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Gruppe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben ist die Gerade $g_1$ mit der Funktionsgleichung $y=0,5x+1$.
a)  Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $A$ von $g_1$ mit der $x$-Achse.
b)  Die Gerade $g_2$ verläuft durch den Punkt $P(1\mid 3)$ und ist parallel zu $g_1$.
Bestimme die Gleichung von $g_2$ rechnerisch.
c)  Die Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $Q(2\mid 4)$ und schneidet $g_1$ senkrecht.
Ermittle die Gleichung $g_3$ rechnerisch.
d)  Zeichne die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
e)  Die Gerade $g_1$ schneidet die Gerade $g_4:y=-1,5x+7$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $T$.
f)  Auf der Geraden $g_5$ liegen die Punkte $B(-4\mid 2)$ und $C(0,5\mid -7)$.
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_5$ rechnerisch.
g)  Berechne die Größe des spitzen Winkels $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt.
(9P)

Aufgabe 2

Für die folgende Skizze gilt: $g_1$, $g_2$ und $g_3$ sind zueinander parallel.
Schreibe die folgenden Gleichungen auf dein Lösungsblatt und ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ so, dass die Streckenverhältnisse richtig wiedergegeben werden.
a)  $\dfrac{d+\mathrm{e}}{h}=\dfrac{\mathrm{e}}{[\,\,\,]}$
b)  $\dfrac{a}{[\,\,\,]}=\dfrac{[\,\,\,]}{\mathrm{e}}$
c)  $\dfrac{m}{h}=\dfrac{c}{[\,\,\,]}$
Gruppe 1
Gruppe 1
(3P)

Aufgabe 3

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{4x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}=1-\dfrac{x}{3x+7}$
(4P)

Aufgabe 4

Mobilfunkanbieter A hatte vor drei Jahren $1.600.000$ Kunden und wollte seine Kundenzahl jährlich um $5\,\%$ erhöhen.
a)  Berechne, wie viele Kunden der Anbieter in diesem Fall heute hätte.
b)  Tatsächlich stieg die Zahl der Kunden nur im ersten Jahr um $5\,\%$.
In den folgenden zwei Jahren nahm die Zahl sogar um jährlich $1\,\%$ ab.
Berechne die Zahl der Kunden nach diesen 3 Jahren.
c)  Bei Mobilfunkanbieter B wächst die Zahl der Kunden jährlich um $6\,\%$.
Berechne, nach wie vielen Jahren sich bei gleichbleibendem Wachstum die Zahl der Kunden verdoppeln wird.
d)  Ermittle rechnerisch, wie hoch das durchschnittliche jährliche Wachstum bei Mobilfunkanbieter B sein müsste, um die Zahl von $800.000$ Kunden in drei Jahren auf 1 Million zu erhöhen.
(5P)

Aufgabe 5

Aus einem Stück Bronze mit einer Masse von $181,7\,\text{kg}$ wird ein halbkugelförmiges Becken mit einem Außendurchmesser von $7,5\,\text{dm}$ gegossen (siehe Skizze).
$1\,\text{dm}^3$ Bronze wiegt $8,8\,\text{kg}$.
Berechne die Wandstärke $s$ des Beckens.
Gruppe 1
Gruppe 1
(4P)

Aufgabe 6

Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1(0,5\mid 4)$.
a)  Ermittle rechnerisch die Normalform der Parabel $p_1$.
b)  Die Parabel $p_2:y=-x^2+4x+5$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $N_1$ und $N_2$. Berechne die Koordinaten dieser beiden Nullstellen.
c)  Ermittle rechnerisch den Scheitelpunkt $S_2$ von $p_2$.
d)  Die Gerade $g:y=2x-3$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $P$ und $Q$.
Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
e)  Zeichne die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
f)  Gib die Scheitelpunktform einer beliebigen nach unten geöffneten Normalparabel $p_3$ an, die keinen Schnittpunkt mit der Parabel $p_1$ hat.
(6P)

Aufgabe 7

Ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ durch „=“ oder „$\neq$“ und schreibe die vollständigen Ausdrücke auf dein Lösungsblatt. Es gilt immer: $x\neq 0$.
a)  $2x\sqrt{6x^2}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
b)  $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
(2P)

Aufgabe 8

In einem Losbehälter befinden sich $60$ Lose, davon sind $15$ Gewinnlose (G), der Rest sind Nieten (N). Frau Stenzel zieht zwei Lose und öffnet sie nacheinander.
a)  Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
b)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei den zwei gezogenen Losen genau ein Gewinn dabei ist.
(3P)

Aufgabe 9

Im abgebildeten Dreieck $ABC$ (siehe Skizze) gilt folgendes Verhältnis:
$\overline{EB}:\overline{BC}=1:3$
Gruppe 1
Gruppe 1
a)  Berechne die Größe des Winkels $\epsilon$.
b)  Berechne den Umfang des Dreiecks $AEC$.
Hinweis: Es ist sinnvoll, Zwischen- und Endergebnisse auf zwei Dezimalstellen zu runden.
(5P)

Aufgabe 10

Lisas Aquarium ist doppelt so lang wie hoch (siehe Skizze).
Gruppe 1
Gruppe 1
Lisa füllt das Aquarium bis $10\,\text{cm}$ unter den Rand mit Wasser und braucht dafür $72$ Liter. Ermittle rechnerisch die Länge $a$ und die Höhe $c$ des Aquariums.
(4P)

(45P)
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ a) Schnittpunkt bestimmen
Gegeben ist dir die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$, von welcher du den Schnittpunkt mit der $x$-Achse bestimmen sollst.
Der Schnittpunkt eines Schaubildes einer Funktion mit der $x$-Achse besitzt die $y$-Koordinate $0$. Folglich kannst du zur Bestimmung des Schnittpunktes von $g_1$ mit der $x$-Achse die Funktionsgleichung von $g_1$ mt $0$ gleichsetzen und anschließend nach $x$ auflösen.
$\blacktriangleright$ b) Gleichung von $\boldsymbol{g_2}$ bestimmen
Nun ist dir die Gerade $g_2$ gegeben, die parallel zu $g_1$ verläuft. Des Weiteren verläuft die Gerade $g_2$ durch den Punkt $P(1 \mid 3)$. Du sollst nun die Gleichung der Geraden $g_2$ rechnerisch bestimmen.
Da $g_2$ parallel zu $g_1$ verläuft, weißt du, dass die beiden Geraden die selbe Steigung haben. Das heißt:
$m_1=m_2=0,5$ und $g_2: y=0,5\cdot x+c$
Da du weiterhin die Koordinaten von $P$ kennst und $P$ auf $g_2$ liegt, kannst du zur Bestimmung von $c$ gerade diesen Punkt in die Geradengleichung von $g_2$ einsetzen.
$\blacktriangleright$ c) Gleichung von $\boldsymbol{g_3}$ bestimmen
Die Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $Q(2\mid 4)$ und schneidet $g_1$ senkrecht. Du sollst nun die Gleichung von $g_3$ bestimmen.
Zunächst kannst du dir die Steigung der Geraden $g_3$ herleiten. Da $g_3$ senkrecht durch $g_1$ verläuft, gilt für die Steigung von $g_3:$
$m_3=-\frac{1}{m1}=-\frac{1}{0,5}=-2$
Da du die Koordinaten des Punktes $Q$ auf $g_3$ kennst, kannst du den $y$-Achsenabschnitt wie im vorherigen Aufgabenteil durch Einsetzen von $Q$ in die Geradengleichung berechnen.
$\blacktriangleright$ d) Geraden zeichnen
Nun sollst du die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ mit Längeneinheit $1\,\text{cm}$ in ein Koordinatensystem eintragen. Verwende dazu alle Angaben die du zuvor über die Geraden gesammelt hast.
$\blacktriangleright$ e) Schnittpunkt bestimmen
Nun betrachten wir die Gerade $g_4$. Ziel dieses Aufgabenteils ist es, die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_1$ und der Geraden $g_4$ zu bestimmmen.
Da die Funktionen zu den Geraden $g_1$ und $g_4$ an einer Schnittstelle den gleichen Funktionswert annehmen, kannst du für dessen Berechnung die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen, um die $x$-Koordinate des Schnittpunktes zu erhalten.
Die $y$-Koordinate erhältst du, wenn du den gefundenen $x$-Wert in eine der beiden FUnktionsgleichungen einsetzt.
$\blacktriangleright$ f) Funktionsgleichung bestimmen
Hier sind dir die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ gegeben, welche auf der Geraden $g_5$ liegen sollen. Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Geraden $g_5$ zu berechnen.
Um die Geradengleichung aufzustellen, musst du die Steigung $m_5$ und den $y$-Achsenabschnitt $c_5$ der Geradaen $g_5$ berechnen. Dafür setzt du zunächst die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Geradengleichung $g_5: y=m_5\cdot x+c_5$ ein und erhältst:
$\text{I}\quad\,2=-4\cdot m_5+c_5 \;\quad\quad\text{und}\quad\quad\;\text{II}\quad\, -7=0,5\cdot m_5+c_5 $
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit $2$ unbekannten Variablen, welches du am einfachsten mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
$\blacktriangleright$ g) Winkel berechnen
Nun sollst du die Größe des spitzen Winkels $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt, berechnen. Dabei ist es hilfreich, auf die Tangensfunktion zurückzugreifen.
Bei dem spitzen Winkel, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt, handelt es sich um den Steigungswinkel. Da du die Steigung $m_1=0,5$ kennst, kannst du den Winkel $\alpha$ über die Tangensfunktion im Steigungsdreieck berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan{\alpha}&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\ \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Streckenverhältnisse angeben
Betrachte die nebenstehende Skizze, wobei die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ parallel verlaufen. Du sollst nun mit Hilfe der Strahlensätze die fehlenden Strecken in den Gleichungen $(a)$, $(b)$ und $(c)$ bestimmen.
Da in diesem Aufgabenteil $2$ sich schneidende Geraden von parallelen Geraden geschnitten werden, kannst du die Strahlensätze anwenden:
Gruppe 1
Gruppe 1
  • $a)$: Verwende den 2. Strahlensatz.
  • $b)$: Hier hilft dir der 1. Strahlensatz.
  • $c)$: Benutze wieder den 2. Strahlensatz.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben
Gegeben ist dir die Gleichung
$\dfrac{4x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}=1-\dfrac{x}{3x+7}$
von der du Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben sollst.
Die Definitionsmenge einer Gleichung gibt an, welche Funktionswerte in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Kritische Punkte entstehen bei der gegebenen Gleichung, falls einer der drei Nenner $0$ wird, da nicht durch $0$ geteilt werden darf.
Die Lösungsmenge einer Gleichung gibt an, welche Funktionswerte überhaupt vorkommen können.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Anzahl der Kunden berechnen
Du kennst die Anzahl der Kunden $K_0$ eines Mobilfunkanbieteres von vor $3$ Jahren und die damalige, jährliche Wachstumsprognose von $g=5\%$. Nun sollst du unter Berücksichtigung der gegebenen Prognose die Anzahl der Kunden $K_3$, die der Anbieter heute hätte, berechnen. Dabei kannst du auf die Zinseszinsformel zurückgreifen.
Da du das jährliche Wachstum $g=5\%$ sowie den Zeitraum, den die Berechnung abdecken soll, kennst, kannst du die Anzahl der Kunden direkt über die Zinseszinsformel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot(1+g)^3 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Tatsächliche Anzahl der Kunden berechnen
In diesem Aufgabenteil ist dir erneut die Anzahl der Kunden $K_0$ des Mobilfunkanbieters von vor drei Jahren gegeben, sowie die tatsächlichen Wachstumsdaten $g_1=5\%$ und $g_2=g_3=-1\%$. Du sollst nun die tatsächliche Anzahl der Kunden berechnen. Dafür kannst du erneut auf die Zinseszinsformel zurückgreifen.
Da du in diesem Aufgabenteil zwei unterschiedliche Wachstumsraten hast, musst du diese in der Zinseszinsformel nacheinander berücksichtigen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot (1+g_1)\cdot (1+g_2)\cdot (1+g_3) &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zeitraum bestimmen
Hinzu kommt der Mobilfunkanbieter $B$, dessen jährliches Kundenwachstum $6\,\%$ beträgt. Unter Verwendung der Zinseszinsformel kannst du nun den Zeitraum, bis der Kundenstamm sich verdoppelt hat, berechnen.
Da die genaue Kundenanzahl nicht bekannt ist, kannst du für die Anzahl der Kunden heute $K_0$ und die Anzahl der Kunden zum Zeitpunkt $n$ $K_n$ relative Zahlen verwenden. Das heißt:
$K_0=1$ und $K_n=2$
Die Zinseszinsformel liefert dir nun:
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=&K_0\cdot (1+0,06)^n &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Jährliches Wachstum bestimmen
Ermittle rechnerisch, wie hoch das durchschnittliche jährliche Wachstum bei Mobilfunkanbieter $B$ sein müsste, um die Zahl von $800.000$ Kunden in drei Jahren auf $1$ Million zu erhöhen. Dabei kannst du erneut die Zinseszinsformel benutzen.
Wie in den Aufgabenteilen zuvor kannst du die gegebenen Daten $K_0=800.000$, $K_3=1.000.000$ und $n=3$ in die Zinseszinsformel einsetzen und nach $g$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot(1+g)^3 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Wandstärke berechnen
Aus einem Stück Bronze mit einer Masse von $181,7\,\text{kg}$ wird ein halbkugelförmiges Becken mit einem Außendurchmesser von $7,5\,\text{dm}$ gegossen (siehe Skizze). $1\,\text{dm}^3$ Bronze wiegt $8,8\,\text{kg}$. Du sollst nun die Wandstärke $s$ des Beckens berechnen. Berechne dazu zuerst das Volumen $V_K$ des verwendeteten Kupfers und bilde anschließend die Differenz der Volumina der Halbkugel $V_{außen}$, welche durch den äußeren Rand des Beckens begrenzt wird und derer, die durch den inneren Rand begrenzt wird ($V_{innen}$).
Gruppe 1
Gruppe 1
Zuerst solltest du das Volumen des Beckens berechnen, was du direkt tun kannst, da du sowohl das Gewicht $g$ des Kupfers sowie die dessen Dichte $d$ direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen kannst:
$V=\dfrac{g}{d}=\dfrac{181,7\,\text{kg}}{8,8\frac{kg}{\text{dm}^3}}=20,65\,\text{dm}^3$
Nun kannst du die Volumina $V_{innen}$ und $V_{außen}$ der beiden Halbkugeln berechnen:
$V_{Halbkugel}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$
Da die Differenz der beiden Halbkugeln genau dem Volumen des verwendeten Kupfers entspricht, kannst du nun den Radius $r$ der inneren Halbkugel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{außen}-V_{innen}&=&V &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Die Wandstärke $s$ des Beckens erhältst du, wenn du die Radien der äußeren und der innneren Halbkugel voneinander subtrahierst:
$s=r_{außen}-r_{innnen}$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Normalform bestimmen
Gegeben ist dir der Scheitelpunkt $S_1$ der nach unten geöffnete Normalparabel $p_1$. Gesucht ist die Normalform der Parabel, die du mittels Scheitelpunktform bestimmen kannst. Die Scheitelpunktform einer Parabel sieht wiefolgt aus:
Scheitelpunktform: $y=a\cdot(x-s_x)^2+s_y$
wobei $s_x$ und $s_y$ die $x$ beziehungsweise $y$-Koordinate des Scheitelpunktes darstellen.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
In diesem Aufgabenteil ist dir eine weitere Parabel $p_2$ gegeben, von der du die Nullstellen $N_1$ und $N_2$ bestimmen sollst.
Die Nullstellen einer Funktion mit der $x$-Achse kannst du berechnen, indem du die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzt und nach $x$ auflöst:
$-x^2+4\cdot x+5 = 0$
Diese kannst du nun zuerst in die Standardform bringen und anschließend mit der $p$-$q$-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt berechnen
Nun sollst du den Scheitelpunkt $S_2$ von $p_2$ berechnen. Benutze dabei die Methode der quadratischen Ergänzung . Um quadratisch Ergänzen zu können, klammerst du zunächst $-1$ von der Funktionsgleichung aus:
$y=-x^2+4\cdot x+5=-(x^2-4\cdot x-5)$
Aus der Tatsache, dass $-4\cdot x$ in der Klammer steht, kannst du ableiten, dass wir quadratisch ergänzen, um anschließend die $\color{#87c800}{\boldsymbol{2.}}$ binomische Formel anzuwenden:
2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Zu der Parabel ist nun die Gerade $g$ gegeben, welche $p_2$ in den Punkten $P$ und $Q$ schneidet. Deine Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Parabel $p_2$ mit der Geraden $g$ zu berechnen.
Die $x$-Werte der Schnittpunkte zwischen Geraden und Parabel kannst du berechnen, indem du die jeweiligen Funktionsgleichungen gleichsetzt und anschließend die entstehende Gleichung nach $x$ auflöst.
$\blacktriangleright$ Scheitelpunktform angeben
Im letzten Aufgabenteil sollst du die Scheitelpunktform einer beliebigen nach unten geöffneten Normalparabel $p_3$ angeben, die keinen Schnittpunkt mit $p_1$ hat.
Eine solche Parabel kannst du ganz einfach angeben, indem du $p_1$ vertikal verschiebst, das heißt, die $x$-Koordinate bleibt gleich.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Gleichheit überprüfen
Ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ durch "$=$" oder "$\neq$" und schreibe die vollständigen Ausdrücke auf dein Lösungsblatt. Forme die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so um, dass sie übereinstimmen. Es gilt immer: $x \neq 0$.
  • $2x\sqrt{6x^2}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}\quad$ - Versuche teilweise die Wurzel zu ziehen und fasse zusammen.
  • $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}\quad$ - Kürze und schreibe gegebenenfalls negative Exponenten um.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
In einem Losbehälter befinden sich $60$ Lose, wovon 15 Gewinnlose (G) und der Rest Nieten (N) sind. Nun werden $2$ Lose ohne Zurücklegen gezogen. Aufgabe ist es, das zugehörige Baumdiagramm zu zeichnen. Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment , bei dem $2$ mal nacheinander ohne Zurücklegen Lose gezogen werden.
Beachte: Im zweiten Schritt sind nur noch $59$ Lose übrig, da bereits im ersten Schritt ein Los ohne Zurücklegen gezogen wurde.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist in diesem Aufgabenteil die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zwei gezogenen Losen genau ein Gewinn dabei ist. Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit kannst du die beiden Pfadregeln verwenden.
Es gibt $2$ Ereignisse, bei denen genau ein Gewinn gezogen wird:
  1. $P(\{\text{es wird im ersten Zug ein Gewinn gezogen}\})$
  2. $P(\{\text{es wird im ersten Zug ein Gewinn gezogen}\})$
Nun musst du nur noch die Warscheinlichkeit für beide dieser Ereignisse addieren, um die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung von genau einem Gewinn zu errechnen. Hilfreich ist dir dabei die 2. Pfadregel .

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Gegeben ist dir das rechtwinklige Dreieck $ABC$ (siehe Skizze). Du kennst die Länge der Strecke $\overline{AE}$. Zudem weißt du, dass Folgendes gilt: $\overline{EB}:\overline{BC}=1:3$. Aufgabe ist es, die Größe des Winkels $\epsilon$ berechnen. Dazu kannst du die Tangensfunktion benutzen.
Da du weißt, in welchem Verhältnis die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{EB}$ zueinander stehen, kannst du den Winkel $\epsilon$ über die Tangensfunktion bestimmen:
Gruppe 1
Gruppe 1
$\begin{array}[t]{rll} \tan{\epsilon}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EB}} &\quad \scriptsize \;\overline{BC}=3 \cdot \overline{EB} \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen:
Nun sollst du den Umfang des Dreiecks $AEC$ berechnen. Dazu kannst du zunächst über die Tangensfunktion die Länge der Strecke $\overline{EB}$ bestimmen und anschließend über den Satz des Pythagoras die fehlenden Seitenlängen und den Umfang berechnen.
Da du die Länge der Strecke $\overline{AE}$ und das Verhältnis von $\overline{BC}$ zu $\overline{EB}$ kennst, kannst du die Länge der Strecke $\overline{BE}$ über die Tangensfunktion bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan{35°}&=&\dfrac{\overline{BC}}{12+\overline{EB}} &\quad \scriptsize \overline{BC}=3\cdot\overline{EB} \\ \end{array}$
Bevor du den Umfang des Dreiecks $AEC$ berechnen kannst, musst du noch die Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke $ABC$ und $EBC$ berechnen. Dazu kannst du den Satz des Pythagoras anwenden:
$l_{Hypotenuse}=\sqrt{l_{Ankathete}^2+l_{Gegenkathete}^2}$

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Höhe berechnen
Lisas Aquarium ist doppelt so lang wie hoch (siehe Skizze). Lisa füllt das Aquarium bis $10\,\text{cm}$ unter den Rand mit Wasser und braucht dafür $72$ Liter. Ermittle rechnerisch die Länge $a$ und die Höhe $c$ des Aquariums.
Zunächst kannst du dir die allgemeine Volumenformel für ein Aquarium mit rechteckiger Grundfläche mit Seitenlängen $a$ und $b$, in welches genau $72$ Liter passen, herleiten.
Gruppe 1
Gruppe 1
Da wir in der Maßeinheit $\text{cm}$ rechnen werden, werden aus den $72$ Litern, die genau $72\,\text{dm}^3$ enstprechen, $72.000\,\text{cm}^3$:
$V=a\cdot b\cdot (c-10)=72.000\,\text{cm}^3$
Da $a=2c$ und $b=30\,\text{cm}$ gilt:
$V=2c\cdot 30\,\text{cm} \cdot (c-10)=72.000\,\text{cm}^3$
Diese Gleichung musst du nun mit Hilfe der $p$-$q$-Formel nach $c$ auflösen, um die Höhe des Aquariums zu erhalten.
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ a) Schnittpunkt bestimmen
Gegeben ist dir die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$, von welcher du den Schnittpunkt mit der $x$-Achse bestimmen sollst.
Der Schnittpunkt eines Schaubildes einer Funktion mit der $x$-Achse besitzt die $y$-Koordinate $0$. Folglich kannst du zur Bestimmung des Schnittpunktes von $g_1$ mit der $x$-Achse die Funktionsgleichung von $g_1$ mt $0$ gleichsetzen und anschließend nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0 \\[5pt] 0,5\cdot x +1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1\\[5pt] 0,5\cdot x&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:0,5\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
Folglich gilt für den Schnittpunkt $A(-2\mid 0)$.
$\blacktriangleright$ b) Gleichung von $\boldsymbol{g_2}$ bestimmen
Nun ist dir die Gerade $g_2$ gegeben, die parallel zu $g_1$ verläuft. Des Weiteren verläuft die Gerade $g_2$ durch den Punkt $P(1 \mid 3)$. Du sollst nun die Gleichung der Geraden $g_2$ rechnerisch bestimmen.
Da $g_2$ parallel zu $g_1$ verläuft, weißt du, dass die beiden Geraden die selbe Steigung haben. Das heißt:
$m_1=m_2=0,5$ und $g_2: y=0,5\cdot x+c$
Da du weiterhin die Koordinaten von $P$ kennst und $P$ auf $g_2$ liegt, kannst du zur Bestimmung von $c$ gerade diesen Punkt in die Geradengleichung von $g_2$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,5\cdot x+c &\quad \scriptsize P(1\mid 3)\,\text{einsetzen} \\[5pt] 3&=&0,5\cdot 1+ c &\quad \scriptsize \mid\;-0,5 \\[5pt] c&=&2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das heißt, $g_2$ besitzt die Gleichung $y=0,5\cdot x+2,5$.
$\blacktriangleright$ c) Gleichung von $\boldsymbol{g_3}$ bestimmen
Die Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $Q(2\mid 4)$ und schneidet $g_1$ senkrecht. Du sollst nun die Gleichung von $g_3$ bestimmen.
Zunächst kannst du dir die Steigung der Geraden $g_3$ herleiten. Da $g_3$ senkrecht durch $g_1$ verläuft, gilt für die Steigung von $g_3:$
$m_3=-\frac{1}{m1}=-\frac{1}{0,5}=-2$
Da du die Koordinaten des Punktes $Q$ auf $g_3$ kennst, kannst du den $y$-Achsenabschnitt wie im vorherigen Aufgabenteil durch Einsetzen von $Q$ in die Geradengleichung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-2\cdot x +c &\quad \scriptsize Q(2\mid4)\,\text{einsetzen} \\[5pt] 4&=&-2\cdot 2 + c &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 8&=&c \end{array}$
Das heißt, $g_3$ besitzt die Gleichung: $y=-2\cdot x+8$.
$\blacktriangleright$ d) Geraden zeichnen
Nun sollst du die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ mit Längeneinheit $1\,\text{cm}$ in ein Koordinatensystem eintragen:
Gruppe 1
Gruppe 1
$\blacktriangleright$ e) Schnittpunkt bestimmen
Nun betrachten wir die Gerade $g_4$. Ziel dieses Aufgabenteils ist es, die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_1$ und der Geraden $g_4$ zu bestimmmen.
Da die Funktionen zu den Geraden $g_1$ und $g_4$ an einer Schnittstelle den gleichen Funktionswert annehmen, kannst du für dessen Berechnung die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen, um die $x$-Koordinate des Schnittpunktes zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5\cdot x+1&=&-1,5\cdot x +7 &\quad \scriptsize \mid\;+1,5\cdot x-1 \\[5pt] 2\cdot x&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Das heißt, die Geraden schneiden sich an der Stelle $x=3$. Nun musst du noch die $y$-Koordinaten des Schnittpunktes berechnen. Dies kannst du tun, indem du $x=3$ in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:
$y=0,5\cdot x +1=0,5\cdot 3 +1=2,5$
Folglich besitzt der Schnittpunkt $T$ die Koordinaten $T(3\mid 2,5)$.
$\blacktriangleright$ f) Funktionsgleichung bestimmen
Hier sind dir die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ gegeben, welche auf der Geraden $g_5$ liegen sollen. Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Geraden $g_5$ zu berechnen.
Um die Geradengleichung aufzustellen, musst du die Steigung $m_5$ und den $y$-Achsenabschnitt $c_5$ der Geradaen $g_5$ berechnen. Dafür setzt du zunächst die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Geradengleichung $g_5: y=m_5\cdot x+c_5$ ein und erhältst:
$\text{I}\quad\,2=-4\cdot m_5+c_5 \;\quad\quad\text{und}\quad\quad\;\text{II}\quad\, -7=0,5\cdot m_5+c_5 $
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit $2$ unbekannten Variablen, welches du am einfachsten mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst. Dazu löst du zuerst die Gleichung $\text{I}$ nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&-4\cdot m_5+c_5 &\quad \scriptsize \mid\;+4\cdot m_5 \\[5pt] c_5&=&2+4\cdot m_5\\ \end{array}$
Dies kannst du nun in Gleichung $\text{II}$ einsetzen und $m$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} -7&=& 0,5\cdot m_5+c_5 &\quad \scriptsize c=2+4\cdot m_5\,\text{einsetzen} \\[5pt] -7&=& 0,5\cdot m_5+2+4\cdot m_5 \\[5pt] -7&=& 4,5\cdot m_5+2 &\quad \scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -9&=& 4,5\cdot m_5 &\quad \scriptsize\mid\; :4,5 \\[5pt] m_5&=&-2\\ \end{array}$
Nun kannst du $m_5=-2$ in Gleichung $\text{I}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&-4\cdot m_5+c_5 &\quad \scriptsize m_5=-2\,\text{einsetzen} \\[5pt] 2&=&-4\cdot (-2)+c_5 &\quad \scriptsize \mid\;-8\\[5pt] c_5&=&-6\\ \end{array}$
Somit besitzt $g_5$ die Gleichung $y=-2\cdot x -6$.
$\blacktriangleright$ g) Winkel berechnen
Nun sollst du die Größe des spitzen Winkels $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt, berechnen. Dabei ist es hilfreich, auf die Tangensfunktion zurückzugreifen.
Bei dem spitzen Winkel, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt, handelt es sich um den Steigungswinkel. Da du die Steigung $m_1=0,5$ kennst, kannst du den Winkel $\alpha$ über die Tangensfunktion im Steigungsdreieck berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan{\alpha}&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan{\alpha}&=&\dfrac{0,5\,\text{cm}}{1\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan{\alpha}&=&0,5 &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&26,57°\\ \end{array}$
Der Steigungswinkel ist folglich $26,57°$ groß.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Streckenverhältnisse angeben
Betrachte die nebenstehende Skizze, wobei die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ parallel verlaufen. Du sollst nun mit Hilfe der Strahlensätze die fehlenden Strecken in den Gleichungen $(a)$, $(b)$ und $(c)$ bestimmen:
Gruppe 1
Gruppe 1
Da in diesem Aufgabenteil $2$ sich schneidende Geraden von parallelen Geraden geschnitten werden, kannst du die Strahlensätze anwenden:
  • $a)$: $\dfrac{d+\mathrm{e}}{h}=\dfrac{\mathrm{e}}{[\,\,\,]}$
    Mit Hilfe des 2. Strahlensatzes kannst du die gesuchte Strecke ergänzen:
    $\dfrac{d+\mathrm{e}}{h}=\dfrac{\mathrm{e}}{\color{#87c800}{\boldsymbol{k}}}$
  • $b)$: $\dfrac{a}{[\,\,\,]}=\dfrac{[\,\,\,]}{\mathrm{e}}$
    Diesen Aufgabenteil kannst du mit Hilfe des 1. Strahlensatz lösen:
    $\dfrac{a}{\color{#87c800}{\boldsymbol{b}}}= \dfrac{\color{#87c800}{\boldsymbol{d}}}{\mathrm{e}}$
  • $c)$: $\dfrac{m}{h}=\dfrac{c}{[\,\,\,]}$
    Mit Hilfe des 2. Strahlensatzes kannst du die fehlende Strecke ergänzen:
    $\dfrac{m}{h}=\dfrac{c}{\color{#87c800}{\boldsymbol{b+a}}}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben
Gegeben ist dir die Gleichung
$\dfrac{4x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}=1-\dfrac{x}{3x+7}$
von der du Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben sollst.
Die Definitionsmenge einer Gleichung gibt an, welche Funktionswerte in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Kritische Punkte entstehen bei der gegebenen Gleichung, falls einer der drei Nenner $0$ wird, da nicht durch $0$ geteilt werden darf:
$3\cdot x + 7 = 0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{7}{3}$
$6+2\cdot x=0 \Longleftrightarrow x=-3$
Das heißt für die Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-3;-\dfrac{7}{3}\right\}$
Nun kannst du die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und der $\boldsymbol{\color{#87c800}{p}}$-$\boldsymbol{\color{#87c800}{q}}$ -Formel nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}&=& 1-\dfrac{x}{3x+7} &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{x}{3x+7} \\[5pt] \dfrac{5x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(3x+7)\cdot(6+2x) \\[5pt] 5x\cdot(6+2x)+4\cdot(3x+7)&=&(3x+7)\cdot(6+2x) &\quad \scriptsize \\[5pt] 10x^2+30x+12x+28&=&6x^2+18x+14x+42 &\quad \scriptsize \\[5pt] 10x^2+42x+28&=&6x^2+32x+42 &\quad \scriptsize \mid\;-(6x^2+32x+42) \\[5pt] 4x^2+10x-14&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] x^2+2,5x-3,5&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die entstandene quadratische Gleichung kannst du nun mit der $p$-$q$-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Für unseren Fall heißt das:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{\frac{5}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\frac{5}{2}}{2}\right)^2-\left(-\dfrac{7}{2}\right)} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}+\dfrac{7}{2}}\\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{81}{16}}\\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{5}{4}\pm\dfrac{9}{4} \\[5pt] x_1&=&1 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{7}{2} \\ \end{array}$
Folglich gilt für die Lösungsmenge:
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{7}{2};\;1\right\}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Anzahl der Kunden berechnen
Du kennst die Anzahl der Kunden $K_0$ eines Mobilfunkanbieteres von vor $3$ Jahren und die damalige, jährliche Wachstumsprognose von $g=5\%$. Nun sollst du unter Berücksichtigung der gegebenen Prognose die Anzahl der Kunden $K_3$, die der Anbieter heute hätte, berechnen. Dabei kannst du auf die Zinseszinsformel zurückgreifen.
Da du das jährliche Wachstum $g=5\%$ sowie den Zeitraum, den die Berechnung abdecken soll, kennst, kannst du die Anzahl der Kunden direkt über die Zinseszinsformel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot(1+g)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] K_3&=&1.600.000 \cdot (1+0,05)^3 \\[5pt] K_3&=&1.852.200 \end{array}$
Bei einer jährlichen Wachstumsprognose von $5\,\%$ hätte die Firma heute $1.852.200$ Kunden.
$\blacktriangleright$ Tatsächliche Anzahl der Kunden berechnen
In diesem Aufgabenteil ist dir erneut die Anzahl der Kunden $K_0$ des Mobilfunkanbieters von vor drei Jahren gegeben, sowie die tatsächlichen Wachstumsdaten $g_1=5\%$ und $g_2=g_3=-1\%$. Du sollst nun die tatsächliche Anzahl der Kunden berechnen. Dafür kannst du erneut auf die Zinseszinsformel zurückgreifen.
Da du in diesem Aufgabenteil zwei unterschiedliche Wachstumsraten hast, musst du diese in der Zinseszinsformel nacheinander berücksichtigen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot (1+g_1)\cdot (1+g_2)\cdot (1+g_3) &\quad \scriptsize \\[5pt] K_3&=&1.600.000\cdot (1+0,05)\cdot (1+(-0,01))\cdot (1+(-0,01)) \\[5pt] K_3&=&1.646.568 \end{array}$
Die tatsächliche Anzahl der Kunden beträgt $1.646.568$.
$\blacktriangleright$ Zeitraum bestimmen
Hinzu kommt der Mobilfunkanbieter $B$, dessen jährliches Kundenwachstum $6\,\%$ beträgt. Unter Verwendung der Zinseszinsformel kannst du nun den Zeitraum, bis der Kundenstamm sich verdoppelt hat, berechnen.
Da die genaue Kundenanzahl nicht bekannt ist, kannst du für die Anzahl der Kunden heute $K_0$ und die Anzahl der Kunden zum Zeitpunkt $n$ $K_n$ relative Zahlen verwenden. Das heißt:
$K_0=1$ und $K_n=2$
Die Zinseszinsformel liefert dir nun:
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=&K_0\cdot (1+0,06)^n &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=&1\cdot(1+0,06)^n &\quad \scriptsize\mid\;\log \\[5pt] \log{(2)}&=&\log{((1+0,06)^n)} \\[5pt] \log{(2)}&=&n\cdot\log{(1+0,06)} &\quad \scriptsize\mid\;:\log{(1+0,06)} \\[5pt] n&=&\dfrac{\log{(2)}}{\log{(1+0,06)}}\\[5pt] n&=&11.90\\ \end{array}$
Nach circa $12$ Jahren hat der Mobilfunkanbieter also seinen Kundenstamm verdoppelt.
$\blacktriangleright$ Jährliches Wachstum bestimmen
Ermittle rechnerisch, wie hoch das durchschnittliche jährliche Wachstum bei Mobilfunkanbieter $B$ sein müsste, um die Zahl von $800.000$ Kunden in drei Jahren auf $1$ Million zu erhöhen. Dabei kannst du erneut die Zinseszinsformel benutzen.
Wie in den Aufgabenteilen zuvor kannst du die gegebenen Daten $K_0=800.000$, $K_3=1.000.000$ und $n=3$ in die Zinseszinsformel einsetzen und nach $g$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_0\cdot(1+g)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1.000.000&=& 800.000\cdot (1+g)^3 &\quad \scriptsize \mid\;:800.000 \\[5pt] \dfrac{1.000.000}{800.000}&=&(1+g)^3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{} \\[5pt] \sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}&=&1+g &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] g&=&\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}-1 \\[5pt] g&=&0,077 \end{array}$
Das jährliche Wachstum müsste daher $7,7\%$ betragen.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Wandstärke berechnen
Aus einem Stück Bronze mit einer Masse von $181,7\,\text{kg}$ wird ein halbkugelförmiges Becken mit einem Außendurchmesser von $7,5\,\text{dm}$ gegossen (siehe Skizze). $1\,\text{dm}^3$ Bronze wiegt $8,8\,\text{kg}$. Du sollst nun die Wandstärke $s$ des Beckens berechnen. Berechne dazu zuerst das Volumen $V_K$ des verwendeteten Kupfers und bilde anschließend die Differenz der Volumina der Halbkugel $V_{außen}$, welche durch den äußeren Rand des Beckens begrenzt wird und derer, die durch den inneren Rand begrenzt wird ($V_{innen}$).
Gruppe 1
Gruppe 1
Zuerst solltest du das Volumen des Beckens berechnen, was du direkt tun kannst, da du sowohl das Gewicht $g$ des Kupfers sowie die dessen Dichte $d$ direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen kannst:
$V=\dfrac{g}{d}=\dfrac{181,7\,\text{kg}}{8,8\frac{kg}{\text{dm}^3}}=20,65\,\text{dm}^3$
Nun kannst du die Volumina $V_{innen}$ und $V_{außen}$ der beiden Halbkugeln berechnen:
$V_{Halbkugel}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$
Der Radius $r$ der äußeren Halbkugel entspricht gerade der Hälfte des Außendurchmessers, das heißt: $r=\dfrac{7,5}{2}\,\text{dm}=3,75\,\text{cm}$. Für $V_{außen}$ bedeutet das:
$\begin{array}[t]{rll} V_{außen}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{außen}&=&\dfrac{4}{6} \cdot \pi \cdot (3,75\,\text{dm})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{außen}&=&110,45\,\text{dm}^3 \end{array}$
Da der Radius $r$ der inneren Halbkugel unbekannt ist, gilt für deren Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{innen}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{innen}&=& \dfrac{4}{6}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] V_{innen}&=&\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r^3\\[5pt] \end{array}$
Nun kennst du das Volumen $V$ des verwendeten Kupfers, das Volumen der äußeren Halbkugel $V_{außen}$ und das Volumen der inneren Halbkugel $V_{innen}$ in Abhängigkeit von $r$.
Da die Differenz der beiden Halbkugeln genau dem Volumen des verwendeten Kupfers entspricht, kannst du nun den Radius $r$ der inneren Halbkugel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{außen}-V_{innen}&=&V &\quad \scriptsize \\[5pt] 110,45\,\text{dm}^3-\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r^3&=&20,65\,\text{dm}^3 &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r^3-20,65\,\text{dm}^3 \\[5pt] \dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r^3&=&110,45\,\text{dm}^3-20,65\,\text{dm}^3\\[5pt] \dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r^3&=&89,8\,\text{dm}^3&\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{2\cdot\pi}\\[5pt] r^3&=&89,8\cdot\dfrac{3}{2\cdot\pi} \,\text{dm}^3 &\quad\scriptsize\\[5pt] r^3&=&42,88 \,\text{dm}^3 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[3]{}\\[5pt] r&=&\sqrt[3]{42,88 \,\text{dm}^3} \\[5pt] r&=&3,5\,\text{dm} \end{array}$
Die Wandstärke $s$ des Beckens erhältst du, wenn du die Radien der äußeren und der innneren Halbkugel voneinander subtrahierst:
$s=r_{außen}-r_{innnen}=3,75\,\text{dm}-3,5\,\text{dm}=0,25\,\text{dm}$
Die Wandstärke des Beckens beträgt also $0,25\,\text{dm}$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Normalform bestimmen
Gegeben ist dir der Scheitelpunkt $S_1$ der nach unten geöffnete Normalparabel $p_1$. Gesucht ist die Normalform der Parabel, die du mittels Scheitelpunktform bestimmen kannst.
Die Scheitelpunktform einer Parabel sieht wiefolgt aus:
Scheitelpunktform: $y=a\cdot(x-s_x)^2+s_y$
wobei $s_x$ und $s_y$ die $x$ beziehungsweise $y$-Koordinate des Scheitelpunktes darstellen. Da es sich in der Aufgabe um eine Normalparabel handelt, weißt du, dass $a=1$ ist. Folglich gilt für die Normalform:
$y=(x-0,5)^2+4$
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
In diesem Aufgabenteil ist dir eine weitere Parabel $p_2$ gegeben, von der du die Nullstellen $N_1$ und $N_2$ bestimmen sollst.
Die Nullstellen einer Funktion mit der $x$-Achse kannst du berechnen, indem du die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzt und nach $x$ auflöst:
$-x^2+4\cdot x+5 = 0$
Diese kannst du nun zuerst in die Standardform bringen und anschließend mit der $p$-$q$-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+4\cdot x+5 &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x^2-4\cdot x -5&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm\sqrt{9} \\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm 3 \\[5pt] x_1&=&5 \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$
Das heißt, für die Koordinaten der beiden Schnittpunkte gilt: $N_1(5\mid 0)$ und $N_2(-1\mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt berechnen
Nun sollst du den Scheitelpunkt $S_2$ von $p_2$ berechnen. Benutze dabei die Methode der quadratischen Ergänzung . Um quadratisch Ergänzen zu können, klammerst du zunächst $-1$ von der Funktionsgleichung aus:
$y=-x^2+4\cdot x+5=-(x^2-4\cdot x-5)$
Aus der Tatsache, dass $-4\cdot x$ in der Klammer steht, kannst du ableiten, dass wir quadratisch ergänzen, um anschließend die $\color{#87c800}{\boldsymbol{2.}}$ binomische Formel anzuwenden:
2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Es ist klar, dass es sich bei dem $a$ in der oben genannten Formel in diesem Aufgabenteil um $x$ handelt und bei $-2ab$ um $-4\cdot x$. Das heißt: $b=2$.
Folglich sieht die 2. binomische Formel wie folgt aus:
$(x-2)^2=x^2-4\cdot x+4$
Nun musst du $y=-(x^2-4\cdot x-5)$ quadratisch ergänzen, um die 2. Binomische Formel zu erhalten. Dies kannst du tun, indem du jeweils die gleiche Zahl zu dem Term dazu addierst und wieder subtrahierst. In diesem Fall heißt das, dass du $9$ dazuaddieren und subtrahieren musst, da $-5+9=4=b^2$ die 2. binomische Formel komplettiert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-(x^2-4\cdot x-5) &\quad \scriptsize \text{quadratisch ergänzen} \\[5pt] y&=&-(x^2-4\cdot x-5+9-9) \\[5pt] y&=&-(\boldsymbol{x^2-4\cdot x+4}-9) &\quad \scriptsize 2.\text{ Binomische Formel}\\[5pt] y&=&-((x-2)^2-9) \\[5pt] y&=&-(x-2)^2+9 \\[5pt] \end{array}$
Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $S_2(2\mid 9)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Zu der Parabel ist nun die Gerade $g$ gegeben, welche $p_2$ in den Punkten $P$ und $Q$ schneidet. Deine Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Parabel $p_2$ mit der Geraden $g$ zu berechnen.
Die $x$-Werte der Schnittpunkte zwischen Geraden und Parabel kannst du berechnen, indem du die jeweiligen Funktionsgleichungen gleichsetzt und anschließend die entstehende Gleichung nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} y_{\text{Gerade}}&=&y_{\text{Parabel}} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2x-3&=&-x^2+4x+5 &\quad \scriptsize \mid\;-2x+3 \\[5pt] -x^2+4x+5-2x+3&=&0 \\[5pt] -x^2+2x+8&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x^2-2x-8&=&0 &\quad\scriptsize p\text{-}q\text{-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-8)}\\[5pt] x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{9} \\[5pt] x_1&=&4 \\[5pt] x_2&=&-2 \\ \end{array}$
Nun kennst du die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte. Um die $y$-Koordinaten zu berechnen, musst du nur die $x$-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Geraden oder Parabel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x-3 &\quad \scriptsize x_1=4\,\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&2\cdot 4-3 \\[5pt] y&=&5 \\ \end{array}$
Der Schnittpunkt $P$ besitzt die Koordinaten $P(4\mid 5)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x-3 &\quad \scriptsize x_2=-2\,\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&2\cdot(-2)-3 \\[5pt] y&=&-7\\ \end{array}$
Der Schnittpunkt $Q$ besitzt die Koordinaten $Q(-2\mid -7)$.
$\blacktriangleright$ Schaubilder zeichnen
Nun sollst du die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$ einzeichnen.
Gruppe 1
Gruppe 1
$\blacktriangleright$ Scheitelpunktform angeben
Im letzten Aufgabenteil sollst du die Scheitelpunktform einer beliebigen nach unten geöffneten Normalparabel $p_3$ angeben, die keinen Schnittpunkt mit $p_1$ hat.
Eine solche Parabel kannst du ganz einfach angeben, indem du $p_1$ vertikal verschiebst, das heißt, die $x$-Koordinate bleibt gleich. Beispiel:
$y=-(x-0,5)^2+5$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Gleichheit überprüfen
Ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ durch "$=$" oder "$\neq$" und schreibe die vollständigen Ausdrücke auf dein Lösungsblatt. Forme die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so um, dass sie übereinstimmen. Es gilt immer: $x \neq 0$.
  • $2x\sqrt{6x^2}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
    Durch teilweises Wurzelziehen erhältst du:
    $2x\sqrt{6x^2}=2x^2\sqrt{6}$
    Das heißt:
    $2x\sqrt{6x^2}=2x^2\sqrt{6}\color{#87c800}{\boldsymbol{\neq}}x\sqrt{3}$
  • $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
    Durch Kürzen erhältst du:
    $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{1}{x^{-1}}\cdot \sqrt{3}=x \cdot \sqrt{3}$
    Das heißt es gilt:
    $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3} \color{#87c800}{\boldsymbol{=}} x\sqrt{3}$

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
In einem Losbehälter befinden sich $60$ Lose, wovon 15 Gewinnlose (G) und der Rest Nieten (N) sind. Nun werden $2$ Lose ohne Zurücklegen gezogen. Aufgabe ist es, das zugehörige Baumdiagramm zu zeichnen. Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment , bei dem $2$ mal nacheinander ohne Zurücklegen Lose gezogen werden.
Gruppe 1
Gruppe 1
Im zweiten Schritt sind hier nur noch $59$ Lose übrig, da bereits im ersten Schritt ein Los ohne Zurücklegen gezogen wurde.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist in diesem Aufgabenteil die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zwei gezogenen Losen genau ein Gewinn dabei ist. Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit kannst du die beiden Pfadregeln verwenden.
Es gibt $2$ Ereignisse, bei denen genau ein Gewinn gezogen wird:
  1. $P(\{\text{es wird im ersten Zug ein Gewinn gezogen}\})=\frac{15}{60}\cdot \dfrac{45}{59}=0,19$ ( 1. Pfadregel )
  2. $P(\{\text{es wird im ersten Zug ein Gewinn gezogen}\})=\frac{45}{60}\cdot \dfrac{15}{59}=0,19$ ( 1. Pfadregel )
Nun musst du nur noch die Warscheinlichkeit für beide dieser Ereignisse addieren, um die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung von genau einem Gewinn zu errechnen. Hilfreich ist dir dabei die 2. Pfadregel :
$P(\{\text{es wird genau ein Gewinn gezogen}\})=0,19+0,19=0,38 $
Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung von genau einem Gewinn beträgt $38\%$.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Gegeben ist dir das rechtwinklige Dreieck $ABC$ (siehe Skizze). Du kennst die Länge der Strecke $\overline{AE}$. Zudem weißt du, dass Folgendes gilt: $\overline{EB}:\overline{BC}=1:3$. Aufgabe ist es, die Größe des Winkels $\epsilon$ berechnen. Dazu kannst du die Tangensfunktion benutzen.
Gruppe 1
Gruppe 1
Da du weißt, in welchem Verhältnis die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{EB}$ zueinander stehen, kannst du den Winkel $\epsilon$ über die Tangensfunktion bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan{\epsilon}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EB}} &\quad \scriptsize \;\overline{BC}=3 \cdot \overline{EB} \\[5pt] \tan{\epsilon}&=&\dfrac{3\overline{EB}}{1\overline{EB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan{\epsilon}&=&\dfrac{3}{1} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \epsilon&=&\tan^{-1}(3) \\[5pt] \epsilon&=&71,57°\\ \end{array}$
Der Winkel $\epsilon$ ist also $71,57°$ groß.
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen:
Nun sollst du den Umfang des Dreiecks $AEC$ berechnen. Dazu kannst du zunächst über die Tangensfunktion die Länge der Strecke $\overline{EB}$ bestimmen und anschließend über den Satz des Pythagoras die fehlenden Seitenlängen und den Umfang berechnen.
Da du die Länge der Strecke $\overline{AE}$ und das Verhältnis von $\overline{BC}$ zu $\overline{EB}$ kennst, kannst du die Länge der Strecke $\overline{BE}$ über die Tangensfunktion bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan{35°}&=&\dfrac{\overline{BC}}{12+\overline{EB}} &\quad \scriptsize \overline{BC}=3\cdot\overline{EB} \\[5pt] \tan{35°}&=&\dfrac{3\cdot\overline{EB}}{12+\overline{EB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (12+\overline{EB}) \\[5pt] \tan{35°}\cdot(12+\overline{EB})&=& 3\cdot\overline{EB} \\[5pt] \tan{35°}\cdot 12+\tan{35°}\cdot\overline{EB}&=& 3\cdot\overline{EB} &\quad \scriptsize \mid\;-\tan{35°}\cdot\overline{EB} \\[5pt] 8,40&=&-\tan{35°}\cdot\overline{EB}+3\cdot\overline{EB} &\quad \scriptsize \overline{EB}\,\text{ausklammern} \\[5pt] 8,40&=&\overline{EB}\cdot(-\tan{35°}+3) &\quad\scriptsize\mid\;:(3-\tan{35°})\\[5pt] \dfrac{8,4}{3-\tan{35°}}&=&\overline{EB}\\[5pt] \overline{EB}&=&3,65\,\text{cm} \end{array}$
Das heißt, $\overline{EB}$ ist $3,65\,\text{cm}$ lang und $\overline{BC}$ ist $3\cdot 3,65\,\text{cm}=10,95\,\text{cm}$ lang.
Bevor du den Umfang des Dreiecks $AEC$ berechnen kannst, musst du noch die Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke $ABC$ und $EBC$ berechnen. Dazu kannst du den Satz des Pythagoras anwenden:
$l_{Hypotenuse}=\sqrt{l_{Ankathete}^2+l_{Gegenkathete}^2}$
$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{\left(\overline{AE}+\overline{EB}\right)^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{(15,65\,\text{cm})^2+(10,95\,\text{cm})^2}=19,10\,\text{cm}$
$\overline{EC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{(3,65\,\text{cm})^2+(10,95\,\text{cm})^2}=11,54\,\text{cm}$
Der Umfang des Dreiecks $AEC$ setzt sich aus der Summe der Seitenlängen $\overline{AE}$, $\overline{EC}$ und $\overline{AC}$ zusammen:
$U=\overline{AE}+\overline{EC}+\overline{AC}=(12+11,54+19,10)\,\text{cm}=42,64\,\text{cm}$
Der Umfang des Dreiecks beträgt also $42,64\,\text{cm}$.

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Höhe berechnen
Lisas Aquarium ist doppelt so lang wie hoch (siehe Skizze). Lisa füllt das Aquarium bis $10\,\text{cm}$ unter den Rand mit Wasser und braucht dafür $72$ Liter. Ermittle rechnerisch die Länge $a$ und die Höhe $c$ des Aquariums.
Gruppe 1
Gruppe 1
Zunächst kannst du dir die allgemeine Volumenformel für ein Aquarium mit rechteckiger Grundfläche mit Seitenlängen $a$ und $b$, in welches genau $72$ Liter passen, herleiten. Da wir in der Maßeinheit $\text{cm}$ rechnen werden, werden aus den $72$ Litern, die genau $72\,\text{dm}^3$ enstprechen, $72.000\,\text{cm}^3$:
$V=a\cdot b\cdot (c-10)=72.000\,\text{cm}^3$
Da $a=2c$ und $b=30\,\text{cm}$ gilt:
$V=2c\cdot 30\,\text{cm} \cdot (c-10)=72.000\,\text{cm}^3$
Diese Gleichung musst du nun mit Hilfe der $p$-$q$-Formel nach $c$ auflösen, um die Höhe des Aquariums zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 2c\cdot 30 \cdot (c-10)&=&72.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2c^2\cdot 30-20c\cdot 30&=&72.000 &\quad \scriptsize \mid\;-72.000 \\[5pt] 60c^2 - 600c- 72.000&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:60 \\[5pt] c^2-10c-1.200&=&0 &\quad\scriptsize p\text{-}q\text{-Formel}\\[5pt] c_{1,2}&=&-\dfrac{-10}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-(-1.200)}\\[5pt] c_{1,2}&=&5\pm\sqrt{1.225}\\[5pt] c_{1,2}&=&5\pm 35\\[5pt] c_1&=&40\\[5pt] c_2&=&-30\\ \end{array}$
Da $c_2<0$, $c$ als Höhe des Aquariums jedoch positiv sein muss, gilt: $c_1=c=40\,\text{cm}$ und $a=2c=80\,\text{cm}$.
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