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B II

Aufgaben
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1.0
1.1
Die Markise lässt sich in Verlängerung des Glasdaches über die untere Dachkante $[BC]$ um $1,25\,\text{m}$ bis zum Punkt $Q$ (siehe Skizze) ausfahren.
Berechne die Koordinaten des Punktes $Q.$
[Ergebnis: $Q(5\mid 5\mid 1,25)$ ]
(4 BE)
1.2
Gib eine Gleichung der Ebene $M$ in Parameterform an und forme diese in eine Koordinatenform um.
[Mögliches Teilergebnis: $M:\quad 3x_2 + 4x_3- 20 = 0$]
(4 BE)
#parameterform#koordinatenform
1.3
Berechne das Volumen des Wintergartens in $\text{m}^3.$
(4 BE)
1.4
Mithilfe zweier Drahtseile, die an den schrägen Dachstreben $[AB]$ und $[DC]$ befestigt werden, soll eine Leuchte im Wintergarten im Punkt $U( 2,4 \mid 1,5 \mid 2,8)$ aufgehängt werden. Ermittle die Mindestlänge des Drahtseils, das an der Strebe befestigt wird, welche weiter von $U$ entfernt ist. Runde das Ergebnis auf $\text{cm}.$
(6 BE)
1.5.0
Damit sich der Wintergarten bei Sonnenschein nicht zu stark aufheizt, ist die Markise jetzt bis zum Punkt $Q$ ausgefahren. Die Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen wird durch den Vektor $\overrightarrow{w} = \pmatrix{1\\-0,8\\-1,4}$ beschrieben.
1.5.1
Ohne Markise verliefe der Sonnenstrahl $s$ durch den Punkt $E.$ Gib eine Gleichung für die Gerade $s$ an und berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ von $s$ mit der Markisenebene $M.$
[Ergebnis: $T(4\mid 4,8\mid 1,4)$ ]
(4 BE)
1.5.2
Erläutere ohne Rechnung, ob der Punkt $E$ bei diesem Sonnenstand im Schatten der ausgefahrenen Markise liegt.
(2 BE)
1.6
Im Punkt $K(2\mid 0\mid 0)$ befindet sich eine Lichtquelle. Ihr Strahl wird am Glasdach des Wintergartens im Punkt $R(1\mid 2\mid 3,5)$ reflektiert. Ermittle durch geeignete Spiegelung eine Gleichung der Geraden, die den reflektierten Lichtstrahl beschreibt.
(6 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
B II Der Punkt $Q$ liegt auf einer Verlängerung der Strecke $[AB],$ also auf der Geraden $g,$ die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\0\\5} +t\cdot \pmatrix{0\\4\\-3} \end{array}$
$ g:\quad \overrightarrow{x}= … $
$Q$ muss also die Koordinaten $Q_t(5\mid 4t\mid 5-3t)$ haben. Gleichzeitig soll $Q$ von $B$ den Abstand $1,25$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} 1,25&=& \left|\overrightarrow{BQ} \right| \\[5pt] 1,25&=& \left|\pmatrix{0\\4t-4\\3-3t} \right| \\[5pt] 1,25&=& \sqrt{0^2 +(4t-4)^2 + (3-3t)^2} \\[5pt] 1,25&=& \sqrt{16t^2-32t+16+9-18t+9t^2} \\[5pt] 1,25&=& \sqrt{25t^2 -50t +25} \\[5pt] 1,25&=& \sqrt{(5t-5)^2} \\[5pt] 1,25&=& \left|5t-5\right| \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1,25&=& \left|\overrightarrow{BQ} \right| \\[5pt] … \\[5pt] 1,25&=& \left|5t-5\right| \end{array}$
Es gibt nun zwei Möglichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} 1,25&=& 5t-5 &\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] 6,25&=& 5t &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 1,25&=& t_1 \end{array}$
$ t_1=1,25 $
und:
$\begin{array}[t]{rll} 1,25&=& -(5t-5) \\[5pt] 1,25&=& -5t+5 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -3,75&=& -5t &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] 0,75&=& t_2 \end{array}$
$ t_2= 0,75 $
Für $t_2=0,75$ läge der Punkt $Q$ noch innerhalb der Strecke $[AB],$ da $t_2 <1$ ist. Die richtigen Koordinaten von $Q$ ergeben sich also mit $t_1=1,25:$
$Q(5\mid 5\mid 1,25)$
#vektorbetrag
1.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Gesucht ist eine Gleichung der Ebene $M,$ in der die Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $Q$ liegen. Als Aufpunkt kann beispielsweise $A$ gewählt werden, als Spannvektoren beispielsweise $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}:$
$M:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{5\\0\\5}+ r\cdot \pmatrix{0\\4\\-3} + s\cdot \pmatrix{-5\\0\\0}$
$ M:\quad \overrightarrow{x}=… $
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform umformen
Ein Normalenvektor ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1&=& \pmatrix{0\\4\\-3}\times\pmatrix{-5\\0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\cdot 0 -(-3)\cdot 0 \\ -3\cdot (-5)-0\cdot 0 \\ 0\cdot 0 - 4\cdot (-5)} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\15\\20}\\[5pt] &=& 5\cdot \pmatrix{0\\3\\4} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = 5\cdot \pmatrix{0\\3\\4} $
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform von $M$ hat also folgende Form:
$0x_1 +3x_2 +4x_3 = d$
$d$ kann nun durch Einsetzen der Koordinaten eines Punkts in der Ebene berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 3\cdot 0 +4\cdot 5 \\[5pt] &=& 20 \end{array}$
$ d=20 $
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet also:
$M:\quad 3x_2 +4x_3=20$
#kreuzprodukt
1.3
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Der Wintergarten hat die Form eines Prismas mit trapezförmiger Grundfläche. Die Grundfläche ist die Seitenfläche, in der die Punkte $A,$ $B$ und $E$ liegen.
Anhand der Koordinaten dieser Punkte lässt sich $a= 5,$ $c= 2$ und $h_1= 4$ bestimmen. Also folgt für den Flächeninhalt der Grundfläche:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{5+2}{2}\cdot 4 \\[5pt] &=& 14 \,\left[\text{m}^2\right] \end{array}$
Die Höhe des Prismas ist $h= 5.$ Mit der Formel für das Volumen des Prismas ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 14\cdot 5 \\[5pt] &=& 70\,\left[\text{m}^3\right] \end{array}$
Das Volumen des Wintergartens beträgt $70\,\text{m}^3.$
#trapez#prisma
1.4
$\blacktriangleright$  Mindestlänge berechnen
Da $[AB]$ und $[DC]$ parallel verlaufen, ergibt sich durch den Vergleich der $x_1$-Koordinaten von $A,$ $D$ und $U,$ dass $U$ weiter von $[AB]$ entfernt ist als von $[DC].$
Gesucht ist also der Abstand von $U$ zur Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $B.$ Eine Gleichung dieser Geraden haben wir bereits in 1.1 bestimmt. Es wird die Hilfsebene $H$ betrachtet, die senkrecht zu $g$ durch den Punkt $U$ verläuft:
$H: \quad \pmatrix{0\\4\\-3}\circ \left[\overrightarrow{x}-\pmatrix{2,4\\1,5\\2,8} \right] = 0$
$ H: \quad … $
Für die Punkte $G_t$ auf der Gerade $g$ gelten die Koordinaten $G_t(5\mid 4t\mid 5-3t).$ Diese kannst du nun in die Ebenengleichung der Hilfsebene einsetzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\4\\-3}\circ \left[\pmatrix{5\\4t\\5-3t}-\pmatrix{2,4\\1,5\\2,8} \right]&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{0\\4\\-3}\circ \pmatrix{2,6\\4t-1,5\\2,2-3t}&=& 0 \\[5pt] 16t-6-6,6+9t&=& 0 \\[5pt] 25t-12,6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+12,6 \\[5pt] 25t&=& 12,6&\quad \scriptsize \mid\;:25 \\[5pt] t&=& 0,504 \end{array}$
$ t = 0,504 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\pmatrix{5\\0\\5} + 0,504\cdot \pmatrix{0\\4\\-3} = \pmatrix{5\\2,016\\3,488}$
$ …= \pmatrix{5\\2,016\\3,488} $
Der Punkt auf der Dachstrebe $[AB]$ mit dem kürzesten Abstand zu $U$ ist also $G(5\mid 2,016\mid 3,488).$ Der Abstand ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \left| \overrightarrow{UG}\right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{2,6\\0,516\\0,688} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{2,6^2 +0,516^2 +0,688^2}\\[5pt] &=& \sqrt{7,4996} \\[5pt] &\approx& 2,74 \end{array}$
$ d\approx 2,74 $
Das Drahtseil, das an der Strebe befestigt wird, die am weitesten von $U$ entfernt ist, muss mindestens $2,74\,\text{m}$ lang sein.
#hilfsebene
1.5.1
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Die Gerade, die den Sonnenstrahl beschreibt, verläuft durch den Punkt $E$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}:$
$s: \quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{5\\4\\0} + u\cdot \pmatrix{1\\-0,8\\-1,4}$
$ s:\quad \overrightarrow{x}=… $
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunkts von $M$ und $s.$ Für die Punkte $S_u$ auf der Geraden $s$ gilt: $S_u(5+u\mid 4-0,8u\mid -1,4u).$ Einsetzen in die Koordinatenform der Ebenengleichung von $M$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot \left(4-0,8u\right) + 4\cdot \left(-1,4u\right)&=& 20 \\[5pt] 12-2,4u - 5,6u&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] -8u&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;:(-8) \\[5pt] u&=& -1 \end{array}$
$ u=-1 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OT}= \pmatrix{5\\4\\0} -1\cdot \pmatrix{1\\-0,8\\-1,4} = \pmatrix{4\\4,8\\1,4}$
$ \overrightarrow{OT} = \pmatrix{4\\4,8\\1,4}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten $T(4\mid 4,8\mid 1,4).$
1.5.2
$\blacktriangleright$  Schattenlage untersuchen
Da die Sonnenstrahlen ohne Markise durch den Punkt $E$ verlaufen würden, liegt der Punkt $E$ im Schatten, wenn der Schnittpunkt der Geraden $s$ mit der Ebene $M$ innerhalb der Markise liegt. Da sowohl die $x_1$- als auch die $x_2$-Koordinate von $T$ kleiner als die jeweilige Koordinate von $Q$ ist, liegt der Punkt $T$ innerhalb der Markise. $E$ liegt also im Schatten.
1.6
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
1. Schritt: Lotfußpunkt von $\boldsymbol{K}$ auf $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Das Lot $l$ von $K$ auf $M$ ist die Gerade, die durch $K$ und senkrecht zur Ebene $M$ verläuft. Mithilfe des bereits bestimmten Normalenvektors von $M$ ergibt sich daher:
$l:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\0\\0} + l\cdot \pmatrix{0\\3\\4}$
$ l:\quad \overrightarrow{x}=… $
Der Schnittpunkt von $l$ und $M$ ist der Lotfußpunkt $L.$ Für alle Punkte $L_l$ auf $l$ gilt $L_l(2\mid 3l\mid 4l).$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $M$ in Koordinatenform liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 3l + 4\cdot 4l &=& 20 \\[5pt] 25l&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :25 \\[5pt] l &=& 0,8 \end{array}$
$ l = 0,8 $
Einsetzen in die Lotgerade liefert:
$\overrightarrow{OL} = \pmatrix{2\\0\\0} + 0,8\cdot \pmatrix{0\\3\\4} = \pmatrix{2\\2,4\\3,2}$
$ … = \pmatrix{2\\2,4\\3,2} $
2. Schritt: Spiegelpunkt bestimmen
Der Spiegelpunkt $K_*$ von $K$ ergibt sich mithilfe des Lotes zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OK_*}&=& \overrightarrow{OK}+ 2\cdot \overrightarrow{KL} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\0\\0}+ 2\cdot \pmatrix{0\\2,4\\3,2} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\4,8\\6,4} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OK_*} = \pmatrix{2\\4,8\\6,4} $
3. Schritt: Geradengleichung ermitteln
Gesucht ist nun eine Gleichung der Geraden durch $R$ und $K_*:$
$r: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\3,5} + v\cdot \pmatrix{1\\2,8\\2,9}$
$ r: \quad \overrightarrow{x}=… $
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