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Aufgabe III: Wahlgebiet Lineare Algebra

Aufgaben
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Aufgabe III: Baumärkte

In einer Stadt gibt es zwei Baumärkte $A$ und $B.$ Modellhaft soll davon ausgegangen werden, dass von einem Monat zum nächsten $70\,\%$ der Kunden des Baumarkts $A$ und $80\,\%$ der Kunden des Baumarkts $B$ wieder beim selben Baumarkt einkaufen, während die übrigen Kunden zum jeweils anderen Baumarkt wechseln.
a)
Stelle das Verbleiben bzw. Wechseln der Kunden zwischen den Baumärkten von einem Monat zum nächsten in einem Übergangsdiagramm dar.
(2 BE)
#übergangsgraph
b)
In einem bestimmten Monat hat der Baumarkt $A$ $4.000$ Kunden und der Baumarkt $B$ $6.000$ Kunden.
Ermittle für jeden der beiden Baumärkte die Anzahl der Kunden, die im folgenden Monat zum jeweils anderen Baumarkt wechseln. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(3 BE)
In der Stadt eröffnet ein dritter Baumarkt $C.$ Die Verteilungen der Kunden auf die Baumärkte $A,$ $B$ und $C$ werden modellhaft durch Vektoren der Form $\pmatrix{a\\b\\c}$ beschrieben, wobei $a$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts $A,$ $b$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts $B$ und $c$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts $C$ bezeichnet. Damit kann die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat $n$ zum nächsten durch die Matrix
$M = \pmatrix{0,63 & 0,18 &0,3 \\ 0,27& 0,72& 0,45 \\ 0,1& 0,1 & 0,25} $
und die Gleichung $M\cdot \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{V_{n+1}}$ beschrieben werden.
In einem Sommermonat hat der Baumarkt $A$ $3.700$ Kunden, der Baumarkt $B$ $5.100$ Kunden und der Baumarkt $C$ $1.200$ Kunden.
c)
Gib ein Gleichungssystem an, mit dem die jeweilige Anzahl der Kunden der Baumärkte im Monat vor dem beschriebenen Sommermonat ermittelt werden können.
(2 BE)
d)
In dem Monat, der auf den beschriebenen Sommermonat folgt, hat der Baumarkt $A$ $3.609$ Kunden.
Berechne für diesen Monat die jeweilige Anzahl der Kunden der Baumärkte $B$ und $C.$
Gib den prozentualen Anteil der Kunden des Baumarkts $C$ an der Gesamtzahl der Kunden der drei Baumärkte an.
(3 BE)
#prozent
e)
Gib an, für welchen der drei Baumärkte der Anteil der Kunden, die von einem Monat zum nächsten zu einem anderen Baumarkt wechseln, am kleinsten ist.
Nenne den zugehörigen Anteil.
(2 BE)
f)
Beschreibe die Bedeutung des Terms $M\cdot M \cdot M$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
Der Baumarkt $C$ muss befürchten, den für seinen wirtschaftlichen Erfolg notwendigen Anteil von $25\,\%$ der Kunden aller drei Baumärkte nicht zu erreichen. Der Baumarkt führt deshalb Rabattaktionen durch, mit deren Hilfe Kunden gebunden werden sollen. Ab dem Monat, in dem die Aktionen beginnen, lässt sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten im Modell durch eine Matrix
$N = \pmatrix{0,63 & 0,18 & 0,4\cdot (1-p) \\ 0,27& 0,72 & 0,6\cdot (1-p) \\ 0,1&0,1&p}$
$N = \pmatrix{0,63 & 0,18 & 0,4\cdot (1-p) \\ 0,27& 0,72 & 0,6\cdot (1-p) \\ 0,1&0,1&p}$
mit $p \in [0;1]$ beschreiben.
g)
In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen beträgt die Anzahl der Kunden für den Baumarkt $A$ $3.650,38−470,6\cdot p$ und für den Baumarkt $B$ $5.467,27−705,9\cdot p\, ;$ die drei Baumärkte haben zusammen $10.000$ Kunden.
Ermittle, in welchem Bereich der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts $C$ in diesem Monat liegen kann.
(4 BE)
h)
In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen hat der Baumarkt $A$ $3.556$ Kunden, der Baumarkt $B$ $5.326$ Kunden und der Baumarkt $C$ $1.118$ Kunden. Im folgenden Monat hat der Baumarkt $C$ $1.112$ Kunden.
Bestimme den zugehörigen Wert von $p.$
(2 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Übergangsdiagramm erstellenAufgabe III: Wahlgebiet Lineare Algebra
Aufgabe III: Wahlgebiet Lineare Algebra
Abb. 1: Übergangsdiagramm
Aufgabe III: Wahlgebiet Lineare Algebra
Abb. 1: Übergangsdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl wechselnder Kunden ermitteln
$30\,\%$ der Kunden des Baumarkts $A$ wechseln im nächsten Monat zum Baumarkt $B:$
$4.000 \cdot 0,3 = 1.200$
$20\,\%$ der Kunden von Baumarkt $B$ wechseln im nächsten Monat zum Baumarkt $A:$
$6.000 \cdot 0,2 = 1.200$
Im folgenden Monat wechseln $1.200$ Kunden vom Baumarkt $A$ zum Baumarkt $B$ und $1.200$ Kunden vom Baumarkt $B$ zum Baumarkt $A.$
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren
Von $A$ zu $B$ und von $B$ zu $A$ wechseln gleich viele Kunden. Bei diesem Wechselverhalten und der Startverteilung mit $4.000$ Kunden von Baumarkt $A$ und $6.000$ Kunden von Baumarkt $B$ bleibt diese Aufteilung also erhalten, sodass Baumarkt $A$ ständig $4.000$ Kunden und Baumarkt $B$ ständig $6.000$ Kunden hat.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem angeben
Gegeben ist der Vektor $\overrightarrow{v_{n+1}} = \pmatrix{3.700\\5.100 \\1.200}.$ Gesucht ist der zugehörige Verteilungsvektor des Vormonats $\overrightarrow{v_n} = \pmatrix{a\\b\\c}.$ Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} M\cdot \overrightarrow{v_n} &=& \overrightarrow{V_{n+1}} \\[5pt] \pmatrix{0,63 & 0,18 &0,3 \\ 0,27& 0,72& 0,45 \\ 0,1& 0,1 & 0,25} \cdot \pmatrix{a\\b\\c} &=& \pmatrix{3.700\\5.100 \\1.200} \\[5pt] \pmatrix{0,63\cdot a + 0,18\cdot b + 0,3\cdot c \\ 0,27\cdot a + 0,72\cdot b+ 0,45\cdot c \\ 0,1\cdot a + 0,1\cdot b + 0,25\cdot c} &=& \pmatrix{3.700\\5.100 \\1.200} \\[5pt] \end{array}$
$ …=\pmatrix{3.700\\5.100 \\1.200} $
Daraus ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3.700&=& 0,63\cdot a + 0,18\cdot b + 0,3\cdot c \\ \text{II}\quad&5.100&=& 0,27\cdot a + 0,72\cdot b+ 0,45\cdot c \\ \text{III}\quad&1.200&=& 0,1\cdot a + 0,1\cdot b + 0,25\cdot c \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3.700&=& … \\ \text{II}\quad&5.100&=& … \\ \text{III}\quad&1.200&=& … \\ \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Kunden berechnen
Betrachtet man den beschriebenen Sommermonat als Monat $n,$ so ist $\overrightarrow{v_n} = \pmatrix{3.700 \\ 5.100\\1.200}$ und gesucht ist $\overrightarrow{v_{n+1}}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v_{n+1}} &=& M\cdot \overrightarrow{v_n} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,63 & 0,18 &0,3 \\ 0,27& 0,72& 0,45 \\ 0,1& 0,1 & 0,25} \cdot \pmatrix{3.700 \\ 5.100\\1.200} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,63 \cdot 3.700+ 0,18\cdot 5.100 +0,3\cdot 1.200 \\ 0,27\cdot 3.700+ 0,72\cdot 5.100+ 0,45\cdot 1.200 \\ 0,1\cdot 3.700 + 0,1\cdot 5.100 + 0,25\cdot 1.200} \\[5pt] &=& \pmatrix{3.609 \\ 5.211 \\ 1.180} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v_{n+1}} = \pmatrix{3.609 \\ 5.211 \\ 1.180} $
In dem auf den Sommermonat folgenden Monat hat der Baumarkt $B$ $5.211$ Kunden und der Baumarkt $C$ hat $1.180$ Kunden.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil angeben
$\dfrac{1.180}{3.609 + 5.211 + 1.180 } = 0,118 = 11,8\,\%$
$ …= 11,8\,\% $
$11,8\,\%$ aller Baumarktkunden fallen auf den Baumarkt $C$ an.
e)
$\blacktriangleright$  Baumarkt mit der kleinsten Wechselrate angeben
Die Wechselraten kannst du aus der Matrix ablesen.
  • Vom Baumarkt $A$ wechseln $0,27 +0,1 = 0,37 = 37\,\%$ zu einem anderen Baumarkt.
  • Vom Baumarkt $B$ wechseln $0,18 +0,1 = 0,28 = 28\,\%$ zu einem anderen Baumarkt.
  • Vom Baumarkt $C$ wechseln $0,3 +0,45 = 0,75 = 75\,\%$ zu einem anderen Baumarkt.
Vom Baumarkt $B$ wechseln am wenigstens Kunden von einem zum nächsten Monat zu einem anderen Baumarkt. Jeden Monat wechseln $28\,\%$ der Kunden von Baumarkt $B$ zu einem anderen Baumarkt.
f)
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang beschreiben
Die Matrix $M$ beschreibt das Wechselverhalten der Baumarktkunden von einem Monat zum nächsten. Es ist
$M\cdot M \cdot M \cdot \overrightarrow{v_n} = M\cdot M \cdot \overrightarrow{v_{n+1}} = M\cdot \overrightarrow{v_{n+2}} = \overrightarrow{v_{n+3}} $
$ $M\cdot M \cdot M \cdot \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{v_{n+3}} $ $
Mit dem Term $M\cdot M \cdot M$ wird daher das Wechselverhalten der Baumarktkunden in einem Dreimonats-Zyklus beschrieben. Es wird also das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat $n$ zum Monat $n+3$ beschrieben.
g)
$\blacktriangleright$  Bereich für den prozentualen Anteil ermitteln
Die absolute Anzahl der Kunden von Baumarkt $C$ in dem Monat nach Beginn der Rabattaktionen beträgt:
$c = 10.000 - (3.650,38-470,6\cdot p) - (5.467,27 - 705,9\cdot p) = 882,35 + 1.176,5\cdot p$
$ c=882,35 + 1.176,5\cdot p $
Der prozentuale Anteil $P$ kann daher in Abhängigkeit von $p$ durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$P(p)= \dfrac{882,35 + 1.176,5\cdot p}{10.000} = 0,088235 + 0,11765\cdot p $
$ P(p)= 0,088235 + 0,11765\cdot p $
Es muss $p\in [0;1]$ gelten. Für $p = 0$ und $p=1$ gilt:
$P(0) = 0,088235 + 0,11765\cdot 0 = 0,088235 $
$ P(0) = 0,088235$
$P(1)= 0,088235 + 0,11765\cdot 1 = 0,205885$
$ P(1)= 0,205885 $
Da es sich bei $P(p)$ um einen linearen Zusammenhang handelt, kann $P$ alle Werte zwischen $0,088235$ und $0,205885$ annehmen.
In dem beschriebenen Monat kann der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts $C$ also im Bereich
$[0,088235; 0,205885] = [8,8235\,\%; 20,5885\,\%]$
$ [8,8235\,\%; 20,5885\,\%] $
liegen.
h)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Es ist $\overrightarrow{v_n} = \pmatrix{3.556 \\ 5.326 \\ 1.118 }$ und $\overrightarrow{v_{n+1}} = \pmatrix{a\\b\\1.112}.$ Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} N \cdot \overrightarrow{v_n}&=& \overrightarrow{v_{n+1}} \\[5pt] \pmatrix{0,63 & 0,18 & 0,4\cdot (1-p) \\ 0,27& 0,72 & 0,6\cdot (1-p) \\ 0,1&0,1&p} \cdot \pmatrix{3.556 \\ 5.326 \\ 1.118 } &=& \pmatrix{a\\b\\1.112} \\[5pt] \pmatrix{0,63\cdot 3.556 + 0,18\cdot5.326 + 0,4\cdot (1-p)\cdot 1.118 \\ 0,27\cdot3.556+ 0,72\cdot 5.326 + 0,6\cdot (1-p)\cdot 1.118 \\ 0,1\cdot3.556 +0,1\cdot 5.326 + p\cdot 1.118} &=& \pmatrix{a\\b\\1.112} \\[5pt] \pmatrix{3.646,16 -447,2p \\ 5.465,64 -670,8p \\ 888,2 + 1.118 p} &=& \pmatrix{a\\b\\1.112} \\[5pt] \end{array}$
$ …= \pmatrix{a\\b\\1.112} $
Aus dem letzten Eintrag ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 888,2 + 1.118 p &=& 1.112 &\quad \scriptsize \mid\;-888,2 \\[5pt] 1.118 p&=& 223,8 &\quad \scriptsize \mid\;:1.118 \\[5pt] p&\approx& 0,2002 \end{array}$
$ p\approx 0,2002 $
Es ist also $p\approx 0,2002.$
Bildnachweise [nach oben]
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© – SchulLV.
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