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B I

Aufgaben
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1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ sind die Punkte $A(8\mid 5 \mid 6),$ $B(4\mid 1\mid - 1),$ $P_a(2\mid a\mid - 1)$ und $Q_b(- 2b\mid b\mid b + 1)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ sowie die Geraden $h_1$ und $h_2$ gegeben:
$h_a:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\3\\-1} + \lambda \cdot \pmatrix{1\\-1\\0},$ $\lambda \in \mathbb{R};$ $h_2:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{-1\\-1\\3} + \mu \cdot \pmatrix{-1\\1\\0},$ $\mu \in \mathbb{R}.$
Die Geraden $h_1$ und $h_2$ spannen die Ebene $E$ auf.
1.1
Bestimme eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform.
(3 BE)
#normalenform
1.2
Die Ebene $E:\quad 4x_1 + 4x_2 + 7x_3 - 13 = 0 $ schneidet die $x_1 - x_3-$Ebene in der Geraden $s.$
Ermittle eine Gleichung von $s.$
(4 BE)
#schnittgerade
1.3
Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $A$ und schneidet die Ebene $E$ im Punkt $P_a.$ Ermittle eine Gleichung von $g.$
(3 BE)
1.4
Berechne den Abstand des Punktes $A$ von der Ebene $E$ sowie die Koordinaten des Spiegelpunktes $A',$ der durch Spiegelung des Punktes $A$ an der Ebene $E$ entsteht.
(5 BE)
1.5
Prüfe, ob es einen Wert für den Parameter $b$ gibt, sodass die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BQ_b}$ orthogonal sind.
(3 BE)
1.6
Berechne die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide $ABQ_2P_3.$
(4 BE)
#pyramide
1.7
Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar $f_c:$
$f_c:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{6\\5\\4} + \kappa \cdot \pmatrix{c-1,5\\c^2\\0}$ mit $\kappa, c\in \mathbb{R}.$
Untersuche, für welche Werte von $c$ sich die Gerade $g:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{8\\5\\6} + \upsilon\cdot \pmatrix{6\\2\\7}$ mit $\upsilon\in \mathbb{R}$ mit einer Geraden aus der Geradenschar $f_c$ schneidet.
(8 BE)

(30 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Für die beiden Richtungsvektoren der Geraden gilt $\pmatrix{1\\-1\\0} = -1\cdot \pmatrix{-1\\1\\0}.$ Die beiden Geraden sind also parallel. Zur Berechnung des Normalenvektors von $E$ mithilfe des Kreuzprodukts kann daher einer der beiden Richtungsvektoren und ein Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte der Geraden verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{1\\-1\\0} \times \pmatrix{3\\4\\-4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\cdot (-4) - 0\cdot 4 \\ 0\cdot 3 -1\cdot (-4) \\ 1\cdot 4- (-1) \cdot 3} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\ 4\\ 7} \end{array}$
Einsetzen zusammen mit den Koordinaten eines der beiden Aufpunkte ergibt:
$E: \quad \pmatrix{4\\4\\7} \circ \left[\overrightarrow{x} -\pmatrix{2\\3\\-1} \right] = 0$
#kreuzprodukt
1.2
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Eine Gleichung der $x_1x_3$-Ebene in Parameterform ist beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} E_{x_1x_3}: \quad \overrightarrow{x} &=& \pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{1\\0\\0}+ s\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{t\\0\\s} \\[5pt] \end{array}$
$ E_{x_1x_3}: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{t\\0\\s} $
Dies kannst du nun in die angegebene Ebenengleichung von $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x_1+4x_2+7x_3-13&=& 0 \\[5pt] 4t+4\cdot 0+7s-13&=& 0 \\[5pt] 4t+7s-13&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+13 \\[5pt] 4t+7s&=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; -7s \\[5pt] 4t&=& 13-7s &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] t&=& \frac{13}{4}-\frac{7}{4}s \end{array}$
$ t = \frac{13}{4}-\frac{7}{4}s $
Einsetzen in die Ebenengleichung der $x_1x_3$-Ebene liefert eine Gleichung der Schnittgeraden:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{t\\0\\s} \\[5pt] &=& \pmatrix{ \frac{13}{4}-\frac{7}{4}s\\0\\s} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{13}{4}\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{-\frac{7}{4}\\0\\1} \end{array}$
$ s:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{\frac{13}{4}\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{-\frac{7}{4}\\0\\1}$
1.3
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Da $P_a$ in $E$ liegt, kannst du die Koordinaten von $P_a$ in die Koordinatengleichung von $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x_1+4x_2+7x_3-13&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; P_a(2\mid a\mid -1) \\[5pt] 4\cdot 2 + 4\cdot a +7\cdot (-1) -13&=& 0 \\[5pt] -12 +4a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+12 \\[5pt] 4a&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] a&=& 3 \end{array}$
$ a=3 $
Der Schnittpunkt von $g$ mit $E$ hat also die Koordinaten $P_3(2\mid 3\mid -1).$ Du kannst nun beispielsweise $A$ als Stützpunkt und $\overrightarrow{AP_3}$ als Richtungsvektor von $g$ wählen:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OA} +r \cdot \overrightarrow{AP_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\5\\6} + r\cdot \pmatrix{-6\\-2\\-7} \end{array}$
$ g:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{8\\5\\6} + r\cdot \pmatrix{-6\\-2\\-7} $
1.4
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Punkt und Ebene berechnen
1. Schritt: Lotgerade aufstellen
Die Gerade $l,$ soll senkrecht zu $E$ durch den Punkt $A$ verlaufen. Verwende also als Richtungsvektor von $l$ den Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{4\\4\\7}$ von $E$ und als Stützpunkt $A:$
$\begin{array}[t]{rll} l:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+ u\cdot \overrightarrow{n} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\5\\6} +u\cdot \pmatrix{4\\4\\7}\\[5pt] &=& \pmatrix{8+4u\\ 5+4u \\ 6+7u} \end{array}$
$ l:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{8+4u\\ 5+4u \\ 6+7u} $
2. Schritt: Schnittpunkt des Lots mit der Ebene bestimmen
Die Geradengleichung kannst du nun in die Koordinatengleichung von $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot \left( 8+4u\right) +4\cdot \left( 5+4u \right) +7 \cdot \left(6+7u \right) -13&=& 0 \\[5pt] 32+16u+20 +16u +42 +49u -13&=& 0 \\[5pt] 81+81u &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-81 \\[5pt] 81u&=& -81&\quad \scriptsize \mid\;:81 \\[5pt] u&=& -1 \end{array}$
$ u= -1 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvekor des Schnittpunkts.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OL}&=& \pmatrix{8+4\cdot (-1)\\ 5+4\cdot (-1) \\ 6+7\cdot (-1)} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\1\\-1} \end{array}$
$ \overrightarrow{OL}= \pmatrix{4\\1\\-1} $
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand von $A$ zu $E$ ist der Abstand von $A$ zum Lotfußpunkt $L:$
$\begin{array}[t]{rll} d(A,E)&=& d(A,L) \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{AL} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{-4\\-4\\-7}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 +(-7)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{81} \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
$ d(A,E) = 9 $
Der Punkt $A$ hat also von $E$ den Abstand $9\,\text{LE}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Spiegelpunkts angeben
Der Spiegelpunkt $A'$ ergibt sich mithilfe des Vektors $\overrightarrow{AL}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA'}&=& \overrightarrow{OA}+ 2\cdot \overrightarrow{AL} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\5\\6} + 2\cdot \pmatrix{-4\\-4\\-7} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3\\-8} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OA'} =\pmatrix{0\\-3\\-8} $
Der Spiegelpunkt von $A$ hat die Koordinaten $A'(0\mid -3\mid -8).$
#vektorbetrag
1.5
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Damit die beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BQ_b}$ orthogonal sind, muss ihr Skalarprodukt Null sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{BQ_b}&=& 0\\[5pt] \pmatrix{4\\4\\7}\circ\pmatrix{-2b-4\\b-1\\b+2}&=& 0 \\[5pt] 4\cdot (-2b-4)+ 4\cdot (b-1) +7\cdot (b+2)&=& 0 \\[5pt] -8b-16 +4b-4 +7b +14 &=& 0 \\[5pt] 3b -6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 3b&=& 6&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] b&=& 2 \end{array}$
$ b= 2 $
Für $b=2$ sind die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BQ_b}$ orthogonal.
#skalarprodukt
1.6
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Mithilfe der Formel für das Pyramidenvolumen erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{6}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\circ\left(\overrightarrow{AQ_2}\times \overrightarrow{AP_3} \right) \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot \left| \pmatrix{-4\\-4\\-7}\circ \left( \pmatrix{-12\\-3\\-3}\times\pmatrix{-6\\-2\\-7}\right) \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot \left| \pmatrix{-4\\-4\\-7}\circ \pmatrix{-3\cdot (-7) - (-3)\cdot (-2)\\ -3\cdot (-6) -(-12) \cdot (-7) \\ -12\cdot (-2) -(-3) \cdot (-6) } \right|\\[5pt] &=&\frac{1}{6}\cdot \left| \pmatrix{-4\\-4\\-7}\circ \pmatrix{15\\ -66 \\ 6 } \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot \left| -4\cdot 15 -4\cdot (-66) -7\cdot 6\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot \left| 162\right|\\[5pt] &=& 27 \end{array}$
$ V = 27 $
Die Maßzahl des Pyramidenvolumens beträgt $27\,\text{VE}.$
1.7
$\blacktriangleright$  Geraden auf Schnittpunkt untersuchen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{6\\5\\4} + \kappa \cdot \pmatrix{c-1,5\\c^2\\0}&=&\pmatrix{8\\5\\6} + \upsilon\cdot \pmatrix{6\\2\\7} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{6\\5\\4}; - \upsilon\cdot \pmatrix{6\\2\\7} \\[5pt] \kappa \cdot \pmatrix{c-1,5\\c^2\\0} - \upsilon\cdot \pmatrix{6\\2\\7} &=& \pmatrix{2\\0\\2} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{6\\5\\4} + … $
Daraus folgt das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2&=& (c-1,5)\cdot \kappa -6\upsilon \\ \text{II}\quad&0&=& c^2\cdot \kappa -2\upsilon \\ \text{III}\quad&2&=& -7\upsilon &\quad \scriptsize\mid\; :(-7) \\ &-\frac{2}{7}&=& \upsilon \\ \hline \text{Ia}\quad&2&=& (c-1,5)\cdot \kappa -6\cdot \left(-\frac{2}{7}\right) \\ &2&=& (c-1,5)\cdot \kappa +\frac{12}{7} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{12}{7}\\ &\frac{2}{7}&=& (c-1,5)\cdot \kappa &\quad \scriptsize \mid\;: (c-1,5)\\ &\dfrac{2}{7(c-1,5)}&=& \kappa \\[5pt] \text{IIa}\quad&0&=& c^2\cdot \kappa +\frac{4}{7} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{4}{7} \\ &-\frac{4}{7}&=& c^2\cdot \kappa \\ \end{array}$
$ \upsilon = -\frac{2}{7} $
$\kappa$ kann jetzt in $\text{IIa}$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{4}{7}&=& c^2\cdot \kappa &\quad \scriptsize \mid\;\kappa = \dfrac{2}{7(c-1,5)}\\[5pt] -\frac{4}{7}&=& c^2\cdot \dfrac{2}{7(c-1,5)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 7(c-1,5) \\[5pt] -4\cdot (c-1,5) &=& 2c^2 \\[5pt] -4c +6 &=& 2c^2&\quad \scriptsize \mid\;-2c^2 \\[5pt] -2c^2-4c+6&=& 0&\quad \scriptsize abc\text{-Formel}\\[5pt] c_{1/2}&=& \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot (-2) \cdot 6}}{2\cdot (-2)} \\[5pt] &=& \dfrac{4\pm\sqrt{64}}{-4} \\[5pt] &=& \dfrac{4\pm 8}{-4} \\[5pt] &=& -1\pm -2 \\[5pt] c_1&=& -1+ (-2) \\[5pt] &=& -3 \\[10pt] c_2&=& -1- (-2) \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c_1&=& -1+ (-2) \\[5pt] &=& -3 \\[10pt] c_2&=& -1- (-2) \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in $\kappa$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \kappa_1&=& \dfrac{2}{7(c_1-1,5)} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{7\cdot (-3-1,5)} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{63} \\[10pt] \kappa_2&=& \dfrac{2}{7(c_2-1,5)} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{7\cdot (1-1,5)} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{7} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \kappa_1&=&-\dfrac{4}{63} \\[10pt] \kappa_2&=&-\dfrac{4}{7} \\[10pt] \end{array}$
Das Gleichungssystem ist für $c_1=-3$ und $c_2=1$ lösbar. Die beiden Geraden schneiden sich also für $c_1=-3$ und $c_2= 1.$
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