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Aufgabe IV: Stochastik

Aufgaben
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Aufgabe IV: Smartphones

1.
Von allen Jugendlichen eines Landes im Alter von 14 bis 25 Jahren sind $49,20\,\%$ weiblich. $47,10\,\%$ der Jugendlichen erledigen ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet. Der Anteil der Jugendlichen, die weiblich sind und ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet erledigen, beträgt $19,68\,\%.$
$\,$
a)
Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(3 BE)
#vierfeldertafel
$\,$
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte Person entweder männlich ist oder ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet erledigt.
(3 BE)
$\,$
c)
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den weiblichen Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet erledigt, $40\,\%$ beträgt.
(2 BE)
$\,$
d)
Es werden $50$ weibliche Jugendliche zufällig ausgewählt. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
„Die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigt Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
„Mehr als die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigen Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
(4 BE)
$\,$
Aus einer Gruppe von zehn Jugendlichen nutzen für Finanzangelegenheiten vier Personen nur Smartphones und sechs nur Tablets. Aus dieser Gruppe werden drei Jugendliche zufällig ausgewählt.
$\,$
e)
Begründe, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten Personen, die für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen, nicht geeignet ist.
(2 BE)
#binomialverteilung
$\,$
f)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Personen für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen.
(3 BE)
2.
Das abgebildete Diagramm 1 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y_1$ mit den Parametern $n_1 = 20$ und $p_1$ dar.
Der Erwartungswert von $Y_1$ ist ganzzahlig.
Betrachtet wird zusätzlich die binomialverteilte Zufallsgröße $Y_2$ mit den Parametern $n_2 = 40$ und $p_2.$ Der Erwartungswert von $Y_2$ ist halb so groß wie der Erwartungswert von $Y_1.$
Bestimme das Verhältnis der Varianzen von $Y_1$ und $Y_2.$
(3 BE)
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgabe IV: Smartphones

1.
a)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellenAufgabe IV: Stochastik
Verwende beispielsweise folgende Bezeichnungen:
  • $W:$ Ein zufällig ausgewählter Jugendlicher ist weiblich.
  • $S:$ Ein zufällig ausgewählter Jugendlicher erledigt seine Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.
$W$$\overline{W}$Gesamt
$S$$0,1968$$0,2768$$0,4710$
$\overline{S}$$0,2952$$0,2312$$0,5290$
Gesamt$0,4920$$0,5080$$1$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichket bestimmen
Verwende die Vierfeldertafel.
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{W}\cap S) + P(W\cap \overline{S})&=& 0,2768 + 0,2952 \\[5pt] &=& 0,572 \\[5pt] &=& 57,2\,\% \end{array}$
$ P(\overline{W}\cap S) + P(W\cap \overline{S}) = 57,2\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $57,2\,\%$ ist eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte Person entweder männlich oder erledigt ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Gesucht ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P_W(S)&=& \dfrac{P(W\cap S)}{P(W)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,1968}{0,4920} \\[5pt] &=& 0,4 \\[5pt] &=& 40\,\% \\[5pt] \end{array}$
Eine unter den weiblichen Jugendlichen zufällig ausgewählte Person erledigt ihre Finanzangelegenheiten mit einer Wahrscheinlichkeit von $40\,\%$ regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.
#bedingtewahrscheinlichkeit
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die unter $50$ zufällig ausgewählten weiblichen Jugendlichen die Anzahl derer beschreibt, die ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet erledigen.
Da nur zwischen zwei verschiedenen Ergebnissen unterschieden wird und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer konstant bleibt, kann $X$ als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,4$ angenommen werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X=25)\\[5pt] &=& \binom{50}{25}\cdot 0,4^{25} \cdot 0,6^{25} \\[5pt] &\approx& 0,0405 \\[5pt] &=& 4,05\,\% \\[10pt] P(B) &=& P(X > 25) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,0573 \\[5pt] &=& 5,73\,\% \end{array}$
#binomialverteilung
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Binomialverteilung nicht geeignet ist
Für die Binomialverteilung muss erfüllt sein, dass bei jeder Person die gleiche Wahrscheinlichkeit gilt, dass sie für Finanzangelegenheiten nur ihr Smartphone nutzt. Dies muss unabhängig davon sein, wie viele Personen der Stichprobe schon untersucht wurden und welche Ergebnisse dabei festgestellt wurden. Es muss sich um „Ziehen mit Zurücklegen“ handeln.
Im vorliegenden Fall handelt es sich allerdings um „Ziehen ohne Zurücklegen“. Beim ersten Jugendlichen, der befragt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass er nur ein Smartphone nutzt noch $40\,\%.$ Ist dieser Schüler einer von denen, die nur ihr Smartphone nutzen, ist die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Schüler schon nur noch $\frac{3}{9},$ also nicht mehr $40\,\%.$ Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich also abhängig von den vorherigen Ergebnissen.
Daher ist die Binomialverteilung nicht geeignet.
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den drei Personen genau zwei nur Smartphones nutzen, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den drei Personen genau eine nur Tablets nutzt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}\cdot \frac{3}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} = 0,3 $
$ …=0,3 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $30\,\%$ verwenden unter den drei zufällig ausgewählten Jugendlichen genau zwei nur Smartphones für ihre Finanzangelegenheiten.
#pfadregeln
2.
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Varianzen bestimmen
Um die Varianzen zu berechnen, benötigst du die Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2.$
Da der Wert $k$ mit der größten Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert ist, kannst du aus der Abbildung ablesen, dass $\mu_1 = 8$ ist. Mithilfe der Formel zur Berechnung des Erwartungswerts kannst du nun die Wahrscheinlichkeit $p_1$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \mu_1 &=& n_1 \cdot p_1 &\quad \scriptsize \mid\;\mu_1 = 8; n_1 = 20 \\[5pt] 8 &=& 20\cdot p_1 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] 0,4 &=& p_1 \end{array}$
$ p_1= 0,4 $
Die Varianz von $Y_1$ ist also
$Var(Y_1)= n_1\cdot p_1 \cdot (1-p_1) = 4,8$
$ Var(Y_1)=4,8 $
Der Erwartungswert von $Y_2$ ist halb so groß wie der von $Y_1.$ Also ist:
$\mu_2 = 0,5\cdot \mu_1 = 0,5\cdot 8 = 4$
Hier kannst du nun analog zu oben $p_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \mu_2 &=& n_2 \cdot p_2 &\quad \scriptsize \mid\;\mu_2 = 4; n_2 = 40 \\[5pt] 4 &=& 40\cdot p_2 &\quad \scriptsize \mid\;:40 \\[5pt] 0,1 &=& p_2 \end{array}$
$ p_2=0,1 $
Die Varianz von $Y_2$ ist also
$Var(Y_2) = n_2 \cdot p_2 \cdot (1-p_2) = 3,6$
$ Var(Y_2) = 3,6 $
Das Verhältnis der beiden Varianzen ergibt sich daher zu:
$\dfrac{Var(Y_1)}{Var(Y_2)} = \dfrac{4,8}{3,6} = \dfrac{4}{3}.$
Das Verhältnis der Varianz von $Y_1$ zur Varianz von $Y_2$ ist also $4$ zu $3.$
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