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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Kompetenztest 8 Gymnasium
LV-Prüfung 1

LV-Prüfung 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Wie groß ist der Flächeninhalt des abgebildeten Drachenvierecks? Kreuze die richtige Antwort an.
LV-Prüfung 1
Abb. 1: Drachenviereck
LV-Prüfung 1
Abb. 1: Drachenviereck
#geometrie#drachenviereck#viereck

Aufgabe 2

LV-Prüfung 1
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
LV-Prüfung 1
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
#geometrie

Aufgabe 3

Auf dem folgenden Bild siehst du einige Gummibärchen. Schätze die Anzahl und beschreibe anschließend dein Vorgehen.
LV-Prüfung 1
Abb. 3: Gummibären
LV-Prüfung 1
Abb. 3: Gummibären
#schätzen

Aufgabe 4

4.1
Gegeben ist dir folgende Geradengleichung:
$y = 3x +1$
Kreuze bei den folgenden Aussagen jeweils an, ob sie für diese Gerade wahr oder falsch sind.
Die Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $\left(-\frac{1}{3}\mid 0\right)$.
wahr
falsch
Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $\left(0\mid \frac{1}{3}\right)$.
wahr
falsch
Die Gerade hat eine negative Steigung.
wahr
falsch
4.2
Skizziere den Verlauf der Gerade $y = 3$ in einem Koordinatensystem.
#geradengleichung#schnittpunkt#parallel#steigung

Aufgabe 5

Tims Taschengeld wird jedes Jahr an seinem Geburtstag erhöht. In der folgenden Abbildung kannst du sehen, wie viel Tim in den letzten Jahren pro Monat bekommen hat. Schätze mit diesen Werten ab, mit wie viel Taschengeld er ab seinem 15. Geburtstag in etwa rechnen kann und beschreibe deinen Lösungsweg.
LV-Prüfung 1
Abb. 4: Taschengeld
LV-Prüfung 1
Abb. 4: Taschengeld
#diagramm

Aufgabe 6

Setze die richtige Zahl ein, die die Gleichung erfüllt.
$\begin{array}[t]{rll} 6 : \quad … … &=&0,6 \\[10pt] 0,3: \quad … … &=& 0,3 \\[10pt] … … \quad : 5 &=& 0,5 \\[10pt] … … \quad : 0,4 &=& 0,4\\[10pt] \end{array}$
#division#gleichung

Aufgabe 7

7.1
Ergänze die beiden Punkte im Koordinatensystem so um zwei Punkte $C$ und $D$, dass ein Drachenviereck entsteht. Gib anschließend die Koordinaten dieser Punkte an.
LV-Prüfung 1
Abb. 5: Drachenviereck
LV-Prüfung 1
Abb. 5: Drachenviereck
7.2
Ergänze die beiden Punkte im Koordinatensystem so um einen Punkt $C_1$, dass ein Dreieck mit einem rechten Winkel im Punkt $C_1$ entsteht. Gib anschließend die Koordinaten von $C_1$ an.
LV-Prüfung 1
Abb. 6: Dreieck
LV-Prüfung 1
Abb. 6: Dreieck
#geometrie#viereck#koordinaten#rechterwinkel#dreieck

Aufgabe 8

In der Gruppenphase der Fußball-Europameisterschaft gelten folgende Regeln für die Punktevergabe:
  • Ein Sieg bringt der Mannschaft drei Punkte.
  • Ein Unentschieden bringt beiden Mannschaften jeweils einen Punkt.
  • Eine Niederlage bringt Null Punkte.
Die Punkte einer Mannschaft werden addiert, woraus dann für jede Gruppe eine Rangfolge gebildet wird.
8.1
MannschaftSPSUNTDPunkte
Deutschland321037
Polen321027
Nordirland3???03
Ukraine3003-50
DPLNIRUKR
SP3333
S22?0
U11?0
N00?3
TD320-5
Punkte7730
8.2
Wieso kann ein Team nach drei Spielen nicht acht Punkte haben?
8.3
In einer Gruppe sind $4$ Mannschaften. Jede der vier Mannschaften spielt einmal gegen jede der drei übrigen Mannschaften. Wie viele Spiele finden pro Gruppe in der Gruppenphase statt?
#ereignis

Aufgabe 9

LV-Prüfung 1
Abb. 7: Baldwin Street in Neuseeland
LV-Prüfung 1
Abb. 7: Baldwin Street in Neuseeland
9.1
Die steilste Straße Deutschlands besitzt ein Gefälle von ca. $25\,\%$. Die horizontale Entfernung zweier Gebäude entlang dieser Straße beträgt $350$ Meter. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen diesen beiden Gebäuden?
9.2
Eine Skateboardanlage besitzt eine Rampe mit $8$ Metern Länge und $2$ Metern Höhe. Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle auf dieser Rampe?
9.3
LV-Prüfung 1
Abb. 8: Steigung
LV-Prüfung 1
Abb. 8: Skizze.
#winkel#prozentrechnen#steigung

Aufgabe 10

Die Quersumme einer Zahl ergibt sich aus der Addition aller Ziffernwerte. Die Quersumme von $34$ ist also $3+4=7$.
10.1
Ergänze die vorgegeben Zahlen so, dass die Quersumme kleiner als $10$ ist aber trotzdem die vorgegebene Anzahl an Ziffern stimmt. Eine 0 ist nicht erlaubt.
a)
$3$-stellige Zahl: $\quad 7\,\, … … …$
b)
$5$-stellige Zahl: $\quad 23\,\, …… …$
10.2
Bilde Zahlen, deren Quersummen durch $5$ teilbar sind.
a)
$5$-stellige Zahl: $\quad 722\,\, … … … $
b)
$2$-stellige Zahl: $\quad 8\,\, … … … $
10.3
Nun stelle Zahlen zusammen, bei denen die Quersummen durch $3$ und $7$ teilbar sind.
a)
$4$-stellige Zahl: $\quad 79\,\, … …… $
b)
$6$-stellige Zahl: $\quad 283\,\, … ……$
#quersumme

Aufgabe 11

Zahlenpyramiden sind so aufgebaut, dass die Zahlen in den unteren beiden Steinen miteinander multipliziert die Zahl im darauf liegenden Stein ergibt. Ein Beispiel hierfür siehst du in Abbildung 9. Hierbei rechnest du $3\cdot4=12$.
11.1
Welche Zahl muss an der Stelle von $x$ stehen?
LV-Prüfung 1
Abb. 10: Zahlenpyramide: Welche Zahl muss man für x einsetzen?
LV-Prüfung 1
Abb. 10: Zahlenpyramide: Welche Zahl muss man für x einsetzen?
11.2
Welche Zahlen müssen für $x$ und $y$ eingesetzt werden?
LV-Prüfung 1
Abb. 11: Zahlenpyramide: Gesucht ist x und y.
LV-Prüfung 1
Abb. 11: Zahlenpyramide: Gesucht ist x und y.
#zahlenpyramide

Aufgabe 12

LV-Prüfung 1
Abb. 12: Sommerfest der Schule.
LV-Prüfung 1
Abb. 12: Sommerfest der Schule.
12.1
Am Whiteboard sammeln die Schüler der 8b mögliche Arbeitsschritte. Nun überlegen sie zusammen, wie sie die Schritte möglichst sinnvoll sortieren.
Ordne die Planungsschritte zu einem logischen Ablaufplan, indem du die Schritte von eins bis sechs nummerierst.
Geeignete Fragen formulieren.
Das Problem benennen.
Die Ergebnisse der Umfrage interpretieren.
Die Lösung für das Sommerfest festlegen.
Die Umfrage in den anderen Klassen durchführen.
Die Umfrageergebnisse in Tabellen und Diagrammen darstellen.
12.2
Ein wichtiges Anliegen ist die Frage, wieviele Schüler Interesse daran haben, schon Vormittags beim Volleyballturnier mitzumachen. Hierzu soll eine Frage formuliert werden und die Schüler der 8b diskutieren verschiedene Formulierungen.
Welche Fragestellung passt zum Ziel der Umfrage?
  1. Spielst du Volleyball?
  2. Würdest du bei einem Volleyballturnier teilnehmen?
  3. Hast du schon Vormittags vor, das Schulfest zu besuchen?
  4. Würdest du Vormittags beim Volleyballturnier mitspielen?
Frage Nummer … … … passt zur Antwort.
#logik

Aufgabe 13

Bei einem Glücksspiel sind drei verschiedene Glücksräder angebracht. Man darf sich zu Beginn des Spiels eines der Räder aussuchen. Bei den Farben gelb, rot und grün verliert man. Nur wenn das Rad auf einem Feld mit der Farbe blau stehen bleibt, erhält man einen Preis.
13.1
Welches der drei Glücksräder würdest du auswählen?
Glücksrad 1
Glücksrad 2
Glücksrad 3
Wichtig ist, dass du deine Auswahl mit einem Rechenweg begründest!
13.2
Bei einer anderen Spielversion, darf man an allen drei Rädern drehen. Bei einem blauen Feld bekommt man einen kleinen Preis (Variante 1), bei zwei blauen Feldern einen größeren (Variante 2) und sollten alle drei Glücksräder auf einem blauen Feld anhalten, bekommt man den Hauptgewinn (Variante 3).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für diese drei Gewinnvarianten?
Variante 1 = ………………
Variante 2 = ………………
Variante 3 = ………………
13.3
Um selbst so ein Glücksrad zu entwickeln sollte man die Wahrscheinlichkeiten einschätzen. Beispielsweise sollen zwei Glücksräder mit den gleichen Farbgebungen gebaut werden. Mit der Farbe $x$ gewinnt man, wobei beide Räder mit $a$ bunten Feldern versehen sind. Beim ersten Rad gibt es $b$ Felder der Farbe $x$. Das zweite Rad hingegen hat $c$ Felder in der Gewinnerfarbe $x$.
Wie berechnet man am besten die Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn zu erreichen, also beide Räder so zu drehen, dass sie auf einem Feld der Farbe $x$ stehenbleiben?
$ \dfrac{b+c}{a}$
$ \dfrac{b \cdot c}{a^2}$
$ \dfrac{b \cdot c}{2 \cdot a}$
$ \dfrac{b + c}{2 \cdot a}$
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 14

LV-Prüfung 1
Abb. 14: Schokobonbons
LV-Prüfung 1
Abb. 14: Schokobonbons
14.1
Wenn man nun in eine neu geöffnete Tüte dieser Schokoladenbonbons greift, wie wahrscheinlich ist es, ein Bonbon zu greifen, das rot, pink oder orange ist?
14.2
$7$ Schokoladenbonbos wiegen zusammen $12$ Gramm. Wieviele violetteSchokoladenbonbons befinden sich in einer Packung mit $750$ Gramm?
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 15

Der Bauklotz aus Abbildung 15 hat durchnummerierte Seiten. Wenn man mit diesem Stein würfelt, sind die Ergebnisse der einzelnen Seiten nicht, wie bei einem normalen Würfel, alle gleich wahrscheinlich. Außerdem können die Seiten vier und fünf nicht als Würfelseiten verwendet werden, da sie in keinem Fall nach oben zeigen werden. Die Seiten eins und drei liegen immer zeitgleich oben, zählen also beide für die gleiche Augenzahl.
15.1
Überleg dir, welche Seite, welche Augenzahl bekommen soll und trag das in die Liste unten ein. Achte darauf, dass Seite vier und fünf keine Augenzahl und Seite eins und drei die gleiche Augenzahl erhalten.
Seite 1 =
Seite 2 =
Seite 3 =
Seite 4 =
Seite 5 =
Seite 6 =
Seite 7 =
Seite 8 =
15.2
Aufgrund der unterschiedlichen Seitengrößen sind nicht alle Augen gleich wahrscheinlich. Schreibe auf, welche Augenzahlen nach deiner Zuordnung gleich wahrscheinlich auftreten werden.
15.3
Um die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Flächen zu ermitteln, wurde der Würfel $1.000$-mal gewürfelt und die Ergebnisse notiert:
SeiteAnzahl der WürfeWahrscheinlichkeit in %
1 und 3$402$-mal
2$234$-mal
6$237$-mal
7$65$-mal
8$62$-mal
Versuch die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Ereignisse grob abzuschätzen und notiere deine Überlegungen hinter den Ergebnissen des Würfelexperiments.
#ereignis#wahrscheinlichkeit#zufallsexperiment

Aufgabe 16

LV-Prüfung 1
Abb. 16: Sechseckige-Steine werden gestapelt.
LV-Prüfung 1
Abb. 16: Sechseckige-Steine werden aufeinander gestapelt.
16.1
Nun werden zwei dieser sechseckigen Steine übereinander gestapelt. Wieviele Flächen, also Seitenflächen und die obere Fläche zusammen betrachtet, sind sichtbar?
16.2
Nun kannst du dir die Folgen überlegen, wenn mehr als zwei Steine aufeinander gestapelt werden. Bedenke, dass immer auch die obere Seite gezählt wird. Trag deine Ergebnisse in die folgende Liste ein:
Anzahl der Klötze, die gestapelt sind Sichtbare Flächen
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16.3
Formuliere eine Rechenregel (Formel), mit der du die Anzahl der sichtbaren Flächen, mit $x$ bezeichnet, beim Stapeln von $n$ Klötzen berechnen kannst.
#geometrie#folge

Aufgabe 17

In der Kartenansicht von Abbildung 17 siehst du unten eine Maßstableiste. Die gibt an, wie weit die Distanzen, die du auf deinem Bildschirm siehst, in der Realität sind. Die Daten aus der Maßstableiste sind manchmal auch nur als Maßstab in einem Verhältnis angegeben.
17.1
Welchen Maßstab hat die Maßstableiste in der Abbildung? Kreuze die richtige Antwort an.
$1$ : $2.500$
$1$ : $25$
$1$ : $50.000$
$1$ : $50$
17.2
Zeichne eine Maßstableiste zum Maßstab
$1$:$10.000$.
#maßstab

Aufgabe 18

Während der Fußball-Weltmeisterschaft gibt es ein Tippspiel in Sebastians Fußballmannschaft. Alle $34$ Spieler müssen vor der Vorrunde ihre Tipps abgeben. Es kann entschieden werden zwischen Sieg, Niederlage und Unentschieden. Für einen richtigen Tipp gibt es $2$ Punkte. Ab den Spielen der Hauptrunde kann man nur noch zwischen Sieg und Niederlage wählen. Liegt man hierbei richtig, bekommt man $4$ Punkte für die Gesamtwertung.
Die Gesamtpunktzahl ($P$) aller Siege lässt sich am Ende der Weltmeisterschaft berechnen. Hierzu wird die Anzahl der richtigen Ergebnisse in der Vorrunde mit $v$ und die Anzahl der richtigen Ergebnisse in der Hauptrunde mit $h$ abgekürzt.
$P = 2 \cdot v + 4 \cdot h$
18.1
Sebastian hat in der Vorrunde von $24$ Begegnungen $9$ richtig getippt. Im Hauptfeld hat er für $4$ von $7$ Spielen die richtige Einschätzung abgegeben.
Berechne seine Gesamtpunktzahl $P$.
18.2
Der Trainer möchte den Gesamtsieger des Teams noch nicht veröffentlichen. Von drei Freunden aus der Mannschaft weiß Sebastian ein paar Ergebnisse. Berechne die fehlenden Punktzahlen und ergänze die Tabelle.
NameRichtige Ergebnisse VorrundeRichtige Ergebnisse HauptrundeGesamtpunktzahl
Felix$9$$26$
Zerdan$2$$34$
Paolo$17$$1$
NameFelixZerdanPaolo
Richtige
Ergebnisse
Vorrunde
$9$$17$
Richtige
Ergebnisse
Hauptrunde
$2$$1$
Gesamt
-punktzahl
$26$$34$
#tabelle

Aufgabe 19

LV-Prüfung 1
Abb. 18: Parallelogramm mit eingezeichneter Höhe.
LV-Prüfung 1
Abb. 18: Parallelogramm mit eingezeichneter Höhe.
19.1
Wenn man nun eine der beiden Längen, die man zur Berechnung des Flächeninhalts benötigt, verändert, ändert sich dementsprechend der Flächeninhalt.
Wie verändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms, wenn man die Höhe $h_a$ halbiert und $a$ konstant lässt?
Der Flächeninhalt wird verdoppelt.
Der Flächeninhalt halbiert sich auch.
Das kommt auf die Werte an.
Man muss die Wurzel aus dem alten Flächeninhalt ziehen.
19.2
Die Höhe des vorgegebenen Parallelogramms beträgt $7\,\text{cm}$. Wie lang muss die Seite $a$ sein, damit der Flächeninhalt $248,5\,\text{cm}^2$ beträgt?
#parallelogramm#viereck

Aufgabe 20

In der Abbildung 19 siehst du vier verschiedene gleichschenklige Dreiecke, die alle die gleiche Größe haben. Deine Aufgabe ist es, daraus drei verschiedene andere Figuren zu bauen. Skizziere dazu deine Lösung:
20.1
Zwei gleichgroße gleichschenklige Dreiecke.
20.2
Ein Quadrat.
20.3
Ein Parallelogramm.
#parallelogramm#quadrat#geometrie#dreieck

Aufgabe 21

Aus einem Trapez sind die Seiten $a=7$, $c=5$ und $h_a=3,5$ bekannt.
21.1
Berechne den Flächeninhalt ($A$) des Trapez.
21.2
In der Abbildung sind zwei Parallelogramme dargestellt. Ist ihr Flächeninhalt unterschiedlich?
LV-Prüfung 1
Abb. 21: Zwei Parallelogramme.
LV-Prüfung 1
Abb. 21: Zwei Parallelogramme.
#parallelogramm#trapez

Aufgabe 22

LV-Prüfung 1
Abb. 22: Kreiskonstruktion mit einem Viereck.
LV-Prüfung 1
Abb. 22: Kreiskonstruktion mit einem Viereck.
#gleichschenkligesdreieck#spiegelachse#geometrie#rechterwinkel#winkel
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen. In der Skizze hast du eine Skala gegeben, somit weißt du, dass $2$ Kästchen $10\,\text{cm}$ entsprechen.
Ein Drachenviereck besteht aus vier Dreiecken, welche du zu einem Rechteck zusammenlegen kannst.
LV-Prüfung 1
LV-Prüfung 1
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks entspricht dem Flächeninhalt des Rechteckes. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit:
$\begin{array}[t]{rll} \text{A}_\text{Rechteck}&=& \text{a}\cdot\text{b} &\quad \\[5pt] \end{array}$
Du benötigst die Länge der beiden Seiten des Rechtecks. Dazu zählst du die Kästchen entlang der langen und kurzen Seite.
Die lange Seite ist $12$ und die kurze Seite ist $5$ Kästchen lang. Um den Flächeninhalt in Quadratzentimetern zu berechen benötigst du die Länge allerdings in Zentimetern. Du weißt, dass $2$ Kästchen $10\,\text{cm}$ entsprechen:
$\begin{array}[t]{rll} 2\;\text{Kästchen}&=&10\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 1\;\text{Kästchen}&=&5\text{cm} \end{array}$
Wenn du also die Anzahl der Kästchen mit $5\text{cm}$ multiplizieren, erhälst du die Höhe sowie die Breite des Rechtecks in $\text{cm}$.
$\text{Höhe}: a=12\;\text{Kästchen}\cdot5\text{cm}=60\text{cm}$
$\text{Breite}:b=5\;\text{Kästchen}\cdot5\text{cm}=25\text{cm}$
Für den Flächeninhalt des Rechecks multiplizierst du diese beiden Längen mit einander:
$\begin{array}[t]{rll} \text{A}_\text{Rechteck}&=& \text{a}\cdot\text{b} &\quad \\[5pt] &=& 60\text{cm}\cdot25\text{cm} \\[5pt] &=&1.500\text{cm}^2 \\[5pt] &=&15\text{dm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt $15\text{dm}^2$.
#geometrie#viereck#rechteck

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Größe der Babygiraffe berechnen
LV-Prüfung 1
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
LV-Prüfung 1
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
Für die Größe der Mutter misst du:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Hals}&=& 4\,\text{cm} \\[5pt] \text{Beine}&=& 3\,\text{cm}\\[5pt] \text{Größe}&=& 4\,\text{cm}+3\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7\,\text{cm} \end{array}$
Die Mutter ist $7\,\text{cm}$ groß.
Für das Giraffenbaby misst du nun ebenfalls und kommst auf eine Gesamtlänge von $4,5\text{cm}$.
$:7$
LV-Prüfung 1
$\begin{array}{rrcll} & 7\,\text{cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 4,5\,\text{m}\\[5pt] & 1\,\text{cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 0,64\,\text{m}\\[5pt] & 4,5\,\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 2,9\,\text{m}& \end{array}$ LV-Prüfung 1
$:7$
$\cdot 4,5$
LV-Prüfung 1
LV-Prüfung 1
$\cdot 4,5$
$ 4,5\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 2,9\,\text{m} $
Die Babygiraffe ist $2,9\,\text{m}$ groß.
#dreisatz#geometrie

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Anzahl abschätzen
LV-Prüfung 1
Abb. 3: Gummibären
LV-Prüfung 1
Abb. 3: Gummibären
In einem Kästchen befinden sich $4$ Gummibärchen, die du (zum Teil oder ganz) sehen kannst. Du kannst das Bild in ungefähr 35 Kästchen unterteilen und erhälst dadurch eine ungefähre Gesamtanzahl von:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Schätzung Gesamtanzahl}&=&4\;\dfrac{\text{Gummibärchen}}{\text{Kästchen}}\cdot35\;\text{Kästchen} \\[5pt] &=&140\;\text{Gummibärchen} \end{array}$
$ \text{Schätzung Gesamtanzahl}=140 $
In dem Bild sind ungefähr $140\,\text{Gummibärchen}$ zu sehen.
#schätzen#geometrie

Aufgabe 4

4.1
$\blacktriangleright$ Aussagen überprüfen
Gegeben ist dir folgende Geradengleichung: $y = 3x +1$
1. Aussage: Die Gerade schneidet die $\boldsymbol{x}$-Achse im Punkt $\boldsymbol{\left(-\frac{1}{3}\mid 0\right)}$
Um die Nullstelle der Geraden und somit den Schnittpunkt mit der $x$-Achse zu bestimmen, setzt du die Gleichung $0$, da alle Punkt auf der $x$-Achse die $y$-Koordinate $0$ besitzen.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 3\cdot x +1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -1&=& 3\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x&=& -\frac{1}{3} \end{array}$
Die Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $\left(-\frac{1}{3}\mid 0\right) $ und die Aussage ist somit wahr.
2. Aussage: Die Gerade schneidet die $\boldsymbol{y}$-Achse im Punkt $\boldsymbol{\left(0\mid \frac{1}{3}\right)}$
Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der $y$-Ache bestimmen. Für alle Punkte auf der $y$-Achse gilt, dass die $x$-Koordinate $0$ ist. Das setzt du ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot 0 +1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 1)$. Somit ist die Aussage falsch.
3. Aussage: Die Gerade hat eine negative Steigung
Eine Geradengleichung hat die Form $y=m\cdot x+c$, wobei $m$ die Steigung bezeichnet. Die Gerade aus der Aufgabenstellung hat die Steigung $3>0$ und ist nicht negativ.
Die Aussage der Aufgabenstellung ist falsch.
4.2
$\blacktriangleright$ Gerade skizzieren
Du sollst den Verlauf der Geraden $y=3$ in einem Koordinatensystem skizzieren. Im Vergleich zu der Gerade in der Aufgabe davor besitzt diese Gerade keine Steigung und ist konstant.
Somit ist die Gerade parallel zur $x$-Achse mit Abstand $3$.
LV-Prüfung 1
Abb. 4 Gerade skizzieren
LV-Prüfung 1
Abb. 4 Gerade skizzieren
#graph#schnittpunkt#steigung#geradengleichung#parallel

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Taschengeld berechnen
Für die Tabelle liest du Werte aus der Abbildung ab. Zum Beispiel erhält Tim im Alter von $12$ Jahren $20\,$€ Taschengeld.
Anhand der Tabelle suchst du nach einem Muster im Zuwachs des Taschengeldes, um danach vorhersagen zu können wie viel Taschengeld er mit $15$ erhält.
LV-Prüfung 1
Abb. 5: Taschengeld
LV-Prüfung 1
Abb. 5: Taschengeld
Ab seinem $11.$ Geburtstag erhält Tim $4\,$€ mehr. Ab seinem $12.$ allerdings nur $2\,$€ mehr. Im Wechsel geht dies immer weiter.
Folgst du diesem Prinzip, erkennst du, dass er, wenn er 15 Jahre alt wird, eine Taschengelderhöhung von $4\;€$ erhält und somit letztendlich ein Taschengeld von $30\;€$ haben wird.
#diagramm#folge#tabelle

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Gleichungen vervollständigen
Setze die richtige Zahl ein, die die Gleichung erfüllt. Dazu drehst du die Rechnung um:
$\begin{array}[t]{rll} 6: \Box&=& 0,6 & \quad \scriptsize \mid\; \cdot \Box \, : 0,6 \\[5pt] \Box&=& \frac{0,6}{6} \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
Die Gleichung lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} 6 : \color{#87c800}{10} &=& 0,6 \\[5pt] \end{array}$
Für die anderen drei Gleichungen gehst du genauso vor und erhälst:
$\begin{array}[t]{rll} 0,3: \color{#87c800}{1}&=& 0,3 \\[10pt] \color{#87c800}{2,5}: 5 &=& 0,5 \\[10pt] \color{#87c800}{0,16} : 0,4 &=& 0,4\\[10pt] \end{array}$
#gleichung#division

Aufgabe 7

7.1
$\blacktriangleright$ Figur zum Drachenviereck vervollständigen
Du sollst eine Figur zu einem Drachenviereck ergänzen. Drachenvierecke zeichnen sich dadurch aus, dass sie aus zwei Dreiecken zusammen gesetz sind, welche eine gemeinsame Seite haben.
Diese beiden Dreiecke lassen sich weiter in jeweils zwei gleischschenklige, kongruente sowie zueinander symetrische Dreiecke zerlegen. In Aufgabe 1 hast du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet.
Zuerst betrachtest du die genaue Position des Punktes $B$ in Abhängigkeit von $A$ an. Dies geschieht, indem du nachzählst wie viele Kästchen du von Punkt $A$ nach rechts und dann nach unten gehen musst, um zu Punkt $B$ zu gelangen. In diesem Fall gehst du $2$ Kästchen nach rechts und $8$ Kästchen nach unten.
Wegen der Symmetrie zeichnest du den Punkt $D$ zwei Kästchen weiter links und 8 Kästchen weiter unten ein.
Der letzte Schritt ist nun Punkt $C$ einzuzeichnen. Dieser Punkt muss auf derselben Linie wie Punkt $A$ liegen jedoch tiefer als $B$ und $D$, damit ein Drachenviereck entstehen kann.
Nachdem du die Punkte eingezeichnet hast, kannst du die Koordinaten nun ablesen mit $C\,(6\mid 1)$ und $D\,(4\mid 2)$.
LV-Prüfung 1
Abb. 6: Drachenviereck
LV-Prüfung 1
Abb. 6: Drachenviereck
7.2
$\blacktriangleright$ Figur zu rechtwinkligem Dreieck ergänzen
Nachdem du das Drachenviereck eingezeichnet hast, sollst du nun ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen. Dafür sollst du einen Punkt $C_1$ bestimmen. Damit das Dreieck rechtwinklig ist, zeichnest du $C_1$ so ein, dass er unter $A$ und auf der selben Höhe wie $B$ liegt.
Danach kannst du die Koordinaten ablesen mit $C_1\;(6 \mid 2)$
LV-Prüfung 1
Abb. 7: Rechtwinkliges Dreieck
LV-Prüfung 1
Abb. 7: Rechtwinkliges Dreieck
#rechterwinkel#dreieck#koordinaten#geometrie#viereck

Aufgabe 8

8.1
$\blacktriangleright$ Möglichkeiten aufzählen
Nach drei Spielen hat Nordirland drei Punkte und du sollst aufzählen, wie viele Spiele Nordirland gewonnen haben kann.
Für einen Sieg bekommt eine Mannschaft drei Punkte, Nordirland kann somit maximal ein Spiel gewonnen haben und muss die anderen zwei verloren haben. Sonst hätten sie mehr als drei Punkte.
Wenn Nordirland kein Spiel gewonnen hat, dann müssen alle drei Spiele unentschieden aus gegangen sein. Denn für ein Unentschieden bekommt eine Mannschaft einen Punkt.
Diese beiden stellen alle Möglichkeiten dar.
8.2
$\blacktriangleright$ Punktstand erklären
Du sollst erklären wieso es nicht möglich ist, dass eine Mannschaft nach $3$ Spielen $8$ Punkte hat.
Überlege dir hierzu wie viele Punkte eine Mannschaft bekommen würde wenn sie z.B. zweimal gewonnen und einmal verloren hätte.
Nach drei Spielen kann eine Mannschaft dreimal gewonnen haben und hat dann neun Punkte.
Hat eine Mannschaft nur zwei mal gewonnen und einmal unentschieden gespielt, hat sie lediglich sieben Punkte.
In allen anderen möglichen Fällen erreicht sie nur weniger Punkte. Sie kann also nach drei Spielen nicht acht Punkte erreichen.
8.3
$\blacktriangleright$ Anzahl der Spiele berechnen
Um herauszubekommen wie viele Spiele in einer Gruppe stattfinden, verfolgst du eine Mannschaft durch das Turnier.
Deutschland spielt z.B. gegen Polen, Nordirland und die Ukraine. Hat also drei Spiele.
Polen spielt auch gegen Deutschland, dieses Spiel ist aber bereits bei den drei Spielen von Deutschland dabei. Weiter spielt Polen gegen Nordirland und die Ukraine, hat also zwei weitere Spiele.
Nordirland spielt gegen Deutschland, dieses Spiel ist schon bei Deutschland bedacht, gegen Polen, dieses Spiel ist bereits bei der polnischen Nationalmannschaft bedacht, sowie gegen die Ukraine. Es bleibt nur ein neues Spiel.
Die Ukraine spielt auch gegen alle drei Mannschaften, aber nicht in einem Spiel welches noch nicht aufgezählt wurde.
Zusammen gibt es in einer Gruppe also $3+2+1+0=6$ Spiele.
#ereignis

Aufgabe 9

9.1
$\blacktriangleright$ Höhenunterschied berechnen
Das Gefälle einer Straße wird in Prozent angegeben. Damit du ausrechnen kannst, wie groß das Gefälle auf $350\,$m ist, brauchst du den Höhenunterschied pro Meter. Diesen kannst du mit einem Dreisatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 35\% &\mathrel{\widehat{=}}& 35\,\text{m auf } 100\,\text{m} & \scriptsize \mid\; :35 \\[5pt] 1\% &\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\text{m auf } 100\,\text{m} & \scriptsize \mid\; \cdot 25 \\[5pt] 25\% &\mathrel{\widehat{=}}& 25\,\text{m auf } 100\,\text{m} \end{array}$
Ein Gefälle von $25\%$ entspricht einem Höhenunterschied von $25\,$m bei einem Abstand von $100\,$m. Das rechnest du nun noch auf $350\,$m hoch.
$\begin{array}[t]{rll} 3,5\cdot 25\,\text{m}&=& 87,5\,\text{m} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Zwischen den beiden Gebäuden liegen $87,5\,$m Höhenunterschied.
9.2
$\blacktriangleright$ Steigung berechnen
Auf einer Strecke von $100\,$m entspricht $1\%$ Steigung einem Höhenunterschied von $1\,$m. Du benötigst aber den Unterschied auf $8\,$m.
$\begin{array}[t]{rll} 1\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\text{m auf } 100\,\text{m} \\[5pt] &\mathrel{\widehat{=}}& 0,01\,\text{m auf } 1\,\text{m} \\[5pt] &\mathrel{\widehat{=}}& 0,08\,\text{m auf } 8\,\text{m} & \scriptsize \mid\; \cdot 25 \\[5pt] 25\% &\mathrel{\widehat{=}}& 2\,\text{m auf } 8\,\text{m} \end{array}$
$2\,$m Höhenunterschied entsprechen einer Steigung von $25\%$.
9.3
$\blacktriangleright$ Steigung aus Winkel berechnen
Den Prozentwert der Steigung kannst du über eine trigonometrische Rechnung oder eine geometrische Überlegung bestimmen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Geometrische Überlegung
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$. Im Steigungsdreieck ist immer ein rechter Winkel vorhanden und laut der Aufgabenstellung beträgt der Steigungswinkel $45^\circ$.
$\begin{array}[t]{rll} 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ&=& 45^\circ &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Das Dreieck hat zwei gleichgroße Winkel und heißt dadurch gleichschenklig. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind die beiden Schenkel, also die kürzeren Seiten gleich lang.
Auf $100\,$m Strecke steigt die Straße um $100\,$m. Der Prozentwert der Steigung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} 1\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\text{m auf } 100\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] 100\% &\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\text{m auf } 100\,\text{m} \end{array}$
Bei einem Winkel von $45^\circ$ beträgt die Steigung $100\%$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Trigonometrische Rechnung
LV-Prüfung 1
Abb. 8: Dreieck zur Bestimmung des Steigungswinkels
LV-Prüfung 1
Abb. 8: Dreieck zur Bestimmung des Steigungswinkels
Die beiden Katheten sind gleich lang. Den Prozentwert berechnest du ähnlich einem Dreisatz:
$\begin{array}[t]{rll} 1\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\text{m auf } 100\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] 100\% &\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\text{m auf } 100\,\text{m} \end{array}$
Bei einem Winkel von $45^\circ$ beträgt die Steigung $100\%$.
#dreisatz#prozentrechnen#geometrie#trigonometrie#steigung

Aufgabe 10

10.1
a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{3}$-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme $q(xyz)=x+y+z$ ist die Summe aller Ziffern einer Zahl und soll hier kleiner als $10$, also maximal $9$ sein.
Da die dreistellige Zahl mit $7$ beginnt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& q(7xy) \\[5pt] &=& 7+x+y&\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] 2 &=& x+y \end{array}$
Die zwei Ziffern $x$ und $y$ dürfen zusammen lediglich eine Quersumme von $2$ ergeben. Da eine $0$ in dieser Aufgabe nicht als Ziffer erlaubt wurde, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x=y&=& 1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Zahl muss $711$ sein.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{5}$-stellige Zahl bestimmen
Erneut darf die Quersumme maximal $9$ sein. Die fünfstellige Zahl beginnt mit $2$ und $3$:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& q(23xyz) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 2+3+x+y+z &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 4 &=& x+y+z \end{array}$
Für die drei Ziffern $x$, $y$ und $z$ bleiben $4$ Stellenwerte übrig. Auf die drei übrigen Stellen verteilt, sind zwei Zahlen auf jeden Fall eine $1$ und die übrige eine $2$. Die Zahlen $23.112$, $23.121$ oder $23.211$ sind mögliche Lösungen.
10.2
a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{5}$-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme soll durch $5$ teilbar sein, bei der fünfstelligen Zahl mit den Anfangsziffern $7$, $2$ und $2$, deren Quersumme bisher $11$ ist, wäre die nächste durch $5$ teilbare Quersumme $15$, auf die übrigen $2$ Ziffern sind $15-11=4$ Stellenwerte zu übertragen. Die Zahlen $72.222$, $72.213$ und $72.231$ sind mögliche Lösungen.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{2}$-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme der mit $8$ beginnenden Zahl soll durch $5$ teilbar sein. Die Quersumme kann somit $10$ oder $15$ ergeben.
Für eine Quersumme von $10$ heißt die Zahl $82$.
Für eine Quersumme von $15$ heißt die Zahl $87$.
10.3
a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{4}$-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme soll durch $3$ und $7$ teilbar sein. Die kleinste so teilbare Zahl ist $21$. Du passt die Quersumme so an, dass sie $21$ ist.
Die vierstellige Zahl beginnt mit $79$ und hat bisher die Quersumme $16$. Auf zwei Ziffern sind noch $21-16=5$ Stellenwerte zu verteilen. Mögliche Lösungen sind $7.914$ oder $7.923$.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{6}$-stellige Zahl bestimmen
Die sechsstellige Zahl beginnt mit $283$ und hat bisher die Quersumme $13$. Auf drei Ziffern sind noch $21-13=8$ Stellenwerte zu verteilen. Mögliche Lösungen sind $283.116$ oder $283.224$.
#quersumme

Aufgabe 11

11.1
$\blacktriangleright$ Zahlenpyramide füllen
Die Zahl eines Steines berechnest du, indem du die beiden darunter liegenden Zahlen multipliziert.
Um auf die Zahl $x$ zu schließen füllst du zuerst alle Lücken. Begeinne hierbei mit dem rechten Stein der mittleren Ebene:
$\begin{array}[t]{rll} -8\cdot 4&=& -32 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Im linken Stein steht die Zahl, welche mit $-32$ multipliziert $512$ ergibt. Anders gesagt, die gesuchte Zahl ist das Ergebniss von $512:(-32)$:
$\begin{array}[t]{rll} 512:(-32)&=& -16 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Im linken Stein der mittleren Ebene steht $-16$. $x$ ist somit die Zahl, welche mit $-8$ multipliziert $-16$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} -16:(-8)&=& 2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Zahl $x$ ist $2$.
LV-Prüfung 1
Abb. 9: Zahlenpyramide
LV-Prüfung 1
Abb. 9: Zahlenpyramide
11.2
$\blacktriangleright$ Zahlenpyramide füllen
Bei dieser Pyramide gehst du wie zuvor vor und berechnest alle Lücken um auf die Zahlen $x$ und $y$ zu schließen. Beginne nun allerdings mit dem linken Stein der mittleren Ebene.
$\begin{array}[t]{rll} 144:18&=& 8 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du bereits $x$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 8:2&=& 4 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Zahl $x$ ist $4$.
Für $y$ berechnest du:
$\begin{array}[t]{rll} 18:2&=& 9 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Zahl $y$ ist $9$.
LV-Prüfung 1
Abb. 10: Zahlenpyramide
LV-Prüfung 1
Abb. 10: Zahlenpyramide
#division#zahlenpyramide

Aufgabe 12

12.1
$\blacktriangleright$ Schritte ordnen
Du sollst die möglichen Schritte der Umfrage einer sinnvollen Reihenfolge zuordnen. Überlege dir zum Beispiel:
Es ist nicht möglich die Lösung für das Sommerfest festzulegen, wenn die Ergebnisse der Umfrage noch nicht interpretiert wurden. Auch ergibt es keine Sinn, Fragen zu formulieren, wenn das Problem nicht benannt wurde.
Wenn du so für jeden Punkt vorgehst erhältst du folgende Ordnung:
  1. Geeignete Fragen formulieren.
  2. Das Problem benennen.
  3. Die Ergebnisse der Umfrage interpretieren.
  4. Die Lösung für das Sommerfest festlegen.
  5. Die Umfrage in den anderen Klassen durchführen.
  6. die Umfrageergebnisse in Tabellen und Diagrammen darstellen.
12.2
$\blacktriangleright$ Frage auswählen
Du sollst aus den vier Fragen diejenige aussuchen, welche am besten zum Ziel der Umfrage passt, festzustellen wie viele Schüler vormittags am Vollyballturnier teilnehmen wollen. Gehe hierbei nach dem Ausschlussverfahren vor:
Wäre es Frage 1 würden manche Schüler ja antworten, weil sie z.B. im Verein Vollyball spielen, können am Turnier aber nicht teilnehmen, weil sie eben durch ihren Verein ein Spiel haben. Das gleiche gilt für Fragestellung 2.
Weil viele Schüler sich z.B. nicht zutrauen am Spiel teilzunehmen, aber gerne zum Zuschauen vorbei kommen, ist Frage 3 auch nicht zielführend.
Somit bleibt als sinnvolle Fragestellung die 4. Diese enthält alle wichtigen Informationen über das Spiel und den Zeitpunkt.
#logik

Aufgabe 13

13.1
$\blacktriangleright$ Höchste Gewinnchance wählen
Du sollst das Glücksrad auswählen, bei welchem du die größten Gewinnchancen hast, der Anteil der blauen Felder dementsprechend am größten ist.
Alle Glücksräder bestehen aus $13$ Feldern. Beim ersten Glücksrad sind $3$, beim zweiten $5$ und beim dritten $4$ Felder blau. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt also $\dfrac{3}{13}$, $\dfrac{5}{13}$ oder $\dfrac{4}{13}$.
Am größten ist dieser Bruch für das zweite Rad. Du wählst dieses Rad.
13.2
$\blacktriangleright$ Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst diese Wahrscheinlichkeit angeben, dass genau eines der drei Räder auf einem blauen Feld stehen bleibt. Überlege dir hierzu welche Möglichkeiten es gibt.
Die Wahrscheinlichkeit $P(1)$, dass ein Glückrad auf einer blauen Farbe stehen bleibt setzt sich zusammen, aus der Wahrscheinlichkeit, dass das Erste oder das Zweite oder das Dritte blau anzeigt. Nach der 2. Pfadregel addierst du diese Wahrscheinlichkeiten um $P(1)$ zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeiten $p$ für die Farbe blau hast du bereits bestimmt. Dafür, dass nicht blau eintritt betrachtest du $1-p$. 1. Pfadregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für die drei Räder.
$\begin{array}[t]{rll} P(1)&=& \frac{3}{13}\cdot\frac{8}{13}\cdot\frac{9}{13} + \frac{10}{13}\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{9}{13} + \frac{10}{13}\cdot\frac{8}{13}\cdot\frac{4}{13} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{216}{2.197}+\frac{450}{2.197}+\frac{320}{2.197} \\[5pt] &=& \frac{986}{2.197} \\[5pt] &\approx & 0,4488 = 44,88\% \end{array}$
$ P(1)=44,88\% $
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glücksrad blau zeigt beträgt $44,88\%$.
Genau so gehst du für zwei blaue Glückräder vor:
$\begin{array}[t]{rll} P(2)&=& \frac{3}{13}\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{9}{13} + \frac{3}{13}\cdot\frac{8}{13}\cdot\frac{4}{13} + \frac{10}{13}\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{13} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{135}{2.197}+\frac{96}{2.197}+\frac{200}{2.197} \\[5pt] &=& \frac{431}{2.197} \\[5pt] &\approx & 0,1962 = 19,62\% \end{array}$
$ P(2)=19,62\% $
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Glücksräder blau zeigen beträgt $19,62\%$.
Für drei blaue Räder gehst du genauso vor, allerdings gibt es hierbei nur eine Möglichkeit.:
$\begin{array}[t]{rll} P(3)&=& \frac{3}{13}\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{13}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{60}{2.197} \\[5pt] &\approx & 0,0273 = 2,73\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Glücksräder blau zeigen beträgt $2,73\%$.
13.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Hauptgewinns berechnen
Beide Glücksräder haben $a$ Felder, das erste Rad dabei $b$ Felder der Gewinnerfarbe und das zweite $c$ Felder eben dieser Farbe. Die Wahrscheinlichkeit, auf dem ersten Rad die erhoffte Farbe zu drehen, beträgt also $\dfrac{b}{a}$, auf dem zweiten Rad äquvivalent $\dfrac{c}{a}$.
Wie zuvor berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass Beide auf blau stehen durch eine Multiplikation.
$\begin{array}[t]{rll} P(2)&=& \frac{b}{a}\cdot\frac{c}{a} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{b\cdot c}{a\cdot a} \\[5pt] &=& \frac{b\cdot c}{a^2} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn berechnest du mit $P(2)=\frac{b\cdot c}{a^2}$.
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit#pfadregeln

Aufgabe 14

14.1
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit angeben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein rotes, pinkes oder orangenes Bonbon gezogen wird angeben. Die Antwort kannst du direkt aus der Aufgabenstellung ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Bonbon rot, pink oder orange ist beträgt laut Aufgabenstellung genau $\dfrac{3}{8}$.
14.2
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bonbons berechnen
Du sollst ausrechnen, wie viele violette Bonbons in einer $750\,$g Tüte sind. Du weißt, dass jedes achte Bonbon violett ist. Du benötigst also noch die Anzahl der Bonbons in einer $750\,$g Tüte.
$7$ Schokoladenbonbons wiegen $12\,g$. Mit einer Dreisatzrechnung erhältst du die gewünschte Anzahl.
$:12$
LV-Prüfung 1
$\begin{array}{rrcll} & 7 \,\text{Stück}&\mathrel{\widehat{=}}& 12 \,\text{g}\\[5pt] &\frac{7}{12} \,\text{Stück}&\mathrel{\widehat{=}}& 1 \,\text{g}\\[5pt] & 437,5 \,\text{Stück}&\mathrel{\widehat{=}}& 750 \,\text{g}& \end{array}$ LV-Prüfung 1
$:12$
$\cdot 750$
LV-Prüfung 1
LV-Prüfung 1
$\cdot 750$
$ 437,5 \,\text{Stück}\mathrel{\widehat{=}} 750 \,\text{g} $
In einer Tüte befinden sich also ungefähr $437,5$ Bonbons. Jedes achte davon ist violett:
$\begin{array}[t]{rll} 437,5\cdot\frac{1}{8}&\approx& 54,69 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 55 \end{array}$
In einer Tüte sind ungefähr $55$ violette Schokoladenbonbons.
#wahrscheinlichkeit#dreisatz

Aufgabe 15

15.1
$\blacktriangleright$ Seiten zuordnen
Bei der Verteilung der Augenzahlen beachtest du folgendes:
  • Die Seiten $1$ und $3$ erhalten die gleiche Augenzahl.
  • Die Seiten $4$ und $5$ haben keine Augenzahl.
Seite 1 : $1 $
Seite 2 : $2 $
Seite 3 : $1 $, wie Seite 1
Seite 4 : Keine
Seite 5 : Keine
Seite 6 : $3 $
Seite 7 : $4 $
Seite 8 : $5 $
15.2
$\blacktriangleright$ Gleich wahrscheinliche Seiten notieren
Du sollst aufschreiben, welche Augenzahlen gleich wahrscheinlich sind. Achtung: Die Wahrscheinlichkeit hängt nicht von der Größe der Seitenfläche mit der gewünschten Augenzahl ab, sondern von der Größe der Seitenfläche, welche der Augenzahl gegenüber liegt. Somit haben die Flächen 7 und 8 die gleiche Wahrscheinlichkeit, sowie die Flächen 2 und 6. Daraus folgt, dass die $4$ gleich wahrscheinlich ist wie die $5$ und die $2$ gleich wahrscheinlich ist wie die $3$.
15.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Für die Wahrscheinlichkeiten benötigst du den Quotienten aus der Anzahl der Fälle, in welchen die Augenzahl geworfen wurde und der Anzahl aller Würfe, hier also $1.000$. Das Ergebnis musst du noch in Prozent umrechnen.
SeiteAnzahl der WürfeWahrscheinlichkeit in $\%$
1 und 340240,2
223423,4
623723,7
7656,5
8626,2
#ereignis#zufallsexperiment#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 16

16.1
$\blacktriangleright$ Anzahl der Flächen angeben
Du sollst überlegen, wie viele Flächen du sehen kannst, wenn zwei Steine aufeinander gesetzt auf dem Tisch stehen.
Für einen sechseckigen Stein siehst du $7$ Flächen, setzt du nun einen weiteren oben auf, kannst du die Stirnfläche von dem unteren nicht mehr sehen, dafür aber die $7$ weiteren des neuen Steines.
Insagesamt siehst du $7-1+7=13$ Flächen.
16.2
$\blacktriangleright$ Tabelle füllen
Betrachte nun weitere Steine. Für jeden neuen Stein verschwindet eine Fläche und es kommen $7$ neue hinzu.
Anzahl der Klötze, die gestapelt sindSichtbare Flächen
213
319
425
531
637
743
849
955
1061
16.3
$\blacktriangleright$ Gleichung angeben
Du sollst eine Gleichung angeben mit der man die Anzahl der sichtbaren Flächen berechnen kann.
Für jeden neuen Stein kommen $6$ Flächen hinzu, desweiteren gibt es immer noch eine Deckfläche zusätzlich. Die Formel sieht also so aus:
$\begin{array}[t]{rll} x &=& 6\cdot n+1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
#folge#geometrie

Aufgabe 17

17.1
$\blacktriangleright$ Maßstab bestimmen
Du sollst den Maßstab einer Skala berechnen. Der Maßstab gibt an, wie vielen Zentimetern in der Natur ein Zentimeter auf der Karte entspricht.
In der Karte siehst du unten rechts eine Skala eingezeichnet. Auf dieser entspricht der Abstand zwischen $25\,$m und $50\,$m einem Zentimeter.
Somit sind $50\,$m$-25\,$m$=25\,$m in der Realität ein Zentimeter auf der Karte.
$25\,$m sind $2.500\,$cm, der Maßstab ist also $1\,:\,2.500$.
17.2
$\blacktriangleright$ Maßstabsleiste zeichnen
Du sollst eine Maßstabsleiste mit einem Maßstab von $1\,:\,10.000$ zeichnen. $10.000\,$cm entsprechen $100\,$m. Passe die Maßstabsleiste der Aufgabe zuvor so an, dass der Zentimeter hundert Metern entspricht. Du beschreibst die Maßstabsleiste also mit $0\,\text{m}$, $100\,\text{m}$ und $200\,\text{m}$.
LV-Prüfung 1
Abb. 11: Maßstabsleiste
LV-Prüfung 1
Abb. 11: Maßstabsleiste
#maßstab

Aufgabe 18

18.1
$\blacktriangleright$ Punktzahl berechnen
Du sollst die Gesamtpunktzahl $P$ von Sebastian berechnen. Mit den Angaben der Aufgabenstellung, dass ein Spieler für einen richtigen Tipp in der Vorrunde $2$ und in der Hauptrunde $4$ Punkte erhält, kannst du diese direkt bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P&=& 2\cdot 9+4\cdot 4 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 18+ 16 \\[5pt] &=& 34 \end{array}$
Sebastian hat $34$ Punkte.
18.2
$\blacktriangleright$ Fehlende Zahlen berechnen
Du sollst die fehlenden Zahlen der Tabelle berechnen, dafür benutzt du stetz Umformungen der Formel für die Punktzahl.
Für Felix berechnest du:
$\begin{array}[t]{rll} 26&=& 2\cdot 9 + 4\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; -18 \\[5pt] 8&=& 4\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 2&=& h \end{array}$
Für Zerdan ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 34&=& 2\cdot v + 4\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] 26&=& 2\cdot v &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 13&=& v \end{array}$
Für Paolo:
$\begin{array}[t]{rll} P&=& 2\cdot 17 + 4\cdot 1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 34+4 \\[5pt] &=& 38 \end{array}$
NameRichtige Ergebnisse VorrundeRichtige Ergebnisse HauptrundeGesamtpunktzahl
Felix9226
Zerdan13234
Paolo17138
#tabelle#gleichung

Aufgabe 19

19.1
$\blacktriangleright$ Neuen Flächeninhalt berechnen
Anhand der gegebenen Formel kannst du den neuen Flächeninhalt berechnen, wenn du eine halbierte Höhe $h_a'=\dfrac{h_a}{2}$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} A'&=& a\cdot h_a' &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& a\cdot \frac{h_a}{2} \\[5pt] &=&\frac{1}{2} A \end{array}$
Halbiert man die Höhe, so halbiert sich auch der Flächeninhalt.
19.2
$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen
Du hast eine Höhe und einen Flächeninhalt gegeben und sollst daraus die Grundseite des Parallelogramms berechnen. Setze dazu $a$ in die Formel für den Flächeninhalt ein und löse nach $a$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 248,5&=& a\cdot 7 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] 35,5&=& a \end{array}$
Die Strecke $a$ muss $35,5\,$cm lang sein.
#parallelogramm#gleichung#viereck

Aufgabe 20

20.1
$\blacktriangleright$ Zwei Dreiecke zusammenstellen
Du sollst zwei gleichgroße Dreiecke zusammenstellen. Dafür legst du zwei Schenkel aneinander.
LV-Prüfung 1
Abb. 12: Gleichschenkliges Dreieck
LV-Prüfung 1
Abb. 12: Gleichschenkliges Dreieck
20.2
$\blacktriangleright$ Quadrat zusammenstellen
Für das Quadrat schiebst du die vier Dreiecke so zusammen, dass ihre längste Seite jeweils eine Seite des Quadrats bilden.
LV-Prüfung 1
Abb. 13: Zusammengestelltes Quadrat
LV-Prüfung 1
Abb. 13: Zusammengestelltes Quadrat
20.3
$\blacktriangleright$ Parallelogramm zusammenstellen
Für das Parallelogramm gibt es zwei Möglichkeiten, welche beide nicht ineinander überführt werden können, obwohl sie ähnlich aussehen.
LV-Prüfung 1
Abb. 15: Parallelogramm Variante 2
LV-Prüfung 1
Abb. 15: Parallelogramm Variante 2
#parallelogramm#geometrie#dreieck

Aufgabe 21

21.1
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h_a$
$A=\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h_a$
Somit ergibt sich mit den Werten $a=7$, $c=5$ und $h=3,5$ aus der Aufgabenstellung:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot (7+5)\cdot 3,5 &\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot (12)\cdot 3,5 \\[5pt] &=& 6\cdot 3,5 \\[5pt] &=& 21 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $21$.
21.2
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt vergleichen
Für den Flächeninhalt von Parallelogrammen gilt:
$A=a\cdot h_a$
$A=a\cdot h_a$
Die beiden Parallelogramme im Bild haben die gleiche Grundseite $a$ und durch die eingezeichneten roten Linien auch die gleiche Höhe $h_a$, ihr Flächeninhalt ist somit der selbe.
#trapez#parallelogramm

Aufgabe 22

$\blacktriangleright$ Geometrische Aussagen überprüfen
Du sollst zu vier geometrischen Aussagen Stellung nehmen und sie begründen oder widerlegen. Betrachte dazu die einzelnen Aussagen und überlege dir wie du diese bestätigen kannst oder woran es scheitert.
Bei Vierecken beträgt die Innenwinkelsumme immer $360^\circ$, da sich diese in zwei verschiedene Dreiecke mit Innenwinkelsumme $180^\circ$ zerlegen lassen.
Die Strecke zwischen $G$ und $E$ hat ihren Mittelpunkt nicht in $B$. Somit lässt sich hier nicht der Satz des Thales anwenden und bei $\alpha$ handelt es sich nicht um einen rechten Winkel.
Da sowohl $G$ und $E$ auf dem Schnittpunkt der beiden Kreise liegen, handelt es sich bei der Strecke durch $A$, $B$, $V$ und $W$ um die Spiegelachse.
Da die Kreise um $A$ und $B$ den gleichen Radius besitzen sind die Schnittpunkte der beiden Kreise gleich weit von beiden Punkten entfernt. Teilt man das blaue Viereck entstehen somit zwei gleichschenklige Dreiecke.
#winkel#geometrie#rechterwinkel#gleichschenkligesdreieck#spiegelachse
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