2200 wird sie bei genau $17,5$ Mrd. Tonnen CO$_2$ pro Jahr liegen.
Bestimme mithilfe dieser Angaben die Parameter $a$ und $b$ der Funktion $k$ auf drei Nachkommastellen gerundet.

Im Folgenden gilt $a = 0,025$ und $b = 0,020.$ Alle folgenden Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.

Bestimme die nach diesem Modell prognostizierte CO$_2$-Emissionsrate zu Beginn des Jahres 2017.

Berechne den Zeitpunkt $t_m,$ zu dem die absolut maximale CO$_2$-Emissionsrate zu erwarten ist.
[Mögliches Teilergebnis: $\dot k(t)=0,05\cdot \mathrm e^{-0,02\cdot t}\cdot \left(-0,01\cdot t^2+t\right)$]

Zeichne mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $k$ für $0 \leq t \leq 250$ (die Jahre 1950 bis 2200) in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab: $t$-Achse: $50\,\text{Jahre} \mathrel{\widehat{=}}2\,\text{cm};$ $k$-Achse: $10\,\text{Mrd. Tonnen/Jahr } \mathrel{\widehat{=}} 2\,\text{cm}.$

Ermittle rechnerisch, in welchem Jahr zwischen 1950 und heute der Zeitpunkt liegt, an dem die CO$_2$-Emissionsrate nach diesem Modell am meisten zugenommen hat.

Die Funktion mit $t \geq 0$ und $t \in \mathbb{R}$ ist eine Stammfunktion von $k$ (Nachweis nicht erforderlich).
Bestimme, wie viele Tonnen CO$_2$ voraussichtlich im Jahr 2016 insgesamt ausgestoßen werden, wenn das obige Modell zugrunde gelegt wird.

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$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen bestimmen Die Nullstellen von $f_a$ sind die Nullstellen des Zählerpolynoms $(x+2a)\cdot (x-a).$ Dieses ist bereits in Form einer Linearfaktorzerlegung gegeben. Die Nullstellen von $f_a$ können daher direkt abgelesen werden und sind $x_1 = -2a$ und $x_2=a.$

• Für $a=0$ gilt $x_1=x_2=0.$ $f_a$ besitzt in dem Fall also die doppelte Nullstelle $x_1=x_2= 0.$
• Für $a=5$ sind $x_1=-10,$ $x_2= 5.$ Die zweite Nullstelle entspricht dann der Nullstelle des Nennerpolynoms, weshalb es sich bei $x_2=5$ um eine hebbare Definitionslücke handelt.
  $f_a$ besitzt für $a=5$ also nur eine Nullstelle $x_1=-10.$
• Für $a=-2,5$ sind $x_1=5,$ $x_2= -2,5.$ Die erste Nullstelle entspricht dann der Nullstelle des Nennerpolynoms, weshalb es sich bei $x_1=5$ um eine hebbare Definitionslücke handelt.
  $f_a$ besitzt für $a=-2,5$ also nur eine Nullstelle $x_2=-2,5.$
• Für $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,5;0;5\}$ besitzt $f_a$ zwei Nullstellen $x_1 = -2a$ und $x_2=a.$

$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen Gesucht sind die Werte von $a,$ für die $f_a'(4)=-6$ gilt. 1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen Mit der Quotientenregel ergibt sich: 2. Schritt: Gleichsetzen Für $a_1= -2$ und $a_2= 4,5$ besitzt die Steigung des Graphen von $f_a$ an der Stelle $4$ den Wert $-6.$

$\blacktriangleright$  Maximalen Definitionsbereich nachweisen Es gibt zwei Kriterien, die den Definitionsbereich einschränken:

• $\ln(x)$ ist nur für $x> 0$ definiert.
• Der Nenner der gebrochenrationalen Funktion innerhalb des Logarithmus muss $\neq 0$ sein. $x=5$ muss also schonmal aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Für die andere Bedingung lässt sich eine Vorzeichentabelle anlegen. Verwende dazu die Nullstellen der einzelnen Faktoren als Grenzen: Im Definitionsbereich können nur die Bereiche enthalten sein, für die das Argument des Logarithmus positiv ist. Insgesamt ergibt sich also: $\mathbb{D}_g =$ $]- 2\, ;\, 4 [\quad \cup\quad ] 5\,;\, \infty [.$

$\blacktriangleright$  Grenzwerte betrachten Betrachte zuerst jeweils den Grenzwert des Arguments des Logarithmus. Also gilt für den Logarithmus $g(x)\to -\infty$ für $x\to-2^+.$ Also gilt für den Logarithmus $g(x)\to -\infty$ für $x\to4^-.$ Also gilt für den Logarithmus $g(x)\to -\infty$ für $x\to-2^+.$ Es gilt $\dfrac{\overbrace{(x-4)}^{\to 1}\cdot \overbrace{(x+2)}^{\to 7}}{\underbrace{x-5}_{\to 0^+}} \to \infty$ für $x \to 5^+.$ Also gilt für den Logarithmus $g(x)\to \infty$ für $x\to 5^+.$ Also gilt $\dfrac{(x-4)\cdot (x+2)}{x-5} \to \infty$ für $x\to \infty.$ Also gilt für den Logarithmus $g(x)\to \infty$ für $x\to \infty.$ $\blacktriangleright$  Senkrechte Asymptoten angeben Senkrechte Asymptoten sind $x=-2,$ $x=4$ und $x=5.$

$\blacktriangleright$  Maximale Monotonieintervalle bestimmen Laut Aufgabenstellung ist der Nenner im gesamten Definitionsbereich von $g$ positiv. Es genügt also den Zähler zu betrachten. Die Nullstellen ergeben sich zu: Bei dem Term $x^2-10x+18$ handelt es sich um den Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel. Es ist also:

• $x^2-10x+18 > 0$ für $x< 2,4$
• $x^2-10x+18 < 0$ für $2,4 < x < 7,6$
• $x^2-10x+18 > 0$ für $7,6 < x$

Zusammen mit der Einschränkung durch den Definitionsbereich ergibt sich daher:

• Der Graph von $g$ ist streng monoton steigend in $]-2; 5-\sqrt{7}[$ und $]5+\sqrt{7}; \infty[.$
• Der Graph von $g$ ist streng monoton fallend in $]5-\sqrt{7};4[$ und $]5;5+\sqrt{7}[.$

$\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen Aufgrund der Monotonieintervalle von oben ergibt sich für die Extrempunkte des Graphen von $g:$

• Der Graph von $g$ besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $5-\sqrt{7}\approx 2,4,$ da die erste Ableitungsfunktion $g'$ hier eine Nullstelle besitzt und ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ stattfindet.
• Der Graph von $g$ besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $5+\sqrt{7}\approx 7,6,$ da die erste Ableitungsfunktion $g'$ hier eine Nullstelle besitzt und ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv stattfindet.

Die zugehörigen $y$-Koordinaten ergeben sich zu: Der Graph von $g$ besitzt den Hochpunkt $H(2,4\mid 1,0)$ und den Tiefpunkt $T(7,6\mid 2,6).$

$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen

$\blacktriangleright$  Parameterwerte berechnen Mithilfe der Angaben aus dem Aufgabentext ergeben sich für $k(t)= a\cdot t^2 \cdot \mathrm e^{-b\cdot t} +7$ folgende Bedingungen:

1. $k(50)= 30 $
2. $k(250)= 17,5$

Einsetzen liefert: Einsetzen von $a$ in $\text{II}$ liefert: Einsetzen in $a$ liefert wiederum: Die Parameter der Funktion $k$ lauten also $a\approx 0,025$ und $b\approx 0,020.$

$\blacktriangleright$  Emissionsrate bestimmen Nach dem beschriebenen Modell beträgt die prognostizierte CO$_2$ Emissionsrate zu Beginn des Jahres 2017 ca. $36,4$ Mrd. Tonnen CO$_2$ pro Jahr.

$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der maximalen Emissionsrate berechnen Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt für die erste Ableitungsfunktion von $k:$ Mit dem notwendigen Kriterium für relative Maxima folgt: Es gibt also zwei mögliche relative Extremstellen $t_1=0$ und $t_2=100.$ Zudem gilt Da $k$ stetig ist, muss also bei $t_2=t_m=100,$ also zu Beginn des Jahres 2050, ein absolutes Maximum liegen.

$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen

$\blacktriangleright$  Jahr mit dem höchsten Anstieg der Emissionsrate berechnen Gesucht ist das $t,$ für das die Steigung des Graphen von $k,$ also die erste Ableitungsfunktion $\dot k$ ihr absolutes Maximum annimmt. Benötigt werden also die Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion $\ddot k .$ Gleichsetzen liefert: Da $\mathrm e^{-0,02\cdot t}$ für jedes $t$ positiv ist, wird das Vorzeichen vom Rest des Funktionsterms von $\ddot k$ bestimmt: $-0,001\cdot \left( -0,01\cdot t^2 +2t-50\right).$ Dabei handelt es sich um den Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel.
An der Nullstelle $t_1\approx 29,3 $ findet für $\ddot k$ also ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, an der Stelle $t_2\approx 170,7$ wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv.
Damit besitzt $\dot k$ an der Stelle $t_1\approx 29,3$ ein relatives Maximum und in $t_2\approx 170,7$ ein relatives Minimum. Da für alle $t< 29,3$ gilt $\ddot k(t) >0,$ gilt auch $\dot k(t) \leq \dot k(29,3).$ Bei $t_1\approx 29,3$ liegt also auch das globale Maximum von $\dot k$ im Intervall $[0;56]$ (1950 bis heute). Der größte Zuwachs der CO$_2$-Emissionsrate war also im Jahr 1979.

$\blacktriangleright$  Menge der Emissionen im Jahr 2016 berechnen Das Jahr 2016 wird durch das Intervall $[66;67]$ für $t$ beschrieben. Mit einem Integral und der angegebenen Stammfunktion $K$ von $k$ ergibt sich: Im Jahr 2016 werden nach dem beschriebenen Modell insgesamt ca. $36,2$ Mrd. Tonnen CO$_2$ ausgestoßen.