LV-Prüfung 1

$\blacktriangleright$  Bisherige Kosten berechnen Selina hat bisher Orangenlimonade für je $85\,\text{Cent}$ und Schokoriegel für je $65\,\text{Cent}$ gekauft. Von beidem hat sie $14$ Stück gekauft. Multipliziere die Kosten für Limonade und Schokoriegel jeweils mit $14$ und rechne deine Ergebnisse zusammen. Das Ergebnis wird in $€$ angegeben. Rechne eine Angabe von $\text{Cent}$ in $€$ um, indem du durch $100$ teilst. $0,85\,€\cdot14=11,9\,€$ $0,65\,€\cdot14=9,1\,€$ $11,9\,€+9,1\,€=21\,€$ Selina hat bisher $21\,€$ ausgegeben.

$\blacktriangleright$  Wechselgeld berechnen Berechne zuerst die Kosten für die $14$ Grillwürste, wenn ein Würstchen $60\,\text{Cent}$ kostet. $0,60\,€ \cdot 14=8,4\,€$ Die Grillwürste kosten $8,4\,€$. Selinas Vater hat mit einem $10\,€$-Schein bezahlt. Ziehe von den $10\,€$ die Kosten der Würste ab, um die Menge des Wechselgelds zu berechnen. $10\,€-8,4\,€=1,6\,€$ Selinas Vater bekommt $1,6\,€$ zurück.

$\blacktriangleright$  Größe eines Pizzastücks berechnen Teile die Breite der Pizza durch $5$, um die Breite eines Pizzastücks zu erhalten. $\dfrac{50\,\text{cm}}{5}=10\,\text{cm}$ Ein Stück Pizza ist $10\,\text{cm}$ breit. Teile die Höhe der Pizza durch $3$, um die Breite eines Pizzastücks zu erhalten. $\dfrac{33\,\text{cm}}{3}=11\,\text{cm}$ Ein Stück Pizza ist $11\,\text{cm}$ hoch. Die Maße eines Stückes Pizza lauten demnach $10\,\text{cm}\,\times\,11\,\text{cm}$.

$\blacktriangleright$  Wasser in der Regentonne berechnen Die Regentonne kann maximal $120\,\text{l}$ Wasser fassen. Sie ist derzeit zu $\frac{1}{3}$ gefüllt. Multipliziere das maximale Fassungsvermögen mit dem gefüllten Anteil, um die Menge an Wasser in der Regentonne zu bestimmen. $120\,\text{l}\cdot\frac{1}{3}=40\,\text{l}$ In der Regentonne sind noch $40\,\text{l}$.

$\blacktriangleright$  Gewicht der Mutter berechnen Ein Katzenbaby wiegt $\frac{1}{50}$ des Gewichts der Mutter. Um das Gewicht der Mutter zu berechnen, musst du das Gewicht eines Katzenbabys mit $50$ multiplizieren. $50\cdot90\,\text{g}=4.500\,\text{g}\mathrel{\widehat{=}}4,5\text{kg}$ Die Katzenmutter wiegt $4,5\,\text{kg}$.

$\blacktriangleright$  Teil der Gesamtstrecke berechnen Um den Anteil an der Gesamtstrecke zu berechnen, den Marius bereits zurückgelegt hat, teile die von ihm zurückgelegte Strecke durch die Gesamtstrecke. $\dfrac{32\,\text{km}}{48\text{km}}=\dfrac{2}{3}$ Marius hat bereits $\frac{2}{3}$ der Strecke zurückgelegt.

$\blacktriangleright$  Rechenvorteile nutzen Überlege dir bei der folgenden Rechnung, welche Werte du zuerst miteinander verrechnest, um dir das Rechnen möglichst einfach zu machen. Wenn du $32,7$ und $27,3$ zuerst miteinander addierst, dann erhältst du ein ganzzahliges Ergebnis ohne Komma. $32,7+90+27,3=60+90=150$

$\blacktriangleright$  Rechenvorteile nutzen Nutze das Distributivgesetz, um die $4$ auszuklammern. Anschließend kannst du $1,2$ und $5,8$ addieren und den Term ausrechnen. $\begin{array}[t]{rll} &4\cdot1,2+5,8\cdot4 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Distributivgesetz} \\[5pt] =&4\cdot(1,2+5,8)\\[5pt] =&4\cdot7\\[5pt] =&28\\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$  Zeitspanne berechnen Lies die Rundenzeiten von Lewis Hamilton und Nico Hülkenberg aus der Tabelle. Um die Zeitspanne zwischen den beiden Rundenzeiten zu berechnen, ziehe die kürzere Rundenzeit von der längeren Rundenzeit ab. Rechne vorher die Rundenzeiten in eine gemeinsame Einheit um. Eine Minute entsprechen dabei $60$ Sekunden. Die dritte Zahlenangabe sind Zehntelsekunden. $1\,:\,35\,:\,74=95,74\,\text{s}$ $1\,:\,34\,:\,56=94,56\,\text{s}$ $95,74\,\text{s}-94,56\,\text{s}=1,18\,\text{s}$ Zwischen den Rundenzeiten von Lewis Hamilton und Nico Hülkenberg liegt eine Zeitspanne von $1,18\,\text{s}$.

$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen Um zu überprüfen, ob die Aussage stimmt, musst du die Durchschnittgeschwindigkeit von Lewis Hamilton berechnen. Dazu musst du die Länge der Strecke durch die Rundenzeit teilen. Um eine Angabe in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu erhalten, musst du die Zeitangabe der Runde in $\text{h}$ umrechnen. Eine Stunde hat $60 \,\text{min}$. $95,74\,\text{s}\mathrel{\widehat{=}}1,60\,\text{min}\mathrel{\widehat{=}}0,027\,\text{h}$ $\dfrac{6\,\text{km}}{0,027\,\text{h}}\approx222\frac{\text{km}}{\text{h}}$ Lewis Hamilton ist im Durchschnitt ungefähr $222\frac{\text{km}}{\text{h}}$ gefahren. Die Aussage ist falsch.

$\blacktriangleright$  Formel für Zelle E7 angeben In der Spalte E stehen die mittleren Zeiten der Schüler. Für die Berechnung von E7 wurde bezug auf die Zellen B7, C7 und D7 genommen. Überlege dir eine Formel für die mittlere Zeit, in der die angegebenen Zellen verwendet werden. $\text{Formel}=\dfrac{(\text{B7}+\text{C7}+\text{D7})}{3}$

$\blacktriangleright$  Sinnvolle Angabe machen Die Zeiten in Spalte E wurden bis auf sechs Nachkommastellen angegeben. Überlege dir, in welcher Einheit die Angaben sind und wie viele Nachkommastellen realistisch erscheinen. Vielleicht helfen dir auch die anderen Spalten der Tabelle. Zwei Nachkommastellen erscheinen sinnvoll. Sechs Nachkommastellen sind zu viel. Die Angaben sind im Sekundenbereich und ein Zeitunterschied von $0,00X$ Sekunden ist kaum vorstellbar oder gewichtig. Die anderen Zeiten in der Tabelle wurden ebenfalls mit zwei Nachkommastellen angegeben.

$\blacktriangleright$  Argumente für Marie Nutze die Tabelle und vergleiche die Rundenzeiten und die mittlere Zeit von Nils und Marie, um ein passendes Argument zu finden, das die Behauptung der Mädchen unterstützt. Nils ist die schnellste Runde gefahren. Seine mittlere Zeit ist jedoch höher als die von Marie, weil seine beiden anderen Rundenzeiten viel höher als seine schnellste Runde waren. Marie ist durchgehend schnelle Rundenzeiten um die $7$ Sekunden gefahren. Ihre mittlere Zeit ist dadurch niedriger als die von Nils. Sie hat damit eine stabilere Leistung erbracht. Deshalb könnte der Lehrer ihr die bessere Note geben.

$\blacktriangleright$  Anzahl der Dreier berechnen In der Tabelle siehst du, wie oft Melanie jede Zahl gewürfelt hat. Insgesamt hat sie $250$-mal gewürfelt. Addiere die Anzahl der anderen Würfelergebnisse und ziehe sie von den $250$-mal ab. $32+28+31+30+29+27+31=208$ $208$-mal wurde ein anderes Ergebnis gewürfelt. Bilde nun die Differenz deines Ergebnisses und den $250$-mal. $250-208=42$ Die $3$ wurde $42$ mal gewürfelt.

$\blacktriangleright$  Zahlen zuordnen Der Würfel soll nur die Zahlen von $1$ bis $4$ zeigen. Überlege dir anhand der anderen Angaben zu den Häufigkeiten der Zahlen, wie oft diese auf dem Würfel vorkommen müssen und zeichne sie auf dem Netzbild des Oktaeders ein. Wenn die Zahl $2$ bei jedem zweiten Würfeln oben liegen soll, dann muss jede zweite Seite des Würfels eine $2$ zeigen. Also müssen $\frac{8}{2}=4$ Seiten eine $2$ haben. Die Zahl $4$ soll zweimal vorkommen. Damit bleiben noch $8-4-2=2$ Seiten, die unbestimmt sind. Da die Zahlen $1$ und $3$ noch nicht auf dem Würfel vorkommen, müssen sie jeweils eine der verbleibenden Seiten einnehmen. Die Position der Zahlen auf dem Netz ist nicht ausschlaggebend. Das Oktaedernetz kann so aussehen.

$\blacktriangleright$  Variable definieren Überlege dir, welche der angegebenen Möglichkeiten die richtige ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, hier also z.B. einen gechippten Tiger zu fangen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst. Die Variable $x$ steht für die Anzahl aller Tiger im Nationalpark.

$\blacktriangleright$  Anzahl aller Tiger berechnen Um die Anzahl aller Tiger zu berechnen, musst du zuerst die Anzahl aller gefangenen Tiger durch die Anzahl der gefangenen, gechippten Tiger teilen. Dein Ergebnis musst du anschließend mit der Anzahl der gefangenen Tiger multiplizieren, um die Anzahl aller Tiger im Nationalpark zu berechnen. $\dfrac{40}{32}=1,25$ $40\cdot1,25=50$ Im Nationalpark leben etwa $50$ Tiger.

$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen Am Eröffnungstag eines Spaßbads darf jeder Besucher an einem Glücksrad mit gleich großen Feldern, die von $1$ bis $50$ nummeriert sind, drehen. Beim Drehen einer $50$ erhält der Besucher einen Gutschein über $50$ €. 1. Aussage: Bei einer Besucherzahl von $500$ liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer die Zahl $50$ dreht, bei $5 \%$. Du kannst die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, indem du die Gegenwahrscheinlichkeit berechnest. Das Gegenereignis zu unserem Ereignis „Mindestens ein Besucher dreht die Zahl $50$“ lautet „Keiner von $500$ besuchern dreht die Zahl $50$“. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst. Wenn es darum geht keine $50$ zu drehen, dann gibt es $49$ von $50$ Ergebnissen die günstig sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür einmal keine $50$ zu drehen berechnet sich also so: $\dfrac{49}{50}=0,98$ Wenn unter $500$ Besuchern keiner eine $50$ dreht, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür $500$-mal die Wahrscheinlichkeit für keine $50$ mit sich selbst multipliziert. $0,98^{500}=0,000041$ Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das dazugehörige Ereignis, indem du $1$ minus die berechnete Wahrscheinlichkeit rechnest. $1-0,000041\approx0,9999$ Rechne diese Dezimalzahl in eine Prozentzahl um, indem du mit $100\,\%$ multiplizierst. $0,9999\cdot 100\,\%=99,99\,\%$ Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $500$ Besuchern mindestens einer eine $50$ dreht beträgt ca. $99,99\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit von $5\%$ ist zu gering. Die Aussage ist falsch. 2. Aussage: Von $300$ Besuchern bekommen genau $6$ Besucher einen Gutschein über $50$ €. Wenn das Ergebnis eines Versuchs nicht vorhergesagt werden kann, spricht man von einem Zufall. In solchen Fällen ist es möglich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses zu berechnen. Diese kann allerdings keine genaue Vorhersage für den Ausgang eines Zufallsversuchs machen. Beim Drehen des Glücksrads handelt es sich um einen Zufallsversuch, daher ist auch in diesem Fall keine exakte Aussage möglich. Somit ist die Aussage falsch. 3. Aussage: Die Wahrscheinlichkeit, einen Gutschein über $50$ € zu bekommen, liegt bei $2 \%$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse beträgt in diesem Fall $1$, da nur eine $50$ einen Gewinn bringt und diese Zahl nur einmal auf dem Glücksrad vorkommt. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt $50$. Durch Teilen von $1$ durch $50$ erhältst du also die Wahrscheinlichkeit einen Gutschein über $50$ € zu bekommen. Dein Ergebnis ist eine Dezimalzahl. Rechne sie in eine Prozentzahl um, indem du mit $100\,\%$ multiplizierst. $\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{50}&=& 0,02 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,02 &\mathrel{\widehat{=}}& 2 \% \end{array}$ Die Wahrscheinlichkeit eine $50$ zu drehen beträgt $2 \%$. Somit ist die Aussage richtig. 4. Aussage: Bei $100$ Gästen bekommen im Durchschnitt $2$ Gäste einen Gutschein über $50$ €. Um den Durchschnitt zu berechnen, musst du den Erwartungswert berechnen. Diesen berechnest du, indem du die Anzahl der Gäste mal der vorher berechneten Wahrscheinlichkeit für eine $50$ multiplizierst. $100\cdot 0,2=2$ Im Durchschnitt werden $2$ von $100$ besuchern gewinnen. Somit ist die Aussage richtig.

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Eisgewinn berechnen Um die Wahrscheinlichkeit für einen Eisgewinn zu berechnen, musst du zuerst die Anzahl der günstigen Ausgänge bestimmen. Überlege dir also welche Zahlen zwischen $1$ und $50$ eine Quersumme von $5$ ergeben. Teile anschließend die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Die Quersumme ist die Summe der Ziffernwerte einer Zahl, z.B. ist die Quersumme von $36 = 9$, da $3+6=9$ ist. Zwischen $1$ und $50$ gibt es $6$ Zahlen, die $5$ als Quersumme haben: $5,14,23,32,41,50$. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist also $6$. Da die Anzahl der möglichen Ereignisse $50$ ist, teilst du nun $6$ durch $50$ und erhältst damit die Wahrscheinlichkeit für einen Eisgewinn. $\begin{array}[t]{rll} 6 : 50 &=& \frac{6}{50} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt $\frac{6}{50}$. Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

$\blacktriangleright$  Änderung der Wahrscheinlichkeit durch wenige günstige Ergebnisse beurteilen Die Wahrscheinlichkeit, dass von $1.500$ Personen lediglich $5$ eine $50$ drehen, ist sehr gering. Dennoch bleibt das Auftreten jeder Zahl gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Anzahl an Gewinnen. Selbst wenn jeder der $1.500$ Besucher eine $50$ gedreht hätte, dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine weitere $50$ genauso groß, wie wenn keiner der Besucher einen Gewinn erzielt hätte. Da die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu erzielen weiterhin bei $2 \%$ liegt, ist die Aussage auf der Homepage falsch.

$\blacktriangleright$  Bruttostromerzeugung mittels Diagramm bestimmen Bei dieser Aufgabe sollst du nur mithilfe des Diagramms bestimmen, wann die Bruttostromerzeugung erstmals mehr als $10.000$ Millionen kWh betrug. Es handelt sich hier um ein Säulendiagramm. Die Höhe der Säulen steht in diesem Fall für die Menge des erzeugten Stroms durch Photovoltaikanlagen. Um zu bestimmen, wann diese Menge $10.000$ Millionen kWh übeschritten hat, musst du eine Säule finden, die über diesen Zahlenwert hinausragt. Das ist im Jahr 2010 erstmals der Fall. Im Jahr 2010 betrug die Bruttostromerzeugung zum ersten Mal mehr als $10.000$ Millionen kWh.

$\blacktriangleright$  Menge des erzeugten Stroms zwischen 2010 und 2015 berechnen Um die gesamte zwischen $2010$ und $2015$ durch Photovoltaikanlagen erzeugte Strommenge zu berechnen, musst du zunächst die erzeugten Strommengen der einzelnen Jahre dieses Zeitraums bestimmen. Lese diese aus dem Diagramm heraus, indem du die Höhe der Säulen betrachtest. Addiere anschließend alle errechneten Zahlen. Beispiel: im Jahr $2010$ ragt die Säule über $10.000$ Millionen kWh hinaus. Das hinausragende Stück entspricht ungefähr einem Drittel der Strecke zwischen $10.000$ und $15.000$. Die im Jahr 2010 produzierte Strommenge beträgt also: $10.000+\frac{1}{3} \cdot 5000 \approx 11.667$ Millionen kWh. Nach analogem Vorgehen für die auf $2010$ folgenden Jahre, erhältst du ungefähr diese Werte: $2011$: $20.000$ Mio. kWh $2012$: $\approx 26.667$ Mio. kWh $2013$: $\approx 31.250$ Mio. kWh $2014$: $\approx 36.667$ Mio. kWh $2015$: $\approx 38.333$ Mio. kWh Addiere nun alle aus dem Diagramm entnommenen Zahlen: $ 11.667+20.000+26.667+31.250+36.667+38.333=164.584$ Zwischen $2010$ und $2015$ wurden ungefähr $164.584$ Mio. kWh durch Photovoltaikanlagen erzeugt.

$\blacktriangleright$  Zahl angeben Du sollst den Wert für $x$ angeben, für den du den Term nicht berechnen kannst. Du kannst bei dieser Aufgabe auf zwei verschiedene Arten vorgehen. Du kannst jeden der angegebenen Werte für $x$ nacheinander in die Formel einsetzen und versuchen den Term zu berechnen. Du kannst dir stattdessen auch überlegen, unter welchen Bedingungen du einen Term nicht berechnen kannst und dir überlegen, wie du so einen Fall herbeiführen kannst. Ein Term kann nicht berechnet werden, wenn du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen musst oder wenn du durch $0$ teilen musst. Der Term enthält keine Wurzel. Demnach musst du überprüfen, wann du durch $0$ teilen würdest. Ein Blick in den Term zeigt dir, dass dazu der Nenner zu $0$ werden muss. Der Nenner lautet $4\cdot(3+x)$. Nun bleibt die Frage, wann dieser Ausdruck zu $0$ wird. Ein Produkt kann nur dann $0$ werden, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Da der Ausdruck $4$ keine Variable enthält, kann er niemals zu $0$ werden. Es bleibt also die Frage, wann der Ausdruck $(3+x)$ zu $0$ wird. Dazu musst du für $x=-3$ einsetzen. Damit wird der Ausdruck und der ganze Nenner zu $0$ und der Term kann nicht berechnet werden. Für $x=-3$ kann der Term nicht berechnet werden.

$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen Bestimme eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, indem du die Gleichung nach $x$ auflöst und $x$ bestimmst. $\begin{array}[t]{rll} 3\cdot x-11&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;+11 \\[5pt] 3\cdot x&=&15 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x&=&5 \\[5pt] \end{array}$ Für $x=5$ ist die Gleichung erfüllt.

$\blacktriangleright$  Fehler finden und Gleichung lösen Um den Fehler zu finden ist es am einfachsten, die Gleichung selbst zu lösen und anschließend deinen Rechenweg mit dem von Lars zu vergleichen. $\begin{array}[t]{rll} 2(x-4)+6&=&14 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 2(x-4)&=&8 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Klammer auflösen} \\[5pt] 2x-8&=&8 &\quad \scriptsize \mid\;+8 \\[5pt] 2x&=&16 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&8 \\[5pt] \end{array}$ Das richtige Ergebnis der Geichung lautet $x=8$. Vergleiche nun deinen Rechenweg mit dem von Lars und finde seinen Fehler. Lars hat in der dritten Zeile einen Fehler gemacht. Er hat die Klammer aufgelöst. Dazu musste er $2$ mit jedem Ausdruck in der Klammer multiplizieren. Er hat jedoch die $2$ nur mit $x$ verrechnet und die $4$ vergessen.

$\blacktriangleright$  Gemeinsamen Punkt bestimmen Um die Koordinaten des gemeinsamen Punkts zu bestimmen, überlege dir, welchen Einfluss die Parameter in der Formel einer proportionalen Funktion auf den Graphen der Funktion haben. Vielleicht kann dir das einen Hinweis geben. Du kannst auch die Formel mit der Formel einer linearen Funktion vergleichen. In der Formel für eine proportionale Funktion gibt es nur einen einzigen Parameter $m$. Dieser beeinflusst die Steigung der Funktion. Je größer $m$ ist, desto schneller steigt der Graph der Funktion. Verschiedene proportionale Funktionen unterscheiden sich also nur in ihrer Steigung. Ein Punkt, durch den die Graphen aller proportionalen Funktionen verlaufen, muss deshalb unabhängig von der Steigung sein. Überlege dir, wann das der Fall ist. Die Steigung einer Funktion hat keinen Einfluss auf den Punkt, wenn die Zahl, mit der sie multipliziert wird $0$ ist. Das ist der Fall, wenn $x=0$ ist. Der $x$-Wert des gemeinsamen Punktes muss also $0$ sein. Wenn der Ausdruck $m\cdot x$ zu $0$ wird, dann gibt es keine weiteren Ausdrücke in der Formel, die mit einberechnet werden. Demnach ist der $y$-Wert an der Stelle $x=0$ ebenfalls $0$. Die Gerade einer proportionalen Funktion, die in einem Koordinatensystem dargestellt wird, verläuft immer durch den Punkt $P\,(0\mid0)$.

$\blacktriangleright$  Funktionsart bestimmen Du hast vier verschiedene Optionen, die du den Funktionen zuordnen kannst. Überlege dir, was für jede dieser Optionen wichtig ist und wie du das im Schaubild der Funktion sehen kannst. Anschließend schau dir die Graphen der Funktionen an und bestimme, welche der vier Optionen passt. Eine Funktion ordnet einem $x$-Wert immer einen $y$-Wert zu. Wenn einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden, dann gehört der Graph zu keiner Funktion. Das würdest du im Schaubild erkennen, wenn das Schaubild zweimal über dem selben $x$-Wert verlaufen würde. Das ist in keinem der gezeichneten Graphen der Fall. Eine lineare und proportionale Funktion verläuft, wie du in Aufgabenteil 12.1 bestimmt hast, durch den Punkt $P\,(0\mid0)$ und von da aus mit einer festen Steigung weiter. Der Graph dieser Funktion verläuft also durch $P$ und ist eine gerade Linie. Das trifft auf Graph C zu. Graph B verläuft zwar durch den Punkt $P$ ist jedoch eine gebogene Linie. Eine lineare aber nicht proportionale Funktion verläuft mit einer festen Steigung. Ihr Graph ist eine gerade Linie. Dies trifft auf Graph A und Graph D zu. Eine andere Funktion hat keinen eindeutigen Verlauf. Ihr Graph kann z.B. gebogen verlaufen oder in Schlangenlinien. Wichtig ist nur, dass sie die Definition einer Funktion, also jedem $x$-Wert wird nur ein $y$-Wert zugeordnet, erfüllt. Das ist für den Graph B der Fall. Der Graph C gehört zu einer linearen und proportionalen Funktion. Die Graphen von A und D gehören zu nicht proportionalen, linearen Funktionen und Graph B gehört zu einer anderen Funktion.

$\blacktriangleright$  Funktionen zuordnen Ähnlich wie in Aufgabenteil 12.2 musst du dir hier zuerst überlegen, was die angegebenen Funktionen ausmachen. Anschließend überlege dir, wie der Verlauf eines Graphen der angegebenen Zuordnung wäre und überlege dir, ob das auf eine der Funktionen zutrifft. Eine lineare Funktion hat eine feste Steigung, ihr Graph hat also einen geradlinigen Verlauf. Der Graph einer anderen Funktion kann als eine gebogene Linie oder in Schlangenlinien verlaufen. Es ist keine Funktion, wenn einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden würden. Fallschirmspringer misst Zeit und Höhe Ein Fallschirmspringer, der seinen Schirm geöffnet hat, sinkt sehr langsam und gleichmäßig auf den Boden. Der Graph der dazugehörigen Funktion wird demnach geradlinig verlaufen. Es handelt sich um eine lineare Funktion. Ballmaschine schießt Ball Der Ball startet auf einer Höhe von $1\,\text{m}$ und fliegt auf einer Höhe von $1,3\,\text{m}$ über das Netz. Anschließend sinkt seine Höhe wieder. Der Graph dieser Zuordnung wird demnach in einer gebogenen Linie verlaufen. Es handelt sich um eine andere Funktion. Temperaturmessung Bei dieser Messung ist nicht eindeutig, wie die Temperaturen während der $30$ Tage verlaufen. Da die Ergebnisse vom Wetter und anderen, nicht vorhersagbaren Faktoren abhängt, lässt sich auch hier keine Funktion bestimmen. Kerze brennt ab Die Kerze brennt jede Stunde um die gleiche Höhe ab. Sie wird damit kontinuierlich mit einer festen Steigung kleiner. Es handelt sich um eine lineare Funktion. Blatt falten Sara faltet ein Blatt immer in der Mitte. Die Dicke des Blattes verdoppelt sich mit jedem Falten. Dabei wird das Blatt nicht gleichmäßig dicker, sondern die neue Dicke hängt von der vorherigen Dicke des Blattes ab. Es handelt sich um eine andere Funktion.

$\blacktriangleright$  Erstes Dreieck zeichnen Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Abfolge von Dreiecken einer bestimmten Regel folgt. Überlege dir, wie diese Regel lautet und zeichne ausgehend davon das erste Dreieck. Wenn du die Dreiecke betrachtest, dann kannst du erkennen, dass jedes Dreieck $2$ Kästchen höher und $1$ Kästchen breiter ist, als das vorherige. Mit diesem Wissen kannst du nun auch das fehlende, erste Dreieck zeichnen.

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen: Dabei ist $c$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks. Im vorherigen Aufgabenteil 15.1 hast du bereits die Regelmäßigkeit, nach der die Dreiecke konstruiert werden, herausgefunden. Überlege dir, wie lang die Grundseite und die Höhe des fünften Dreiecks sind und setze diese Längen in die Formel ein. Die Länge der Grundseite des vierten Dreiecks ist $10$ Kästchen. Nach der Regel muss die Länge der Grundseite des fünften Dreiecks $10+2=12$ Kästchen lang sein. Die Höhe des vierten Dreiecks beträgt $5$ Kästchen. Demnach beträgt die Höhe des fünften Dreiecks $5+1=6$ Kästchen. Berechne den Flächeninhalt des fünften Dreiecks. $\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_D&=&\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6 & \\[5pt] A_D&=&\frac{1}{2}\cdot 72 & \\[5pt] A_D&=&36 & \\[5pt] \end{array}$ Der Flächeninhalt des fünften Dreiecks ist $36$ Kästchen groß.

$\blacktriangleright$  Maximale Füllhöhe des Pools berechnen Wenn ein Viertel an Wasser fehlt, bis der Pool komplett gefüllt ist, dann sind bereits drei Viertel des Wassers im Pool. Das letzte Viertel Wasser entspricht einer Füllhöhe von $0,5\,\text{m}$. Demnach entspricht der bereits gefüllte Teil einer Füllhöhe, die dreimal diesem Wert entspricht, also $0,5\,\text{m}\cdot3=1,5\,\text{m}$. Die maximale Füllhöhe entspricht der Summe dieser beiden Werte. $1,5\,\text{m}+0,5\,\text{m}=2,0\,\text{m}$ Die maximale Füllhöhe des Pools beträgt $2,0\,\text{m}$.

$\blacktriangleright$  Markierungen einzeichnen Im vorherigen Aufgabenteil 16.1 hast du bereits die maximale Füllhöhe des Pools berechnet. Multipliziere diese Füllhöhe mit den angegebenen Anteilen und zeichne die Ergebnisse auf dem Stab ein. $2,0\,\text{m}\cdot \frac{1}{3}\approx0,67\,\text{m}$ $2,0\,\text{m}\cdot \frac{3}{4}=1,5\,\text{m}$ $2,0\,\text{m}\cdot \frac{1}{2}=1,0\,\text{m}$ Zeichne die berechneten Längen auf dem Maßstab ein. Achte darauf, dass du auch einzeichnest, welcher Füllhöhe welche Markierung entspricht.

$\blacktriangleright$  Maße der Wand angeben Du kennst den Flächeninhalt und das Verhältnis der Seiten zueinander. Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet: Dabei sind $a$ und $b$ die Höhe und Breite des Rechtecks. Du weißt, dass die Länge der Wand $1,5$-mal so groß ist, wie die Höhe der Wand. Du kannst das in einer Gleichung so ausdrücken: $a=1,5\cdot b$. Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Höhe der Wand. Diese Gleichung kannst du in die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks einsetzen und anhand des gegebenen Flächeninhalts eine der beiden Längen berechnen. $\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; a=1,5\cdot b \\[5pt] A_R&=&1,5\cdot b\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 18\,\text{m}^2&=&1,5\cdot b^2 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] 12\,\text{m}^2&=&b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] 3,46\,\text{m}&=&b \\[5pt] \end{array}$ Die Höhe der Wand beträgt $3,46\,\text{m}$. Setze diesen Wert in die Gleichung für die Seitenverhältnisse ein und berechne die Länge der Wand. $\begin{array}[t]{rll} a&=&1,5\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] a&=&1,5\cdot 3,46\,\text{m} \\[5pt] a&=&5,20\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$ Die Wand ist ca. $5,20\,\text{m}$ lang und $3,46\,\text{m}$ hoch.

$\blacktriangleright$  Anzahl der Eimer berechnen Berechne mit den Angaben zuerst, wie viele Liter Farbe David für die Wand braucht. Anschließend kannst du daraus die Anzahl an Eimern berechnen, die er benötigt. $1\,\text{l}$ Farbe reicht für $3\,\text{m}^2$. Teile die $18\,\text{m}^2$ der Wandfläche durch $3$, um die Anzahl an Liter zu berechnen, die David benötigt. $\dfrac{18}{3}=6$ David benötigt $6\,\text{l}$ Farbe für seine Wand. In einem Eimer sind $6\,\text{l}$ Farbe. David benötigt zum Streichen seiner Wand also einen Farbeimer.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Bilder bestimmen Du sollst die Anzahl der Bilder bestimmen, die Lisa höchstens in eine Reihe kleben kann. Ein Bild ist $10\;\text{cm}$ breit und das Plakat ist $50\;\text{cm}$ breit. Um die Anzahl der Bilder zu bestimmen, die in eine Reihe passen, musst du die Breite des Posters durch die Breite eines Bildes teilen. $\begin{array}[t]{rll} 50\;\text{cm} : 10\;\text{cm}&=& 5 \end{array}$ Lisa kann höchstens $5$ Bilder in eine Reihe kleben.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Bilder für das ganze Plakat berechnen Du sollst berechnen, wie viele Bilder Lisa insgesamt benötigt, um das Plakat vollständig abzudecken. Du hast in Aufgabenteil $18.1$ bereits berechnet, dass in eine Reihe nebeneinander $5$ Bilder passen. Berechne als nächstes die Anzahl der Bilder, die übereinander in eine Reihe passen. Teile dafür die Länge des Plakates durch die Länge eines Bildes. $ 120\text{cm}: 15\text{cm}=8$ Es passen $8$ Bilder in einer Reihe übereinander. Um die Anzahl der Bilder zu berechnen, die insgesamt auf das Plakat passen, musst du die Anzahl der Bilder, die nebeneinander und die Anzahl der Bilder, die übereinander passen miteinander multiplizieren. $\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot 8&=& 40 \end{array}$ Lisa muss insgesamt $40$ Bilder ausdrucken, um das Plakat vollständig abzudecken.

$\blacktriangleright$ Kosten berechnen Du sollst berechnen, wie viel Lisa mindestens bezahlen muss, um das Poster vollständig zu bekleben. Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass ein Bild $0,60 €$ kostet. Die Versandgebühr beträgt $1,99€$. Um die Gesamtkosten zu bestimmen, musst du die Kosten für die Bilder berechnen und diesen Betrag zu den Versandkosten addieren. Die Kosten für die Bilder erhältst du, indem du die Anzahl der Bilder mit den Kosten für ein Bild multiplizierst. Kosten für die Bilder: $40\cdot 0,60€ = 24,0€$ Kosten für die Bilder mit Versand: $24€ +1,99€ =25,99€$ Lisa muss mindestens $25,99€$ bezahlen.

$\blacktriangleright$ Aussagen auf Richtigkeit überprüfen Du sollst die Aussagen auf Ihre Richtigkeit überprüfen:

$\blacktriangleright$ Symmetrieachsen einzeichnen Im Folgenden sind alle Symmetrieachsen in die Raute eingezeichnet.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Dreiecke bestimmen Du sollst für vier verschiedene Vielecke angeben, wie viele Dreiecke man mindestens braucht, um das Vieleck in Dreiecke zu unterteilen.

$\blacktriangleright$ Formel überprüfen Durch Messen kommst du auf die Folgenden Winkelsummen Dreieck: $180°$ Viereck: $360°$ Fünfeck: $540°$ Viereck: $720°$ Viereck: $900°$ Die Formel von David ist also korrekt.