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A I

Aufgaben
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1.0
Gegeben ist die reelle Funktion $f:\, x\to \dfrac{(x-2)^2}{1+0,25\cdot x^2}$ in ihrer maximalen Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}.$ Der Graph der Funktion wird mit $G_f$ bezeichnet.
#gebrochenrationalefunktion
1.1
Ermittle das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ an den Rändern der Definitionsmenge und gib Art und Gleichung der Asymptote von $G_f$ an.
(3 BE)
#asymptote
1.2
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit seiner Asymptote.
(4 BE)
1.3
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_f.$
[Mögliches Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{x^2-4}{\left(1+0,25\cdot x^2 \right)^2}$ ]
(10 BE)
#krümmung
1.4
Gib die Nullstelle von $f$ sowie deren Vielfachheit an und zeichne unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von $f$ sowie dessen Asymptote für $ 6 \leq x \leq 6$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Berücksichtige dabei, dass der Graph von $f$ den Hochpunkt $H(-2\mid 8)$ besitzt, ein Nachweis ist nicht erforderlich. Maßstab: $1\,\text{LE} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{cm}.$
(5 BE)
#nullstelle
1.5
Zeige, dass die Funktion $F:\, x\to -8\cdot \ln\left(x^2+4\right)+4\cdot x$ mit $\mathbb{D}_F=\mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(3 BE)
#stammfunktion
1.6
Der Graph $G_f$ schließt zusammen mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Markiere dieses Flächenstück in deiner Zeichnung aus 1.4 und zeige, dass die Maßzahl seines Flächeninhaltes $A = 8 \cdot ( 1 - \ln( 2 ))$ beträgt.
(4 BE)
2.0
Gegeben sind nun die reellen Funktionen $f_a:\, x\to \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2}+4$ in der vom Parameter $a\in \mathbb{R}$ unabhängigen Definitionsmenge $\mathbb{D}_{f_a}=\mathbb{R}.$ Der Graph einer solchen Funktion wird mit $G_{f_a}$ bezeichnet.
#funktionenschar
2.1
Überprüfe, ob die Funktion $f$ aus Aufgabe 1.0 zur Funktionenschar $f_a$ gehört.
(4 BE)
2.2
Bestimme alle Werte von $a,$ für welche $f_a$ genau zwei einfache Nullstellen besitzt.
(6 BE)
#nullstelle
2.3
Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, sodass $G_{f_a}$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
(4 BE)
2.4
Ermittle alle Werte von $a,$ für welche die Tangente an der Stelle $x = 0$ an den Graphen $G_{f_a}$ einen Steigungswert von $m\leq -4$ aufweist.
(5 BE)
3.0
Zur Gewinnung von Energieholz eignen sich schnell wachsende Pappeln, deren Wachstum über einen Zeitraum von $10$ Jahren beobachtet wird. Die Höhe der Pappeln (in Metern) kann näherungsweise durch die Funktion
$H: \, t\to \dfrac{a\cdot \mathrm e^{k\cdot (t-2)}}{3+2\cdot \mathrm e^{k\cdot (t-2)}}$ mit $a,k,t\in\mathbb{R}$ und $a>0, k>0, t\in[0;10]$
beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Jahren ab dem Beobachtungsbeginn ist. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist die Pappel eingepflanzt und hat bereits eine gewisse Höhe. Zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn erreicht die Pappel eine Höhe von $8$ Metern und in den darauffolgenden $5$ Jahren wächst sie um weitere $11,8$ Meter.
Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.
#wachstum
3.1
Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $k.$
Für die folgenden Teilaufgaben gilt $a=40$ und $k=1,0.$
(5 BE)
3.2
Berechne den Höhenzuwachs der Pappel innerhalb der ersten zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn und zeichne unter Verwendung geeigneter Funktionswerte den Graphen von $H$ für den gesamten Beobachtungszeitraum in ein geeignetes Koordinatensystem.
(5 BE)
3.3
Zusätzlich zur Funktion $H$ ist ihre Ableitungsfunktion mit
$\dot H:\, t\to \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^2}$ gegeben (Nachweis nicht erforderlich).
Bestimme den Zeitpunkt $t_W,$ an dem die Pappeln am stärksten wachsen.
(7 BE)
3.4
Eine langsam wachsende Baumsorte lässt sich modellhaft im gleichen Zeitraum $t\in [0;10]$ durch eine der drei Funktionen mit den Funktionsgleichungen (1), (2) oder (3) mit dem Parameter $b \in \mathbb{R}$ und $b > 0$ beschreiben. Diese langsam wachsende Baumsorte hat zum Zeitpunkt $t = 0$ die gleiche Höhe (in Metern) wie die Pappel, sie benötigt allerdings doppelt so lange, um auf eine bestimmte Höhe zu wachsen.
$L_1(t)= \dfrac{40\cdot \mathrm e^{t-2+b}}{3+2\cdot \mathrm e^{t-2+b}}$
$L_2(t)= b\cdot\dfrac{40\cdot \mathrm e^{t-2}}{3+2\cdot \mathrm e^{t-2}}$
$L_3(t)=\dfrac{40\cdot \mathrm e^{b\cdot t-2}}{3+2\cdot \mathrm e^{b\cdot t-2}}$
Schließe mit geeigneter Argumentation zwei der vorgegebenen Funktionsgleichungen aus. Gib weiterhin den Wert von $b$ für die zutreffende Funktionsgleichung an.
(5 BE)
#wachstum
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte an den Rändern ermitteln
A I Da die Definitionsmenge $\mathbb{R}$ ist, ist das Verhalten von $f(x)$ für $x\to \infty$ und $x\to -\infty$ gesucht. Die entsprechenden Grenzwerte können mit den Regeln von L'Hospital bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{(x-2)^2}{1+0,25\cdot x^2} \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4x+4 \to \infty}{1+0,25\cdot x^2 \to \infty} &\quad \scriptsize \mid\; L'Hospital \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{2x-4\to \infty}{0,5\cdot x\to \infty} &\quad \scriptsize \mid\;L'Hospital \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{2}{0,5} \\[5pt] &=& 4 \\[10pt] \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{(x-2)^2}{1+0,25\cdot x^2} \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x^2-4x+4 \to \infty}{1+0,25\cdot x^2 \to \infty} &\quad \scriptsize \mid\; L'Hospital \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{2x-4 \to -\infty}{0,5\cdot x \to -\infty} &\quad \scriptsize \mid\;L'Hospital \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{2}{0,5} \\[5pt] &=& 4 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} f(x)&=& 4 \\[10pt] \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)&=& 4 \\[10pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Asymptoten angeben
Aufgrund der Ergebnisse von oben ergibt sich:
$G_f$ besitzt die waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=4.$
#grenzwert
1.2
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der Asymptote bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(x-2)^2}{1+0,25\cdot x^2}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left( 1+0,25\cdot x^2\right)\\[5pt] (x-2)^2&=& 4\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right) \\[5pt] x^2-4x+4&=& 4+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] -4x+4&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -4x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$ x=0 $
Der Schnittpunkt von $G_f$ mit der Asymptote hat die Koordinaten $S(0\mid 4).$
1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Krümmungsintervalle bestimmen
Das Krümmungsverhalten von $G_f$ wird von der zweiten Ableitungsfunktion $f''$ von $f$ beschrieben. Mit der Quotientenregel ergibt sich für die Ableitungsfunktionen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{(x-2)^2}{1+0,25\cdot x^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2-4x+4}{1+0,25\cdot x^2} \\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{\left(2x-4\right)\cdot \left(1+0,25x^2 \right) - \left(x^2-4x+4 \right)\cdot \left( 0,5x\right)}{\left(1+0,25x^2 \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2x-4+0,5x^3-x^2-0,5x^3+2x^2-2x}{\left(1+0,25x^2 \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2-4}{\left(1+0,25x^2 \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2-4}{1+0,5x^2+0,0625x^4 } \\[10pt] f''(x)&=& \dfrac{\left( 2x \right)\cdot \left( 1+0,5x^2+0,0625x^4\right)-\left( x^2-4\right)\cdot \left( x+0,25x^3\right) }{\left(1+0,25x^2 \right)^4} \\[5pt] &=&\dfrac{2x+x^3+0,125x^5-x^3+4x-0,25x^5+x^3}{\left(1+0,25x^2 \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{6x-0,125x^5+x^3}{\left(1+0,25x^2 \right)^4} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^2-4x+4}{1+0,25\cdot x^2} \\[10pt] f'(x)&=& …\\[10pt] f''(x)&=&…\\[5pt] \end{array}$
Berechne nun die Nullstellen von $f'':$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6x-0,125x^5+x^3}{\left(1+0,25x^2 \right)^4}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(1+0,25x^2 \right)^4\neq 0\\[5pt] 6x-0,125x^5+x^3&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left( 6-0,125x^4+x^2\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=0 \\[5pt] 6-0,125x^4+x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Substitution mit } z=x^2 \\[5pt] 6-0,125z^2+z&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,125) \\[5pt] z^2-8z-48&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;p\text{-}q\text{-Formel} \\[5pt] z_{1/2}&=& -\frac{-8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8}{2} \right)^2 +48} \\[5pt] &=& 4 \pm 8 \\[10pt] z_1&=& 4-8 \\[5pt] &=& -4\\[10pt] z_2&=& 4+8 \\[5pt] &=& 12\quad \scriptsize \text{Resubstitution}\\[10pt] x_{2/3}&=& \pm \sqrt{z_2}\\[5pt] &=& \pm \sqrt{12}\\[5pt] x_{4/5}&=& \pm \sqrt{-4}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0\\[10pt] x_{2/3}&=& \pm \sqrt{z_2}\\[5pt] &=& \pm \sqrt{12}\\[5pt] x_{4/5}&=& \pm \sqrt{-4}\\[5pt] \end{array}$
Da Wurzelziehen aus negativen Zahlen nicht zulässig ist, besitzt $f''$ drei Nullstellen:
$x_1=0,$ $x_2= -\sqrt{12},$ $x_3=\sqrt{12}$
Es gibt also vier Intervalle, für die es die Krümmung zu bestimmen gilt. Der Graph von $f$ ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x)<0$ ist und linksgekrümmt, wenn $f''(x)>0$ gilt.
  • $]-\infty; -\sqrt{12}[$
    $f''(-4) = \dfrac{6\cdot (-4)-0,125\cdot (-4)^5+(-4)^3}{\left(1+0,25\cdot (-4)^2 \right)^4} = 0,064 >0$
    $f''(-4) = 0,064 >0$
    Da ein Vorzeichenwechsel von $f''$ nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt im gesamten angegebenen Intervall $f''(x)>0.$
    $G_f$ ist im Intervall $]-\infty; -\sqrt{12}[$ linksgekrümmt.
  • $]-\sqrt{12};0[$
    $f''(-2) = \dfrac{6\cdot (-2)-0,125\cdot (-2)^5+(-2)^3}{\left(1+0,25\cdot (-2)^2 \right)^4} = -1 <0$
    $ f''(-2) = -1 <0 $
    Da ein Vorzeichenwechsel von $f''$ nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt im gesamten angegebenen Intervall $f''(x)<0.$
    $G_f$ ist im Intervall $] -\sqrt{12};0[$ rechtsgekrümmt.
  • $]0;\sqrt{12}[$
    $f''(2) = \dfrac{6\cdot 2-0,125\cdot 2^5+2^3}{\left(1+0,25\cdot 2^2 \right)^4} = 1 >0$
    $ ''(2) = 1 >0 $
    Da ein Vorzeichenwechsel von $f''$ nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt im gesamten angegebenen Intervall $f''(x)>0.$
    $G_f$ ist im Intervall $]0;\sqrt{12}[$ linksgekrümmt.
  • $]\sqrt{12};\infty[$
    $f''(4) = \dfrac{6\cdot 4-0,125\cdot 4^5+4^3}{\left(1+0,25\cdot 4^2 \right)^4} = -0,064 <0$
    $f''(4)= -0,064 <0$
    Da ein Vorzeichenwechsel von $f''$ nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt im gesamten angegebenen Intervall $f''(x)<0.$
    $G_f$ ist im Intervall $]\sqrt{12};\infty[$ rechtsgekrümmt.
Zusammenfassend gilt:
  • Der Graph $G_f$ ist linksgekrümmt in $]-\infty; -\sqrt{12}[$ und $]0;\sqrt{12}[$.
  • Der Graph $G_f$ ist rechtsgekrümmt in $] -\sqrt{12};0[$ und $]\sqrt{12};\infty[$.
#quotientenregel
1.4
$\blacktriangleright$  Nullstelle und deren Vielfachheit angeben
Da eine gebrochenrationale Funktion genau dann Null ist, wenn der Zähler Null ist, sind die Nullstellen des Zählers gesucht.
Da der Zähler als $(x-2)^2$ bereits als Linearfaktorzerlegung dargestellt ist, lassen sich die Nullstellen direkt ablesen:
$f$ besitzt die Nullstelle $x_4=2$ mit der Vielfachheit $2.$
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
A I
Abb. 1: $G_f$
A I
Abb. 1: $G_f$
1.5
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $F'(x) = f(x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& -8\cdot \ln\left( x^2+4\right) + 4\cdot x \\[10pt] F'(x)&=& -8\cdot \dfrac{1}{x^2+4}\cdot \left(2x\right) +4 \\[5pt] &=& \dfrac{-8\cdot 2x }{x^2+4} +4 \\[5pt] &=& \dfrac{-16x }{x^2+4} +\dfrac{4\cdot \left(x^2+4 \right)}{x^2+4} \\[5pt] &=& \dfrac{-16x + 4\cdot \left(x^2+4 \right) }{x^2+4} \\[5pt] &=& \dfrac{ 4\cdot \left(x^2+4 -4x\right) }{4\cdot \left(0,25x^2+1\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2+4 -4x }{0,25x^2+1}\\[5pt] &=& \dfrac{(x-2)^2 }{1+0,25x^2} \\[5pt] &=& f(x) \\[5pt] \end{array}$
$ F'(x)= … $
$F$ ist also eine Stammfunktion von $f.$
1.6
$\blacktriangleright$  Flächenstück markieren
A I
Abb. 2: Flächenstück
A I
Abb. 2: Flächenstück
$\blacktriangleright$  Maßzahl des Flächeninhalts nachweisen
Das Flächenstück wird nach links durch die $y$-Achse und nach rechts durch die Nullstelle von $f$ begrenzt. Diese ist $x_4=2.$ Die Maßzahl des Flächeninhalts kann also durch ein Integral mit den Grenzen $a=0$ und $b= 2$ mithilfe der oben nachgewiesenen Stammfunktion bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(2)-F(0) \\[5pt] &=& -8\cdot \ln \left(2^2+4 \right) +4\cdot 2 - \left( -8\cdot \ln \left(0^2+4 \right) +4\cdot 0\right) \\[5pt] &=& -8\cdot \ln \left(8 \right) +8+ 8\cdot \ln \left(4\right) \\[5pt] &=& 8\cdot \left(1+\ln(4)-\ln(8) \right) \\[5pt] &=& 8\cdot \left(1+\ln\left(\frac{4}{8}\right)\right) \\[5pt] &=& 8\cdot \left(1+\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\[5pt] &=& 8\cdot \left(1+\underbrace{\ln(1)}_{=0}-\ln(2)\right) \\[5pt] &=& 8\cdot \left(1-\ln(2)\right)\\[5pt] \end{array}$
$ A= 8\cdot \left(1-\ln(2)\right) $
Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt $A= 8\cdot \left(1-\ln(2)\right).$
#integral
2.1
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeit prüfen
Für $f_a$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2}+4 \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2}+\dfrac{4\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right)}{1+0,25\cdot x^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x+4\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right)}{1+0,25\cdot x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a(x)=… $
$f$ gehört zur Schar $f_a,$ wenn es ein $a\in\mathbb{R}$ gibt, für das beide Zähler übereinstimmen:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot (a-1)\cdot x+4\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right)&=& (x-2)^2 \\[5pt] -4ax+4x+4+x^2&=&(x-2)^2 \\[5pt] x^2-4x\cdot(a-1)+4&=& (x-2)^2 \end{array}$
$ -4\cdot (a-1) … $
Für $a= 2$ entspricht die letzte Zeile der 2. binomischen Formel. Es ist also $f= f_2.$ $f$ gehört daher zur Funktionenschar $f_a.$
2.2
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
$f_a$ besitzt genau dann zwei einfache Nullstellen, wenn der Zähler zwei einfache Nullstellen besitzt. Mit der $abc$-Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -4\cdot (a-1)\cdot x+4\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right) \\[5pt] 0&=& -4(a-1)\cdot x + 4 +x^2 \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-(-4(a-1))\pm \sqrt{(-4(a-1))^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4(a-1)\pm \sqrt{16(a-1)^2-16}}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} = \dfrac{4(a-1)… }{2} $
Betrachte nun die Diskriminante $D(a)= 16(a-1)^2-16.$ Ist diese negativ, besitzt die obige Gleichung keine Lösung und die Funktion $f_a$ keine Nullstellen. Ist $D(a)=0,$ besitzt $f_a$ für diese Werte von $a$ genau eine Nullstelle. Ist $D(a)>0,$ so besitzt $f_a$ genau zwei Nullstellen.
Die Nullstellen der Diskriminante sind:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 16(a-1)^2-16 &\quad \scriptsize \mid\;:16 \\[5pt] 0&=& (a-1)^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 1&=& (a-1)^2 \\[5pt] \pm\sqrt{1}&=& a-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 1-1&=& a_1 \\[5pt] 0&=& a_1 \\[5pt] 1+1&=&a_2 \\[5pt] 2&=&a_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& a_1 \\[5pt] 2&=&a_2 \end{array}$
Es gilt $D(a)= 16a^2-32a.$ Der zugehörige Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Für $a< 0$ und $a>2$ ist also $D(a) >0,$ für $0<a < 2$ ist $D(a)<0.$
$f_a$ besitzt also für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $a<0$ oder $a>2$ genau zwei einfache Nullstellen.
2.3
$\blacktriangleright$  Parameterwert untersuchen
Der Graph von $f_a$ ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn gilt $f_a(x) = f_a(-x).$ Setze also gleich und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&f_a(-x) \\[5pt] \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2}+4&=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot (-x)}{1+0,25\cdot (-x)^2}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2} &=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot (-x)}{1+0,25\cdot (-x)^2} \\[5pt] \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2} &=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot (-x)}{1+0,25\cdot x^2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(1+0,25\cdot x^2\right) \\[5pt] -4\cdot (a-1)\cdot x&=& -4\cdot (a-1)\cdot (-x) &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] (a-1)\cdot x&=& (a-1)\cdot (-x) &\quad \scriptsize \mid\; :x\neq 0\\[5pt] a-1&=& -a+1 &\quad \scriptsize \mid\;+a+1 \\[5pt] 2a&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] a&=& 1 \end{array}$
$ a=1 $
Für $a=1$ gilt $f_a(x)=f_a(-x).$ Für $a=1$ ist also der Graph $G_{f_a}$ symmetrisch zur $y$-Achse.
2.4
$\blacktriangleright$  Parameterwerte ermitteln
Es soll gelten $f_a'(0)\leq -4.$ Mit der Quotientenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot x}{1+0,25\cdot x^2}+4 \\[10pt] f_a'(x)&=& \dfrac{-4\cdot (a-1)\cdot \left( 1+0,25\cdot x^2\right)- \left(-4\cdot (a-1)\cdot x \right)\cdot 0,5\cdot x}{\left(1+0,25\cdot x^2\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (a-1) -x^2\cdot (a-1)+4\cdot (a-1)\cdot x \cdot 0,5\cdot x}{\left(1+0,25\cdot x^2\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (a-1) -x^2\cdot (a-1)+2\cdot (a-1)\cdot x^2}{\left(1+0,25\cdot x^2\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (a-1) + (a-1)\cdot x^2}{\left(1+0,25\cdot x^2\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{(a-1)\cdot(x^2-4)}{\left(1+0,25\cdot x^2\right)^2} \\[5pt] f_a'(0)&=& \dfrac{(a-1)\cdot(0^2-4)}{\left(1+0,25\cdot 0^2\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-4(a-1)}{1} \\[5pt] &=& -4(a-1)\\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(0)=-4(a-1) $
Gleichsetzen mit $-4$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -4(a-1)&\leq& -4&\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a-1&\geq& 1&\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] a&\geq& 2 \end{array}$
$ a\geq 2 $
Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $a\geq 2$ ist der Steigungswert der Tangente an $G_{f_a}$ an der Stelle $x=0$ höchstens $-4.$
3.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Angaben ablesen:
  1. $H(2) = 8$
  2. $H(7) = 19,8$
Einsetzen von 1. in die angegebene Funktionsgleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H(2)&=& 8 \\[5pt] \dfrac{a\cdot \mathrm e^{k\cdot (2-2)}}{3+2\cdot \mathrm e^{k\cdot (2-2)}}&=& 8 \\[5pt] \dfrac{a\cdot \overbrace{\mathrm e^{0}}^{=1}}{3+2\cdot \underbrace{\mathrm e^{0}}_{=1}}&=& 8 \\[5pt] \dfrac{a}{5}&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5 \\[5pt] a&=& 40 \end{array}$
$ a=40 $
Dies kannst du nun zusammen mit $2.$ in die Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} H(7)&=& 19,8 \\[5pt] \dfrac{40\cdot \mathrm e^{k\cdot (7-2)}}{3+2\cdot \mathrm e^{k\cdot (7-2)}}&=& 19,8 \\[5pt] \dfrac{40\cdot \mathrm e^{5k}}{3+2\cdot \mathrm e^{5k}}&=& 19,8 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{5k} \right) \\[5pt] 40\cdot \mathrm e^{5k}&=& 19,8\cdot \left( 3+2\cdot \mathrm e^{5k}\right) \\[5pt] 40\cdot \mathrm e^{5k}&=& 59,4+39,6\cdot \mathrm e^{5k} &\quad \scriptsize \mid\;-39,6\cdot \mathrm e^{5k} \\[5pt] 0,4\cdot \mathrm e^{5k}&=& 59,4 &\quad \scriptsize \mid\; :0,4 \\[5pt] \mathrm e^{5k}&=& 148,5&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] 5k&\approx& 5,00 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] k&\approx& 1,00 \end{array}$
$ k\approx 1,00 $
Es ergibt sich $a=40$ und $k\approx 1,00.$
3.2
$\blacktriangleright$  Höhenzuwachs berechnen
$\begin{array}[t]{rll} H(0)&=& \dfrac{40\cdot \mathrm e^{1,0\cdot (0-2)}}{3+2\cdot \mathrm e^{1,0\cdot (0-2)}} \\[5pt] &=& \dfrac{40\cdot \mathrm e^{-2,0}}{3+2\cdot \mathrm e^{-2,0}} \\[5pt] &\approx& 1,66 \end{array}$
$ H(0)\approx 1,66 $
Zu Beginn ist die Pappel $1,66$ Meter hoch, nach zwei Jahren bereits $8$ Meter. In den ersten beiden Jahren nach Beobachtungsbeginn beträgt der Höhenzuwachs also ca. $6,34$ Meter.
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
$t$$ 0$$1 $$2 $$ 3$$4 $$5 $$6$$7 $$8 $$9 $$10 $
$H(t)$$1,66 $$3,94 $$8 $$12,89 $$16,63 $$18,61 $$19,47 $$19,8 $$19,93 $$19,97 $$19,99$
$t$$H(t)$
$0 $$1,66 $
$ 1$$3,94 $
$2 $$8 $
$3 $$12,89 $
$4 $$ 16,63$
$ 5$$18,61 $
$6 $$ 19,47$
$7 $$19,8 $
$ 8$$19,93 $
$9 $$19,97 $
$10 $$19,99 $
A I
Abb. 3: $G_H$
A I
Abb. 3: $G_H$
3.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Wachstum angeben
Gesucht ist $t_W,$ in dem $\dot H$ ihr absolutes Maximum im Intervall $[0;10]$ annimmt.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} \dot H(t)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^2} \\[5pt] \dot H'(t)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^2 - 120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot 2\cdot\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)\cdot 2\cdot \mathrm e^{t-2} }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right) - 120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot 2\cdot 2\cdot \mathrm e^{t-2} }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2}-4\cdot \mathrm e^{t-2} \right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3-2\cdot \mathrm e^{t-2}\right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} \\[5pt] \end{array}$
$ \dot H'(t)= … $
Gleichsetzen mit Null liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3-2\cdot \mathrm e^{t-2}\right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3 \\[5pt] 0&=&120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3-2\cdot \mathrm e^{t-2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;:120 \\[5pt] 0&=&\mathrm e^{t-2}\cdot \left(3-2\cdot \mathrm e^{t-2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{t-2}\neq 0 \\[5pt] 0&=&3-2\cdot \mathrm e^{t-2} &\quad \scriptsize \mid\;+2\cdot \mathrm e^{t-2} \\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{t-2}&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{t-2}&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] t-2&\approx& 0,41 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] t&\approx& 2,41 \end{array}$
$ t\approx 2,41 $
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} \dot H'(t)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{t-2}\cdot \left(3-2\cdot \mathrm e^{t-2}\right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} \\[5pt] &=&\dfrac{360\cdot \mathrm e^{t-2}-240\cdot \mathrm e^{2(t-2)}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3} \\[10pt] \dot H''(t)&=& \dfrac{\left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-480\cdot \mathrm e^{2(t-2)}\right)\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^3 - \left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-240\cdot \mathrm e^{2(t-2)} \right)\cdot \left( 3\cdot\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^2\cdot 2\cdot \mathrm e^{t-2} \right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^6} \\[5pt] &=& \dfrac{\left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-480\cdot \mathrm e^{2(t-2)}\right)\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right) - \left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-240\cdot \mathrm e^{2(t-2)} \right)\cdot \left( 3\cdot 2\cdot \mathrm e^{t-2} \right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{\left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-480\cdot \mathrm e^{2(t-2)}\right)\cdot \left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right) - \left(360\cdot \mathrm e^{t-2}-240\cdot \mathrm e^{2(t-2)} \right)\cdot \left( 6\cdot \mathrm e^{t-2} \right) }{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{8\mathrm e^{t-2}\cdot \left(135-360\mathrm e^{t-2}+60\mathrm e^{2(t-2)} \right)}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{t-2} \right)^4}\\[5pt] \end{array}$
$ \dot H''(t)=… $
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dot H''(2,41)&=& \dfrac{8\mathrm e^{2,41-2}\cdot \left(135-360\mathrm e^{2,41-2}+60\mathrm e^{2(2,41-2)} \right)}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{2,41-2} \right)^4} \\[5pt] &\approx & -2,50 < 0 \end{array}$
$ \dot H''(2,41) \approx -2,50 < 0 $
An der Stelle $t\approx 2,41$ besitzt $\dot H$ also ein relatives Maximum.
3. Schritt: Intervallränder überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} \dot H(2,41)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{2,41-2}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{2,41-2} \right)^2} \\[5pt] &\approx& 5,00 \\[10pt] \dot H(0)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{0-2}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{0-2} \right)^2} \\[5pt] &\approx& 1,52 \\[10pt] \dot H(10)&=& \dfrac{120\cdot \mathrm e^{10-2}}{\left(3+2\cdot \mathrm e^{10-2} \right)^2} \\[5pt] &\approx& 0,01 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dot H(2,41)&\approx& 5,00 \\[10pt] \dot H(0)&\approx& 1,52 \\[10pt] \dot H(10)&\approx& 0,01 \\[10pt] \end{array}$
Die Pappeln wachsen zum Zeitpunkt $t_W\approx 2,41$, also ca. $2,41$ Jahre nach Beobachtungsbeginn am stärksten.
#quotientenregel#produktregel
3.4
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ausschließen
  • (1) kann ausgeschlossen werden, da die Addition einer Konstanten $b>0$ im Exponenten eine horizontale Verschiebung hervorruft. Da $H$ streng monoton steigend ist, ändert sich dadurch der Funktionswert an der Stelle $t=0$ und damit würde sich die Anfangshöhe der beiden Baumsorten unterscheiden.
  • (2) kann ausgeschlossen werden, da sich hierdurch ebenfalls die Anfangshöhe verändern würde, da $L_2(0)=b\cdot H(0) \neq H(0)$ gilt, da $H(0)\neq 0$ ist.
Die dritte Gleichung ist also die zutreffende Funktionsgleichung. Da die langsamere Baumsorte halb so schnell wachsen soll wie die ursprüngliche Baumsorte, muss der Faktor $b=0,5$ sein.
Bildnachweise [nach oben]
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