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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
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Teil B
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Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe I
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Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
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Geometrie Prüfungstei...
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Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
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Abi 2012
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Analysis Prüfungsteil...
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Analysis Prüfungsteil...
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LV-Abi 3
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungsteil A

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma $ABCDEF$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(8\mid 0\mid 0)$, $C(0\mid 8\mid 0)$ und $D(0\mid 0\mid 4)$.
Geometrie Prüfungsteil A
Geometrie Prüfungsteil A
a) Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$.
(2P)
b) Die Punkte $M$ und $P$ sind die Mittelpunkte der Kanten $[AD]$ bzw. $[BC]$.
Der Punkt $K(0\mid y_k\mid 4$) liegt auf der Kante $[DF]$. Bestimmen Sie $y_k$ so, dass das Dreieck $KMP$ in $M$ rechtwinklig ist.
(3P)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Ebene $E:3x_2+4x_3=5$.
a) Beschreiben Sie die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem.
(1P)
b) Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel im Mittelpunkt $Z(1\mid 6\mid 3)$ und Radius 7 die Ebene $E$ schneidet.
(4P)

(10P)

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

Geometrie Prüfungsteil A
Geometrie Prüfungsteil A
Die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix}$ und $\vec{c_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\\\end{pmatrix}$ spannen für jeden Wert von $t$ mit $t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von $t$.
a) Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
(2P)
b) Bestimmen Sie diejenigen Werte von $t$, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
(3P)

Aufgabe 2

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt $M(-3\mid 2\mid 7)$. Der Punkt $P(3\mid 4\mid 4)$ liegt auf der Kugel.
a) Der Punkt $Q$ liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke $[PQ]$ verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von $Q$.
(3P)
b) Weisen Sie nach, dass die Kugel die $x_1x_2$-Ebene berührt.
(2P)

(10P)
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Tipps
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Um den Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ zu berechnen, bestimme zunächst die Koordinaten des Punktes $F$.
1. Schritt: Koordinaten Punkt $\boldsymbol{F}$
Der Punkt $F$ liegt oberhalb des Punktes $C$, das bedeutet, dass die $x_1$– und $x_2$–Koordinate der beiden Punkte gleich sind. Die Höhe entspricht der Höhe des Punktes $D$, also hat Punkt $F$ die $x_3$–Koordinate mit Punkt $D$ gemeinsam.
2. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ entspricht gerade der Länge der Strecke $[BF]$.
b) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{y_k}$ bestimmen
Um den Wert für $y_k$ zu bestimmen, sodass das Dreieck $KMP$ rechtwinklig ist, berechne zunächst die Koordinaten der Punkte $M$ und $P$. Um dann mithilfe des Skalarprodukts $y_k$ zu bestimmen.
1. Schritt: Punkt $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AD]$. Du berechnest seine Koordinaten also folgendermaßen:
$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}\right)$
2. Schritt: Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$. Du berechnest seine Koordinaten also folgendermaßen:
$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$
3. Schritt: Wert für $\boldsymbol{y_k}$ bestimmen
Damit das Dreieck in Punkt $M$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der Vektoren, die die Strecken $[MK]$ und $[MP]$ beschreiben, Null sein. Berechne also zuerst die beiden Strecken, anschließend das Skalarprodukt dieser beiden Strecken und löse die Gleichung nach $y_k$ auf.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Lage der Ebene $\boldsymbol{E}$ beschreiben
Die Ebenengleichung in Koordinatenform hat die allgemeine Darstellung:
$\boldsymbol{a \cdot x_1 + b\cdot x_2 + c\cdot x_3 = d}$
Überlege dir welche Komponente in der Ebenengleichung fehlt und wie der Normalenvektor verläuft. Beziehe dann das absolute Glied $d$ ein.
b) $\blacktriangleright$ Existenz von Schnittpunkten von Kugel und Ebene untersuchen
Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt, genau einen Punkt oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben. Haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte ist ihr Schnitt eine Kreisfläche.
Indem du den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Ebene berechnest, kannst du feststellen welche der drei Möglichkeiten zutrifft.
1. Schritt: Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$\boldsymbol{d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|}$
2. Schritt: Ergebnis interpretieren
Für die Entscheidung, welcher Fall zutrifft gilt:
  • $\boldsymbol{D<r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittkreis, also unendlich viele Schnittpunkte.
  • $\boldsymbol{D=r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittpunkt bzw. Berührpunkt.
  • $\boldsymbol{D>r}$: Kugel und Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Beweis, dass Körper ein Quader ist
Damit der Körper ein Quader ist, müssen die Vektoren, die den Körper aufspannen, im rechten Winkel zueinander stehen. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, so stehen diese Vektoren im rechten Winkel zueinander.
Berechne also das Skalarprodukt aller Vektorenkombinationen.
b) $\blacktriangleright$ Volumen des Quaders
Das Volumen des Quaders soll 15 VE betragen, du sollst also denjenigen Wert für $t$ ermitteln, der dieses Volumen liefert.
Die Kanten des Quaders sind durch die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t$ dargestellt. Das Volumen berechnest du mit den Längen der Kanten:
$V = \mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \mid\vec{c}_t\mid$
Du benötigst also die Längen der Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t$.
Setze nun die berechneten Längen in die Volumenformel ein und stelle nach $t$ um.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten von Punkt $\boldsymbol{Q}$ bestimmen
Der Punkt $Q$ liegt auch auf der Kugel und die Strecke $[PQ]$ verläuft durch deren Mittelpunkt. Das bedeutet, dass der Mittelpunkt der Kugel auch der Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ ist. Die Strecke $[PQ]$ setzt sich aus den Streckenstücken $[PM]$ und $[MQ]$ zusammen. Da $M$ der Mittelpunkt ist, sind die beiden Strecken identisch.
Du kannst die Koordinaten von $Q$ also folgendermaßen berechnen:
$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{OP} + 2 \cdot \overrightarrow{PM}$
b) $\blacktriangleright$ Existenz von Schnittpunkten von Kugel und Ebene untersuchen
Du sollst zeigen, dass die Kugel die $x_1x_2$-Ebene berührt.
Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt, genau einen Punkt oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben. Haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte ist ihr Schnitt eine Kreisfläche. Haben sie einen Punkt gemeinsam ist das ein Berührpunkt.
Indem du den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Ebene berechnest, kannst du feststellen welche der drei Möglichkeiten zutrifft.
1. Schritt: Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|$
Stelle die Gleichung der $x_1$-$x_2$-Ebene auf und bestimme einen Normalenvektor aus dieser Ebenengleichung. Berechne mit der oben gegebenen Formel den Abstand $d(E;M)$.
2. Schritt: Kugelradius berechnen
Den Kugelradius kannst du berechnen, indem du die Länge der Strecke $[PM]$ berechnest.
3. Schritt: Ergebnis interpretieren
Für die Entscheidung, welcher Fall zutrifft gilt:
  1. $\boldsymbol{D<r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittkreis, also unendlich viele Schnittpunkte.
  2. $\boldsymbol{D=r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittpunkt.
  3. $\boldsymbol{D>r}$: Kugel und Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Um den Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ zu berechnen, bestimme zunächst die Koordinaten des Punktes $F$.
1. Schritt: Koordinaten Punkt $\boldsymbol{F}$
Der Punkt $F$ liegt oberhalb des Punktes $C$, das bedeutet, dass die $x_1$– und $x_2$–Koordinate der beiden Punkte gleich sind. Die Höhe entspricht der Höhe des Punktes $D$, also hat Punkt $F$ die $x_3$–Koordinate mit Punkt $D$ gemeinsam. Für Punkt $F$ gilt also:
$\boldsymbol{F(0\mid 8 \mid 4)}$
2. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ entspricht gerade der Länge des Vektors $\overrightarrow{BF}$, der die Strecke $[BF]$ darstellt.
$\overrightarrow{BF} = \begin{pmatrix}0 - 8\\ 8 - 0 \\ 4 - 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}$
Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Betrag:
$\boldsymbol{\left|\vec{x}\right| = \left|\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}}$
Berechne also die Länge der Strecke $\overline{BF}$:
$\mid\overrightarrow{BF}\mid = \left|\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}\right|$$=\sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 4^2} $$= \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} $$= 12$
Der Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ beträgt $\boldsymbol{12 \textbf{ LE}}$.
b) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{y_k}$ bestimmen
Um den Wert für $y_k$ zu bestimmen, sodass das Dreieck $KMP$ rechtwinklig ist, berechne zunächst die Koordinaten der Punkte $M$ und $P$. Um dann mithilfe des Skalarprodukts $y_k$ zu bestimmen.
1. Schritt: Punkt $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AD]$. Du berechnest seine Koordinaten also folgendermaßen:
$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}\right)$
Da $A$ gerade der Ursprung ist fällt der erste Teil weg, die Strecke $[AD]$ wird durch folgenden Vektor beschrieben
$\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix}0-0\\0-0\\4-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$
Für $M$ ergeben sich folgende Koordinaten:
$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$
2. Schritt: Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$. Du berechnest seine Koordinaten also folgendermaßen:
$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$
Die Strecke $[BC]$ wird durch folgenden Vektor beschrieben:
$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}0-0\\8-0\\0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}$
Für $P$ ergeben sich folgende Koordinaten:
$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \cdot \left(\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}$
3. Schritt: Wert für $\boldsymbol{y_k}$ bestimmen
Damit das Dreieck in Punkt $M$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der Vektoren, die die Strecken $[MK]$ und $[MP]$ beschreiben, Null sein. Berechne also zuerst die beiden Vektoren.
$\overrightarrow{MK} = \begin{pmatrix}0-0\\y_k - 0\\4 -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\y_k \\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix}4-0\\4 - 0\\0 -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4 \\-2\end{pmatrix}$
Berechne nun das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren und löse die Gleichung nach $y_k$ auf:
$\begin{array}{rcll} 0&=&\overrightarrow{MK} \circ \overrightarrow{MP}& \\ 0&=&\begin{pmatrix}0\\y_k \\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4 \\-2\end{pmatrix}& \\ 0&=& 0\cdot 4 + y_k \cdot 4 + 2 \cdot (-2)&\\ 0 &=& 4\cdot y_k - 4&\scriptsize{ \mid +4}\\ 4 &=& 4\cdot y_k & \scriptsize{ \mid : 4}\\ y_k &=& 1 & \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0&=&\overrightarrow{MK} \circ \overrightarrow{MP}& \\ 0&=&\begin{pmatrix}0\\y_k \\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4 \\-2\end{pmatrix}& \\ 0&=& 0\cdot 4 + y_k \cdot 4 + 2 \cdot (-2)&\\ 0 &=& 4\cdot y_k - 4&\\ 4 &=& 4\cdot y_k & \\ y_k &=& 1 & \end{array}$
Du erhältst $\boldsymbol{y_k = 1}$. Der Punkt $K$ lautet dann $K(0 \mid 1 \mid 4)$. Für diesen Wert für $y_k$ ist das Dreieck in Punkt $M$ rechtwinklig.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Lage der Ebene $\boldsymbol{E}$ beschreiben
Die Ebenengleichung in Koordinatenform hat die allgemeine Darstellung:
$\boldsymbol{a \cdot x_1 + b\cdot x_2 + c\cdot x_3 = d}$
Die Ebenengleichung von $E$ enthält keine $\boldsymbol{x_1}$–Komponente, also verläuft der Normalenvektor senkrecht zur $x_1$–Achse. Das absolute Glied $d$ ist nicht gleich Null, somit ist die Ebene parallel zur $\boldsymbol{x_1}$–Achse.
b) $\blacktriangleright$ Existenz von Schnittpunkten von Kugel und Ebene untersuchen
Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt, genau einen Punkt oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben. Haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte ist ihr Schnitt eine Kreisfläche.
Indem du den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Ebene berechnest, kannst du feststellen welche der drei Möglichkeiten zutrifft.
1. Schritt: Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$\boldsymbol{d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|}$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ steht senkrecht zur $x_1$–Achse, die Koordinaten kannst du der Koordinatengleichung der Ebene $E$ entnehmen:
$\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\ 3 \\ 4\end{pmatrix}$
Zur Berechnung des Abstands, berechne den Betrag des Normalenvektors:
$\mid\vec{n}\mid = \left|\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} $$= \sqrt{9+16} = \sqrt{25} $$= 5$
Jetzt kannst du mit der oben gegebenen Formel den Abstand $d(E;P)$ berechnen:
$d(E;P) = \left|\dfrac{0\cdot 1 + 3\cdot 6 + 3\cdot 4 - 5}{5}\right| $$=\left| \dfrac{18 + 12 - 5}{5} \right|= \dfrac{25}{5} $$= 5$
Der Abstand zwischen dem Kugelmittelpunkt und der Ebene beträgt $\boldsymbol{5 \textbf{ LE}}$.
2. Schritt: Ergebnis interpretieren
Für die Entscheidung, welcher Fall zutrifft gilt:
  • $\boldsymbol{D<r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittkreis, also unendlich viele Schnittpunkte.
  • $\boldsymbol{D=r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittpunkt bzw. Berührpunkt.
  • $\boldsymbol{D>r}$: Kugel und Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.
Der berechnete Abstand ist 5, dieser ist somit kleiner als der Radius der Kugel: $7> 5$
Die Kugel und die Ebene $E$ haben also einen Schnittkreis, das bedeutet sie haben unendlich viele Punkte gemeinsam.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Beweis, dass Körper ein Quader ist
Damit der Körper ein Quader ist, müssen die Vektoren, die den Körper aufspannen, im rechten Winkel zueinander stehen. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, so stehen diese Vektoren im rechten Winkel zueinander.
Berechne also das Skalarprodukt aller Vektorenkombinationen.
$\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} $$= 2\cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 $$= -2 + 2 +0 = 0$
$\vec{a} \circ \vec{c}_t = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} $$= 2\cdot 4t + 1 \cdot 2t + 2 \cdot (-5t) $$= 8t + 2t -10t = 0$
$\vec{b} \circ \vec{c}_t = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} $$= (-1)\cdot 4t + 2 \cdot 2t + 0\cdot (-5t) $$= -4t + 4t +0 = 0$
Da alle Skalarprodukte Null sind, sind die Winkel zwischen den Vektoren rechte Winkel. Der aufgespannte Körper ist also ein Quader.
b) $\blacktriangleright$ Volumen des Quaders
Das Volumen des Quaders soll 15 VE betragen, du sollst also denjenigen Wert für $t$ ermitteln, der dieses Volumen liefert.
Die Kanten des Quaders sind durch die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t$ dargestellt. Das Volumen berechnest du mit den Längen der Kanten:
$V = \mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \mid\vec{c}_t\mid$
Du benötigst also die Längen der Vektoren:
$\mid \vec{a}\mid = \left|\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right|$$=\sqrt{2^2 +1^2 + 2^2} $$= \sqrt{9} = 3$
$\mid \vec{b}\mid = \left|\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\right|$$=\sqrt{(-1)^2 +2^2 + 0^2} $$= \sqrt{5}$
$\mid \vec{c}_t\mid = \left|\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\right|$$=\sqrt{(4t)^2 +(2t)^2 + (-5t)^2} $$= \sqrt{45t^2} $
Setze nun die berechneten Längen in die Volumenformel ein und stelle nach $t$ um:
$\begin{array}{rcll} 15&=&3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45\cdot t^2}&\\ 15&=&3 \cdot \sqrt{225\cdot t^2}&\\ 15&=&3 \cdot 15 \cdot \mid t \mid &\\ 15&=&45 \cdot \mid t \mid&\scriptsize{ \mid :45}\\ t&=&\pm \frac{1}{3}& \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 15&=&3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45\cdot t^2}\\ 15&=&3 \cdot \sqrt{225\cdot t^2}\\ 15&=&3 \cdot 15 \cdot \mid t \mid\\ 15&=&45 \cdot \mid t \mid\\ t&=& \pm \frac{1}{3} \end{array}$
Für $\boldsymbol{t=\pm \frac{1}{3}}$ hat der Quader ein Volumen von 15 VE.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten von Punkt $\boldsymbol{Q}$ bestimmen
Der Punkt $Q$ liegt auch auf der Kugel und die Strecke $[PQ]$ verläuft durch deren Mittelpunkt. Das bedeutet, dass der Mittelpunkt der Kugel auch der Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ ist. Die Strecke $[PQ]$ setzt sich aus den Streckenstücken $[PM]$ und $[MQ]$ zusammen. Da $M$ der Mittelpunkt ist, sind die beiden Strecken identisch.
Du kannst die Koordinaten von $Q$ also folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OQ}&=&\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MQ}\\ \overrightarrow{OQ}&=&\overrightarrow{OP} + 2 \cdot \overrightarrow{PM}\\ &=&\begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-3 -3 \\ 2-4\\7-4\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-6 \\ -2\\3\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-12 \\ -4\\6\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}-9\\0\\10\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $\boldsymbol{Q(-9 \mid 0 \mid 10)}$.
b) $\blacktriangleright$ Existenz von Schnittpunkten von Kugel und Ebene untersuchen
Du sollst zeigen, dass die Kugel die $x_1x_2$-Ebene berührt.
Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt, genau einen Punkt oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben. Haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte ist ihr Schnitt eine Kreisfläche. Haben sie einen Punkt gemeinsam ist das ein Berührpunkt.
Indem du den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Ebene berechnest, kannst du feststellen welche der drei Möglichkeiten zutrifft.
1. Schritt: Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|$
Die $x_1$-$x_2$-Ebene hat folgende Gleichung: $E: x_3 = 0$
Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Ebenengleichung der $x_1$-$x_2$-Ebene ablesen:
$\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$
Zur Berechnung des Abstands berechne den Betrag des Normalenvektors:
$\mid\vec{n}\mid =\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|$$= \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1^2} = 1$
Jetzt kannst du mit der oben gegebenen Formel den Abstand $d(E;M)$ berechnen:
$d(E;M) = \dfrac{0\cdot (-3) + 0\cdot 2 + 1\cdot 7 - 0}{1} $$= \dfrac{7}{1} = 7$
Der Abstand zwischen dem Kugelmittelpunkt und der $x_1$-$x_2$-Ebene beträgt 7 LE.
2. Schritt: Kugelradius berechnen
Den Kugelradius kannst du berechnen, indem du die Länge der Strecke $[PM]$ berechnest.
$\mid \overrightarrow{PM}\mid = \left|\begin{pmatrix}-3 -3 \\2-4\\7-4\end{pmatrix}\right| $$= \left|\begin{pmatrix}-6\\-2\\3\end{pmatrix}\right| $$= \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36+4+9} $$= \sqrt{49} = 7$
Der Kugelradius beträgt 7 LE.
3. Schritt: Ergebnis interpretieren
Für die Entscheidung, welcher Fall zutrifft gilt:
  1. $\boldsymbol{D<r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittkreis, also unendlich viele Schnittpunkte.
  2. $\boldsymbol{D=r}$: Kugel und Ebene haben einen Schnittpunkt.
  3. $\boldsymbol{D>r}$: Kugel und Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.
Der berechnete Abstand ist 7, dieser entspricht dem Radius der Kugel.
Die Kugel und die $x_1$-$x_2$-Ebene haben also einen Berührpunkt, was zu zeigen war.
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