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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
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Teil B
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Analysis
Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe II
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Stochastik
Aufgabengruppe I
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Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
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Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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LV-Abi 3
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Stochastik Prüfungsteil A

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

In Urne A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt.
a) Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
(2P)
b) Betrachtet wird das Ereignis E: „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis E eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
(3P)

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}$ angegeben wird.
(2P)

Aufgabe 3

Die Zufallsgröße $X$ kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit $p_{1}, p_{2}\in[0;\,1]$.
$k$0123
$P(X=k)$$p_1$$\frac{3}{10}$$\frac{1}{5}$$p_2$
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von $X$ nicht größer als 2,2 sein kann.
(3P)

(10P)

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

In Urne A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt.
a) Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
(2P)
b) Betrachtet wird das Ereignis E: „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis E eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
(3P)

Aufgabe 2

Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen C und D.
Stochastik Prüfungsteil A
Stochastik Prüfungsteil A
a) Berechnen Sie $P\left(\overline{\text{D}}\right)$.
(1P)
b) Weisen Sie nach, dass die Ereignisse C und D abhängig sind.
(2P)
c) Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert $\frac{1}{10}$ so geändert werden, dass die Ereignisse C und D unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.
(2P)

(10P)
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Tipps
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Möglichkeiten für Inhalt der Urne A
Du sollst alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments angeben. Überlege dir den Inhalt der Urne A, falls:
  • aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und wieder eine rote Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und wieder eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Das Ereignis E ist gegeben durch: Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.
Um entscheiden zu können, ob die Wahrscheinlichkeit größer ist, als die des Gegenereignisses, berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E. Für das Ereignis E gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder es wird sowohl aus Urne A, als auch aus Urne B eine rote Kugel entnommen oder es wird aus beiden Urnen eine weiße Kugel entnommen.
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnest du folgendermaßen: $P(\overline{E}) = 1- P(E)$.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Ereignis beschreiben
Eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20 ist gegeben, du sollst nun das Ereignis zu folgender Bernoullikette beschreiben.
$0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}$
Allgemein gilt für eine Bernoullikette mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und $n$ Versuchen:
$\boldsymbol{P (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$
Betrachte also die allgemeine Form und versuche den gegebenen Term in diese Form zu bringen.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Obergrenze für Erwartungswert
Du sollst zeigen, dass der Erwartungswert von $X$ nicht größer als 2,2 sein kann. Den Erwartungswert berechnest du folgendermaßen:
$\boldsymbol{E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} i\cdot P(X=i)}$
Berechne den Erwartungswert der gegebenen Zufallsvariable.
Betrachte nun die möglichen Werte für $p_2$. Die Wahrscheinlichkeiten dürfen addiert höchstens 1 ergeben. Für die Obergrenze von $p_2$ musst du also die bekannten Wahrscheinlichkeiten von 1 abziehen. Setze dann die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $p_2$ in den oben berechneten Erwartungswert ein.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Möglichkeiten für Inhalt der Urne A
Du sollst alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments angeben. Überlege dir den Inhalt der Urne A, falls:
  • aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und wieder eine rote Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und wieder eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
  • aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Das Ereignis E ist gegeben durch: Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.
Um entscheiden zu können, ob die Wahrscheinlichkeit größer ist, als die des Gegenereignisses, berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E. Für das Ereignis E gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder es wird sowohl aus Urne A, als auch aus Urne B eine rote Kugel entnommen oder es wird aus beiden Urnen eine weiße Kugel entnommen.
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnest du folgendermaßen: $P(\overline{E}) = 1- P(E)$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen vervollständige das Baumdiagramm.
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(D \mid C)$ gilt:
$\boldsymbol{P(C \cap D) = P(D \mid C) \cdot P(C)}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis berechnest du wie folgt:
$\boldsymbol{P(\overline{C}) = 1- P(C)}$
Du hast folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:
  • $P(D\mid C)=\frac{3}{5}$
  • $P(C \cap D)=\frac{2}{5}$
  • $P(D\mid \overline{C})=\frac{1}{10}$
Berechne jetzt die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
  • Beginne mit der Wahrscheinlichkeit für C, da du $P(D\mid C)$ und $P(C \cap D)$ gegeben hast.
  • Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit für $\overline{C}$:
  • $P(\overline{C}) = 1- P(C)$
  • Berechne als nächstes $P(\overline{D}\mid C)$:
  • $P(\overline{D}\mid C) = 1- P(D \mid C)$
  • Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeit für $P(C\cap \overline{D})$ berechnen.
  • Als nächstes kannst du die Wahrscheinlichkeit $P(D\mid \overline{C})$ berechnen: $P(\overline{C}) \cdot P(D\mid \overline{C})=P(D\mid \overline{C})$
  • Dann kannst du über das Gegenereignis $P(\overline{D}\mid \overline{C})$ berechnen.
  • Und schließlich kannst du $P(\overline{C} \cap \overline{D})$ berechnen.
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du nun die Pfade, die $\overline{D}$ enthalten addieren.
b)$\blacktriangleright$ Abhängigkeit beweisen
Um nachzuweisen, dass die Ereignisse C und D abhängig sind, betrachte die Bedingung für unabhängige Ereignisse:
$\boldsymbol{P(C) \cdot P(D) = P(C \cap D)}$
Du kennst bereits folgende Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(C) = \frac{2}{3}$
  • $P(\overline{D}) = \frac{1}{2}$
  • $P(C \cap D) = \frac{2}{5}$
Berechne also zunächst $P(D)$ und überprüfe dann die Unabhängigkeit.
In Aufgabenteil a) hast du $P(\overline{D})$ berechnet. Daraus kannst du $P(D)$ mit folgender Formel berechnen:
$\boldsymbol{P(D) = 1- P(\overline{D})}$
Setze nun die Wahrscheinlichkeiten in die Bedingung für Unabhängigkeit ein und überprüfe, ob diese erfüllt ist.
c) $\blacktriangleright$ Unabhängige Ereignisse modellieren
Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert $P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}$ so geändert werden, dass die Ereignisse C und D unabhängig sind. Es soll also gelten:
$\boldsymbol{P(C) \cdot P(D) = P(C \cap D)}$
Der Eintrag $P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}$ soll geändert werden, die Wahrscheinlichkeiten $P(C) = \frac{2}{3}$, $P(C\cap D) = \frac{2}{5}$ und $P(C\cap \overline{D}) = \frac{4}{15}$ bleiben erhalten. Um den gesuchten Wert zu berechnen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Berechne $P(D)$ mit der Unabhängigkeitsbedingung.
  • Berechne $P(\overline{C} \cap D)$.
1. Schritt: Berechne $\boldsymbol{P(D)}$
Beginne mit dem neuen Wert für $P(D)$, nutze die Bedingung für Unabhängigkeit, denn diese soll erfüllt sein. Setze dafür die Wahrscheinlichkeiten, die erhalten bleiben, in die Bedingung ein und löse nach $P(D)$ auf.
2. Schritt: Berechne $\boldsymbol{P(\overline{C} \cap D)}$
Du kennst nun die Wahrscheinlichkeit von D. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt außerdem:
$P(D) = P(C\cap D) + P(\overline{C} \cap D)$
Du kennst $P(D)$ und $P(C\cap D)$, diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in die Formel einsetzen und nach $P(\overline{C}\cap D)$ auflösen.
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Lösungen
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Möglichkeiten für Inhalt der Urne A
Du sollst alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments angeben.
Wenn aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und wieder eine rote Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, bleibt es bei:
2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und wieder eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, bleibt es bei:
2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, gilt für den Inhalt der Urne A:
1 rote Kugel, 4 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, gilt für den Inhalt der Urne A:
3 rote Kugeln, 2 weiße Kugeln
Die Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A sind gegeben durch:
  • 2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
  • 1 rote Kugel, 4 weiße Kugeln
  • 3 rote Kugeln, 2 weiße Kugeln
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Das Ereignis E ist gegeben durch: Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.
Um entscheiden zu können, ob die Wahrscheinlichkeit größer ist, als die des Gegenereignisses, berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E. Für das Ereignis E gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder es wird sowohl aus Urne A, als auch aus Urne B eine rote Kugel entnommen oder es wird aus beiden Urnen eine weiße Kugel entnommen.
$\begin{array}{rcl} P(E) &=&P(\text{A: weiß entnommen, B: weiß entnommen})+P(\text{A: rot entnommen, B: rot entnommen})\\ &=&\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{6} + \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{6}\\ &=&\frac{3}{10} + \frac{4}{15}\\ &=&\frac{17}{30}& \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist dann gegeben durch:
$P(\overline{E}) = 1- P(E) = 1 - \frac{17}{30} = \frac{13}{30}$.
Da $P(E)=\frac{17}{30} > \frac{13}{30} =P(\overline{E})$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E größer als die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Ereignis beschreiben
Eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20 ist gegeben, du sollst nun das Ereignis zu folgender Bernoullikette beschreiben.
$0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}$
Allgemein gilt für eine Bernoullikette mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und $n$ Versuchen:
$\boldsymbol{P (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$
Betrachte also die allgemeine Form und versuche den gegebenen Term in diese Form zu bringen. Beachte dabei, dass das + zwei Ereignisse verkettet. Hier werden also zwei Wahrscheinlichkeiten addiert, die jeweils in die Form des obigen Terms umgewandelt werden können:
$0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19} $$= \binom{20}{20}\cdot 0,9^{20}\cdot (1-0,9)^{20-20} $$+ \binom{20}{19}\cdot 0,9^{19}\cdot (1-0,9)^{20-19}$
Das passende Ereignis ist also 19 oder 20 Treffer.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Obergrenze für Erwartungswert
Du sollst zeigen, dass der Erwartungswert von $X$ nicht größer als 2,2 sein kann. Den Erwartungswert berechnest du folgendermaßen:
$\boldsymbol{E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} i\cdot P(X=i)}$
Für den Erwartungswert der gegebenen Zufallsvariable erhältst du dann:
$E(X) = 0\cdot p_1 + 1\cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3\cdot p_2 $$= \frac{7}{10} + 3\cdot p_2$
Betrachte nun die möglichen Werte für $p_2$. Die Wahrscheinlichkeiten dürfen addiert höchstens 1 ergeben. Für die Obergrenze von $p_2$ musst du also die bekannten Wahrscheinlichkeiten von 1 abziehen. Das bedeutet, dass der größte Wert für $p_2$ gegeben ist durch:
$1-\frac{3}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2}$
Der kleinste Wert ist 0. Da nach der Obergrenze des Erwartungswertes gefragt ist, setzt du die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $p_2$ in den oben berechneten Erwartungswert ein:
$E(X) = \frac{7}{10} + 3\cdot p_2 \leq \frac{7}{10} + 3\cdot \frac{1}{2} $$= \frac{7}{10} + \frac{3}{2} = \frac{22}{10} = 2,2$
Der Erwartungswert ist somit nicht größer als 2,2.

Aufgabengruppe 2

a) $\blacktriangleright$ Möglichkeiten für Inhalt der Urne A
Du sollst alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments angeben.
Wenn aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und wieder eine rote Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, bleibt es bei:
2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und wieder eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, bleibt es bei:
2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine rote Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, gilt für den Inhalt der Urne A:
1 rote Kugel, 4 weiße Kugeln
Wenn aus der Urne A eine weiße Kugel entnommen wird und eine weiße Kugel aus der Urne B in die Urne A gelegt wird, gilt für den Inhalt der Urne A:
3 rote Kugeln, 2 weiße Kugeln
Die Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A sind gegeben durch:
  • 2 rote Kugeln, 3 weiße Kugeln
  • 1 rote Kugel, 4 weiße Kugeln
  • 3 rote Kugeln, 2 weiße Kugeln
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Das Ereignis E ist gegeben durch: Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.
Um entscheiden zu können, ob die Wahrscheinlichkeit größer ist, als die des Gegenereignisses, berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E. Für das Ereignis E gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder es wird sowohl aus Urne A, als auch aus Urne B eine rote Kugel entnommen oder es wird aus beiden Urnen eine weiße Kugel entnommen.
$\begin{array}{rcl} P(E) &=&P(\text{A: weiß entnommen, B: weiß entnommen})+P(\text{A: rot entnommen, B: rot entnommen})\\ &=&\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{6} + \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{6}\\ &=&\frac{3}{10} + \frac{4}{15}\\ &=&\frac{17}{30}& \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist dann gegeben durch:
$P(\overline{E}) = 1- P(E) = 1 - \frac{17}{30} = \frac{13}{30}$.
Da $P(E)=\frac{17}{30} > \frac{13}{30} =P(\overline{E})$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignis E größer als die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen vervollständige das Baumdiagramm.
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(D \mid C)$ gilt:
$\boldsymbol{P(C \cap D) = P(D \mid C) \cdot P(C)}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis berechnest du wie folgt:
$\boldsymbol{P(\overline{C}) = 1- P(C)}$
Du hast folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:
  • $P(D\mid C)=\frac{3}{5}$
  • $P(C \cap D)=\frac{2}{5}$
  • $P(D\mid \overline{C})=\frac{1}{10}$
Berechne jetzt die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
  • Beginne mit der Wahrscheinlichkeit für C, da du $P(D\mid C)$ und $P(C \cap D)$ gegeben hast.
  • $\begin{array}{rcll} P(D \mid C) \cdot P(C) &=&P(C \cap D)&\\ P(C) \cdot \frac{3}{5}&=&\frac{2}{5}&\scriptsize{ \mid\; :\frac{3}{5}}\\ P(C)&=&\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}& \end{array}$
    $\begin{array}{rcll} P(D \mid C) \cdot P(C) &=&P(C \cap D)&\\ P(C) \cdot \frac{3}{5}&=&\frac{2}{5}&\\ P(C)&=&\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}& \end{array}$
  • Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit für $\overline{C}$:
  • $P(\overline{C}) = 1- P(C) = 1- \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
  • Berechne als nächstes $P(\overline{D}\mid C)$:
  • $P(\overline{D}\mid C) = 1- P(D \mid C)$$ = 1- \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
  • Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeit für $P(C\cap \overline{D})$ berechnen:
  • $P(C\cap \overline{D}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$
  • Als nächstes kannst du die Wahrscheinlichkeit $P(D\mid \overline{C})$ berechnen:
  • $\begin{array}{rcll} P(\overline{C}) \cdot P(D\mid \overline{C})&=&P(D\mid \overline{C})&\\ \frac{1}{3} \cdot P(D\mid \overline{C})&=&\frac{1}{10}&\scriptsize{ \mid\;\cdot 3} \\ P(D\mid\overline{C}) &=& \frac{3}{10}& \end{array}$
    $\begin{array}{rcll} P(\overline{C}) \cdot P(D\mid \overline{C})&=&P(D\mid \overline{C})&\\ \frac{1}{3} \cdot P(D\mid \overline{C})&=&\frac{1}{10}& \\ P(D\mid\overline{C}) &=& \frac{3}{10}& \end{array}$
  • Damit ergibt sich:
  • $P(\overline{D}\mid \overline{C}) = 1- \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$
  • Und schließlich ergibt sich für $P(\overline{C} \cap \overline{D})$:
  • $P(\overline{C}\cap\overline{D}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{30}$
Das Baumdiagramm sieht dann folgendermaßen aus:
Stochastik Prüfungsteil A
Stochastik Prüfungsteil A
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du nun die Pfade, die $\overline{D}$ enthalten addieren:
$P(\overline{D}) = \frac{4}{15} + \frac{7}{30}$$ = \frac{8}{30} + \frac{7}{30} = \frac{1}{2}$
Es gilt also $\boldsymbol{P(\overline{D}) = 0,5}$.
b)$\blacktriangleright$ Abhängigkeit beweisen
Um nachzuweisen, dass die Ereignisse C und D abhängig sind, betrachte die Bedingung für unabhängige Ereignisse:
$\boldsymbol{P(C) \cdot P(D) = P(C \cap D)}$
Du kennst bereits folgende Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(C) = \frac{2}{3}$
  • $P(\overline{D}) = \frac{1}{2}$
  • $P(C \cap D) = \frac{2}{5}$
Berechne also zunächst $P(D)$ und überprüfe dann die Unabhängigkeit.
In Aufgabenteil a) hast du $P(\overline{D})$ berechnet. Daraus kannst du $P(D)$ mit folgender Formel berechnen:
$\boldsymbol{P(D) = 1- P(\overline{D})}$
Für die Wahrscheinlichkeit von D erhältst du:
$P(D) = 1- P(\overline{D}) = 1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Setze nun die Wahrscheinlichkeiten in die Bedingung für Unabhängigkeit ein und überprüfe, ob diese erfüllt ist:
$P(C) \cdot P(D) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} $$= \frac{1}{3} $$\ne \frac{2}{5} = P(C \cap D)$
Die Bedingung für Unabhängigkeit ist also verletzt, die Ereignisse C und D sind abhängig.
c) $\blacktriangleright$ Unabhängige Ereignisse modellieren
Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert $P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}$ so geändert werden, dass die Ereignisse C und D unabhängig sind. Es soll also gelten:
$\boldsymbol{P(C) \cdot P(D) = P(C \cap D)}$
Der Eintrag $P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}$ soll geändert werden, die Wahrscheinlichkeiten $P(C) = \frac{2}{3}$, $P(C\cap D) = \frac{2}{5}$ und $P(C\cap \overline{D}) = \frac{4}{15}$ bleiben erhalten. Um den gesuchten Wert zu berechnen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Berechne $P(D)$ mit der Unabhängigkeitsbedingung.
  • Berechne $P(\overline{C} \cap D)$.
1. Schritt: Berechne $\boldsymbol{P(D)}$
Beginne mit dem neuen Wert für $P(D)$, nutze die Bedingung für Unabhängigkeit, denn diese soll erfüllt sein. Setze dafür die Wahrscheinlichkeiten, die erhalten bleiben, in die Bedingung ein und löse nach $P(D)$ auf.
$\begin{array}{rcll} P(C) \cdot P(D)&=&P(C\cap D)&\\ \frac{2}{3} \cdot P(D)&=&\frac{2}{5}&\scriptsize{ \mid\; :\frac{2}{3}}\\ P(D)&=&\frac{3}{5}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(C) \cdot P(D)&=&P(C\cap D)&\\ \frac{2}{3} \cdot P(D)&=&\frac{2}{5}&\\ P(D)&=&\frac{3}{5}& \end{array}$
2. Schritt: Berechne $\boldsymbol{P(\overline{C} \cap D)}$
Du kennst nun die Wahrscheinlichkeit von D. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt außerdem:
$P(D) = P(C\cap D) + P(\overline{C} \cap D)$
Du kennst $P(D)$ und $P(C\cap D)$, diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in die Formel einsetzen und nach $P(\overline{C}\cap D)$ auflösen:
$\begin{array}{rcll} P(D)&=&P(C\cap D) + P(\overline{C} \cap D)& \\ \frac{3}{5}&=&\frac{2}{5}+P(\overline{C}\cap D)&\scriptsize{ \mid\; -\frac{2}{5}}\\ P(\overline{C} \cap D)&=&\frac{1}{5}+& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(D)&=&P(C\cap D) + P(\overline{C} \cap D)& \\ \frac{3}{5}&=&\frac{2}{5}+P(\overline{C}\cap D)&\\ P(\overline{C} \cap D)&=&0& \end{array}$
Der Wert von $\boldsymbol{P(\overline{C} \cap D)}$ muss zu $\frac{1}{5}$ geändert werden, damit die Ereignisse C und D unabhängig sind.
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