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Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

Aufgaben
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I.1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:\, x \mapsto 3−2\cdot\sin x.$
a)
Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid f (0)).$
(3 BE)
b)
Gib den Wertebereich von $f$ an.
(2 BE)
#sinusfunktion#tangente

I.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Tiere werden maximal drei Jahre alt. In ihrem ersten Lebensjahr werden sie als Jungtiere bezeichnet, im zweiten als heranwachsende Tiere und im dritten als erwachsene Tiere.
Die Zusammensetzung der Population kann durch einen Vektor $\pmatrix{J\\H\\E}$ dargestellt werden, wobei $J$ die Anzahl der Jungtiere, $H$ die Anzahl der heranwachsenden Tiere und $E$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten lässt sich durch die Matrix
$P=\pmatrix{0&0&200 \\ 0,05&0&0 \\ 0&0,1&0}$
und die Gleichung $\overrightarrow{v_{n+1}} = P \cdot \overrightarrow{v_{n}}$ beschreiben.
a)
Gib an, wie viel Prozent der Jungtiere das erste Lebensjahr nicht überleben.
(1 BE)
b)
Berechne $P^2$ und beschreibe die Bedeutung des Terms $P^2\cdot \overrightarrow{v_n}$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
c)
Es gilt
$P^3 = \pmatrix{1&0&0\\0&1&0 \\ 0&0&1}$
Interpretiere dies im Sachzusammenhang.
(2 BE)
#übergangsmatrix

I.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 1\mid -1),$ $B(3\mid -5\mid 2)$ und $C.$ Für die Ortsvektoren von $A$ und $C$ gilt $\overrightarrow{OC} = 2\cdot \overrightarrow{OA}.$
a)
Bestimme die Länge der Strecke $\overline{AC}.$
(2 BE)
b)
Begründe, dass es genau eine Ebene gibt, die $A,$ $B$ und $C$ sowie den Koordinatenursprung enthält.
(3 BE)
#ebenengleichung#ortsvektor

I.3 Stochastik

Von acht Karten sind zwei mit „1“, zwei mit „2“, zwei mit „3“ und zwei mit „4“ beschriftet. Die Karten werden gemischt und nacheinander verdeckt abgelegt.
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden zuerst abgelegten Karten mit „1“ beschriftet sind.
(2 BE)
b)
Die Karten werden nacheinander aufgedeckt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens die dritte aufgedeckte Karte mit einer geraden Zahl beschriftet ist.
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit

I.4.1 Analysis

Ein Behälter enthält zu Beobachtungsbeginn zwei Liter einer Flüssigkeit. Für die anschließenden fünf Stunden gibt die Funktion $f$ mit $f(t) = −t \cdot(t −4)$ die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit in Liter pro Stunde an. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden.
a)
Begründe, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach Beobachtungsbeginn nicht abnimmt.
(3 BE)
b)
Gib eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungsbeginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält.
(2 BE)
#änderungsrate

I.4.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

a)
Für die Matrizen $A= \pmatrix{1&1\\0&0}$ und $B = \pmatrix{0&1\\0&b}$ mit $b\in \mathbb{R}$ gilt:
$A^2 +2\cdot A\cdot B + B^2$ $= \pmatrix{1&3+3b\\0&b^2}.$
Die Gleichung $(A+B)^2 = A^2 +2\cdot A\cdot B + B^2 $ ist für genau einen Wert von $b$ erfüllt. Bestimme diesen Wert von $b.$
(3 BE)
b)
Für die $2\times 2$-Matrizen $C$ und $D$ gilt $C\cdot D = -D\cdot C.$
Stelle den Term $(C+D)^2$ als Summe dar und vereinfache diese Summe so weit wie möglich.
(2 BE)

I.4.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

Für jeden Wert von $\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ bilden die Punkte $A(7\mid 3\mid 0),$ $B(5\mid 3\mid 4)$ und $C_t(5+2t\mid 3 \mid 4+t)$ ein Dreieck.
a)
Zeige, dass jedes dieser Dreiecks bei $B$ einen rechten Winkel hat.
(2 BE)
b)
Bestimme alle Werte von $t,$ für die im jeweiligen Dreieck $ABC_t$ zwei Innenwinkel gleich groß sind.
(3 BE)

I.4.3 Stochastik

Ein Glücksrad besteht aus einem blauen, einem gelben und einem roten Sektor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen „Rot“ erzielt wird, ist $\frac{1}{3}.$ Bei einem Spiel wird das Glücksrad zweimal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zweimal „Gelb“ erzielt wird, beträgt $\frac{1}{4}.$
a)
Ermittle für den gelben Sektor die Größe des Mittelpunktswinkels.
(2 BE)
b)
Beschreibe im gegebenen Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
$\displaystyle\sum\limits_{i=0}^3\binom{10}{i}\cdot \left(\frac{1}{9} \right)^{i}\cdot \left(\frac{8}{9} \right)^{10-i}$
berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an.
(3 BE)
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I.1 AnalysisAufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

a)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 3-2\cdot \sin x \\[10pt] f'(x) &=& -2\cdot \cos x \\[5pt] f'(0) &=& -2\cdot \cos 0 \\[5pt] &=& -2\cdot 1 \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid f(0))$ ist also $m = -2.$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 3-2\cdot \sin 0\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Die Tangente verläuft also durch den Punkt $(0\mid 3).$ Der $y$-Achsenabschnitt ist also $b=3.$ Also lautet eine Gleichung der Tangente:
$t:\, y=-2x +3$
b)
$\blacktriangleright$  Wertebereich angeben
Die allgemeine Sinusfunktion $\sin x$ hat den Wertebereich $[-1;1].$ Diese wird im vorliegenden Fall mit $-2$ multipliziert, sodass sich der Wertebereich auf $[-2;2]$ erweitert.
Anschließend wird noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich der Wertebereich, sodass der Wertebereich von $f$ das Intervall $[1;5]$ ist.

I.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

a)
$\blacktriangleright$  Sterberate der Jungtiere angeben
In der ersten Spalte der Übergangsmatrix $P$ wird das Entwicklungsverhalten der Jungtiere beschrieben. Dort ist angegeben, dass $0\,\%$ der Jungtiere im nächsten Jahr Jungtiere bleiben, $0,05 = 5\,\%$ der Jungtiere im nächsten Jahr zu Heranwachsenden werden und $0\,\%$ der Jungtiere im nächsten Jahr erwachsen werden. Die übrigen Jungtiere überleben das erste Jahr nicht. Es überleben also $95\,\%$ der Jungtiere das erste Lebensjahr nicht.
b)
$\blacktriangleright$  Matrix berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P^2 &=& P\cdot P \\[5pt] &=& \pmatrix{0&0&200 \\ 0,05&0&0 \\ 0&0,1&0}\cdot \pmatrix{0&0&200 \\ 0,05&0&0 \\ 0&0,1&0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\cdot 0 + 0\cdot 0,05 + 200\cdot 0 &0\cdot 0 + 0\cdot 0 +200\cdot 0,1 & 0\cdot 200 + 0\cdot 0 +200\cdot 0 \\ 0,05\cdot 0 + 0\cdot 0,05 + 0\cdot 0 & 0,05\cdot 0 + 0\cdot 0 +0\cdot 0,1 & 0,05\cdot 200 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \\ 0\cdot 0+ 0,1\cdot 0,05 + 0\cdot 0 & 0\cdot 0 + 0,1\cdot 0 + 0\cdot 0,1 & 0\cdot 200 + 0,1\cdot 0 +0\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10\\ 0,005 & 0 & 0} \\[5pt] \end{array}$
$ P^2=\pmatrix{0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10\\ 0,005 & 0 & 0} $
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben
Es ist
$P^2\cdot \overrightarrow{v_n} = P\cdot \underbrace{P\cdot \overrightarrow{v_n}}_{=\overrightarrow{v_{n+1}}}= P\cdot \overrightarrow{v_{n+1}} = \overrightarrow{v_{n+2}}$
$ P^2\cdot \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{v_{n+2}}$
Der Term $P^2\cdot \overrightarrow{v_n} $ beschreibt im Sachzusammenhang also den Zusammenhang der Population zwei Jahre nach einem bestimmten Zeitpunkt $n$ mit der Zusammensetzung $\overrightarrow{v_n}.$
c)
$\blacktriangleright$  Matrix im Sachzusammenhang interpretieren
$P_3$ beschreibt die Entwicklung der Population im Zeitraum von drei Jahren. Da es sich um die Einheitsmatrix handelt, gilt $P^3 \cdot \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{v_n}.$ Alle drei Jahre kommt die Population also wieder bei der gleichen Zusammensetzung an.

I.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Streckenlänge bestimmen
$\overrightarrow{OC} = 2\cdot \overrightarrow{OA} = 2\cdot \pmatrix{1\\1\\-1} = \pmatrix{2\\2\\-2}.$
$ \overrightarrow{OC} = \pmatrix{2\\2\\-2}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AC} \right|&=& \left|\pmatrix{1\\1\\-1} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{1^2+1^2 +(-1)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{3} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist also $\sqrt{3}$ LE lang.
b)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es genau eine Ebene gibt
Da $\overrightarrow{OC} = 2\cdot \overrightarrow{OA}$ ist, liegen $A,$ $C$ und der Koordinatenursprung auf einer gemeinsamen Gerade, die eindeutig festgelegt ist. Es gibt also nur genau eine solche Gerade.
Der Punkt $B$ liegt nicht auf dieser Geraden, da $\overrightarrow{OB}$ und $\overrightarrow{OA}$ nicht linear abhängig sind.
Durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, ist eine Ebene eindeutig bestimmt, sodass es nur genau eine solche Ebene geben kann.
#vektorbetrag

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen.
$\frac{2}{8}\cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{28}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{28}$ sind die ersten beiden abgelegten Karten mit einer „1“ beschriftet.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Vier von den acht Karten sind mit ungeraden Zahlen beschriftet, die anderen vier mit geraden Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich aus drei Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen. Entweder ist bereits die erste Karte eine gerade Zahl, erst die zweite Karte ist eine gerade Zahl oder erst die dritte Karte ist mit einer geraden Zahl beschriftet.
Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{4}{8} + \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} + \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} &=& \frac{13}{14} \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{13}{14}$ ist spätestens die dritte Karte mit einer geraden Zahl beschriftet.

I.4.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Nichtabnahme begründen
In den ersten vier Stunden wird der Zufluss bzw. die Abnahme der Flüssigkeit in dem Behälter durch die Funktion $f(t)$ mit $0\leq t\leq 4$ beschrieben.
Für $t\leq 4$ gilt $(t-4) \leq 0,$ sodass $-t\cdot (t-4)% \geq 0$ ist für $0\leq t \leq 4.$ Die Funktion $f,$ die die momentane Zuflussrate beschreibt, ist für $0\leq t\leq 4$ also nicht negativ, was bedeutet, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter in den ersten vier Stunden nach Beoachtungsbeginn nicht abnimmt.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Da $f$ die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit im Behälter beschreibt, gibt es eine Stammfunktion $F$ von $f,$ die das Volumen der Flüssigkeit im Behälter zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Mögliche Stammfunktionen von $f$ sind:
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& -t\cdot (t-4)\\[5pt] &=& -t^2 +4t \\[10pt] F(t) &=& -\frac{1}{3}t^3+2t^2 +c \end{array}$
Da sich zu Beginn der Beobachtung $2$ Liter Wasser im Behälter befinden, muss $F(0)=2$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} F(0) &=& 2\\[5pt] -\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2 +c&=& 2\\[5pt] c &=& 2 \end{array}$
Durch die Funktion $F$ mit $F(t) = -\frac{1}{3}t^3+2t^2 +2$ kann also das Volumen der Flüssigkeit im Behälter beschrieben werden. Durch Gleichsetzen kann man den Zeitpunkt bestimmen, zu dem sich $7$ Liter im Behälter befinden:
$-\frac{1}{3}t^3+2t^2 +2 = 7$

I.4.2 Wahlgebiet Lineare Algebra

a)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} (A+B)^2&=& \left( \pmatrix{1&1\\ 0&0} + \pmatrix{0&1 \\ 0&b}\right)^2 \\[5pt] &=& \pmatrix{1&2\\0&b}^2 \\[5pt] &=& \pmatrix{1&2\\0&b} \cdot \pmatrix{1&2\\0&b} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot 1 +2\cdot 0 & 1\cdot 2 +2\cdot b \\ 0\cdot 1+b\cdot 0 & 0\cdot 2 +b\cdot b}\\[5pt] &=& \pmatrix{1 & 2 +2b \\ 0 & b^2}\\[5pt] \end{array}$
$ (A+B)^2 = \pmatrix{1 & 2 +2b \\ 0 & b^2} $
Gleichsetzen liefert $\pmatrix{1 & 2 +2b \\ 0 & b^2} = \pmatrix{1 & 3 +3b \\ 0 & b^2}.$ Da alle Einträge bis auf einen übereinstimmen, muss folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 3+3b&=& 2+2b &\quad \scriptsize \mid\;-2b \\[5pt] 3 +b &=& 2&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] b&=& -1 \end{array}$
$ b=-1 $
Für $b=-1$ gilt $(A+B)^2 = A^2 +2\cdot A\cdot B + B^2.$
b)
$\blacktriangleright$  Term umformen
$\begin{array}[t]{rll} (C+D)^2 &=& (C+D)\cdot (C+D) \\[5pt] &=& C\cdot C +C\cdot D + D\cdot C + D\cdot D\\[5pt] &=& C^2 +C\cdot D + D\cdot C + D^2 &\quad \scriptsize \mid\; C\cdot D = -D\cdot C \\[5pt] &=& C^2 -D\cdot C + D\cdot C + D^2 \\[5pt] &=& C^2 + D^2 \\[5pt] \end{array}$
$ (C+D)^2 = C^2+D^2 $

I.4.2 Wahlgebiet Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel zeigen
Die Dreiecke $ABC_t$ besitzen bei $B$ einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC_t} $ orthogonal zueinander verlaufen, wenn also ihr Skalarprodukt Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC_t} &=& \pmatrix{-2\\0\\4}\circ\pmatrix{2t \\ 0 \\ t} \\[5pt] &=& -2\cdot 2t +0\cdot 0 + 4\cdot t \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC_t} = 0 $
Jedes der Dreiecke hat also bei $B$ einen rechten Winkel.
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Da jedes der Dreieck bei $B$ einen rechten Winkel besitzt, können jeweils nur die beiden Winkel bei $A$ und $C_t$ gleich groß sein. Damit dies der Fall ist, müssen auch die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC_t}$ gleich lang sein.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{-2\\0\\4} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{(-2)^2 +0^2 +4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{20} \\[10pt] \left|\overrightarrow{BC_t} \right|&=& \left|\pmatrix{2t \\ 0 \\ t} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{(2t)^2 +0^2 +t^2} \\[5pt] &=& \sqrt{5t^2} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=\sqrt{20} \\[10pt] \left|\overrightarrow{BC_t} \right|&= \sqrt{5t^2} \\[5pt] \end{array}$
Damit die beiden Seiten gleich lang sind muss also folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right| &=& \left|\overrightarrow{BC_t} \right| \\[5pt] \sqrt{20}&=& \sqrt{5t^2} \\[5pt] 20&=& 5t^2 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] 4&=& t^2 \\[5pt] t_1&=& -2 \\[5pt] t_2&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -2 \\[5pt] t_2&=& 2 \end{array}$
Für $t_1=-2$ und $t_2=2$ sind zwei Innenwinkel der Dreiecke $ABC_t$ gleich groß.
#skalarprodukt#vektorbetrag

I.4.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Größe des Mittelpunktswinkels ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaligem Drehen zweimal hintereinander „Gelb“ erscheint ist $\frac{1}{4}.$ Für die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass beim einmaligen Drehen „Gelb“ erscheint, muss also folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} p^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] p &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Die Hälfte des Glücksrades muss also durch den gelben Sektor ausgefüllt werden. Der Mittelpunktswinkel des gelben Sektors beträgt daher $180^{\circ}.$
b)
$\blacktriangleright$  Zufallsexperiment und Ereignis angeben
Im angegebenen Term wird die Binomialverteilung mit dem Stichprobenumfang $n=10$ und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{9}$ verwendet.
Beim vorliegenden Fall ist $\frac{1}{9}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Drehen des Glücksrads zweimal „Rot“ erscheint.
Betrachte also die Zufallsvariable $X,$ die beschreibt, bei wie vielen von zehn Spielen, die jeweils aus einem zweimaligen Drehen des Glücksrades bestehen, zweimal „Rot“ gedreht wird. Diese ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p = \frac{1}{9}.$
Mit dem angegebenen Term werden dann die Wahrscheinlichkeiten $P(X=0),$ $P(X=1),$ $P(X=2)$ und $P(X=3)$ aufsummiert. Es wird also die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 3)$ berechnet.
Das Zufallsexperiment besteht also darin zehn Spiele durchzuführen, in denen jeweils zweimal das Glücksrad gedreht wird. Ein Treffer bedeutet dabei, dass in einem Spiel zweimal „Rot“ gedreht wird.
Der angegebene Term berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass in den zehn Spielen höchstens drei Treffer erreicht werden.
#binomialverteilung
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