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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2018
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
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Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe I
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Analysis
Aufgabengruppe I
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Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe II
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Abi 2016
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
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Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
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Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
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Geometrie Aufgabengru...
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Analysis Prüfungsteil...
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Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
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LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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LV-Abi 3
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Geometrie Prüfungsteil B

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(4\mid 0\mid 0)$, $B(0\mid 4\mid 0)$ und $C(0\mid 0\mid 4)$ das Dreieck $ABC$ fest, das in der Ebene $E:x_1+x_2+x_3=4$ liegt.
a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
(3P)
Das Dreieck $ABC$ stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt $P(2\mid 2\mid 3)$ gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.
Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\\\end{pmatrix}$ beschrieben.
b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $R$, in dem $g$ die Ebene $E$ schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.
(zur Kontrolle: $R(1,5\mid 1,5\mid 1)$)
(5P)
Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt $R$ dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt $Q(0\mid 0\mid 1)$ beschrieben wird (vgl. Abbildung).
Geometrie Prüfungsteil B
Geometrie Prüfungsteil B
c) Zeigen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $E$ symmetrisch sind.
(3P)
Das Lot zur Ebene $E$ im Punkt $R$ wird als Einfallslot bezeichnet.
d) Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene $F$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $F$ in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene $F$ liegt.
(mögliches Teilergebnis: $F:x_1-x_2=0$)
(5P)
e) Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels $\beta$ zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels $\alpha$ zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.
(4P)

(20P)

Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte $A, B, C, D, O, P, Q$ und $R$ sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma $LMNIJK$ stellt die Dachgaube dar, die Strecke $[GH]$ den First des Dachs, d.h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h. das Haus ist 10 m lang.
Geometrie Prüfungsteil B
Geometrie Prüfungsteil B
a) Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck $BCHG$ dargestellt wird.
(2P)
b) In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens $35^{\circ}$ beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist.
(3P)
Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene $E:3x_1+4x_3-44=0$.
Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke $[HC]$ dargestellt wird, den Abstand 2 m und vom First des Dachs den Abstand 1\,m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts $M$ wird die durch den Punkt $T(4\mid 8\mid 8)$ verlaufende Gerade $t:\overline{X}=\begin{pmatrix}4\\8\\8\\\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$, $\lambda \in \mathbb{R}$, betrachtet.
c) Begründen Sie, dass $t$ in der Ebene $E$ verläuft und von der Geraden $HC$ den Abstand 2 besitzt.
(5P)
d) Auf der Geraden $t$ wird nun der Punkt $M$ so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First 1 m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von $M$.
(Ergebnis: $M(4,8\mid 8\mid 7,4)$)
(3P)
Die Punkte $M$ und $N$ liegen auf der Geraden $m:\overline{X}=\begin{pmatrix}4,8\\8\\7,4\end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix}6\\0\\-1\end{pmatrix}$, $\mu \in \mathbb{R}$, die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur $x_3$-Achse parallele Strecke $(NL)$ stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von $N$ und $L$ zu bestimmen, wird die Ebene $F$ betrachtet, die durch Verschiebung von $E$ um 1,4 in positive $x_3$-Richtung entsteht.
e) Begründen Sie, dass $3x_1+4x_3-49,6=0$ eine Gleichung von $F$ ist.
(3P)
f) Bestimmen Sie die Koordinaten von $N$ und $L$.
(Teilergebnis: $N(7,2\mid 8\mid7)$)
(4P)

(20P)
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Aufgabengruppe 1

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt des Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen, die du deiner Merkhilfe entnehmen kannst:
$\boldsymbol{F = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}$
Berechne also zunächst die Vektoren, die die Strecken $[AB]$ und $[AC]$ beschreiben.
Berechne dann das Kreuzprodukt der beiden Strecken.
Den Flächeninhalt erhältst du mit der oben angegebenen Formel.
b) $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Du kennst die Richtung des Lichtstrahls $\vec{v}$, außerdem ist die Position $P$ der Lichtquelle gegeben. Erstelle also die Geradengleichung mit Stützvektor $\overrightarrow{OP}$ und Richtungsvektor $\vec{v}$:
$g:\vec{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \vec{v}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{R}$ bestimmen
Um die Koordinaten des Punkts $R$ zu bestimmen, berechnest du den Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
Schreibe dir dafür die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $s$ aus der Gleichung von $g$ auf.
Setze diese Gleichungen in $E$ ein, um den Wert für $s$ zu berechnen.
Um den Schnittpunkt $R$ zu erhalten setze nun $s$ in die Gleichung der Geraden $g$ ein.
Überlege dir, ob es Punkte in der Ebene gibt, die nur positive Koordinaten haben, jedoch nicht auf dem Spiegel liegen.
c) $\blacktriangleright$ Beweis der Symmetrie
Damit die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $E$ symmetrisch sind, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ muss senkrecht auf der Ebene $E$ stehen: $\overrightarrow{PQ}\perp E$
  • Der Abstand von $P$ und $Q$ zur Ebene $E$ müssen übereinstimmen: $d(P;E)=d(Q;E)$
1. Schritt: Orthogonalität überprüfen
Für die Orthogonalität benötigst du den Vektor $\overrightarrow{PQ}$. Ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene $E$ steht, ist der Normalenvektor. Ist also der Vektor $\overline{PQ}$ ein Vielfaches des Normalenvektors, ist der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ orthogonal zur Ebene $E$.
2. Schritt: Abstände berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$\boldsymbol{d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|}$
Berechne die beiden Abstände und vergleiche deren Betrag.
d) $\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Der einfallende Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{PR}$ und der reflektierte Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{QR}$. Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ von $F$ ergibt sich über das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren, da die Vektoren die Richtungsvektoren der Ebene darstellen.
Gehe also in mehreren Schritten vor:
  1. Bestimme die Vektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$.
  2. Berechne den Normalenvektor.
  3. Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$
  4. Stelle die Normalenform $0 = [\vec{x}-P]\circ \vec{n}$ in Vektorschreibweise auf.
  5. Überführe die Ebenengleichung in die Normalenform in Koordinatenschreibweise.
  6. Die gesuchte Ebenengleichung erhältst du, indem du die gerade aufgestellte Ebene umwandelst. Multiplizieren dafür die Gleichung aus.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Einfallslot in der Ebene $\boldsymbol{F}$ liegt
Du sollst nachweisen, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene $F$ liegt. Stelle dafür die Gerade $l$, die das Einfallslot beschreibt, auf. Das Einfallslot steht immer senkrecht auf der Spiegelebene $E$, die Richtung der Geraden entspricht also dem Normalenvektor der Ebene $E$. Der Punkt $R$ liegt ebenfalls auf der Geraden des Einfallslots, verwende diesen Punkt als Stützvektor.
Schreibe dir die allgemeine Form aller Punkte auf der Geraden $l$ auf.
Führe jetzt eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass alle Punkte der Geraden $l$ in der Ebene $F$ liegen. Setze dafür die Koordinaten der Punkte auf $l$ in die Ebenengleichung von $F$ ein.
e) $\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Das Einfallslot ist orthogonal zur Ebene $E$. Also entspricht die Richtung des Einfallslot gerade dem Normalenvektor der Ebene E.
Du sollst nun den Winkel zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot, sowie den Winkel zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot berechnen.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnest du mithilfe folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \cos^{-1}\left(\dfrac{\mid\vec{a} \circ \vec{b}\mid}{\mid \vec{a}\mid \cdot \mid \vec{b} \mid}\right)}$
Berechne also den Winkel $\phi_1$ zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot und die Größe des Winkels $\phi_2$ zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot.

Aufgabengruppe 2

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Du sollst die Fläche des Rechtecks $BCHG$ berechnen. Die Strecke $[BC]$ ist 10 m lang, das ist in der Aufgabenstellung gegeben. Um den Flächeninhalt berechnen zu können, fehlt dir somit noch die Länge der Strecke $[CH]$, die durch den Vektor $\overrightarrow{CH}$ beschrieben wird.
b) $\blacktriangleright$ Neigungswinkel des Dachs berechnen
Um den Neigungswinkel zu berechnen, berechnest du den Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{CH}$ und der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Die Strecke hast du bereits in a) berechnet. Schreibe dir die Gleichung der $x_1-x_2$–Ebene in Koordinatenform auf und bestimme einen Normalenvektor dieser Ebene.
Den Winkel zwischen Ebene mit Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ und Vektor $\boldsymbol{\vec{u}}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{\mid \vec{n} \circ \vec{u}\mid}{\mid \vec{n}\mid \cdot \mid \vec{u}\mid}\right)$
c) $\blacktriangleright$ Begründung formulieren
Du sollst begründen, dass $t$ in der Ebene $E$ verläuft. Berechne dafür die möglichen Schnittpunkte der Ebene mit der Geraden, falls es unendlich viele Schnittpunkte gibt, verläuft $t$ in $E$.
Schreibe dir dafür die Gleichungen der Koordinaten von $t$ in Abhängigkeit von $\lambda$ auf.
Setze diese Gleichungen nun für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $\lambda$ auf, um mögliche Schnittpunkte zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Stelle zunächst die Gleichung der Geraden $HC$ auf. Wähle dafür $\overrightarrow{OH}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{HC}$ als Richtungsvektor.
Vergleiche dann die Richtungs– und Stützvektoren der beiden Geraden und folgere daraus welche Lage die Geraden zueinander haben. Der Vektor $\overrightarrow{TH}$ ist orthogonal zu den beiden Geraden, die Länge von $\overrightarrow{TH}$ entspricht somit der kürzesten Strecke zwischen zwei Punkten der Gerade. Begründe warum du den Abstand mithilfe der Länge der Strecke $[TH]$ berechnen kannst.
d) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Der Punkt $M$ liegt auf der Geraden $t$, schreibe dir die allgemeine Form von $\overrightarrow{OM}$ auf.
Der Punkt $T$ liegt auch auf der Geraden $t$, außerdem liegt er auf dem First. Der Abstand von $M$ zu $T$ soll also 1 m betragen. Berechne mithilfe der Länge der Strecke $[TM]$ den Parameter $\lambda$.
Um die Koordinaten des Punktes $M$ zu bestimmen, setzt du $\lambda$ in die oben gegebene Form von $M$ ein.
e) $\blacktriangleright$ Begründen der Ebenengleichung
Die Ebene $F$ entsteht durch Verschiebung der Ebene $E$ um 1,4 m in positive $x_3$-Richtung. Überlege dir, welche Form die $x_3$–Koordinate der Ebene F hat. Bedenke dabei, dass eine Verschiebung in negative Richtung durch $x + d$ bewirkt wird und eine Verschiebung in positive Richtung durch $x ? d$. Setze die ermittelte Koordinate in die Ebenengleichung von $E$ ein.
f) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Der Punkt $N$ liegt auf der Geraden $m$ und in der Ebene $F$. Um seine Koordinaten zu berechnen, kannst du also deren Schnittpunkt ausrechnen.
Schreibe dafür die Gleichungen der Koordinaten aus $m$ auf. Setze diese Gleichungen in die Ebenengleichung von $F$ ein und löse dann nach $\mu$ auf.
Setze diesen Wert für $\mu$ in $m$ ein, um die Koordinaten von $N$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{L}$ bestimmen
Die Strecke $[LN]$ ist parallel zur $x_3$-Achse, das bedeutet, dass die Punkte $N$ und $L$ die $x_1$- und die $x_2$-Koordinate gemeinsam haben. Der Punkt $L$ lautet dann $L(7,2 \mid 8 \mid l_3)$. Der Abstand von $L$ zu $N$ soll 1,4 m betragen. Berechne also die Länge der Strecke und löse nach $l_3$ auf.

Aufgabengruppe 1

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt des Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen, die du deiner Merkhilfe entnehmen kannst:
$\boldsymbol{F = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}$
Berechne also zunächst die Vektoren, die die Strecken $[AB]$ und $[AC]$ beschreiben.
Berechne dann das Kreuzprodukt der beiden Strecken.
Den Flächeninhalt erhältst du mit der oben angegebenen Formel.
b) $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Du kennst die Richtung des Lichtstrahls $\vec{v}$, außerdem ist die Position $P$ der Lichtquelle gegeben. Erstelle also die Geradengleichung mit Stützvektor $\overrightarrow{OP}$ und Richtungsvektor $\vec{v}$:
$g:\vec{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \vec{v}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{R}$ bestimmen
Um die Koordinaten des Punkts $R$ zu bestimmen, berechnest du den Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
Schreibe dir dafür die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $s$ aus der Gleichung von $g$ auf.
Setze diese Gleichungen in $E$ ein, um den Wert für $s$ zu berechnen.
Um den Schnittpunkt $R$ zu erhalten setze nun $s$ in die Gleichung der Geraden $g$ ein.
Überlege dir, ob es Punkte in der Ebene gibt, die nur positive Koordinaten haben, jedoch nicht auf dem Spiegel liegen.
c) $\blacktriangleright$ Beweis der Symmetrie
Damit die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $E$ symmetrisch sind, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ muss senkrecht auf der Ebene $E$ stehen: $\overrightarrow{PQ}\perp E$
  • Der Abstand von $P$ und $Q$ zur Ebene $E$ müssen übereinstimmen: $d(P;E)=d(Q;E)$
1. Schritt: Orthogonalität überprüfen
Für die Orthogonalität benötigst du den Vektor $\overrightarrow{PQ}$. Ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene $E$ steht, ist der Normalenvektor. Ist also der Vektor $\overline{PQ}$ ein Vielfaches des Normalenvektors, ist der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ orthogonal zur Ebene $E$.
2. Schritt: Abstände berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$\boldsymbol{d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|}$
Berechne die beiden Abstände und vergleiche deren Betrag.
d) $\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Der einfallende Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{PR}$ und der reflektierte Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{QR}$. Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ von $F$ ergibt sich über das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren, da die Vektoren die Richtungsvektoren der Ebene darstellen.
Gehe also in mehreren Schritten vor:
  1. Bestimme die Vektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$.
  2. Berechne den Normalenvektor.
  3. Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$
  4. Stelle die Normalenform $0 = [\vec{x}-P]\circ \vec{n}$ in Vektorschreibweise auf.
  5. Überführe die Ebenengleichung in die Normalenform in Koordinatenschreibweise.
  6. Die gesuchte Ebenengleichung erhältst du, indem du die gerade aufgestellte Ebene umwandelst. Multiplizieren dafür die Gleichung aus.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Einfallslot in der Ebene $\boldsymbol{F}$ liegt
Du sollst nachweisen, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene $F$ liegt. Stelle dafür die Gerade $l$, die das Einfallslot beschreibt, auf. Das Einfallslot steht immer senkrecht auf der Spiegelebene $E$, die Richtung der Geraden entspricht also dem Normalenvektor der Ebene $E$. Der Punkt $R$ liegt ebenfalls auf der Geraden des Einfallslots, verwende diesen Punkt als Stützvektor.
Schreibe dir die allgemeine Form aller Punkte auf der Geraden $l$ auf.
Führe jetzt eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass alle Punkte der Geraden $l$ in der Ebene $F$ liegen. Setze dafür die Koordinaten der Punkte auf $l$ in die Ebenengleichung von $F$ ein.
e) $\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Das Einfallslot ist orthogonal zur Ebene $E$. Also entspricht die Richtung des Einfallslot gerade dem Normalenvektor der Ebene E.
Du sollst nun den Winkel zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot, sowie den Winkel zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot berechnen.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnest du mithilfe folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \cos^{-1}\left(\dfrac{\mid\vec{a} \circ \vec{b}\mid}{\mid \vec{a}\mid \cdot \mid \vec{b} \mid}\right)}$
Berechne also den Winkel $\phi_1$ zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot und die Größe des Winkels $\phi_2$ zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot.

Aufgabengruppe 2

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Du sollst die Fläche des Rechtecks $BCHG$ berechnen. Die Strecke $[BC]$ ist 10 m lang, das ist in der Aufgabenstellung gegeben. Um den Flächeninhalt berechnen zu können, fehlt dir somit noch die Länge der Strecke $[CH]$, die durch den Vektor $\overrightarrow{CH}$ beschrieben wird.
b) $\blacktriangleright$ Neigungswinkel des Dachs berechnen
Um den Neigungswinkel zu berechnen, berechnest du den Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{CH}$ und der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Die Strecke hast du bereits in a) berechnet. Schreibe dir die Gleichung der $x_1-x_2$–Ebene in Koordinatenform auf und bestimme einen Normalenvektor dieser Ebene.
Den Winkel zwischen Ebene mit Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ und Vektor $\boldsymbol{\vec{u}}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{\mid \vec{n} \circ \vec{u}\mid}{\mid \vec{n}\mid \cdot \mid \vec{u}\mid}\right)$
c) $\blacktriangleright$ Begründung formulieren
Du sollst begründen, dass $t$ in der Ebene $E$ verläuft. Berechne dafür die möglichen Schnittpunkte der Ebene mit der Geraden, falls es unendlich viele Schnittpunkte gibt, verläuft $t$ in $E$.
Schreibe dir dafür die Gleichungen der Koordinaten von $t$ in Abhängigkeit von $\lambda$ auf.
Setze diese Gleichungen nun für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $\lambda$ auf, um mögliche Schnittpunkte zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Stelle zunächst die Gleichung der Geraden $HC$ auf. Wähle dafür $\overrightarrow{OH}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{HC}$ als Richtungsvektor.
Vergleiche dann die Richtungs– und Stützvektoren der beiden Geraden und folgere daraus welche Lage die Geraden zueinander haben. Der Vektor $\overrightarrow{TH}$ ist orthogonal zu den beiden Geraden, die Länge von $\overrightarrow{TH}$ entspricht somit der kürzesten Strecke zwischen zwei Punkten der Gerade. Begründe warum du den Abstand mithilfe der Länge der Strecke $[TH]$ berechnen kannst.
d) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Der Punkt $M$ liegt auf der Geraden $t$, schreibe dir die allgemeine Form von $\overrightarrow{OM}$ auf.
Der Punkt $T$ liegt auch auf der Geraden $t$, außerdem liegt er auf dem First. Der Abstand von $M$ zu $T$ soll also 1 m betragen. Berechne mithilfe der Länge der Strecke $[TM]$ den Parameter $\lambda$.
Um die Koordinaten des Punktes $M$ zu bestimmen, setzt du $\lambda$ in die oben gegebene Form von $M$ ein.
e) $\blacktriangleright$ Begründen der Ebenengleichung
Die Ebene $F$ entsteht durch Verschiebung der Ebene $E$ um 1,4 m in positive $x_3$-Richtung. Überlege dir, welche Form die $x_3$–Koordinate der Ebene F hat. Bedenke dabei, dass eine Verschiebung in negative Richtung durch $x + d$ bewirkt wird und eine Verschiebung in positive Richtung durch $x ? d$. Setze die ermittelte Koordinate in die Ebenengleichung von $E$ ein.
f) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Der Punkt $N$ liegt auf der Geraden $m$ und in der Ebene $F$. Um seine Koordinaten zu berechnen, kannst du also deren Schnittpunkt ausrechnen.
Schreibe dafür die Gleichungen der Koordinaten aus $m$ auf. Setze diese Gleichungen in die Ebenengleichung von $F$ ein und löse dann nach $\mu$ auf.
Setze diesen Wert für $\mu$ in $m$ ein, um die Koordinaten von $N$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{L}$ bestimmen
Die Strecke $[LN]$ ist parallel zur $x_3$-Achse, das bedeutet, dass die Punkte $N$ und $L$ die $x_1$- und die $x_2$-Koordinate gemeinsam haben. Der Punkt $L$ lautet dann $L(7,2 \mid 8 \mid l_3)$. Der Abstand von $L$ zu $N$ soll 1,4 m betragen. Berechne also die Länge der Strecke und löse nach $l_3$ auf.
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Aufgabengruppe 1

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt des Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen, die du deiner Merkhilfe entnehmen kannst:
$\boldsymbol{F = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}$
Berechne also zunächst die Vektoren, die die Strecken $[AB]$ und $[AC]$ beschreiben:
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}0 - 4\\0 - 0\\4-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0 - 4\\4 - 0\\0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$
Berechne nun das Kreuzprodukt der beiden Vektoren:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\cdot 4 - 0\cdot0 \\ 0 \cdot (-4) - (-4)\cdot 4\\ (-4) \cdot 0 - 4 \cdot (-4)\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}16\\16\\16\end{pmatrix}$
Den Flächeninhalt erhältst du mit der oben angegebenen Formel:
$F = \frac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix}16\\16\\16\end{pmatrix}\right| $$= \frac{1}{2}\cdot \sqrt{16^2 + 16^2 + 16^2} $$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{16^2} $$= 8\cdot \sqrt{3}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $\boldsymbol{8\cdot \sqrt{3} \textbf{ FE}}$.
b) $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Du kennst die Richtung des Lichtstrahls $\vec{v}$, außerdem ist die Position $P$ der Lichtquelle gegeben. Erstelle also die Geradengleichung mit Stützvektor $\overrightarrow{OP}$ und Richtungsvektor $\vec{v}$:
$g:\vec{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \vec{v} $$= \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{R}$ bestimmen
Um die Koordinaten des Punkts $R$ zu bestimmen, berechnest du den Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
Schreibe dir dafür die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $s$ aus der Gleichung von $g$ auf:
$\begin{array}{rcll} x_1&=&2 - s&\\ x_2&=&2 - s&\\ x_3&=&3 - 4\cdot s&\\ \end{array}$
Setze diese Gleichungen in $E$ ein, um den Wert für $s$ zu berechnen.
$\begin{array}{rcll} 4&=&2-s + 2-s + 3- 4 \cdot s&\\ 4&=&7- 6 \cdot s&\scriptsize{ \mid +6\cdot s} \\ 4 + 6\cdot s&=&7&\scriptsize{ \mid - 4} \\ 6\cdot s&=&3&\scriptsize{ \mid :6} \\ s&=&0,5& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 4&=&2-s + 2-s + 3- 4 \cdot s&\\ 4&=&7- 6 \cdot s&\\ 4 + 6\cdot s&=&7&\\ 6\cdot s&=&3&\\ s&=&0,5& \end{array}$
Um den Schnittpunkt $R$ zu erhalten setze nun $s$ in die Gleichung der Geraden $g$ ein.
$\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}1,5 \\1,5 \\1\end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt ist gegeben durch $\boldsymbol{R(1,5\mid 1,5\mid 1)}$.
$\blacktriangleright$ Lage des Punkts
Du weißt, dass der Punkt in der Ebene $E$ liegt, in der auch der Spiegel liegt. Alle Koordinaten des Punktes sind positiv.
  • Die $x_1$–Koordinate von $R$ ist kleiner als die größt mögliche positive $x_1$–Koordinate auf dem Spiegel: $1,5 <4$
  • Die $x_2$–Koordinate von $R$ ist kleiner als die größt mögliche positive $x_2$–Koordinate auf dem Spiegel: $1,5 <4$
  • Die $x_3$–Koordinate von $R$ ist kleiner als die größt mögliche positive $x_3$–Koordinate auf dem Spiegel: $1 <4$
Es gilt außerdem, dass alle Punkte der Ebene $E$, die nur positive Koordinaten besitzen, auf dem Spiegel liegen.
Der Punkt liegt also auf dem Spiegel. Daraus folgt, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.
c) $\blacktriangleright$ Beweis der Symmetrie
Damit die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $E$ symmetrisch sind, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ muss senkrecht auf der Ebene $E$ stehen: $\overrightarrow{PQ}\perp E$
  • Der Abstand von $P$ und $Q$ zur Ebene $E$ müssen übereinstimmen: $d(P;E)=d(Q;E)$
1. Schritt: Orthogonalität überprüfen
Für die Orthogonalität benötigst du den Vektor $\overrightarrow{PQ}$. Ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene $E$ steht, ist der Normalenvektor. Ist also der Vektor $\overline{PQ}$ ein Vielfaches des Normalenvektors, ist der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ orthogonal zur Ebene $E$.
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist gegeben durch:
$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}0 - 2\\0-2\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
Entnehme den Normalenvektor der Ebene $E$ aus der Koordinatengleichung von $E$: $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
Es gilt also: $\overrightarrow{PQ} = -2 \cdot \vec{n}$
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors, also ist der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{PQ}}$ orthogonal zu $\boldsymbol{E}$.
2. Schritt: Abstände berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt $(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und einer Ebene $\vec{x}= n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$ berechnest du mit der Hess'schen Normalform:
$\boldsymbol{d(E;P) = \left|\dfrac{n_1 \cdot p_1 + n_2 \cdot p_2 + n_3 \cdot p_3 - d}{ \vec{n}}\right|}$
Nutze diese Formel um die beiden Abstände zu berechnen.
$d(P;E) = \left|\dfrac{1 \cdot 2 + 1\cdot 2 + 1\cdot 3 - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2+ 1^2}}\right| $$= \left|\dfrac{2 + 2+ 3-4}{\sqrt{3}}\right| $$= \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$d(Q;E) = \left|\dfrac{1 \cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2+ 1^2}}\right| $$= \left|\dfrac{1-4}{\sqrt{3}}\right| $$= \left|\dfrac{-3}{\sqrt{3}}\right| = \sqrt{3}$
Der Abstand ist somit gleich.
Beide Bedingungen sind erfüllt, also sind die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $\boldsymbol{E}$ symmetrisch.
d) $\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Der einfallende Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{PR}$ und der reflektierte Lichtstrahl wird beschrieben durch $\overrightarrow{QR}$. Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ von $F$ ergibt sich über das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren, da die Vektoren die Richtungsvektoren der Ebene darstellen.
Gehe also in mehreren Schritten vor:
  1. Bestimme die Vektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$.
  2. Berechne den Normalenvektor.
  3. Stelle die Normalenform $0 = [\vec{x}-P]\circ \vec{n}$ in Vektorschreibweise auf.
  4. Überführe die Ebenengleichung in die Normalenform in Koordinatenschreibweise.
1. Schritt: Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{PR}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{QR}}$ berechnen
Die beiden Strecken sind gegeben durch:
$\overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix}1,5 - 2\\1,5 -2 \\ 1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0,5\\-0,5\\-2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix}1,5 - 0\\1,5 -0\\ 1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5\\1,5\\0\end{pmatrix}$
2. Schritt: Berechne den Normalenvektor
Der Normalenvektor $\vec{n}_F$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$:
$\vec{n}_F = \begin{pmatrix}(-0,5) \cdot 0 - (-2)\cdot 1,5 \\ (-2) \cdot 1,5 - (-0,5)\cdot 0 \\ (-0,5) \cdot 1,5 - (-0,5)\cdot 1,5\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}$
3. Schritt: Normalenform in Vektorschreibweise aufstellen
Stelle also die Normalenform in Vektorschreibweise mithilfe des Normalenvektors $\vec{n}_F$ und dem Punkt $P$, der in der Ebene liegt.
$F:\ \begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\right] = 0$
$\blacktriangleright$ Normalenform in Koordinatenschreibweise aufstellen
Die gesuchte Ebenengleichung erhältst du, indem du die gerade aufgestellte Ebene umwandelst. Multipliziere dafür die Gleichung aus:
$\begin{array}{rcll} 0&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\right]&\\ 0&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1 - 2\\x_2 - 2\\x_3 - 3\end{pmatrix}\right]&\\ 0&=&3\cdot (x_1-2) + (-3) \cdot (x_2-2) + 0 \cdot (x_3-3)&\\ 0&=&3\cdot x_1 - 6 - 3\cdot x_2 + 6&\\ 0&=&3\cdot x_1 - 3\cdot x_2 &\scriptsize{ \mid : 3}\\ 0&=&x_1 -x_2& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\right]&\\ 0&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1 - 2\\x_2 - 2\\x_3 - 3\end{pmatrix}\right]&\\ 0&=&3\cdot (x_1-2) + (-3) \cdot (x_2-2) \\ &&+ 0 \cdot (x_3-3)&\\ 0&=&3\cdot x_1 - 6 - 3\cdot x_2 + 6&\\ 0&=&3\cdot x_1 - 3\cdot x_2 &\\ 0&=&x_1 -x_2& \end{array}$
Du erhältst folgende Ebene $\boldsymbol{F:\ x_1 - x_2 = 0}$.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Einfallslot in der Ebene $\boldsymbol{F}$ liegt
Du sollst nachweisen, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene $F$ liegt. Stelle dafür die Gerade $l$, die das Einfallslot beschreibt, auf. Das Einfallslot steht immer senkrecht auf der Spiegelebene $E$, die Richtung der Geraden entspricht also dem Normalenvektor der Ebene $E$. Der Punkt $R$ liegt ebenfalls auf der Geraden des Einfallslots, verwende diesen Punkt als Stützvektor. Die Geradengleichung lautet dann:
$l: \vec{x} = \begin{pmatrix}1,5\\1,5\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
Alle Punkte auf der Geraden $l$ lauten:
$\vec{x} = \begin{pmatrix}1,5\\1,5\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}1,5 + t\\ 1,5 + t\\1+t\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$
Führe jetzt eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass alle Punkte der Geraden $l$ in der Ebene $F$ liegen. Setze dafür die Koordinaten der Punkte auf $l$ in die Ebenengleichung von $F$ ein.
$\begin{array}{rcl} 0&=&1,5+t - (1,5+t)\\ 0&=&1,5 + t -1,5 -t\\ 0&=&0 \end{array}$
Die Punktprobe liefert eine wahre Aussage. Somit liegt das Einfallslot in der Ebene.
e) $\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Das Einfallslot ist orthogonal zur Ebene $E$. Also entspricht die Richtung des Einfallslot gerade dem Normalenvektor der Ebene E:
$\vec{u}_{\text{Lot}} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
Du sollst nun den Winkel zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot, sowie den Winkel zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot berechnen.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnest du mithilfe folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \cos^{-1}\left(\dfrac{\mid\vec{a} \circ \vec{b}\mid}{\mid \vec{a}\mid \cdot \mid \vec{b} \mid}\right)}$
Berechne also den Winkel $\phi_1$ zwischen reflektiertem Lichtstrahl $\overrightarrow{QR}$ und Einfallslot:
$\begin{array}{rcl} \phi_1&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\mid\overrightarrow{QR} \circ \vec{u}_{\text{Lot}}\mid}{\mid \overrightarrow{QR}\mid \cdot \mid \vec{u}_{\text{Lot}} \mid}\right)\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\left|\begin{pmatrix}1,5\\1,5\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1,5\\1,5\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right|}\right)\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1,5\cdot 1 + 1,5\cdot 1 + 0 \cdot 1}{\sqrt{1,5^2 + 1,5^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 +1^2 + 1^2}}\right)\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{2\cdot 1,5^2} \cdot \sqrt{3}}\right)\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{1,5 \cdot \sqrt{6}}\right)\\ &=&35,3^{\circ} \end{array}$
Die Größe des Winkels $\phi_1$ beträgt $\boldsymbol{35,3 ^{\circ}}$.
Berechne jetzt den Winkel $\phi_2$ zwischen einfallendem Lichtstrahl $\overrightarrow{PR}$ und Einfallslot:
$\begin{array}{rcll} \phi_2&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\mid\overrightarrow{PR} \circ \vec{u}_{\text{Lot}}\mid}{\mid \overrightarrow{PR}\mid \cdot \mid \vec{u}_{\text{Lot}} \mid}\right)&\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\left|\begin{pmatrix}-0,5\\-0,5\\-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-0,5\\-0,5\\-2\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right|}\right)&\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\mid(-0,5)\cdot 1 + (-0,5)\cdot 1 + (-2) \cdot 1\mid}{\sqrt{(-0,5)^2 + (-0,5)^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 +1^2 + 1^2}}\right)&\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{\mid -3\mid}{\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{3}}\right)&\\ &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{13.5}}\right)&\\ &=&35,3 ^{\circ}& \end{array}$
Die Größe des Winkels $\phi_2$ beträgt $\boldsymbol{35,3 ^{\circ}}$.
Die Winkel $\phi_1$ und $\phi_2$ stimmen überein.

Aufgabengruppe 2

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Du sollst die Fläche des Rechtecks $BCHG$ berechnen. Die Strecke $[BC]$ ist 10 m lang, das ist in der Aufgabenstellung gegeben. Um den Flächeninhalt berechnen zu können, fehlt dir somit noch die Länge der Strecke $[CH]$, die durch den Vektor $\overrightarrow{CH}$ beschrieben wird.
$\overrightarrow{CH} = \begin{pmatrix}4-8\\10-10\\8-5\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}$
Die Länge dieser Strecke erhältst du mit dem Betrag:
$\mid \overrightarrow{CH} \mid = \left|\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\right|$$=\sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$
Für die Berechnung des Flächeninhalts ergibt:
$A_{BCHG} = \mid\overrightarrow{BC}\mid \cdot \mid \overrightarrow{CH}\mid $$= 10 \text{m} \cdot 5 \text{m} = 50 \text{m}^2$.
Die Dachfläche hat einen Inhalt von $\boldsymbol{50\textbf{ m}^2}$.
b) $\blacktriangleright$ Neigungswinkel des Dachs berechnen
Um den Neigungswinkel zu berechnen, berechnest du den Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{CH}$ und der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Den Vektor $\overrightarrow{CH}$ hast du bereits in a) berechnet:
$\overrightarrow{CH} = \begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}$
Die $x_1$-$x_2$-Ebene hat folgende Form: $x_3 = 0$
Ein Normalenvektor der $x_1$-$x_2$-Ebene ist beispielsweise $\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
Den Winkel zwischen Ebene mit Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n}}$ und Vektor $\boldsymbol{\vec{u}}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{\mid \vec{n} \circ \vec{u}\mid}{\mid \vec{n}\mid \cdot \mid \vec{u}\mid}\right)$
Berechne mit dieser Formel den Neigungswinkel:
$\begin{array}{rcl} \alpha &=&\sin^{-1} \left(\dfrac{\mid \vec{n} \circ \overrightarrow{CH}\mid}{\mid \vec{n}\mid \cdot \mid \overrightarrow{CH}\mid}\right)\\ \alpha&=&\sin^{-1} \left(\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\right|}\right)\\ &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}}\right)\\ &=&\sin^{-1} \left(\dfrac{3}{\sqrt{25}}\right)\\ &=&\sin^{-1} \left(\dfrac{3}{5}\right)\\ &=&36,8 ^{\circ}& \end{array}$
Der Neigungswinkels der Dachfläche ist $\boldsymbol{36,8 ^{\circ}}$ groß. Das ist größer als $35^{\circ}$, deshalb ist die Dachgaube für das betrachtete Einfamilienhaus zulässig.
c) $\blacktriangleright$ Begründung formulieren
Du sollst begründen, dass $t$ in der Ebene $E$ verläuft. Berechne dafür die möglichen Schnittpunkte der Ebene mit der Geraden, falls es unendlich viele Schnittpunkte gibt, verläuft $t$ in $E$.
Schreibe dir dafür die Gleichungen der Koordinaten von $t$ in Abhängigkeit von $\lambda$ auf:
$\begin{array}{rcll} x_1&=&4 + 4\cdot \lambda& \\ x_2&=&8& \\ x_3&=&8 + (-3)\cdot \lambda& \end{array}$
Setze diese Gleichungen nun für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $\lambda$ auf, um mögliche Schnittpunkte zu berechnen.
$\begin{array}{rcll} 0&=&3\cdot (4+4\cdot \lambda)+ 4\cdot (8-3\cdot \lambda) -44& \\ 0&=&12+12\cdot \lambda+ 32-12\cdot \lambda -44&\\ 0 &=& 44-44+12\cdot \lambda - 12\cdot \lambda&\\ 0&=&0& \end{array}$
Der Parameter $\lambda$ ist beliebig wählbar, es gibt also unendlich viele Schnittpunkte. Die Gerade liegt in der Ebene.
$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Stelle zunächst die Gleichung der Geraden $HC$ auf. Wähle dafür $\overrightarrow{OH}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{HC}$ als Richtungsvektor.
$f: \vec{x} =\overrightarrow{OH} + \gamma \cdot \overrightarrow{HC}$$ = \begin{pmatrix}4\\10\\8\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}8-4\\10-10\\5-8\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}4\\10\\8\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$
Die Richtungsvektoren der beiden Geraden stimmen überein und die Stützvektoren sind verschieden. Die beiden Geraden sind also parallel. Der Vektor $\overrightarrow{TH}$ ist orthogonal zu den beiden Geraden, die Länge von $\overrightarrow{TH}$ entspricht somit der kürzesten Strecke zwischen zwei Punkten der Gerade. Da die Geraden parallel sind ist dieser Abstand gleich dem Abstand der Geraden.
$\mid\overrightarrow{TH}\mid = \left|\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right|$$= \sqrt{0^2 +2^2 + 0^2} = \sqrt{2^2} = 2$
Der Abstand beträgt also 2 m.
d) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Der Punkt $M$ liegt auf der Geraden $t$, also hat er die Form:
$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}4+4\lambda\\8\\8-3\lambda\end{pmatrix}$
Der Punkt $T$ liegt auch auf der Geraden $t$, außerdem liegt er auf dem First. Der Abstand von $M$ zu $T$ soll also 1 m betragen. Berechne mithilfe der Länge der Strecke $[TM]$ den Parameter $\lambda$:
$\begin{array}{rcll} 1&=&\mid \overrightarrow{TM}\mid&\\ 1&=&\left|\begin{pmatrix}4+4\lambda\\8\\8-3\lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\right|&\\ 1&=&\left|\begin{pmatrix}4\lambda\\0\\-3\lambda\end{pmatrix}\right|& \\ 1&=&\sqrt{(4\lambda)^2 + 0^2 + (-3\lambda)^2}& \\ 1&=&\sqrt{16\lambda^2 + 9\lambda^2}&\\ 1&=&\sqrt{25\lambda^2 }& \\ 1&=&5\lambda&\scriptsize{ \mid :5}\\ \lambda &=& \frac{1}{5} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 1&=&\mid \overrightarrow{TM}\mid&\\ 1&=&\left|\begin{pmatrix}4+4\lambda\\8\\8-3\lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\right|&\\ 1&=&\left|\begin{pmatrix}4\lambda\\0\\-3\lambda\end{pmatrix}\right|& \\ 1&=&\sqrt{(4\lambda)^2 + 0^2 + (-3\lambda)^2}& \\ 1&=&\sqrt{16\lambda^2 + 9\lambda^2}&\\ 1&=&\sqrt{25\lambda^2 }& \\ 1&=&5\lambda&\\ \lambda &=& \frac{1}{5} \end{array}$
Um die Koordinaten des Punktes $M$ zu bestimmen, setzt du $\lambda$ in die oben gegebene Form von $M$ ein:
$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}4+4\cdot\frac{1}{5}\\8\\8-3\cdot \frac{1}{5}\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}4,8\\8\\7,4\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Punkts $M$ sind gegeben durch $\boldsymbol{M(4,8\mid 8\mid 7,4)}$.
e) $\blacktriangleright$ Begründen der Ebenengleichung
Die Ebene $F$ entsteht durch Verschiebung der Ebene $E$ um 1,4 m in positive $x_3$-Richtung. Die $x_3$-Koordinate der Ebene $F$ hat somit die Form $x_3 - 1,4$, wobei $x_3$ die Koordinate der Ebene $E$ darstellt. Setze diese Koordinate in die Ebenengleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcll} 3x_1 + 4\cdot (x_3 - 1,4) - 44&=&0&\\ 3x_1 + 4x_3 - 5,6 - 44&=&0&\\ 3x_1 + 4x_3 - 49,6&=&0& \end{array}$
Diese Gleichung entspricht gerade der gegebenen Gleichung von $F$.
f) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Der Punkt $N$ liegt auf der Geraden $m$ und in der Ebene $F$. Um seine Koordinaten zu berechnen, kannst du also deren Schnittpunkt ausrechnen.
Schreibe dafür die Gleichungen der Koordinaten aus $m$ auf:
$\begin{array}{rcll} x_1&=&4,8+ 6 \cdot \mu\\ x_2&=&8\\ x_3&=&7,4 - \mu \end{array}$
Setze diese Gleichungen in die Ebenengleichung von $F$ ein und löse dann nach $\mu$ auf:
$\begin{array}{rcll} 0&=&3\cdot (4,8 + 6\cdot \mu) + 4 \cdot (7,4 - \mu) - 49,6&\\ 0&=&14,4 + 18\cdot \mu + 29,6 - 4\cdot\mu - 49,6&\\ 0&=&-5,6 + 14\cdot \mu &\scriptsize{ \mid +5,6 }\\ 5,6&=& 14\cdot \mu &\scriptsize{ \mid :14} \\ \mu &=& 0,4& \end{array}$
Setze diesen Wert für $\mu$ in $m$ ein, um die Koordinaten von $N$ zu berechnen.
Für den Punkt $N$ gilt also: $\overrightarrow{ON} = \begin{pmatrix}4,8\\8\\7,4\end{pmatrix} + 0,4 \cdot \begin{pmatrix}6\\0\\-1\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}7,2\\8\\7\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Punkts $N$ sind gegeben durch $\boldsymbol{N(7,2\mid 8\mid 7)}$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{L}$ bestimmen
Die Strecke $[LN]$ ist parallel zur $x_3$-Achse, das bedeutet, dass die Punkte $N$ und $L$ die $x_1$- und die $x_2$-Koordinate gemeinsam haben. Der Punkt $L$ lautet dann $L(7,2 \mid 8 \mid l_3)$. Der Abstand von $L$ zu $N$ soll 1,4 m betragen:
$\overline{LN} = 1,4$
Berechne also die Länge der Strecke und löse nach $l_3$ auf.
$\begin{array}{rcll} 1,4&=&\mid \overrightarrow{LN}\mid&\\ 1,4&=&\left|\begin{pmatrix}7,2-7,2\\8-8\\ 7-l_3\end{pmatrix}\right|&\\ 1,4&=& \left|\begin{pmatrix}0\\0\\ 7-l_3\end{pmatrix}\right|&\\ 1,4&=&\sqrt{(0^2 + 0^2 + (7-l_3)^2}&\\ 1,4&=&\sqrt{(7-l_3)^2}& \\ 1,4&=&7-l_3&\scriptsize{ \mid +l_3} \\ 1,4 + l_3&=&7&\scriptsize{ \mid -1,4 }\\ l_3&=&5,6& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 1,4&=&\mid \overrightarrow{LN}\mid&\\ 1,4&=&\left|\begin{pmatrix}7,2-7,2\\8-8\\ 7-l_3\end{pmatrix}\right|&\\ 1,4&=& \left|\begin{pmatrix}0\\0\\ 7-l_3\end{pmatrix}\right|&\\ 1,4&=&\sqrt{(0^2 + 0^2 + (7-l_3)^2}&\\ 1,4&=&\sqrt{(7-l_3)^2}& \\ 1,4&=&7-l_3&\\ 1,4 + l_3&=&7&\\ l_3&=&5,6& \end{array}$
Die Koordinaten des Punkts $L$ sind gegeben durch $\boldsymbol{L(7,2\mid 8\mid 5,6)}$.
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