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Aufgabe II: Analysis

Aufgaben
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Aufgabe II: Kosten

1.
$\,$
a)
Zeige, dass $G_f$ im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermittle eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W.$
(6 BE)
#wendepunkt#tangente
$\,$
b)
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)= \frac{1}{8}\cdot \left(x^3-25x \right)$ durch eine Verschiebung in positive $x$-Richtung hervor. Gib an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründe mithilfe der Funktion $g,$ dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
(4 BE)
$\,$
c)
Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0\mid 0),$ $B(4\mid 0)$ und $C(4\mid f(4)).$ Rotiert dieses Dreieck um seine Seite $\overline{AB},$ so entsteht ein Körper.
Berechne den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.
(4 BE)
$\,$
d)
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx.$
(3 BE)
#integral
$\,$
e)
Begründe ohne Rechnung, dass $\int_0^8 \! f(x) \, \mathrm{d}x < \int_0^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x$ gilt.
#integral
$\,$
f)
Aufgabe II: Analysis
Abb. 2: Graph $G_h$
Aufgabe II: Analysis
Abb. 2: Graph $G_h$
(4 BE)
2.
$\,$
a)
Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.
(1 BE)
$\,$
b)
Gib das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
(2 BE)
#monotonie
$\,$
c)
Beurteile die folgende Aussage:
Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.
(2 BE)
$\,$
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
$\,$
d)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
(2 BE)
$\,$
e)
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 3 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
(4 BE)
$\,$
f)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen Aufgabe II: Analysis
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{8}\cdot( x^3 -15x^2 +50x) \\[5pt] f(x)&=& \frac{1}{8}\cdot x^3 -\frac{15}{8}\cdot x^2 +\frac{50}{8}x \\[5pt] f'(x)&=& \frac{3}{8}\cdot x^2 -\frac{15}{4}x +\frac{25}{4} \\[5pt] f''(x)&=& \frac{3}{4}\cdot x -\frac{15}{4} \\[5pt] f'''(x)&=& \frac{3}{4} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(5)&=& \frac{3}{4}\cdot 5 -\frac{15}{4} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also an der Stelle $x=5$ erfüllt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(5)&=& \frac{3}{4} \neq 0 \end{array}$
Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls für $x=5$ erfüllt.
4. Schritt: $f(5)$ bestimmen
Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$f(5)=\dfrac{1}{8}\cdot (5^3-15\cdot 5^2+50\cdot 5)=0$
$ f(5)=0 $
Der Punkt $W(5\mid 0)$ ist also ein Wendepunkt von $G_f.$
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
Die Steigung $m$ der Tangente entspricht der Steigung von $G_f$ im Punkt $W,$ kann also mithilfe von $f'$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} f'(5)&=& \frac{3}{8}\cdot 5^2 -\frac{15}{4}\cdot 5 +\frac{25}{4}\\[5pt] &=& -\frac{25}{8} \end{array}$
$ f'(5)= -\frac{25}{8} $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $W$ lässt sich noch der $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;m=-\frac{25}{8} \\[5pt] y&=& -\frac{25}{8}\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W(5\mid 0)\\[5pt] 0&=& -\frac{25}{8}\cdot 5 +b \\[5pt] 0&=& -\frac{125}{8}+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{125}{8} \\[5pt] \frac{125}{8}&=& b \end{array}$
$ b = \frac{125}{8} $
Eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ lautet:
$t: \quad y = -\frac{25}{8}\cdot x + \frac{125}{8} $
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Verschiebung angeben
Berechne beispielsweise die Nullstellen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und vergleiche diese:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{8}\cdot \left(x^3-15x^2 +50x\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8 \\[5pt] x^3-15x^2 +50x&=& 0 \\[5pt] x\cdot (x^2-15x+50)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 =0 \\[5pt] x^2-15x+50&=& 0 &\quad \scriptsize \; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{2/3}&=& -\frac{-15}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-15}{2} \right)^2-50} \\[5pt] &=& \frac{15}{2} \pm \frac{5}{2} \\[10pt] x_2&=& \frac{15}{2} - \frac{5}{2} \\[5pt] &=& 5 \\[10pt] x_3&=& \frac{15}{2} + \frac{5}{2} \\[5pt] &=& 10 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[10pt] x_2&=& 5 \\[10pt] x_3&=& 10 \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ ergeben sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{8}\cdot \left(x^3-25x \right)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 8 \\[5pt] x^3-25x&=& 0 \\[5pt] x\cdot (x^2-25)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 = 0 \\[5pt] x^2-25&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+25 \\[5pt] x^2&=& 25 \\[5pt] x_2&=& -5 \\[5pt] x_3&=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -5 \\[5pt] x_3&=& 5 \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ sind also $x=-5,$ $x=0$ und $x=5,$ die von $f$ sind $x=0,$ $x=5$ und $x=10.$ Da du aus der Aufgabenstellung sicher weißt, dass der Graph von $f$ durch Verschiebung des Graphen von $g$ in positive $x$-Richtung entsteht, kannst du daher auf eine Verschiebung von $5$ Einheiten schließen.
Der Graph von $g$ muss dazu also um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung verschoben werden.
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Der Funktionsterm von $g$ weist die Funktionsvariable $x$ nur mit ungeraden Exponenten auf. Der Graph der Funktion $g$ ist daher symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Der Graph von $f$ geht aus dem Graphen von $g$ durch Verschiebung um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung hervor, wie oben gezeigt wurde. Dementsprechend ist auch im Vergleich zum Graphen von $g$ das Symmetriezentrum um $5$ Einheiten verschoben und liegt damit im Punkt $(5\mid 0).$ Dies ist der Wendepunkt.
Der Graph von $f$ ist daher symmetrisch zu seinem Wendepunkt $W(5\mid 0).$
#pq-formel
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Oberflächeninhalt berechnen
In der Skizze lässt sich erkennen, dass es sich bei dem Körper, der durch Rotation um die Achse $\overline{AB}$ entsteht, um einen Kegel handelt.
Der Radius der Kegelgrundfläche ist $r = f(4),$ die Höhe des Kegels ist $h = 4.$ Die dritte Seite des Dreiecks entspricht der Mantellinie $s.$ Diese wird zur Berechnung des Oberflächeninhalts benötigt. Berechne $s$ also mithilfe des Satzes des Pythagoras, da es sich beim Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& r^2 +h^2 \\[5pt] s^2&=& f(4)^2 + 4^2 \\[5pt] s^2&=& \left(\frac{1}{8}\cdot \left(4^3-15\cdot 4^2 +50\cdot 4 \right) \right)^2 +16 \\[5pt] s^2&=& 25 \\[5pt] s&=& 5 \end{array}$
$ s=5 $
Verwende nun die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kreiskegels:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& \pi \cdot r \cdot (r+s) \\[5pt] &=& \pi \cdot f(4) \cdot (f(4)+5) \\[5pt] &=& \pi \cdot 3\cdot (3+5) \\[5pt] &=& 24\pi \\[5pt] &\approx& 75,40 \end{array}$
$ O\approx 75,40 $
Der Oberflächeninhalt des durch die Rotation entstehenden Kreiskegels beträgt ca. $75,40$ Flächeneinheiten.
#satzdespythagoras#kegel
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{0}^{5}\frac{1}{8}\cdot \left(x^3-15x^2+50x \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{4}x^4-5x^3+25x^2 \right)\right]_0^5 \\[5pt] &=& \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{4}\cdot 5^4-5\cdot 5^3+25\cdot 5^2 \right) - \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{4}\cdot 0^4-5\cdot 0^3+25\cdot 0^2 \right) \\[5pt] &=& 19,53125 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx = 19,53125$
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Ungleichung begründen
Aufgabe II: Analysis
Abb. 2: Graph mit eingezeichnetem Integral
Aufgabe II: Analysis
Abb. 2: Graph mit eingezeichnetem Integral
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Lage der Graphen beschreiben
Der Graph in Abbildung $2$ zeigt die Differenz der Funktionen $h(x)$ und $f(x)$. Ist $h(x)-f(x)$ positiv, also der Graph oberhalb der $x$-Achse, dann ist $h(x)>f(x)$. Ist der Graph unterhalb der $x$-Achse, dann ist $h(x)-f(x) < 0$, also $h(x)< f(x)$.
Für die Schnittpunkte des abgebildeten Graphen mit der $x$-Achse gilt $h(x)-f(x)=0$, also $h(x)=f(x)$. Die Graphen von $f$ und $h$ sind an diesen Stellen also gleich und beitzen gemeinsame Schnittpunkte. An dem Graphen kannst du ablesen, dass dies für $x=0$ und $x=5$ der Fall ist:
$h(0)=f(0)\qquad$ und $h(5)=f(5)$
Für $0<x< 2,1$ ist der Graph unterhalb der $x$-Achse. Es gilt also $h(x)< f(x)$. Der Graph von $f$ liegt in diesem Bereich über dem Graphen von $h$. An der Stelle $x\approx 0,9$ beitzt der abgebildete Graph einen Tiefpunkt. An dieser Stelle ist der Abstand der Graphen $f$ und $g$ am größten.
Für $2,1<x< 5$ ist der Graph oberhalb der $x$-Achse, weshalb $h(x)>f(x)$ gilt. In diesem Bereich liegt der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f$.
2.
a)
$\blacktriangleright$  Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Bei $x$ Produktionseinheiten werden die Kosten eines zusätzlichen Kubikmeters durch die Differenz $d(x)= K(x+1)-K(x)$ beschrieben. Bestimme zunächst diesen Funktionsterm:
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& K(x+1)-K(x) \\[5pt] &=& (x+1)^3-12\cdot (x+1)^2 +50 \cdot (x+1) +20 - \left(x^3-12x^2+50x+20 \right) \\[5pt] &=& (x+1)^3-12\cdot (x+1)^2 +50 \cdot (x+1) +20 - x^3+12x^2-50x-20 \\[5pt] &=& (x+1)^3-12\cdot (x+1)^2 +50x+50 +20 - x^3+12x^2-50x-20 \\[5pt] &=& (x+1)^3-12\cdot (x+1)^2 +50- x^3+12x^2\\[5pt] &=& (x+1)\cdot \left(x^2+2x+1\right)-12\cdot \left(x^2+2x+1 \right) +50- x^3+12x^2\\[5pt] &=& x^3+2x^2+x+x^2+2x+1-12x^2-24x-12 +50- x^3+12x^2\\[5pt] &=& 3x^2-21x+39\\[5pt] \end{array}$
$ d(x)= 3x^2-21x+39$
Damit die Behauptung aus der Aufgabenstellung stimmt, müsste $d$ streng monoton steigend sein. Dies ist der Fall, wenn $d'(x)>0$ ist. Überprüfe, für welche $x$ dies der Fall ist:
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=& 6x-21 \\[10pt] d'(x)&>& 0\\[5pt] 6x-21&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +21\\[5pt] 6x&>& 21 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&>& 3,5 \end{array}$
$ x > 3,5 $
Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist also nur für Produktionsmengen über $3,5$ Kubikmetern der Flüssigkeit richtig.
Für alle Produktionsmengen der Flüssigkeit bis zu $3,5$ Kubikmetern steigen die Kosten eines zusätzlichen Kubikmeters nicht mit der Produktionsmenge an.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
$\begin{array}[t]{rll} G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt] &=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt] &=& 92-92 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ G(4)=0 $
Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Aufgabe II: Analysis
Abb. 3: Graph von $E$
Aufgabe II: Analysis
Abb. 3: Graph von $E$
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Menge für den maximalen Gewinn berechnen
Gesucht ist die Maximalstelle $x_M$ von $G$ im Bereich $0\leq x\leq 9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt] &=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt] G'(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt] G''(x)&=& -6x+24\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] 0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt] &=& +6\sqrt{7} > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt] &=& -6\sqrt{7} <0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right) > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)<0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x= 4+\sqrt{7} $ besitzt der Graph von $G$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt] &\approx& 37,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04 \end{array}$
Es müssen $4+\sqrt{7}\approx 6,6$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
Bildnachweise [nach oben]
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