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Aufgabengruppe A

Aufgaben
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Aufgabe 1

Aufgabengruppe A
Abb. 1: Kegel
Aufgabengruppe A
Abb. 1: Kegel
(1 P)
Für den Inhalt $A$ der Oberfläche des Kegels gilt die Formel $A=r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot m.$
b)
Gib für die beiden Summanden der Formel, $r^2 \cdot \pi$ und $r \cdot \pi \cdot m$, jeweils die Bedeutung für den Kegel an.
(1 P)
c)
Löse die Formel $A=r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot m$ nach $m$ auf.
(1 P)
d)
Die Größen $r$ und $m$ werden jeweils verdreifacht. Dann
verdreifacht
versechsfacht
verneunfacht
verzwölffacht
verdreifacht
versechsfacht
verneunfacht
verzwölffacht
sich der Inhalt der Oberfläche des Kegels.
(1 P)
#kegel

Aufgabe 2

Aufgabengruppe A
Abb. 2: Baldwin Street
Aufgabengruppe A
Abb. 2: Baldwin Street
(2 P)
#steigung

Aufgabe 3

Im Jahr 2016 betrug der Gesamtwert der Importe Deutschlands $950 \,\text{Mrd.} \,€$, der seiner Exporte $1.200\,\text{Mrd.}\,€.$ Das Diagramm zeigt, wie sich diese Gesamtwerte auf Deutschlands Handelspartner verteilten.
Aufgabengruppe A
Abb. 3: Handelspartner
Aufgabengruppe A
Abb. 3: Handelspartner
Diagramm
a)
Berechne mithilfe der Daten des Diagramms, wie viel Prozent der Importe, die Deutschland aus Europa bezog, auf die EU entfielen.
(2 P)
b)
Gib an, warum $4\,\%$ von $1.200\,\text{Mrd.}\,€$ nicht den Betrag ergeben, um den sich der Wert der Exporte nach Amerika vom Wert der Importe aus Amerika unterscheidet.
(1 P)
c)
Deutschland hatte 2016 etwa $82$ Millionen Einwohner. Wie groß ist in etwa der Wert der deutschen Exporte, der auf einen Einwohner entfiel?
$150\,€$
$1.500\,€$
$15.000\,€$
$150.000\,€$
$150\,€$
$1.500\,€$
$15.000\,€$
$150.000\,€$
(1 P)

Aufgabe 4

In Analogie zu einem Spielwürfel wird ein quaderförmiger Tafelschwamm geworfen.
a)
Beschreibe, wie man experimentell einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Der Tafelschwamm landet bei einmaligem Werfen so, dass eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben liegt.“ ermitteln kann.
(1 P)
Für das einmalige Werfen des abgebildeten Schwamms wurde experimentell folgendes Modell entwickelt:
Elementarereignis„Eine der beiden
größten Seitenflä-
chen oben“
„Eine der beiden
kleinsten Seitenflä-
chen oben“
„Eine der beiden
übrigen Seitenflä-
chen oben“
Wahrscheinlichkeit$0,83$$0,04$$0,13$
ElementarereignisW'keit
„Eine der beiden
größten Seitenflä-
chen oben“
$0,83$
„Eine der beiden
kleinsten Seitenflä-
chen oben“
$0,04$
„Eine der beiden
übrigen Seitenflä-
chen oben“
$0,13$
b)
Begründe anhand der Tabelle, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
(1 P)
c)
Der abgebildete Schwamm wird einmal geworfen. Gib ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit $87\,\%$ beträgt.
(1 P)
d)
Der abgebildete Schwamm wird zweimal geworfen. Kreuze an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Schwamm dabei nie auf eine der beiden größten Seitenflächen fällt.
$1-0,83$
$1-0,83^2$
$(1-0,83)^2$
$0,13^2+0,04^2$
$1-0,83$
$1-0,83^2$
$(1-0,83)^2$
$0,13^2+0,04^2$
(1 P)
#wahrscheinlichkeit#laplaceexperiment

Aufgabe 5

Aufgabengruppe A
Abb. 4: Graph
Aufgabengruppe A
Abb. 4: Graph
(2 P)
b)
Bestimme rechnerisch die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der Gleichung $p(x)=7.$
(2 P)
#parabel

Aufgabe 6

Hannah erlärt Simon, wie man schrittweise die Quadratzahlen berechnen kann.
„Wenn du zum Beispiel $8^2 = 64$ berechnet hast, geht die Berechnung der nächsten Quadratzahl ganz einfach. Du musst nur zur ,alten' Quadratzahl $64$ die ,alte' Basis $8$ und die ,neue' Basis $9$ addieren, also $64+8+9=81$, und das ist das Quadrat von $9.$ “
a)
Wende Hannahs Regel auf ein weiteres Zahlenbeispiel an.
(1 P)
b)
Begründe durch eine allgemeine Rechnung, dass Hannahs Regel für jede „alte“ Basis $n\, (n \in \mathbb{N})$ gilt.
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
[2]
Public Domain.
[3]
© – SchulLV.
[4]
© – SchulLV.
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Richtige Gleichungen bestimmen
Mit dem Satz des Pythagoras folgt für das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck die Gleichung:
$m^2 = h^2 +r^2$
Durch Umformen der Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m^2&=& h^2 +r^2 &\quad \scriptsize \mid\; -r^2\\[5pt] m^2 - r^2&=& h^2 \end{array}$
$h^2 = m^2 - r^2 $
Somit sind die Gleichungen $m^2 = h^2 +r^2$ und $h^2=m^2-r^2$ korrekt.
b)
$\blacktriangleright$  Bedeutung angeben
Der Summand $r^2 \cdot \pi$ gibt den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $r$ an. Dies entspricht dem Flächeninhalt der Grundfläche des Kreiskegels.
Der Summand $r \cdot \pi \cdot m$ gibt den Flächeninhalt der Mantelfläche des Kreiskegels an.
c)
$\blacktriangleright$  Formel auflösen
Für die gegebene Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot m&\quad \scriptsize \mid\;-r^2 \cdot \pi \\[5pt] A -r^2 \cdot \pi &=& r \cdot \pi \cdot m&\quad \scriptsize \mid\;:(r \cdot \pi) \\[5pt] \dfrac{A -r^2 \cdot \pi}{r \cdot \pi} &=& m\\[5pt] \end{array}$
$m = \dotsc $
Somit lautet die umgeformte Formel $m=\dfrac{A -r^2 \cdot \pi}{r \cdot \pi}.$
d)
$\blacktriangleright$  Vergrößerung angeben
Durch Verdreifachung der Größen $r$ und $m$ folgt für den neuen Inhalt der Oberfläche $\widetilde{A}$:
$\begin{array}[t]{rll} \widetilde{A}&=& (3 \cdot r)^2 \cdot \pi + 3 \cdot r \cdot \pi \cdot 3 \cdot m \\[5pt] &=& 9 \cdot r^2 \cdot \pi + 9 \cdot r \cdot \pi \cdot m \\[5pt] &=& 9 \cdot \left(r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot m \right)\\[5pt] &=& 9 \cdot A\\[5pt] \end{array}$
$\widetilde{A}= 9 \cdot A$
Somit verneunfacht sich dadurch der Inhalt der Oberfläche des Kegels.
#satzdespythagoras

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Steigung bestimmen
Durch Einzeichnen eines Steigungsdreiecks in die gegebene Abbildung folgt:
Aufgabengruppe A
Abb. 1: Steigungsdreieck
Aufgabengruppe A
Abb. 1: Steigungsdreieck
Mit der gemessenen Länge und der Höhe des Steigungsdreiecks folgt für die Steigung $m$:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& 0,33 \\[5pt] &\approx& 33\,\% \end{array}$
Somit beträgt die Steigung der Baldwin Street etwa $33\,\%.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Anteil berechnen
Für den Anteil $p_1$ der Importe, die Deutschland aus Europa bezog, gilt mit den gegebenen Werten:
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& 38\,\% + 20\,\% + 12\,\% \\[5pt] &=& 70\,\% \end{array}$
Entsprechend folgt für den Anteil $p_2$ der Importe, die Deutschland nur aus der EU bezog:
$\begin{array}[t]{rll} p_2&=& 38\,\% + 20\,\% \\[5pt] &=& 58\,\% \end{array}$
Für den Anteil $p$ der Importe aus Europa, welche auf die EU entfielen, folgt damit:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{58\,\%}{70\,\%} \\[5pt] &\approx& 0,829 \\[5pt] &\approx& 82,9\,\% \\[5pt] \end{array}$
Somit entfielen etwa $82,9\,\%$ der Importe aus Europa auf die EU.
b)
$\blacktriangleright$  Betrag begründen
Der Gesamtwert der Importe Deutschlands betrug $950\,\text{Mrd.}\,€$ und der seiner Exporte $1.200\,\text{Mrd.}\,€$.
Der Anteil der Importe aus Amerika an dem Gesamtwert der Importe betrug $8\,\%$ und der Anteil der Exporte an dem Gesamtwert der Exporte nach Amerika betrug $12\,\%.$
Somit beziehen sich die Anteile auf unterschiedliche Grundwerte und deshalb unterscheidet sich der Wert der Exporte nach Amerika und der Wert der Importe aus Amerika nicht um $4\,\%$ von $1.200\,\text{Mrd.}\,€.$
c)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Der Gesamtwert der Exporte Deutschlands betrug $1.200\,\text{Mrd.}\,€$. Damit folgt für den Wert $W$ der deutschen Exporte, der auf einen Einwohner entfiel:
$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{1.200\,\text{Mrd.}\,€}{82\,\text{Mio.}}\\[5pt] &=&\dfrac{1.200.000.000.000\,€}{82.000.000}\\[5pt] &\approx& 15.000\,€ \\[5pt] \end{array}$
Dadurch betrug der Wert der deutschen Exporte, welche auf einen Einwohner entfielen, etwa $15.000\,€.$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
Hierfür kann beispielsweise der Schwamm mehrmals hintereinander geworfen werden und dabei gezählt werden wie oft das gegebene Ereignis eintritt. Anschließend kann man die Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis eingetreten ist, durch die Gesamtanzahl der Versuche teilen und dadurch erhält man einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des gegebenen Ereignisses.
b)
$\blacktriangleright$  Zufallsexperiment begründen
Bei einem Laplace-Experiment treten die Elementarereignisse alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. In der Tabelle sieht man, dass die Elementarereignisse hierbei mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und damit handelt es sich bei diesem Zufallsexperiment um kein Laplace-Experiment.
c)
$\blacktriangleright$  Ereignis angeben
In der Tabelle ist gegeben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,13$ eine der beiden übrigen Seitenflächen des Schwammes oben landen. Das Gegenereignis tritt somit mit der Gegenwahrscheinlichkeit $1-0,13=0,87$ ein.
Ein mögliches Ereignis lautet somit: „Keine der beiden übrigen Seitenflächen liegen oben.“
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Der Schwamm fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,83$ auf eine der beiden größten Seitenflächen. Somit folgt mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass der Schwamm mit der Wahrscheinlichkeit von $(1-0,83)$ nicht auf eine der beiden größten Seitenflächen fällt.
Mit der Pfadregel folgt, dass der Schwamm bei zweimaligem Werfen mit einer Wahrscheinlichkeit von $(1-0,83)^2$ nie auf eine der beiden größten Seitenflächen fällt.
#gegenwahrscheinlichkeit#gegenereignis

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Anhand der gegebenen Abbildung folgen für die Lösungen der Gleichung $p(x)=7$ die Werte:
$x_1 \approx 0$ und $x_2 \approx 2,7$
Der $x$-Wert des Parabelscheitels $x_S$ liegt hierbei genau in der Mitte der Lösungen der Gleichung $p(x)=7$. Für den $x$-Wert des Parabelscheitels folgt somit mit dem Mittelwert der Lösungen:
$x_S = \dfrac{x_2-x_1}{2}$
b)
$\blacktriangleright$  Lösungen bestimmen
Mit der Gleichung $p(x)=7$ und der gegebenen Funktionsgleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& 7 \\[5pt] 3x^2 -8x+7 &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] 3x^2 -8x &=& 0 \\[5pt] x \cdot (3x -8) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$x \cdot (3x -8) = 0 $
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot x_2 -8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] 3 \cdot x_2 &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x_2 &=& \dfrac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ x_2 = \dfrac{8}{3} $
Dadurch lauten die Lösungen der gegebenen Gleichung $x_1=0$ und $x_2=\dfrac{8}{3}.$
#mittelwert

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Regel anwenden
Es gilt $3^2=9$ und weiter gilt $9+3+4=16$. Zudem gilt $4^2=16$ und damit ist Hannahs Regel auch für dieses Zahlenbeispiel erfüllt.
b)
$\blacktriangleright$  Regel begründen
Für die Quadratzahl der „alten“ Basis gilt $n^2$ und dadurch muss entsprechend laut der Regel von Hannah für die Quadratzahl der „neuen“ Basis die Gleichung $n^2+n+(n+1)=(n+1)^2$ gelten. Somit muss überprüft werden, ob diese Gleichung eine wahre Aussage liefert. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} n^2+n+(n+1)&=& (n+1)^2 \\[5pt] n^2+2n+1&=& n^2+2n+1 \\[5pt] \end{array}$
$ n^2+2n+1 = \dotsc$
Damit ist die Gleichung für jede „alte“ Basis $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ erfüllt.
#quadratzahl
Bildnachweise [nach oben]
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