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Aufgabe III: Wahlgebiet Lineare Algebra

Aufgaben
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Aufgabe III: Springkraut

1.
In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(0\mid 6\mid 0),$ $C(-4\mid 14\mid 4)$ und $D(-4\mid 8\mid 4)$ gegeben.
$\,$
a)
Zeige rechnerisch, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, und zeichne es in die Abbildung 1 ein.
(3 BE)
#parallelogramm
$\,$
b)
Die Ebene, die parallel zur $xy$-Ebene ist und durch den Punkt $(0\mid0\mid1)$ verläuft, schneidet das Viereck $ABCD$ in einer Strecke.
Bestimme für einen der beiden Endpunkte dieser Strecke die zugehörigen Koordinaten.
(2 BE)
$\,$
c)
Auf der Gerade $AD$ soll ein Punkt $G$ so festgelegt werden, dass die Strecke $\overline{CG}$ zur Gerade $AD$ senkrecht steht.
Berechne die Koordinaten von $G.$
(4 BE)
2.
Indisches Springkraut ist eine Zierpflanze, die Anfang des 19. Jahrhunderts in Mitteleuropa eingeführt wurde. In einem Modell werden Zustände einer Population Indischen Springkrauts in einem abgeschlossenen Gebiet durch Vektoren $\pmatrix{S\\P}$ dargestellt, wobei $S$ die Anzahl der Samen und $P$ die Anzahl der Pflanzen bezeichnet. Die Entwicklung der Population vollzieht sich in zwei Schritten:
  1. Im ersten Schritt von Frühjahrsbeginn bis Herbstbeginn entsteht aus einem durch $\overrightarrow{u}$ beschriebenen Zustand der durch $\overrightarrow{v} = F \cdot \overrightarrow{u}$ dargestellte Zustand. Dabei ist $F = \pmatrix{f_1 & f_2 \\ 0 & 0}$ mit $f_1, f_2 \in \mathbb{R}.$
  2. Im zweiten Schritt entsteht von Herbstbeginn bis zum Beginn des folgenden Frühjahrs aus dem durch $\overrightarrow{v}$ beschriebenen Zustand der durch $H \cdot \overrightarrow{v}$ dargestellte Zustand mit $H = \pmatrix{0,3 & 0 \\ 0,01 & 0}.$
Insgesamt entwickelt sich von einem Frühjahrsbeginn zum nächsten aus einem durch $\overrightarrow{u}$ beschriebenen Zustand der durch $J \cdot \overrightarrow{u}$ dargestellte Zustand mit $J = \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5}.$
$\,$
a)
Bestimme die passenden Werte von $f_1$ und $f_2.$
(3 BE)
$\,$
b)
Zu Beginn eines Frühjahrs sind $1.000$ Samen, aber keine Pflanzen vorhanden.
Berechne für den Beginn des nächsten und für den Beginn des übernächsten Frühjahrs jeweils die Anzahl der Samen und die Anzahl der Pflanzen.
(2 BE)
$\,$
c)
Zu Beginn eines Frühjahrs sind sowohl Samen als auch Pflanzen vorhanden.
Untersuche, ob es im Modell möglich ist, dass sich die Anzahl der Pflanzen zum nächsten Frühjahrsbeginn nicht verändert.
(4 BE)
$\,$
d)
Zu Beginn eines Frühjahrs soll ein bestimmter Anteil der Pflanzen der Population entfernt werden, um zu erreichen, dass der Zustand der Population zu Beginn des nächsten Frühjahrs mit demjenigen unmittelbar vor dem Entfernen der Pflanzen übereinstimmt.
Bestimme den Anteil der zu entfernenden Pflanzen in Prozent.
(7 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe III: Springkraut

1.
a)
$\blacktriangleright$  Parallelogramm zeigen
Damit es sich bei $ABCD$ um ein Parallelogramm handelt, müssen beide Paare gegenüberliegender Seiten jeweils parallel zueinander sein.
Dies ist der Fall, wenn die zugehörigen Vektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{0\\6\\0} \\[5pt] \overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{-4\\8\\4}\\[5pt] \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{-4\\8\\4}\\[5pt] \overrightarrow{DC}&=& \pmatrix{0\\6\\0}\\[5pt] \end{array}$
Es ist also $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks $ABCD$ sind also parallel. Damit handelt es sich bei $ABCD$ um ein Parallelogramm.
$\blacktriangleright$  Parallelogramm einzeichnen
Parallelogramm
Abb. 1: Parallelogramm $ABCD$
Parallelogramm
Abb. 1: Parallelogramm $ABCD$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Endpunkts bestimmen
Da die beiden Eckpunkte $A$ und $B$ auf der $y$-Achse liegen, kann die beschriebene Ebene das Viereck nicht in den Seiten $\overline{AB}$ oder $\overline{CD}$ schneiden. Sie schneidet also die beiden Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}.$ Die beiden gesuchten Endpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Geraden $AD$ und $BC.$
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die beschriebene Ebene wird im Folgenden mit $E$ bezeichnet und ist parallel zur $xy$-Ebene. Es kann daher der Normalenvektor $\pmatrix{0\\0\\1}$ verwendet werden. Der Punkt $P(0\mid 0\mid 1)$ liegt in der Ebene. Durch eine Punktprobe mit der Koordinatenform folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 0x +0x +1z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; P(0\mid 0\mid 1) \\[5pt] 1\cdot 1 &=& d \\[5pt] 1 &=& d \end{array}$
$ d=1 $
$E:\, z = 1$
2. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} AD:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AD}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0} + r\cdot \pmatrix{-4\\8\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4r\\8r\\4r} \\[10pt] BC:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB} + r\cdot \overrightarrow{BC}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\0} + s\cdot \pmatrix{-4\\8\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4s\\6+8s\\4s} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} AD:\, \overrightarrow{x}&= \pmatrix{-4r\\8r\\4r} \\[10pt] BC:\, \overrightarrow{x}&= \pmatrix{-4s\\6+8s\\4s} \\[5pt] \end{array}$
Hier genügt es, nur eine der beiden Geradengleichungen zu bestimmen, da du nur einen der beiden Endpunkte der Strecke bestimmen musst.
3. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Du kannst die Koordinaten der Geradenpunkte in die Ebenengleichung einsetzen. Für $AD$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E: \, z &=& 1 \\[5pt] 4r &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] r &=& \frac{1}{4} \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OP_1} = \pmatrix{-4\cdot \frac{1}{4}\\8\cdot \frac{1}{4}\\4\cdot \frac{1}{4}} = \pmatrix{-1\\2 \\ 1}$
Für $BC$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E: \, z &=& 1 \\[5pt] 4s &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] s &=& \frac{1}{4} \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OP_2} = \pmatrix{-4\cdot \frac{1}{4}\\6+8\cdot \frac{1}{4}\\4\cdot \frac{1}{4}} = \pmatrix{-1\\8 \\ 1}$
Die Koordinaten der beiden Endpunkte der Strecke lauten $P_1(-1\mid 2\mid 1)$ und $P_2(-1\mid 8 \mid 1).$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Für die Gerade $AD$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} AD:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AD}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0} + r\cdot \pmatrix{-4\\8\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4r\\8r\\4r} \\[10pt] \end{array}$
$ AD:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{-4r\\8r\\4r} $
Da der Punkt $G$ auf der Geraden $AD$ liegt, hat er die Koordinaten $G(-4t \mid 8t\mid 4t).$
Damit die Strecke $\overline{CG}$ senkrecht zur Gerade $AD$ verläuft, muss das Skalarprodukt von $\overrightarrow{CG}$ und dem Richtungsvektor der Geraden $AD$ Null ergeben:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{CG} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{-4\\8\\4} \circ \pmatrix{-4t +4\\ 8t-14 \\ 4t-4} &=& 0 \\[5pt] 16t -16 +64t - 112+16t -16&=& 0 \\[5pt] 96t - 144 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+144 \\[5pt] 96t &=& 144&\quad \scriptsize \mid\; :96 \\[5pt] t &=& 1,5 \end{array}$
$ t=1,5 $
Es ist also $\overrightarrow{OG} = \pmatrix{-6\\12\\6}.$ Die Koordinaten von $G$ lauten also $G(-6\mid 12\mid 6).$
#skalarprodukt
2.
a)
$\blacktriangleright$  Passende Werte bestimmen
Der Zustand zum Beginn eines Frühjahrs wird mit $\overrightarrow{u}_1$ beschrieben. Der Zustand zu folgendem Herbstbeginn kann dann durch $\overrightarrow{v}_1 = F\cdot \overrightarrow{u}_1$ beschrieben werden.
Der Zustand zum folgenden Frühjahrsbeginn kann dann durch $\overrightarrow{u}_2 = H\cdot \overrightarrow{v}_1$ beschrieben werden.
Es ist also: $\overrightarrow{u}_2 =H\cdot \overrightarrow{v}_1 = H\cdot F\cdot \overrightarrow{u}_1.$
Gleichzeitig ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Zustand zum folgenden Frühjahrsbeginn aus dem Zustand des vorherigen Frühjahrsbeginns wie folgt entsteht: $\overrightarrow{u}_2 = J\cdot \overrightarrow{u}_1.$
Es muss also $H\cdot F\cdot \overrightarrow{u}_1 = J\cdot \overrightarrow{u}_1$ sein, also $H\cdot F = J.$
$\begin{array}[t]{rll} H\cdot F&=& J \\[5pt] \pmatrix{0,3 & 0 \\ 0,01 & 0} \cdot \pmatrix{f_1 & f_2 \\ 0 & 0} &=& \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5} \\[5pt] \pmatrix{0,3\cdot f_1 & 0,3\cdot f_2 \\ 0,01\cdot f_1 & 0,01\cdot f_2 }&=& \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5} \\[5pt] \end{array}$
$ …= \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5} $
Für $f_1$ müssen also folgende Gleichungen gelten:
  • $0,3\cdot f_1 = 0,3 $
  • $0,01 \cdot f_1 = 0,01$
Diese sind für $f_1= 1$ erfüllt. Für $f_2$ muss beispielsweise folgende Gleichung erfüllt sein:
$\begin{array}[t]{rll} 0,3\cdot f_2 &=& 150 &\quad \scriptsize \mid\;:0,3 \\[5pt] f_2 &=& 500 \end{array}$
Die zweite Gleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} 0,01\cdot f_2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :0,01\\[5pt] f_2 &=& 500 \end{array}$
Passende Werte sind also $f_1 = 1$ und $f_2 = 500.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahlen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_0 &=& \pmatrix{1.000 \\ 0}\\[5pt] \overrightarrow{v}_1 &=& J\cdot \overrightarrow{v}_0 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,3& 150 \\ 0,01 & 5 }\cdot \pmatrix{1.000\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{300 \\ 10} \\[10pt] \overrightarrow{v}_2 &=& J\cdot \overrightarrow{v}_1 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,3& 150 \\ 0,01 & 5 }\cdot \pmatrix{300\\10} \\[5pt] &=& \pmatrix{1.590 \\ 53} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_0 &= \pmatrix{1.000 \\ 0}\\[5pt] \overrightarrow{v}_1 &= \pmatrix{300 \\ 10} \\[10pt] \overrightarrow{v}_2 &= \pmatrix{1.590 \\ 53} \\[10pt] \end{array}$
Im nächsten Frühjahr sind $300$ Samen und $10$ Pflanzen vorhanden, im übernächsten sind $1.590$ Samen und $53$ Pflanzen vorhanden.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Verteilung untersuchen
Gesucht ist ein Zustand $\pmatrix{S\\ P}$ mit $J \cdot \pmatrix{S\\ P} = \pmatrix{S'\\P}.$
$\begin{array}[t]{rll} J \cdot \pmatrix{S\\ P} &=& \pmatrix{S'\\P} \\[5pt] \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5}\cdot \pmatrix{S\\ P} &=& \pmatrix{S'\\ P} \\[5pt] \pmatrix{0,3 S + 150 P \\ 0,01 S + 5P } &=& \pmatrix{S'\\P} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0,3 S + 150 P \\ 0,01 S + 5P } = \pmatrix{S'\\P} $
Es müsste also folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 0,01 S + 5P &=& P &\quad \scriptsize \mid\;-5P \\[5pt] 0,01S&=&-4P &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] -0,0025S&=& P \end{array}$
$ P=-0,0025S $
Damit dies gilt, müsste entweder $S$ oder $P$ negativ sein oder $S=P=0.$ Ersteres ist im Sachzusammenhang allerdings nicht möglich, letzteres ist laut Aufgabenstellung nicht der Fall, da es sowohl Samen als auch Pflanzen gibt.
Im Modell ist es also nicht möglich, dass sich die Anzahl der Pflanzen im nächsten Frühjahrsbeginn nicht verändert.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Der Zustand vor dem Entfernen der Pflanzen wird durch $\pmatrix{S\\P}$ beschrieben. Bezeichnet man mit $p$ den Anteil der Pflanzen, die nicht entfernt werden, dann ist der Zustand nach dem Entfernen der Pflanzen $\pmatrix{S\\ p\cdot P}.$ $p$ soll nun so gewählt werden, dass $J\cdot \pmatrix{S\\ p\cdot P} = \pmatrix{S \\ P}$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0,3 & 150 \\ 0,01 & 5}\cdot \pmatrix{S\\ p\cdot P} &=& \pmatrix{S\\ P} \\[5pt] \pmatrix{0,3\cdot S + 150\cdot p\cdot P \\ 0,01\cdot S + 5\cdot p\cdot P} &=& \pmatrix{S\\ P} \\[5pt] \end{array}$
$ …=\pmatrix{S\\ P} $
Aus der ersten Zeile folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,3\cdot S + 150 \cdot p \cdot P &=& S &\quad \scriptsize \mid\; -0,3\cdot S\\[5pt] 150 \cdot p \cdot P &=& 0,7\cdot S &\quad \scriptsize \mid\;:0,7 \\[5pt] \frac{1.500}{7}\cdot p\cdot P&=& S \end{array}$
$ S=\frac{1.500}{7}\cdot p\cdot P $
Für die zweite Zeile folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} 0,01\cdot S + 5\cdot p\cdot P &=& P &\quad \scriptsize \mid\; S=\frac{1.500}{7}\cdot p\cdot P \\[5pt] 0,01\cdot \frac{1.500}{7}\cdot p\cdot P + 5\cdot p\cdot P &=& P \\[5pt] \frac{15}{7}\cdot p\cdot P &=& P &\quad \scriptsize \mid\; :P\neq 0\\[5pt] \frac{50}{7}\cdot p &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{50}{7} \\[5pt] p &=& \frac{7}{50}\\[5pt] &=& 14\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ p=14\,\% $
Es dürfen also nur $14\,\%$ der Pflanzen übrig bleiben. Wenn $86\,\%$ der Pflanzen entfernt werden, entspricht die Population im nächsten Frühjahr also wieder der Population vor dem Entfernen der Pflanzen.
Bildnachweise [nach oben]
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