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B II

Aufgaben
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1.0
Ein Meeresgebiet ist festgelegt durch die Koordinaten eines ruhenden Forschungsschiffes $F( 6000 \mid 1000 \mid 0),$ den Fußpunkt eines Leuchtturms $L( 200 \mid 5.000 \mid 0)$ sowie eines zunächst an der Wasseroberfläche fahrenden Unterseeboots mit $U_k( 40-2k \mid -20 \mid 0)$ mit $k \in \mathbb{R}.$
Die angegebenen Koordinaten stellen Punkte in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem dar. Seegang, Drift und Wind sowie die Erdkrümmung bleiben bei den Berechnungen unberücksichtigt. Die Koordinaten sind alle in Metern angegeben, auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden.
1.1
Zeige, dass sich das U-Boot geradlinig auf der Wasseroberfläche bewegt, und berechne den minimalen Abstand des U-Bootes vom Forschungsschiff.
(7 BE)
1.2.0
Für die folgenden Aufgaben gilt $k = 10,$ somit $U_{10}( 20\mid -20 \mid 0).$
1.2.1
Untersuche, ob sich ein Blauwal an der Position $B( 1.587 \mid 2.243 \mid 0)$ außerhalb oder innerhalb des von den Punkten $F,$ $L$ und $U_{10}$ begrenzten Seegebietes aufhält.
(6 BE)
1.2.2
Funksignale werden zwischen Forschungsschiff $F,$ der Spitze des Leuchtturms $S( 200 \mid 5000 \mid 50)$ und dem Unterseeboot ausgetauscht. Die Punkte $F,$ $S$ und $U_{10}$ liegen in einer Ebene $E.$ Bestimme je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform.
[Mögliches Teilergebnis: $E:\quad$ $51x_1 - 299x_2 + 29.836x_3- 7.000$ $= 0$ ]
(4 BE)
#koordinatenform#parameterform
1.2.3
Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die sowohl in der Wasseroberfläche als auch in der Ebene $E$ aus 1.2.2 liegen.
(4 BE)
1.3.0
Von der Position $U_{10}$ taucht das U-Boot geradlinig in Richtung $\overrightarrow{u}=\pmatrix{120\\300\\-100}$ bis in eine Wassertiefe von $200$ Metern zum Tauchpunkt $T$ ab.
1.3.1
Berechne die Koordinaten des Tauchpunktes $T$ und die beim Tauchvorgang zurückgelegte Strecke. Runde auf ganze Meter.
(5 BE)
1.3.2
Laut Herstellervorgaben darf das Tauchboot beim Tauchvorgang einen maximalen Tauchwinkel von $16$ Grad gegenüber der Horizontalen nicht überschreiten. Prüfe das Einhalten der Vorgaben durch Berechnung.
(4 BE)

(30 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Bewegung des U-Bootes zeigen
B II Die Position des U-Bootes wird durch den Punkt $U_k(40-2k\mid -20\mid 0)$ mit $k\in \mathbb{R}$ beschrieben. Die Koordinaten hängen vom Parameter $k$ ab, sodass sich das U-Boot entlang einer Geraden bewegt. Es gilt aber für alle $k\in \mathbb{R},$ dass $x_3=0$ ist. Das U-Boot bewegt sich also entlang einer Geraden, bleibt dabei aber immer auf der Wasseroberfläche.
$\blacktriangleright$  Minimalen Abstand zum Forschungsschiff berechnen
Gesucht ist der minimale Abstand der Geraden $g,$ auf der sich das U-Boot bewegt, zum Punkt $F(6.000\mid 1.000\mid 0),$ in dem sich das Forschungsschiff befindet.
$g: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{40\\-20\\ 0} +k \cdot \pmatrix{-2\\0\\0}$
$g: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{40\\-20\\ 0} +k \cdot \pmatrix{-2\\0\\0}$
Du kannst nun entweder mit einer Hilfsebene arbeiten oder direkt mit dem Verbindungsvektor zwischen dem Punkt und der Geraden.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hilfsebene
Verwendest du den Richtungsvektor von $g$ als Normalenvektor und den Punkt $F$ als Aufpunkt, erhältst du die Ebene $H,$ die senkrecht zur Geraden durch den Punkt $F$ verläuft.
$H:\quad -2x_1 +0x_2+0x_3 = d$
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad -2x_1&=& d &\quad \scriptsize \mid\;F(6.000\mid 1.000\mid 0) \\[5pt] -2\cdot 6.000&=& d\\[5pt] -12.000&=& d \end{array}$
$ d = -12.000 $
Eine Gleichung der Hilfsebene ist also: $H:\quad -2x_1 = -12.000.$
Für die Punkte auf der Geraden $g$ gilt $x_1 =40-2k .$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -2\cdot (40-2k)&=& -12.000 \\[5pt] -80 +4k &=& -12.000 &\quad \scriptsize \mid\;+80 \\[5pt] 4k&=& -11.920 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] k&=& -2.980 \end{array}$
$ k = -2.980 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts von $g$ und $H:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{40\\-20\\ 0} -2.980 \cdot \pmatrix{-2\\0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{6.000\\-20\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{6.000\\-20\\0} $
Der Abstand von $F$ zu $g$ entspricht dann dem Abstand von $F$ und dem Schnittpunkt $S.$
$\begin{array}[t]{rll} d(F,g)&=& d(F,S) \\[5pt] &=&\left|\overrightarrow{SF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\1.020\\0} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +1.020^2 +0^2} \\[5pt] &=& 1.020 \end{array}$
$ d(F,g) = 1.020 $
Der minimale Abstand zwischen U-Boot und Forschungsschiff beträgt $1.020\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Verbindungsvektor
Der Punkt $U$ auf der Geraden $g$ mit dem kürzesten Abstand zu $F$ ist der Punkt $U_k$, für den der Verbindungvektor $\overrightarrow{U_kF}$ senkrecht zur Gerade also senkrecht zum Richtungsvektor von $g$ ist.
Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{6.000 -(40-2k)\\ 1.000- (-20)\\ 0-0 }\circ \pmatrix{-2\\0\\0}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{5.960 +2k\\ 1.020\\ 0 }\circ \pmatrix{-2\\0\\0}&=& 0 \\[5pt] -11.920 -4k + 1.020\cdot 0 +0\cdot 0&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +11.920\\[5pt] -4k&=& 11.920 &\quad \scriptsize \mid\; : (-4)\\[5pt] k&=& -2.980 \end{array}$
$ k = -2.980 $
Einsetzen in $U_k$ liefert den Punkt auf $g$ mit dem kürzesten Abstand zu $F:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OU}&=& \pmatrix{40\\-20\\ 0} -2.980 \cdot \pmatrix{-2\\0\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{6.000\\-20\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OU} = \pmatrix{6.000\\-20\\0} $
Der Abstand von $F$ zu $g$ entspricht dann dem Abstand von $F$ und $U.$
$\begin{array}[t]{rll} d(F,g)&=& d(F,U) \\[5pt] &=&\left|\overrightarrow{UF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\1.020\\0} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +1.020^2 +0^2} \\[5pt] &=& 1.020 \end{array}$
$ d(F,g) = 1.020 $
Der minimale Abstand zwischen U-Boot und Forschungsschiff beträgt $1.020\,\text{m}.$
#vektorbetrag#hilfsebene
1.2.1
$\blacktriangleright$  Lage des Blauwals untersuchen
Für $\overrightarrow{U_{10}B} = s\cdot \overrightarrow{U_{10}F} + t\cdot \overrightarrow{U_{10}L}$ müssen $s,t > 0$ und $s+t < 1$ sein, damit $B$ innerhalb des Dreiecks $U_{10}FL$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{U_{10}B}&=& s\cdot \overrightarrow{U_{10}F} + t\cdot \overrightarrow{U_{10}L} \\[5pt] \pmatrix{1.567\\2.263\\0}&=& s\cdot \pmatrix{5.980\\1.020\\0} +t\cdot \pmatrix{180\\5.020\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{1.567\\2.263\\0} = … $
Da die $x_3$-Koordinaten bei allen $x_3=0$ ist, kannst du dich auf die ersten beiden Zeilen beschränken und $s$ und $t$ mithilfe des folgenden linearen Gleichungssystems berechnen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1.567 &=& 5.980s + 180t \\ \text{II}\quad&2.263&=& 1.020s + 5.020t \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1.567 &=& … \\ \text{II}\quad&2.263&=& … \\ \end{array}$
Löse beispielsweise $\text{I}$ nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 1.567 &=& 5.980s + 180t &\quad \scriptsize \mid\;-5.980s \\[5pt] 1.567-5.980s &=& 180t &\quad \scriptsize \mid\;:180 \\[5pt] \frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}s&=& t \end{array}$
$ t = \frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}s $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2.263&=& 1.020s + 5.020t &\quad \scriptsize \mid\;t=\frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}s \\[5pt] 2.263&=& 1.020s + 5.020\cdot \left(\frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}s \right) \\[5pt] 2.263&=& 1.020s + \frac{393.317}{9}- \frac{1.500.980}{9}s \\[5pt] 2.263&=& \frac{393.317}{9}- \frac{1.491.800}{9}s &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{393.317}{9} \\[5pt] -\frac{372.950}{9}&=&- \frac{1.491.800}{9}s &\quad \scriptsize \mid\;: \left(- \frac{1.491.800}{9} \right)\\[5pt] \frac{1}{4}&=& s \\[5pt] \end{array}$
$ s = \frac{1}{4} $
Einsetzen in $t$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}s&\quad \scriptsize \mid\;s=\frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1.567}{180}- \frac{299}{9}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \\[5pt] \end{array}$
$ t = \frac{2}{5} $
Es sind $s,t >0.$ Außerdem ist
$s+t = \frac{1}{4} +\frac{2}{5} = \frac{13}{20} < 1.$
$ s+t < 1 $
Der Punkt $B$ liegt innerhalb des Dreiecks $U_{10}FL,$ der Blauwal befindet sich also in dem beschriebenen Seegebiet.
#linearkombination
1.2.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Als Spannvektoren können beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{FS}$ und $\overrightarrow{FU_{10}}$ verwendet werden, als Aufpunkt zum Beispiel $F.$
$\begin{array}[t]{rll} E: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OF} + s\cdot \overrightarrow{FS}+ t\cdot \overrightarrow{FU_{10}} \\[5pt] &=& \pmatrix{6.000\\1.000\\0} + s\cdot \pmatrix{-5.800 \\4.000\\50} + t\cdot \pmatrix{-5.980\\-1.020 \\ 0} \end{array}$
$ E: \quad \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform angeben
Einen Normalenvektor kannst du beispielsweise mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{FS}\times \overrightarrow{FU_{10}} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5.800 \\4.000\\50} \times\pmatrix{-5.980\\-1.020 \\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{4.000\cdot 0 -50\cdot (-1.020) \\ 50\cdot (-5.980)- (-5.800)\cdot 0 \\ -5.800 \cdot (-1.020)- 4.000 \cdot (-5.980)}\\[5pt] &=& \pmatrix{51.000 \\ -299.000 \\ 29.836.000} \\[5pt] &=&1.000 \cdot \pmatrix{51\\-299\\29.836} \end{array}$
$ \overrightarrow{n} =1.000 \cdot \pmatrix{51\\-299\\29.836} $
Du kannst den gekürzten Vektor verwenden. Für den Parameter $d$ erhältst du mit den Koordinaten von $F:$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 51\cdot6.000 -299\cdot 1.000 +29.836\cdot 0 \\[5pt] &=& 7.000 \\[5pt] \end{array}$
$ d = 7.000 $
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet also
$E:\quad 51\cdot x_1 -299x_2 +29.836 x_3 -7.000 =0.$
$ E: \quad 51x_1 … $
#kreuzprodukt
1.2.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte angeben
Die Punkte $U_{10}$ und $F$ liegen beide in der Wasseroberfläche und in der Ebene $E.$ Die gesuchten Punkte sind also diejenigen, die auf der Geraden $g$ durch $U_{10}$ und $F$ liegen.
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OU_{10}} + r\cdot \overrightarrow{U_{10}F} \\[5pt] &=& \pmatrix{20\\-20\\0} +r\cdot \pmatrix{5.980\\1.020\\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{20 +5.980 r \\ -20+1.020r \\ 0} \end{array}$
$ g: \quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{20 +5.980 r \\ -20+1.020r \\ 0} $
Die Punkte, die sowoghl in der Wasseroberfläche als auch in der Ebene $E$ liegen haben die Koordinaten
$P_r(20 +5.980 r \mid -20+1.020r \mid 0).$
$P_r(20 +5.980 r \mid -20+1.020r \mid 0).$
1.3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tauchpunktes bestimmen
Das U-Boot bewegt sich entlang der Geraden $t$ durch $U_{10}$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{u}:$
$\begin{array}[t]{rll} t: \quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OU_{10}} + u\cdot \overrightarrow{u} \\[5pt] &=& \pmatrix{20\\-20\\0} +u\cdot \pmatrix{120\\300\\-100} \\[5pt] \end{array}$
$ t: \quad \overrightarrow{x} = … $
Der Tauchpunkt $T$ befindet sich auf der Geraden $t$ in einer Wassertiefe von $200$ Metern. Die $x_3$-Koordinate von $T$ ist also $x_3 = -200.$ Mithilfe der letzten Zeile der Geradengleichung ergibt sich dadurch $u = 2.$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=& \pmatrix{20\\-20\\0} +2\cdot \pmatrix{120\\300\\-100} \\[5pt] &=&\pmatrix{260\\580 \\ -200} \end{array}$
$ \overrightarrow{OT} = \pmatrix{260\\580 \\ -200} $
Die Koordinaten des Tauchpunkts lauten $T(260\mid 580\mid -200).$
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke berechnen
Die Länge der zurückgelegten Strecke entspricht dem Abstand von $U_{10}$ und $T:$
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{U_{10}T} \right|&=& \left|\pmatrix{240\\600\\-200} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{240^2 +600^2 +(-200)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{457.600} \\[5pt] &\approx& 676 \end{array}$
$ \left| \overrightarrow{U_{10}T} \right| \approx 676 $
Das U-Boot legt beim Tauchgang eine Strecke von ca. $676\,\text{m}$ zurück.
1.3.2
$\blacktriangleright$  Tauchwinkel überprüfen
Du weißt bereits, dass das U-Boot auf seinem ca. $676$ Meter langen Tauchweg eine Höhendifferenz von $200$ Metern zurücklegt, da es sich zu Beginn in der Wasseroberfläche und zum Schluss in einer Wassertiefe von $200$ Metern befindet.
Mit dem Sinus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{200}{676} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 17,2^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx 17,2^{\circ} $
Der Tauchwinkel gegenüber der Horizontalen ist ca. $17,2^{\circ}$ groß und damit größer als $16^{\circ}.$ Die Herstellervorgaben werden also nicht eingehalten.
#sinus
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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