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Aufgabe IV: Stochastik

Aufgaben
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1.
Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
FarbeBlauRotGrün
Mittelpunktswinkel$180^{\circ}$$120^{\circ}$$60^{\circ}$
FarbeMittelpunktswinkel
Blau$180^{\circ}$
Rot$120^{\circ}$
Grün$60^{\circ}$
Für einen Einsatz von $5\,\text{Euro}$ darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm $10\,\text{Euro}$ ausgezahlt.
Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}.$
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls $\frac{1}{6}$ beträgt.
(2 BE)
$\,$
b)
Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen.
Berechne den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
(3 BE)
$\,$
c)
Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
Bestimme die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.
(5 BE)
#baumdiagramm
2.
Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
$50$ Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Genau zwei der Teile sind fehlerhaft.“
„Mindestens $6\,\%$ der Teile sind fehlerhaft.“
(3 BE)
$\,$
b)
Ermittle, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens drei Teile keinen Fehler haben.
(4 BE)
$\,$
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Daher soll ein Hypothesentest mit einer Stichprobe von $200$ Teilen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ durchgeführt werden. Dabei wird die Nullhypothese wie folgt gewählt:
„Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens $4\,\%.$“
#hypothesentest
$\,$
c)
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
(5 BE)
$\,$
d)
Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Gib an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründe deine Angabe.
(3 BE)
Anlage zur Aufgabe „Kunststoffteile“
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n=200.$ Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen liegen, würden durch das Runden auf $4$ Dezimalen den Wert $1,0000$ enthalten.
ABCDEFGHIJKLMNO
1
2
nkp
3
0,020,030,040,050,11/60,20,301/30,400,50
4
20000,01760,00230,00030,0000199
5
10,08940,01620,00270,0004198
6
20,23510,05930,01250,0023197
7
30,43150,14720,03950,0090196
8
40,62880,28100,09500,0264195
9
50,78670,44320,18560,06230,0000194
10
60,89140,60630,30840,12370,0001193
11
70,95070,74610,45010,21330,0005192
12
80,97980,85040,59260,32700,0014191
13
90,99250,91920,71920,45470,0035190
14
100,99750,95990,82000,58310,0081189
15
110,99920,98160,89250,69980,0168188
16
120,99980,99220,94010,79650,0320187
17
130,99990,99690,96880,87010,0566186
18
140,99890,98480,92190,09290,0000185
19
150,99960,99300,95560,14310,0001184
20
160,99990,99700,97620,20750,0003183
21
170,99880,98790,28490,0006182
22
180,99950,99420,37240,0013181
23
190,99980,99730,46550,00270,0000180
24
200,99990,99880,55920,00520,0001179
25
210,99950,64840,00940,0002178
26
220,99980,72900,01630,0005177
27
230,99990,79830,02690,0010176
28
240,85510,04260,0020175
29
250,89950,06480,0036174
30
260,93280,09450,0064173
31
270,95660,13290,0110172
32
280,97290,18030,0179171
33
290,98370,23660,0283170
34
300,99050,30070,0430169
35
310,99460,37110,0632168
36
320,99710,44540,0899167
37
330,99850,52100,1239166
38
340,99920,59530,1656165
39
350,99960,66580,21510,0000164
40
360,99980,73050,27170,0001163
41
370,99990,78770,33450,0001162
42
380,83690,40190,0003161
43
390,87770,47180,0005160
44
400,91060,54220,0009159
45
410,93620,61080,00160,0000158
46
420,95560,67580,00270,0001157
47
430,96990,73550,00450,0002156
48
440,98010,78870,00720,0003155
49
450,98720,83490,01110,0005154
50
460,99190,87380,01690,0009153
51
470,99500,90560,02490,0016152
52
480,99700,93100,03590,0026151
53
490,99830,95060,05060,0042150
54
500,99900,96550,06950,0067149
55
510,99950,97640,09340,0103148
56
520,99970,98430,12280,0154147
57
530,99980,98970,15790,02260,0000146
58
540,99990,99340,19880,03230,0001145
59
550,99590,24550,04530,0002144
60
560,99750,29720,06210,0003143
61
570,99850,35320,08330,0005142
62
580,99910,41230,10940,0008141
63
590,99950,47330,14090,0013140
64
600,99970,53480,17780,0021139
65
610,99980,59530,22020,0034138
66
620,99990,65330,26770,0052137
67
630,70790,31980,0080136
68
640,75790,37550,0119135
69
650,80280,43380,0173134
70
660,84210,49340,0247133
71
670,87580,55300,0346132
72
680,90400,61130,0475131
73
690,92720,66700,0639130
74
700,94580,71920,0844129
75
710,96040,76700,1094128
76
720,97160,80970,13930,0000127
77
730,98000,84730,17420,0001126
78
740,98620,87940,21420,0001125
79
750,99060,90650,25900,0002124
80
760,99380,92870,30800,0004123
81
770,99590,94660,36070,0007122
82
780,99740,96070,41610,0011121
83
790,99840,97160,47320,0018120
84
800,99900,97990,53070,0028119
85
810,99940,98600,58750,0044118
86
820,99960,99040,64240,0066117
87
830,99980,99360,69450,0097116
88
840,99990,99580,74280,0141115
89
850,99990,99730,78680,0200114
90
860,99830,82610,0280113
91
870,99890,86030,0384112
92
880,99930,88970,0518111
93
890,99960,91430,0687110
94
900,99980,93450,0895109
95
910,99990,95080,1146108
96
920,99990,96370,1444107
97
930,97370,1790106
98
940,98120,2184105
99
950,98690,2623104
100
960,99100,3104103
101
970,99390,3619102
102
980,99600,4160101
103
990,99740,4718100
104
1000,99830,528299
105
1010,99890,584098
106
1020,99930,638197
107
1030,99960,689696
108
1040,99980,737795
109
1050,99990,781694
110
1060,99990,821093
111
1070,855692
112
1080,885491
113
1090,910590
114
1100,931389
115
1110,948288
116
1120,961687
117
1130,972086
118
1140,980085
119
1150,985984
120
1160,990383
121
1170,993482
122
1180,995681
123
1190,997280
124
1200,998279
125
1210,998978
126
1220,999377
127
1230,999676
128
1240,999875
129
1250,999974
130
1260,999973
131
nk0,950,905/60,800,750,702/30,600,550,50k
132
p
#binomialsummenfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Farben nachweisenAufgabe IV: Stochastik
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben sind:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Blau})&=& \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(\text{Rot})&=& \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(\text{Grün})&=& \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] \end{array}$
Jede Farbe soll genau einmal gedreht werden. Das Experiment kann mit dem Ziehen mit Zurücklegen verglichen werden. Verwende die Pfadregeln. Die Anzahl der Pfade entspricht der Anzahl der möglichen Permutationen von drei Elementen, kann also mithilfe der Fakultät berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{drei verschiedene Farben})&=& 3! \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$
$ … = \frac{1}{6} $
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Auszahlung berechnen
Der erwartete Gewinn soll auf Null herauskommen. Betrachtet wird die Zufallsgröße $G,$ die den zufälligen Gewinn des Spielers beschreibt. Mit $a$ wird der Betrag bezeichnet, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
$\begin{array}[t]{rll} E(G)&=& 0 \,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot 10 \,€ + \frac{1}{6}\cdot a + \frac{4}{6}\cdot 0\,€- 5\,€ &=& 0\,€ \\[5pt] -\frac{10}{3}\,€+\frac{1}{6}\cdot a &=& 0\,€ &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{10}{3}\,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot a &=& \frac{10}{3}\,€ &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt] a&=& 20\,€ \end{array}$
$ a= 20\,€ $
Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, werden $20\,€$ ausgezahlt.
#erwartungswert
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Größe des Mittelpunktswinkels bestimmen
Bezeichne die Wahrscheinlichkeit für blau mit $q.$ Die Wahrscheinlichkeit für grün wird laut Abbildung mit $p$ bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für rot ist dann $2p.$
Für $q$ gilt daher:
$q = 1-p-2p = 1-3p$
Mit der Pfadmultiplikationsregel und der angegebenen Pfadwahrscheinlichkeit aus der Abbildung kannst du folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(R-B)&=& 0,14 \\[5pt] P(R) \cdot P(B)&=& 0,14 \\[5pt] 2p \cdot (1-3p)&=& 0,14 \\[5pt] 2p -6p^2 &=& 0,14 &\quad \scriptsize \mid\;-0,14 \\[5pt] -6p^2 +2p -0,14 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] p^2 -\frac{1}{3}p +\frac{7}{300} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt] p_{1,2} &=& -\frac{-\frac{1}{3}}{2}\pm \sqrt{\left( -\frac{1}{3}\right)^2 -\frac{7}{300}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\pm \frac{1}{15} \\[5pt] p_1 &=& \frac{1}{6}+ \frac{1}{15} \\[5pt] &=& \frac{7}{30} \\[10pt] p_2 &=& \frac{1}{6}- \frac{1}{15} \\[5pt] &=& \frac{1}{10} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(R-B)&=& 0,14 \\[5pt] … \\[5pt] p_1 &= \frac{7}{30} \\[10pt] p_2 &=\frac{1}{10} \\[5pt] \end{array}$
$p$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Sektor. Es ist $p_1=\frac{7}{30} > \frac{1}{6}.$ Da der grüne Sektor aber verkleinert werden soll, kommt nur $p_2= \frac{1}{10}$ infrage.
Für die Wahrscheinlichkeit $q$ des blauen Sektors folgt damit:
$q = 1-3p = 1-3\cdot \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$
Der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors nimmt von den gesamten $360^{\circ}$ also einen Anteil von $ \frac{7}{10}$ ein:
$360^{\circ} \cdot \frac{7}{10} =252^{\circ}$
Der neue Mittelpunktswinkel des blauen Sektors ist also $252^{\circ}$ groß.
#pfadregeln
2.
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $50$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,04$ angenommen werden.
Mit der Formel zur Binomialverteilung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=2) \\[5pt] &=& \binom{50}{2}\cdot 0,04^2\cdot (1-0,04)^{50-2} \\[5pt] &\approx& 0,2762 \\[5pt] &=& 27,62\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 27,62\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $27,62\,\%$ sind genau zwei der Teile fehlerhaft.
Für Ereignis $B$ ergibt sich mithilfe des Gegenereignisses:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 0,06\cdot 50) \\[5pt] &=& P(X\geq 3) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 2) \\[5pt] &=& 1-\left( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \right) \\[5pt] &\approx& 1-\left(0,96^{50} + \binom{50}{1}\cdot 0,04^1\cdot 0,96^{49}+ 0,2762 \right) \\[5pt] &\approx& 1-\left(0,1299 +0,2706 + 0,2762 \right) \\[5pt] &=& 0,3233 \\[5pt] &=& 32,33\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(B)\approx 32,33\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $32,33\,\%$ sind mindestens $6\,\%$ der Teile fehlerhaft.
#gegenereignis
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Teile ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der fehlerfreien Teile in einer zufälligen Stichprobe von $n$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,96$ angenommen werden.
Gesucht ist dann das kleinste $n,$ sodass gerade noch $P(X_n \geq 3) \geq 0,95$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 3) &\geq& 0,95 \\[5pt] 1-P(X_n \leq 2)&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(X_n \leq 2)&\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_n \leq 2)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(X_n =0) + P(X_n =1) + P(X_n = 2) &\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,96^0 \cdot 0,04^n + \binom{n}{1}\cdot 0,96^1 \cdot 0,04^{n-1} + \binom{n}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{n-2} &\leq& 0,05 \\[5pt] 0,04^n +n\cdot 0,96 \cdot 0,04^{n-1} + \binom{n}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{n-2} &\leq& 0,05 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 3) &\geq& 0,95 \\[5pt] … \end{array}$
Probiere nun verschiedene Werte von $n$ aus:
  • $n=50:\;$ $0,04^{50} +50\cdot 0,96 \cdot 0,04^{50-1} + \binom{50}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{50-2} \approx 9\cdot 10^{-65} \approx 0$
  • $n=5:\;$ $0,04^{5} +5\cdot 0,96 \cdot 0,04^{5-1} + \binom{5}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{5-2} \approx 0,0006$
  • $n=4:\;$ $0,04^{4} +4\cdot 0,96 \cdot 0,04^{4-1} + \binom{4}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{4-2} \approx 0,0091$
  • $n=3:\;$ $0,04^{3} +3\cdot 0,96 \cdot 0,04^{3-1} + \binom{3}{2}\cdot 0,96^2 \cdot 0,04^{3-2} \approx 0,1153$
  • $n=50:\;$ $… \approx 0$
  • $n=5:\;$ $…\approx 0,0006$
  • $n=4:\;$ $… \approx 0,0091$
  • $n=3:\;$ $… \approx 0,1153$
$n=3$ ist also zu klein, das kleinste $n,$ für das die Gleichung erfüllt ist, ist $n= 4.$
Es müssen also mindestens $4$ Kunststoffteile zufällig ausgewählt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens drei fehlerfreie Teile sind.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $200$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.
Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\quad p \geq 0,04$
mit der Gegenhypothese $H_1:\quad p < 0,04$
auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$
Trifft die Nullhypothese im Extremfall zu, ist $p=0,04.$ Gesucht ist nun die größte Anzahl fehlerhafter Teile $k,$ die in der Stichprobe gefunden werden darf, sodass die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird.
Mit dem Signifikanzniveau ergibt sich die Gleichung:
$P(X_{0,04} \leq k) \leq 0,05$
Du kannst mithilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,04$ die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von $k$ vergleichen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{0,04}\leq 3)&\approx& 0,0395 \\[5pt] P(X_{0,04}\leq 4)&\approx& 0,0950 \\[5pt] \end{array}$
Sind also von den $200$ Teilen höchstens $3$ fehlerhaft, wird die Nullhypothese verworfen und man kann auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile durch das neue Granulat verbessert hat.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$ Hintergrund der Hypothese angeben
Durch die Wahl der Nullhypothese $H_0: p\geq 0,04$ und des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise davon ausgeht, dass das neue Granulat besser ist, obwohl es eigentlich eine schlechtere oder gleichschlechte Fehlerquote hat wie das alte, auf maximal $5\,\%$ begrenzt.
Das Unternehmen möchte also möglichst verhindern, dass das alte Granulat durch das neue teurere ausgetauscht wird, obwohl die Fehlerquote nicht geringer ist. In dem Fall, würde sich die Qualität der Produktion nicht verbessern, aber die Kosten würden ansteigen.
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