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Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

Aufgaben
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I.1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f:\, x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch bzgl. der $y$-Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.
a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.
(1 BE)
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließen.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool#symmetrie

I.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände $A$ und $B$. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n\in\mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände $A$ und $B$ durch den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v_n}=\pmatrix{a_n\\b_n}$ beschrieben.
Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand $A$ befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand $B$ befindet.
Zum Zeitpunkt $0$ sind beide Anteile größer als null. Die Abbildung $2$ beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.
Die Entwicklung der Verteilung wird durch die Gleichung $\overrightarrow{v_{n+1}}=M\cdot\overrightarrow{v_n}$ mit $M=\pmatrix{\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&1}$ beschrieben.
#übergangsmatrix#übergangsgraph
a)
Beschreibe mithilfe der Abbildung 2, wie sich die Verteilung auf lange Sicht entwickelt.
(2 BE)
b)
Bestimme mithilfe des Terms $M\cdot \pmatrix{a_n\\b_n}$ den kleinsten Wert von $n$, für den der Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand $A$ befindet, bis zum Zeitpunkt $n$ auf weniger als $10 \,\%$ seines Werts zum Zeitpunkt $0$ abnimmt
(3 BE)

I.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\2\\0}+ \text r \cdot \pmatrix{2\\4\\1}$ mit $ \text r \in\mathbb{R}$ und die Ebene $E:x_1+2x_2-2x_3=2$ schneiden sich im Punkt $S$.
a)
Berechne die Koordinaten von $S$.
(3 BE)
b)
Der Punkt $P_1$ liegt auf $g$, aber nicht in $E$. Die Abbildung 2 zeigt die Ebene $E$, die Gerade $g$ sowie einen Repäsentanten des Vektors $\overrightarrow{SP_1}$.
Für den Punkt $P_2$ gilt
$\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OP_1}-4\cdot \overrightarrow{SP_1}$, wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Zeichne die Punkte $S,P_1$ und $P_2$ in die Abbildung 2 ein.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool

I.3 Stochastik

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit "$0$" beschriftet, einer mit "$1$" und einer mit "$2$", die beiden anderen Sektoren sind mit "$9$" beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,0,1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

I.4.1 Analysis

Die Abbildung 3 zeigt den Graphen $G_g$ einer in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktion $g$.
Betrachtet wird eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$, für deren erste Ableitungsfunktion
$f'(x)= \mathrm {e}^{g(x)}$ gilt.
a)
Untersuche, ob der Graph von $f$ einen Extrempunkt hat.
(2 BE)
b)
Untersuche, ob der Graphh von $f$ einen Wendepunkt hat.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#extrempunkt#wendepunkt

I.4.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

Für jede Matrix $M=\pmatrix{a&b\\c&d}$ und $a,b,c,d \in\mathbb{R}$ heißt die Matrix $M^T=\pmatrix{a&c\\b&d}$ transponierte Matrix von $M$. Eine Matrix $M$ heißt orthogonal, wenn $M^T\cdot M=\pmatrix{1&0\\0&1}$ gilt.
a)
Zeige, dass die Matrix $\pmatrix{\dfrac{3}{5}&-\dfrac{4}{5}\\\dfrac{4}{5}&\dfrac{3}{5}}$ orthogonal ist.
(2 BE)
b)
Untersuche, ob die Matrix $\pmatrix{0&1\\1&0}^{101}$ orthogonal ist.
(3 BE)
#matrix

I.4.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

a)
Die Ebene $E:3x_1+2x_2+2x_3=6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
b)
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

I.4.3 Stochastik

Eine Urne $A$ ist mit fünf roten und fünf blauen Kugeln gefüllt, eine Urne $B$ mit $n$ roten und $3\cdot n$ blauen, wobei $n>0$ gilt.
Aus der Urne $A$ wird eine Kugel zufällig entnommen und in die Urne $B$ gelegt.
Danach wird aus der Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in die Urne $A$ gelegt. Nun befindet sich in der Urne $A$ eine unbekannte Anzahl roter Kugeln.
a)
Gib alle Möglichkeiten für diese unbekannte Anzahl an.
(1 BE)
b)
Für einen bestimmten Wert von $n$ beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die unbekannte Anzahl roter Kugeln in der Urne $A$ fünf ist, $\frac{15}{29}$.
Bestimme diesen Wert von $n$.
(4 BE)
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I.1 Analysis

a)
Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
b)
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Fläche
Abb. 1: Skizze
Fläche
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

I.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

a)
Der Abbildung kann man entnehmen, dass ein Übergang zwischen den Zuständen nur von A nach B stattfindet. Ist Zustand B einmal erreicht, bleibt er und geht nicht mehr in A über.
Der Bestand in Zustand A nimmt also ständig ab, der in Zustand B nimmt zu.
Auf lange Sicht wird sich also nahezu der gesamte Bestand in Zustand B befinden und ein immer geringerer Anteil in Zustand A.
b)
Gesucht ist $n\in\mathbb{N}$ mit: $a_n < \frac{1}{10}\cdot a_0.$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v_1} &=& M \cdot \overrightarrow{v_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1} \cdot \pmatrix{a_0 \\ b_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{2}\cdot a_0 \\ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[10pt] \overrightarrow{v_2} &=& M \cdot \overrightarrow{v_1} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1} \cdot \pmatrix{\frac{1}{2}\cdot a_0 \\ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{4}\cdot a_0 \\\frac{1}{4}\cdot a_0+ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[10pt] \overrightarrow{v_3} &=& M \cdot \overrightarrow{v_2} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1} \cdot \pmatrix{\frac{1}{4}\cdot a_0 \\\frac{1}{4}\cdot a_0+ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{8}\cdot a_0 \\\frac{1}{8}\cdot a_0+ \frac{1}{4}\cdot a_0+ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[10pt] \overrightarrow{v_4} &=& M \cdot \overrightarrow{v_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1} \cdot \pmatrix{\frac{1}{8}\cdot a_0 \\\frac{1}{8}\cdot a_0+ \frac{1}{4}\cdot a_0+ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1}{16}\cdot a_0 \\\frac{1}{16}\cdot a_0 + \frac{1}{8}\cdot a_0+ \frac{1}{4}\cdot a_0+ \frac{1}{2}\cdot a_0 + b_0} \\[10pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v_4} = \pmatrix{\frac{1}{16}\cdot a_0 \\\frac{1}{16}\cdot a_0 +…} $
Es ist $a_4 = \frac{1}{16}\cdot a_0 < \frac{1}{16}\cdot a_0.$ Für $n=4$ nimmt der Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand A befindet, also erstmals auf weniger als $10\,\%$ des Werts zum Zeitpunkt 0 ab.

I.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

a)
Für die Punkte auf der Geraden $g$ gilt:
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{0\\2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\4\\1} = \pmatrix{2r \\ 2+4r \\ r}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{2r \\ 2+4r \\ r} $
Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x_1+2x_2-2x_3 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\left(2r \mid 2+4r \mid r\right) \\[5pt] 2r + 2\cdot (2+4r) -2\cdot r &=& 2 \\[5pt] 2r +4 +8r -2r &=& 2 \\[5pt] 8r +4 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 8r &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] r &=& -\frac{1}{4} \end{array}$
$ r=-\frac{1}{4} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\0} -\frac{1}{4}\cdot \pmatrix{2\\4\\1} = \pmatrix{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4}}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4}} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $E$ lauten also $S\left( -\frac{1}{2} \mid 1 \mid -\frac{1}{4}\right).$
b)
$S$ ist der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene. Zeichne diesen zuerst ein. $P_1$ erhältst du dann, indem du den eingezeichneten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ an $S$ anlegst. Anschließend erhältst du $P_2,$ indem du ausgehend von $P_1$ viermal den entgegengesetzten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ anlegst.
Schnittpunkt
Abb. 2: Einzeichnen der Punkte
Schnittpunkt
Abb. 2: Einzeichnen der Punkte

I.3 Stochastik

a)
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
b)
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$

I.4.1 Analysis

a)
Damit der Graph von $f$ an einer Stelle $x_E$ einen Extrempunkt besitzt, muss das notwendige Kriterium $f'(x_E)=0$ für diese Stelle $x_E$ erfüllt sein.
Es ist $f'(x)= \mathrm e^{g(x)} >0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Es gibt also keine Stelle $x,$ an der das notwendige Kriterium für Extremstellen von $f$ erfüllt ist. Der Graph von $f$ besitzt keinen Extrempunkt.
b)
Wendestellen von $f$ entsprechen Extremstellen der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'.$
Es ist $f'(x) = \mathrm e^{g(x)}.$ Der Abbildung ist zu entnehmen, dass der Graph von $g$ einen Hochpunkt besitzt. Da die Funktion $\mathrm e^x$ streng monoton wachsend ist, muss daher auch der Graph zu $\mathrm e^{g(x)}$ einen Hochpunkt besitzen.
Damit besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt.

I.4.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

a)
$\pmatrix{\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}}^T = \pmatrix{\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\-\frac{4}{5} & \frac{3}{5} }$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}}^T \cdot \pmatrix{\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}} &=& \pmatrix{\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\-\frac{4}{5} & \frac{3}{5} } \cdot \pmatrix{\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 & 0 \\ 0& 1} \\[5pt] \end{array}$
$ … =\pmatrix{1 & 0 \\ 0& 1} $
Die angegebene Matrix ist also orthogonal.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0} \cdot \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0} =& \pmatrix{1&0 \\ 0&1} \\[10pt] \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^2 \cdot \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0} =& \pmatrix{0&1 \\ 1&0} \\[10pt] \end{array}$
Für gerade Exponenten $n$ gilt also $\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^n = \pmatrix{1&0 \\ 0&1} $ und für ungerade Exponenten $n$ gilt $\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^n = \pmatrix{0&1 \\ 1&0}.$
Also ist $\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^{101} = \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}.$ Für die transponierte Matrix gilt:
$\left(\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^{101} \right)^T = \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}.$
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^{101} \right)^T \cdot \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^{101} &=& \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0} \cdot \pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{1&0 \\ 0&1} \end{array}$
$ … =\pmatrix{1&0 \\ 0&1} $
Die Matrix $\pmatrix{0 & 1 \\ 1& 0}^{101}$ ist also ebenfalls orthogonal.

I.4.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

a)
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 3x_1 +2x_2 +2x_3 &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \frac{6}{7} \end{array}$
$ t = \frac{6}{7} $
Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$
b)
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$
Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.

I.4.3 Stochastik

a)
Die unbekannte Anzahl roter Kugeln in Urne A kann entweder $4,$ $5$ oder $6$ betragen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} P(5) &=& \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{n+1}{n+1+3n} + \dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{3n+1}{n+3n+1} \\[5pt] P(5)&=& \dfrac{n+1}{2(n+1+3n)} + \dfrac{3n+1}{2(n+3n+1)} \\[5pt] P(5)&=& \dfrac{n+1+3n+1}{2(n+3n+1)}\\[5pt] P(5)&=& \dfrac{4n+2}{2(n+3n+1)} \\[5pt] P(5)&=& \dfrac{2n+1}{4n+1}&\quad \scriptsize \mid\; P(5) =\dfrac{15}{29} \\[5pt] \dfrac{15}{29} &=& \dfrac{2n+1}{4n+1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (4n+1) \\[5pt] \dfrac{60}{29}n+\dfrac{15}{29} &=& 2n+1 &\quad \scriptsize \mid\;-2n \\[5pt] \dfrac{2}{29}n+\dfrac{15}{29} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{15}{29} \\[5pt] \dfrac{2}{29}n &=& \dfrac{14}{29} &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{2}{29} \\[5pt] n &=& 7 \end{array}$
$ n=7 $
#pfadregeln#integral
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