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Aufgabe 1

Gegeben ist die Gerade $g_1$ mit der Funktionsgleichung $y=0,5x+1$.
a)  Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $A$ von $g_1$ mit der $x$-Achse.
b)  Die Gerade $g_2$ verläuft durch den Punkt $P(1\mid 3)$ und ist parallel zu $g_1$.
Bestimme die Gleichung von $g_2$ rechnerisch.
c)  Die Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $Q(2\mid 4)$ und schneidet $g_1$ senkrecht.
Ermittle die Gleichung $g_3$ rechnerisch.
d)  Zeichne die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
e)  Die Gerade $g_1$ schneidet die Gerade $g_4:y=-1,5x+7$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $T$.
f)  Auf der Geraden $g_5$ liegen die Punkte $B(-4\mid 2)$ und $C(0,5\mid -7)$.
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_5$ rechnerisch.
g)  Berechne die Größe des spitzen Winkels $\alpha$, den die Gerade $g_1$ mit der $x$-Achse einschließt.
(9P)

Aufgabe 2

Für die folgende Skizze gilt: $g_1$, $g_2$ und $g_3$ sind zueinander parallel.
Schreibe die folgenden Gleichungen auf dein Lösungsblatt und ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ so, dass die Streckenverhältnisse richtig wiedergegeben werden.
a)  $\dfrac{d+\mathrm{e}}{h}=\dfrac{\mathrm{e}}{[\,\,\,]}$
b)  $\dfrac{a}{[\,\,\,]}=\dfrac{[\,\,\,]}{\mathrm{e}}$
c)  $\dfrac{m}{h}=\dfrac{c}{[\,\,\,]}$
(3P)

Aufgabe 3

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{4x}{3x+7}+\dfrac{4}{6+2x}=1-\dfrac{x}{3x+7}$
(4P)

Aufgabe 4

Mobilfunkanbieter A hatte vor drei Jahren $1.600.000$ Kunden und wollte seine Kundenzahl jährlich um $5\,\%$ erhöhen.
a)  Berechne, wie viele Kunden der Anbieter in diesem Fall heute hätte.
b)  Tatsächlich stieg die Zahl der Kunden nur im ersten Jahr um $5\,\%$.
In den folgenden zwei Jahren nahm die Zahl sogar um jährlich $1\,\%$ ab.
Berechne die Zahl der Kunden nach diesen 3 Jahren.
c)  Bei Mobilfunkanbieter B wächst die Zahl der Kunden jährlich um $6\,\%$.
Berechne, nach wie vielen Jahren sich bei gleichbleibendem Wachstum die Zahl der Kunden verdoppeln wird.
d)  Ermittle rechnerisch, wie hoch das durchschnittliche jährliche Wachstum bei Mobilfunkanbieter B sein müsste, um die Zahl von $800.000$ Kunden in drei Jahren auf 1 Million zu erhöhen.
(5P)

Aufgabe 5

Aus einem Stück Bronze mit einer Masse von $181,7\,\text{kg}$ wird ein halbkugelförmiges Becken mit einem Außendurchmesser von $7,5\,\text{dm}$ gegossen (siehe Skizze).
$1\,\text{dm}^3$ Bronze wiegt $8,8\,\text{kg}$.
Berechne die Wandstärke $s$ des Beckens.
(4P)

Aufgabe 6

Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1(0,5\mid 4)$.
a)  Ermittle rechnerisch die Normalform der Parabel $p_1$.
b)  Die Parabel $p_2:y=-x^2+4x+5$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $N_1$ und $N_2$. Berechne die Koordinaten dieser beiden Nullstellen.
c)  Ermittle rechnerisch den Scheitelpunkt $S_2$ von $p_2$.
d)  Die Gerade $g:y=2x-3$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $P$ und $Q$.
Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
e)  Zeichne die Parabeln $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
f)  Gib die Scheitelpunktform einer beliebigen nach unten geöffneten Normalparabel $p_3$ an, die keinen Schnittpunkt mit der Parabel $p_1$ hat.
(6P)

Aufgabe 7

Ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ durch „=“ oder „$\neq$“ und schreibe die vollständigen Ausdrücke auf dein Lösungsblatt. Es gilt immer: $x\neq 0$.
a)  $2x\sqrt{6x^2}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
b)  $\dfrac{x^{-2}}{x^{-3}}\cdot \sqrt{3}\,\,[\,\,\,]\,x\sqrt{3}$
(2P)

Aufgabe 8

In einem Losbehälter befinden sich $60$ Lose, davon sind $15$ Gewinnlose (G), der Rest sind Nieten (N). Frau Stenzel zieht zwei Lose und öffnet sie nacheinander.
a)  Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
b)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei den zwei gezogenen Losen genau ein Gewinn dabei ist.
(3P)

Aufgabe 9

Im abgebildeten Dreieck $ABC$ (siehe Skizze) gilt folgendes Verhältnis:
$\overline{EB}:\overline{BC}=1:3$
a)  Berechne die Größe des Winkels $\epsilon$.
b)  Berechne den Umfang des Dreiecks $AEC$.
Hinweis: Es ist sinnvoll, Zwischen- und Endergebnisse auf zwei Dezimalstellen zu runden.
(5P)

Aufgabe 10

Lisas Aquarium ist doppelt so lang wie hoch (siehe Skizze).
Lisa füllt das Aquarium bis $10\,\text{cm}$ unter den Rand mit Wasser und braucht dafür $72$ Liter. Ermittle rechnerisch die Länge $a$ und die Höhe $c$ des Aquariums.
(4P)

(45P)
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