Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Smarter Learning
  • Prüfungsvorbereitung
    • Original-Prüfungsaufgaben 2004-2020
    • Abitur und Abschlussprüfungen aller Schularten und Bundesländer
  • Digitales Schulbuch
    • Spickzettel, Aufgaben und Lösungen
    • Lernvideos
  • Lektürehilfen
    • Über 30 Lektüren und Pflichtlektüren
  • Mein SchulLV
    • Eigene Inhaltsverzeichnisse
    • Eigene Favoritenlisten
über 8 Fächer
Jetzt freischalten
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HH, Stadtteilschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur gA (WTR)
Mittlerer Schulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur gA (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur gA (WTR)
Mittlerer Schulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs

Aufgabe II: Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Aufgabe II: Laktatkonzentration

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_k$ der Funktion $k$ mit
$k(x)=\dfrac{1}{40}\cdot (x^3-30x^2+288x-815)$
und $x\in\mathbb{R}$.
1.
Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für $8,5 \leq x \leq 17,5$ modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und $k(x)$ die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter $(^{mmol}/l)$.
$\,$
a)
Der Tabelle 1 können einzelne Werte entnommen werden, die während des Test gemessen wurden.
Geschwindigkeit in $^{\text {km}}/h$$9$$13 $$17 $
Laktatkonzentration in $^{\text {mmol}}/l$$1,92$$1,44$$8,09$
$x$$y$
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
Tab.1
Ermittle die prozentuale Abweichung der Laktatkonzentration, die das Modell für eine Geschwindigkeit von $13 \, ^{\text {km}}/ \text {h}$ liefert, vom zugehörigen Messwert.
(2 BE)
$\,$
b)
Bestimme im Modell mithilfe von Abbildung 1 die Geschwindigkeit, ab der die Laktatkonzentration ansteigt, sowie die Geschwindigkeit, bei der die Laktatkonzentration $3,25 \, ^{\text {mmol}}/l$ überschreitet.
(2 BE)
$\,$
c)
Ermittle rechnerisch, bei welcher Geschwindigkeit die Laktatkonzentration im Modell am stärksten abnimmt.
(4 BE)
$\,$
d)
Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von $12,0 \, ^{\text{km}}/h$ bis $17,5 \, ^{\text {km}}/h$ die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
(3 BE)
2.
Der Graph von $k$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W(10\mid \frac{13}{8})$. Betrachtet werden die Geraden, die durch $W$ verlaufen
$\,$
a)
Eine Gerade durch $W$ mit negativer Steigung hat mit dem Graphen von $k$ keinen weiteren Punkt gemeinsam.
Ermittle alle Steigungen, die diese Gerade haben könnte.
(3 BE)
$\,$
b)
Die $y$-Koordinate des Schnittpunkts einer der durch $W$ verlaufenden GEraden mit der $y$-Achse wird mit $n$ bezeichnet.
Stelle einen Term auf, der $n$ in Abhängigkeit von der Steigung $m$ dieser Gerade angibt.
(2 BE)
$\,$
c)
Zeige rechnerisch, dass der Graph $G_g$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit
$g(x)=\dfrac{13}{40}\cdot(x-5)$

durch $W$ verläuft.
Zeichne diese Gerade in die Abbildung 1 ein.
(3 BE)
$\,$
d)
Beschreibe mithilfe der Abbildung 1, wie man die Lösungen der Gleichung $k(x)-g(x)=0$ grafisch ermitteln kann.
Gib die Lösungen der Gleichung an.
(3 BE)
$\,$
e)
Begründe ohne zu rechnen, dass $\displaystyle\int_{5}^{15}k(x)\;\mathrm dx= \dfrac{1}{2}\cdot(15-5)\cdot k(15)$ gilt.
(4 BE)
#integral
$\,$
f)
Begründe mithile der Abbildung 1, dass es eine reelle Zahl $z$ mit $4< z < 5$ gibt, für die $\displaystyle\int_{z}^{z+1}k(x)\;\mathrm dx=0$ gilt.
(3 BE)
#integral
3.
Neben der Funktion $g$ aus Aufgabe 2 wird im Folgenden die Funktion $h$ mit $h(x)=\dfrac{40}{13}\cdot\dfrac{1}{(x-5)}$ und $ x\in\mathbb{R}\setminus\{5\}$ betrachtet. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.
$\,$
a)
Beschreibe, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen der Funktion $i$ mit $i(x)=\dfrac{1}{x}$ und $x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ hervorgeht.
(2 BE)
$\,$
b)
Berechne die Koordinaten der beiden Punkte, die die Graphen von $g$ und $h$ gemeinsam haben.
(4 BE)
$\,$
c)
Begründe, dass es keine Gerade gibt, die sowohl Tangente des Graphen von $g$ als auch Tangente des Graphen von $h$ ist.
(2 BE)
#tangente
$\,$
d)
Gib eine Möglichkeit für Werte von $a,b \, \in\,]-\infty;5[$ und $c,d \, \in\, ]5;+\infty[$ an, für die $\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\;\mathrm dx\cdot\displaystyle\int_{c}^{d}h(x)\;\mathrm dx > 0$ gilt.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)
$\begin{array}[t]{rll} k(13) &=& \frac{1}{40}\cdot \left( 13^3 -30\cdot 13^2 +288\cdot 13 -815 \right) \\[5pt] &=& 1,4 \end{array}$
$ k(13)=1,4 $
$\dfrac{1,4 - 1,44}{1,44} = -\frac{1}{36}\approx -0,0278$
Der Wert, den das Modell für eine Geschwindigkeit von $13\,\text{km}/\text{h}$ liefert, ist um ca. $2,78\,\%$ geringer als der zugehörige Messwert.
b)
Bis zum Tiefpunkt nimmt die Laktatkonzentration ab, anschließend zu. Sie nimmt also ab einer Geschwindigkeit von ca. $12\,\text{km}/\text{h}$ zu. Bei einer Geschwindigkeit von ca. $15\,\text{km}/\text{h}$ überschreitet die Laktatkonzentration $3,25\,\text{mmol}/l.$
c)
1. Schritt: Ableitungsfunktionen
$\begin{array}[t]{rll} k(x) &=& \frac{1}{40}\cdot \left(x^3 -30x^2 +288x -815\right) \\[10pt] k'(x) &=& \frac{1}{40}\cdot \left(3x^2 -60x +288\right) \\[10pt] k''(x) &=& \frac{1}{40}\cdot \left(6x -60\right) \\[10pt] k'''(x) &=& \frac{3}{20} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k(x) &=&… \\[10pt] k'(x) &=& … \\[10pt] k''(x) &=& … \\[10pt] k'''(x) &=& … \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
Für eine Extremstelle $x_E$ von $k'$ muss $k''(x_E) = 0$ erfüllt sein:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{40}\cdot \left(6x -60\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 40\\[5pt] 6x -60 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+60 \\[5pt] 6x &=& 60 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x &=& 10 \end{array}$
$ x=10 $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
$k'''(10) = \frac{3}{20} > 0$
An der Stelle $x=10$ besitzt $k'$ also ein lokales Minimum. Bei einer Geschwindigkeit von $10\,\text{km}/\text{h}$ nimmt die Laktatkonzentration also am stärksten ab.
d)
$\begin{array}[t]{rll} k(17,5)&=& \frac{1}{40}\cdot \left(17,5^3 -30\cdot 17,5^2 +288\cdot 17,5 -815\right) \\[5pt] &=& \frac{635}{64} \\[10pt] k(12,0) &=& \frac{1}{40}\cdot \left(12,0^3 -30\cdot 12,0^2 +288\cdot 12,0 -815\right)\\[5pt] &=& \frac{49}{40} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k(17,5)&=& \frac{635}{64} \\[10pt] k(12,0) &=& \frac{49}{40} \end{array}$
$\dfrac{k(17,5) - k(12,0)}{17,5 -12,0} = \dfrac{\frac{635}{64}-\frac{49}{40} }{5,5} = \dfrac{253}{160} \approx 1,58 $
Im Geschwindigkeitsbereich von $12,0\,\text{km}/\text{h}$ bis $17,5\,\text{km}/\text{h}$ beträgt die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration ca. $1,58\,\text{mmol}/l$ pro $\text{km}/\text{h}.$
2.
a)
Die Gerade darf nicht flacher verlaufen als die Tangente an den Grpahen von $k$ im Punkt $W.$
Sobald die Gerade eine betragsmäßig kleinere Steigung hätte als die Tangente an den Graphen von $k$ im Punkt $W,$ würde sie den Graphen von $k$ in mindestens zwei Punkten schneiden.
$k'(10) = \frac{1}{40}\cdot \left(3\cdot 10^2 -60\cdot 10 +288\right) = -0,3$
Die Gerade könnte alle Steigungen $m$ haben mit $m\leq -0,3.$
b)
In der Gleichung $y= m\cdot x +b$ gibt $b$ den $y$-Achsenabschnitt der Gerade an.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W\left(10\mid \frac{13}{8}\right) \\[5pt] \frac{13}{8} &=& m\cdot 10 +b &\quad \scriptsize \mid\; -10m \\[5pt] \frac{13}{8} -10m &=& b \end{array}$
$ b=\frac{13}{8} -10m $
$n(m) = \frac{13}{8} -10m$
c)
$\begin{array}[t]{rll} g(10) &=& \frac{13}{40}\cdot (10-5) \\[5pt] &=& \frac{13}{8} \end{array}$
Der Punkt $W\left(10\mid \frac{13}{8}\right)$ liegt also auf dem Graphen $G_g.$
d)
Die Lösungen der Gleichung $k(x)-g(x) =0$ sind die Schnittstellen der Graphen von $k$ und $g.$ Zeichnet man also beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem wie beispielsweise in Abb. 1 geschehen, so kann man die Schnittstellen ablesen.
Die Graphen schneiden sich an den Stellen $x_1 = 5,$ $x_2=10$ und $x_3 =15.$
Die Lösungen der Gleichung sind also $x_1 = 5,$ $x_2=10$ und $x_3 =15.$
e)
Das Integral gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die der Graph von $k$ mit der $x$-Achse für $5\leq x \leq 15$ begrenzt.
In diesem Intervall schließt der Graph von $k$ mit der Geraden $G_g$ zwei Flächenstücke vollständig ein. Da die Gerade durch $W$ verläuft und der Graph von $k$ zu diesem Punkt symmetrisch ist, sind diese beiden Flächenstücke inhaltsgleich.
Mit dem Term $\frac{1}{2}\cdot (15-5)\cdot k(15)$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet, das die Gerade $G_g$ mit der $x$-Achse und der Gerade $x=15$ bildet.
Dieses Dreieck beinhaltet das Flächenstück, das $G_g$ und der Graph von $k$ einschließen, das allerdings oberhalb des Graphen von $k$ liegt und dessen Flächeninhalt daher bei der Berechnung des Integrals nicht mit einfließen würde. Da aber dafür das zweite Flächenstück, das $G_g$ und der Graph von $k$ einschließen, nicht in dem Dreieck liegt, aber in die Berechnung des Integrals einfließen müsste, gleichen sich die Flächeninhalt der beiden Teilstücke aus, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks genau dem Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von $k$ im Bereich $5\leq x \leq 15$ entspricht.
f)
Die Fläche, die der Graph von $k$ mit der $x$-Achse für $z\leq x \leq 5$ begrenzt, liegt unterhalb der $x$-Achse. Der zugehörige Integralwert ist daher negativ. Die Fläche, die der Graph von $k$ hingegen im Bereich $5\leq x \leq z+1$ mit der $x$-Achse begrenzt, liegt oberhalb der $x$-Achse, wodurch der zugehörige Integralwert positiv ist. $z$ kann so gewählt werden, dass die Flächeninhalt dieser beiden Flächen gleich sind und sich so bei der Berechnung des Integrals aufheben.
3.
a)
Der Graph von $i$ wird zunächst um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung verschoben und anschließend um den Faktor $\frac{40}{13}$ in $y$-Richtung gestreckt.
b)
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] \frac{13}{40} \cdot (x-5) &=& \frac{40}{13} \cdot \dfrac{1}{(x-5)} &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{13}{40} \\[5pt] x-5 &=& \frac{40^2}{13^2}\cdot\dfrac{1}{(x-5)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-5) \\[5pt] x^2 -10x +25 &=& \frac{40^2}{13^2} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{40^2}{13^2} \\[5pt] x^2 -10x +25-\frac{40^2}{13^2} &=& 0 \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{-10}{2}\right)^2 -25+\frac{40^2}{13^2}} \\[5pt] &=& 5\pm \frac{40}{13}\\[10pt] x_1 &=& 5- \frac{40}{13} \\[5pt] &=& \frac{25}{13} \\[10pt] x_2 &=& 5+ \frac{40}{13} \\[5pt] &=& \frac{105}{13} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] x_1 &=& 5- \frac{40}{13} \\[5pt] &=& \frac{25}{13} \\[10pt] x_2 &=& 5+ \frac{40}{13} \\[5pt] &=& \frac{105}{13} \\[10pt] \end{array}$
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g\left( \frac{25}{13}\right) &=& \frac{13}{40}\cdot \left(\frac{25}{13} -5 \right) \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] g\left( \frac{105}{13}\right) &=& \frac{13}{40}\cdot \left(\frac{105}{13} -5 \right) \\[5pt] &=& 1 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g\left( \frac{25}{13}\right) &=& -1 \\[10pt] g\left( \frac{105}{13}\right) &=& 1 \\[10pt] \end{array}$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte lauten $P_1\left(\frac{25}{13}\mid -1 \right)$ und $P_2\left(\frac{105}{13}\mid 1 \right).$
c)
Da es sich bei dem Graphen von $g$ um eine Gerade handelt, ist sie ihre eigene Tangente. Andere Tangenten besitzt $g$ nicht.
In beiden Punkten, die $G_g$ mit dem Graphen von $h$ gemeinsam hat, schneiden sich die beiden Graphen. In keinem Punkt berührt $G_g$ den Graphen von $h$ nur, sodass $g$ also keine Tangente an den Graphen von $h$ ist.
Insgesamt besitzen $g$ und $h$ daher keine gemeinsamen Tangenten.
d)
Damit das Produkt der beiden Integrale positiv ist, müssen entweder beide Faktoren positiv oder beide negativ sein.
Beide Integrale gehören jeweils zu einer Fläche, die der Graph von $h$ mit der $x$-Achse begrenzt.
Im Intervall $]-\infty; 5[$ liegt diese Fläche in jedem Fall unterhalb der $x$-Achse, sodass der zugehörige Integralwert für $a< b$ negativ ist. Ist allerdings $b< a,$ so ist der Integralwert positiv.
Analoges gilt umgekehrt für das Intervall $]5;+\infty[.$
Eine Möglichkeit ist also:
$a = 4,$ $b= 2,$ $c = 6$ und $d= 7$
#extrempunkt#gebrochenrationalefunktion#tangente#integral
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App