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Aufgabe III: Wahlgebiet Analytische Geometrie

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0\mid0\mid0)$ und $P_2(5\mid 10\mid 0)$ dargestellt.
Außerdem sind die Eckpunkte $A(3\mid 0\mid 2),$ $B(0\mid 3\mid 2),$ $E(6\mid 0\mid 0),$ $F( 0\mid 6\mid 0),$ $R(5\mid7\mid3),$ $S(8\mid 13\mid 3)$ und $T(2\mid 10\mid 3)$ gegeben.
Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
#zentraleraufgabenpool
a)
In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechne die Länge des Seils.
(3 BE)
Die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L: \, 2x_1 +2x_2 +3x_3 -12 = 0.$
b)
Zeige, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.
(2 BE)
#trapez
c)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
#schnittwinkel
d)
Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch $R,$ $S$ und $T$ dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des Schattens dieser Plattform durch $R'(4\mid 2\mid 0),$ $S'$ und $T'(1\mid 5\mid 0).$
Der gesamte Schatten von Plattform 2 liegt auf dem horizontalen Untergrund.
Zeige rechnerisch, dass $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt.
Berechne die Koordinaten von $S'$ und stelle den Schatten der Plattform in der obigen Abbildung 1 grafisch dar.
(6 BE)
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt, einer der beiden unteren Eckpunkte am Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1,80\,\text{m}.$
e)
Berechne den Flächeninhalt des Netzes.
(3 BE)
f)
Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist.
Berechne den Abstand dieses Eckpunkts von der Plattform 2.
(8 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnenAufgabe III:  Wahlgebiet Analytische Geometrie
1. Schritt: Koordinaten der Kantenmittelpunkte bestimmen
Mit der Mittelpunktsformel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{3\\0\\2} + \pmatrix{0\\3\\2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE} +\overrightarrow{OF}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\0\\0} + \pmatrix{0\\6\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=&\pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge berechnen
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ergibt sich über den Vektorbetrag. Insgesamt ergibt sich also für die Länge $l$ des Seils:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,2\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \sqrt{1,5^2+1,5^2 +(-2)^2} \\[5pt] &\approx& 3,50 \\[5pt] \end{array}$
$ l\approx 3,50 $
Das Seil ist ca. $3,50\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck $AEFB$ handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass mit großer Wahrscheinlichkeit die beiden Strecken $[AB]$ und $[EF]$ parallel sind. Überprüfe also, ob die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{-3\\3\\0}&=& a\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Diese Gleichung ist für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind also parallel. Die Kletterwand ist demnach trapezförmig.
#lineareabhängigkeit
c)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Der Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Ein zugehöriger Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Kletterwand liegt im Modell in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{2\\2\\3}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{2\\2\\3} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\2\\3} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{2^2+2^2+3^2} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{ \sqrt{17} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 43,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,3^{\circ} $
Die Kletterwand schließt mit dem Untergrund einen Winkel der Größe von ca. $43,3^{\circ}$ ein.
d)
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts auf der Strecke zeigen
Damit $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt, muss sich der Ortsvektor von $T'$ in der folgenden Form mit $0\leq t \leq 1$ darstellen lassen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT'}&=& \overrightarrow{OE} + t\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{1\\5\\0}&=& \pmatrix{6\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& 6-6t \\ \text{II}\quad&5&=& 0+6t \\ \text{III}\quad&0&=& 0+0t \\ \end{array}$
Die letzte Gleichung ist für alle Werte von $t$ erfüllt. Für die zweite Gleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Für die erste Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& 6- 6t&\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -5&=& -6t &\quad \scriptsize \mid\;:(-6) \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Alle Gleichungen sind also für $t= \frac{5}{6}$ erfüllt. Damit liegt der Punkt $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
1. Schritt: Geradengleichung für die Lichtstrahlen aufstellen
Die Sonnenstrahlen bewegen sich entlang der Richtung vom Punkt $R$ aus zum Punkt $R'$ bzw. vom Punkt $T$ zum Punkt $T'.$ Du kannst also beispielsweise $\overrightarrow{RR'}$ als Richtungsvektor der Geraden verwenden. Da der Schattenunkt von $S$ gesucht ist, wähle $S$ als Aufpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} l:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + r \cdot \overrightarrow{RR'} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Koordinaten berechnen
Der Schattenpunkt $S'$ ist der Durchstoßpunkt der Geraden $l$ durch die $x_1x_2$-Ebene. Für diese gilt die Gleichung $x_3=0.$ Für $S'$ muss also $S'(x_1\mid x_2\mid 0)$ gelten.
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS'}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \\[5pt] \pmatrix{x_1\\x_2\\0}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} $
Die letzte Zeile für die $x_3$-Koordinate ist erfüllt, wenn $r=1$ gilt. Dann folgt:
$\overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + 1\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} = \pmatrix{7\\8\\0}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{7\\8\\0} $
Die Koordinaten von $S'$ lauten $S'(7\mid 8\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Schatten grafisch darstellen
Aufgabe III:  Wahlgebiet Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
Aufgabe III:  Wahlgebiet Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Netzes ermitteln
Da die beiden Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen sind sie parallel zueinander. Da jeweils zwei Ecken des Netzes an einem Pfahl befestigt sind, sind die beiden Seiten des Vierecks, die an den Pfählen befestigt sind, parallel zueinander. Das Viereck, das das Netz darstellt, ist also ein Trapez, dessen parallele Seiten beide $a=c=1,80\,\text{m}$ lang sind. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Abstand der beiden Pfähle. Da die Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen, entspricht ihr Abstand dem Abstand der beiden Punkte $P_1$ und $P_2,$ in denen die Pfähle auf den Untergrund treffen.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \left|\overrightarrow{P_1P_2} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{5\\10\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{5^2+10^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{125} \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich dann mithilfe der Flächenformel eines Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot (a +c) \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (1,80\,\text{m} + 1,80\,\text{m})\cdot \sqrt{125}\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 20,12\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A\approx 20,12\,\text{m}^2 $
Das Netz ist ca. $20,12\,\text{m}^2$ groß.
#vektorbetrag#trapez
f)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Der betrachtete Eckpunkt wird im Folgenden mit $Z$ bezeichnet. Der andere untere Eckpunkt, der sich an Pfahl 1 befindet, wird mit $Y$ bezeichnet.
1. Schritt: Koordinaten von $Y$ bestimmen
Da beide Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen und $Y$ an Pfahl 1 befestigt ist, hat $Y$ die gleiche $x_1$- und $x_2$-Koordinate wie $P_1.$
Gleichzeitig befindet sich der untere Eckpunkt an Pfahl 1 auf der Plattform 1. Da diese horizontal ist und daher alle Punkte dieser Plattform die gleiche $x_3$-Koordinate haben, hat also auch $Y$ die gleiche $x_3$-Koordinate wie $A$ und $B.$
Die Koordinaten des unteren Eckpunkts an Pfahl 1 lauten also $Y(0\mid0\mid2).$
2. Schritt: Allgemeine Koordinaten von $Z$ bestimmen
Der Punkt $Z$ liegt auf Pfahl 2. Da dieser senkrecht zum Untergrund steht und durch den Punkt $P_2$ verläuft, kann sein Verlauf durch folgende Gerade beschrieben werden:
$g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{5\\10\\0} + r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{5\\10\\r}$
$ g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{5\\10\\r} $
Die Punkte auf Pfahl 2 können also durch die Koordinaten $Z_r(5\mid 10 \mid r)$ beschrieben werden.
3. Schritt: Geradengleichung für die Netzkante erstellen
Die Netzkante verläuft entlang der Geraden durch die Punkte $Y$ und $Z:$
$\begin{array}[t]{rll} n_r: \, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OY} + s\cdot \overrightarrow{YZ_r} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\2} + s\cdot \pmatrix{5\\10\\r-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{5s\\10s\\2+rs-2s }\\[5pt] \end{array}$
$ n_r: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{5s\\10s\\2+rs-2s } $
4. Schritt: Schnittpunkt überprüfen
Da die Netzkante die Plattform 2 an der Kante berührt, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird, muss $r$ nun so gewählt werden, dass sich die Geraden $n_r$ und $RT$ schneiden.
Die Gerade $RT$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} RT:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OR} +t\cdot \overrightarrow{RT} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\7\\3}+t\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der Koordinaten von $RT$ und $n_r$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{5\\7\\3}+t\cdot \pmatrix{-3\\3\\0}&=& \pmatrix{0\\0\\2} + s\cdot \pmatrix{5\\10\\r-2} &\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{0\\0\\2}\\[5pt] \pmatrix{5\\7\\1}+t\cdot \pmatrix{-3\\3\\0}&=& s\cdot \pmatrix{5\\10\\r-2} \\[5pt] \end{array}$
$ s\cdot \pmatrix{5\\10\\r-2} = … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5s&=& 5-3t\\ \text{II}\quad&10s&=& 7+3t \\ \text{III}\quad&s(r-2)&=& 1 \\ \end{array}$
Du kannst die erste Gleichung nach $s$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 5s&=& 5-3t&\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] s&=& 1-0,6t \end{array}$
$ s=1-0,6t $
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 10s &=& 7+3t &\quad \scriptsize \mid\;s=1-0,6t \\[5pt] 10\cdot (1-0,6t)&=& 7+3t \\[5pt] 10-6t&=& 7+3t &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] -6t &=& -3+3t &\quad \scriptsize \mid\; -3t\\[5pt] -9t &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] t &=& \frac{1}{3} \end{array}$
$ t=\frac{1}{3} $
Für $s$ folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} s &=& 1-0,6t \\[5pt] &=& 1- 0,6\cdot \frac{1}{3}\\[5pt] &=& 0,8 \end{array}$
Und für $r$ folgt dann mithilfe der dritten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} s(r-2) &=& 1&\quad \scriptsize \mid\; s=0,8\\[5pt] 0,8\cdot (r-2)&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :0,8\\[5pt] r-2 &=& 1,25 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] r &=& 3,25 \end{array}$
$ r = 3,25 $
Der untere Eckpunkt an Pfahl 2 hat also die Koordinaten $Z(5\mid 10\mid 3,25).$ Plattform 2 verläuft horizontal, sodass alle Punkte darauf die gleiche $x_3$-Koordinate haben.
Die Punkte auf der Plattform 2 haben also die $x_3$-Koordinate $3.$ Der Befestigungspunkt $Z$ hat von der Plattform daher einen Abstand von $0,25\,\text{m}.$
Bildnachweise [nach oben]
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