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Aufgabe 1

Aufgaben
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1.
Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer nur eine richtig. Eine Begründung wird nicht verlangt.
a)
$0,7 \cdot 0,07 =$
$0,49$
$0,0049$
b)
$3,4 \text{ m}^3=$
$3400 \text{ ml}$
$3400000 \text{ ml}$
c)
$(x+7)(2x+4)=$
$20x+28$
$2x^2 + 14x + 28$
d)
$\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=$
$\frac{22}{15}$
$\frac{6}{8}$
e)
$\sqrt[3]{8^2}$
$4$
$2$
f)
$2^{-3}=$
$-\frac{1}{8}$
$8$
g)
Ein Gebrauchtwagen kostet ohne Mehrwertsteuer $12000 €$.
Einschließlich $19 \%$ Mehrwertsteuer kostet er…
$14280 €$
$2280 €$
h)
$6$ Schüler stellen sich hintereinander an einer Kinokasse an.
Wie viele verschiedene Aufstellungen gibt es?
216
21
i)
Bei einem Zylinder werden der Radius und die Höhe verdoppelt.
Um welchen Faktor verändert sich das Volumen des Zylinders?
$8$
$2$
j)
Es wird gleichzeitig mit zwei fairen sechsseitigen Spielwürfeln und mit einer fairen Münze geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei gleiche Augenzahlen und Wappen geworfen?
$\frac{1}{36}$
$\frac{1}{6}$
k)
Die Funktion $f(x)=x^2-4$ hat…
nur die Nullstelle $4$.
die beiden Nullstellen $-2$ und $2$.
l)
Ein Kreis mit dem Radius $10 \text{ cm}$ hat ungefähr den Flächeninhalt…
$630 \text{ cm}^2$
$63 \text{ cm}^2$
m)
Gegeben ist die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Entscheide, welche Lösung richtig ist.
$x=-2$ und $x=2$
$x=-2$
n)
Es gilt in dieser nicht maßstabsgetreuen Zeichnung:
$\overline{BD} \parallel \overline{CE}$ sowie:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& 4 \text{ cm} \\[5pt] \overline{BC}&=& 2 \text{ cm} \\[5pt] \overline{BD}&=& 5 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Strecke $\overline{CE}$ beträgt…
$5,5 \text{ cm}$
$10 \text{ cm}$
#kreis#quadratischefunktion#wahrscheinlichkeit
2.
Bestimme jeweils alle Lösungen der folgenden Gleichungen und notiere deinen Lösungsweg.
a)
$(x-2)(2x+12)(x+5)=0$
b)
$-3x^2+24x-45=0$
c)
$3^{2x}-27=0$
#pq-formel#logarithmusgesetze
3.
Gib an, welcher der aufgeführten Graphen jeweils zu dem Funktionsterm gehört.
Trage dazu den Buchstaben des Graphen neben dem zugehörigen Term in die Liste ein.
FunktionGraph
$f_{1}(x)=2^{x+1}$
$f_{2}(x)=2^{x-1}$
$f_{3}(x)=2^x-1$
$f_4(x)=2^x$
$f_5(x)=x^2-4$
$f_6(x)=x^2+4$
$f_7(x)=(x+4)^2$
$f_8(x)=(x-4)^2$
$f_9(x)=2\sin(x)$
$f_{10}(x)=\sin(x)+2$
$f_{11}(x)=\sin(2x)$
$f_{12}(x)=\sin(x)$
#quadratischefunktion#kosinusfunktion#sinusfunktion#schaubild#exponentialfunktion
4.
In einem Säckchen befinden sich $2$ rote, $3$ blaue und $5$ grüne Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln grün sind.
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln gleichfarbig sind.
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine gezogene Kügel blau ist.
#wahrscheinlichkeit#pfadregeln
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Tipps
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
Du sollst die Lösung des Terms $0,07 \cdot 0,7$ angeben. Forme hierbei den Term um, sodass du die Lösung einfacher berechnen kannst.
b)
$\blacktriangleright$ Einheiten betrachten
$1 \text{cm}^3$ entspricht hierbei $1 \text{ ml}$. Somit musst du zuerst $3,4 \text{ m}^3$ in die Einheit $\text{cm}^3$ umrechnen, anschließend kannst du es in $\text{ml}$ angeben.
c)
$\blacktriangleright$ Klammern auflösen
Löse die Klammern auf, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Dabei multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
d)
$\blacktriangleright$ Brüche addieren
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Brüche addieren. Hierzu musst du zuerst die beiden Brüche auf den gleichen Nenner bringen, danach kannst du die Zähler addieren.
e)
$\blacktriangleright$ Dritte Wurzel ziehen
Hier ist deine Aufgabe die dritte Wurzel zu ziehen. Berechne zuerst die Zahl unter der Wurzel (Radikand), danach kannst du die Kubikzahlen der Lösungsmöglichkeiten berechnen und damit vergleichen. Stimmen die beiden Zahlen überein, ist es die richtige Lösung.
f)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
Berechne $2^{-3}$ mit der Potenzregel für negative Exponenten. Es gilt folgende Potenzregel:
$a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}$
$a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}$
g)
$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe den Verkaufspreis des Gebrauchtwagen mit Mehrwertsteuer berechnen. Die Mehrwertsteuer beträgt $19\%$ von $12.000€$. Addiere den Betrag der Mehrwertsteuer zum ursprünglichen Preis dazu, um den Verkaufspreis $V$ zu erhalten.
h)
$\blacktriangleright$ Möglichkeiten berechnen
Hier sollst du berechnen, wie viele verschiedene Aufstellungen es für die 6 Schüler an der Kinokasse gibt. In der Reihe gibt es $6$ verschiedene Plätze. Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, um den ersten Platz zu besetzen. Anschließend kannst du überlegen, wie viele Möglichkeiten es noch für den zweiten, dritten, vierten, fünften und sechsten Platz gibt. Die Anzahl aller Aufstellungen erhältst du, indem du jeweils die Möglichkeiten für die einzelnen Plätze miteinander multiplizierst.
i)
$\blacktriangleright$ Faktor bestimmen
Du sollst bestimmen, um welchen Faktor sich das Volumen des Zylinders verändert. Für diese Aufgabe brauchst du zuerst die Formel für das Volumen eines Zylinders. Die Formel für das Volumen $V$ eines Zylinders mit der Höhe $h$ und dem Radius $r$ lautet:
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
Vergleiche nun dieses Volumen mit dem Volumen eines Zylinders mit doppeltem Radius und doppelter Höhe. Der neue Zylinder hat also den Radius $2r$ und die Höhe $2h$.
Das Volumen des neuen Zylinders $V^*$ kannst du nun mit der obigen Formel berechnen und weiter umformen, sodass du das Volumen des neuen Zylinders $V^*$ mit dem Volumen des normalen Zylinders $V$ vergleichen kannst.
j)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$A=\text{„Zwei gleiche Augenzahlen und Wappen“}$
$A=\dotsc$
bei einem Wurf mit zwei fairen sechsseitigen Spielwürfeln und einer fairen Münze gefragt. Da das Ergebnis des Münzwurfs unabhängig vom Ergebnis der Würfel ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ folgendermaßen aufteilen:
$P(A)=P(\text{„gl. AZ“})\cdot P(\text{„Wappen“})$.
$P(A)=\dotsc$
Berechne also die beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten, um die gesamte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit Augenzahlen berechnen
Berechne also zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleiche Augenzahlen geworfen werden. Es gibt insgesamt $36$ verschiedene Ausgänge bei einem Wurf mit zwei Würfeln. Dabei gibt es $6$ Ausgänge, bei denen die Augenzahlen gleich sind (beide Würfel mit Augenzahl $1$, $2$,…,$6$). Da es sich um faire Würfel handelt, ist jeder Wurf gleich wahrscheinlich.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit Wappen berechnen
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Wappen zu werfen. Da es sich hierbei um eine faire Münze handelt, haben die beiden möglichen Ausgänge Wappen und Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit.
3. Schritt: Ergebnis berechnen
Die beiden oben berechneten Wahrscheinlichkeiten kannst du nun einsetzen.
k)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Hier sollst du die Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen. Setze dazu die Werte der Antwortmöglichkeiten ein und überprüfe, ob das Ergebnis eine Nullstelle ist. Berechne also die Funktionswerte $f(4)$, $f(2)$ und $f(-2)$.
l)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Berechne den Flächeninhalt eines Kreises. Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit Radius $r$ lautet:
$A=\pi \cdot r^2$
$A=\pi \cdot r^2$
Setze in der Formel den Radius $r=10\text{ cm}$ ein.
m)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Hier musst du entscheiden, welche der angegebenen Lösungen die Gleichung löst. Überprüfe hierbei was passiert, wenn du $x=2$ bzw. $x=-2$ in die Gleichung einsetzt.
n)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des ersten Strahlensatzes lösen, da $\overline{BD}$ und $\overline{CE}$ parallel sind. Der Strahlensatz für die vorliegende Skizze lautet:
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}}$.
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}}$.
Neben dem gesuchten Wert $\overline{CE}$ ist auch noch der Wert $\overline{AC}$ unbekannt. Berechne zuerst mit der Skizze die Länge der Strecke $\overline{AC}$, anschließend kannst du mit Hilfe der obigen Formel die Lösung bestimmen.
2.
a)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Bestimme hier alle Lösungen der Gleichung $(x-2)(2x+12)(x+5)=0$. Die Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn das Produkt auf der linken Seite gleich Null ist. Nach dem Satz über das Nullprodukt ist das Produkt genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Überprüfe also für welche Werte die einzelnen Faktoren gleich Null sind.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Du sollst alle Lösungen der Gleichung $-3x^2+24x-45=0$ bestimmen. Hierbei kannst du die Lösungen mit der $pq$-Formel bestimmen. Dazu musst du die gegebene Gleichung noch in die folgende Form bringen:
$x^2+px+q=0$
$x^2+px+q=0$
Die Lösung der Gleichung kannst du anschließend mit folgender Formel bestimmen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
c)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Du sollst alle Lösungen der Gleichung $3^{2x}-27=0$ bestimmen. Forme dazu die die Gleichung um und verwende den Logarithmus. Es gilt für den Logarithmus folgende Formel:
$a^x=b \leftrightarrow x=\log_a (b)$
$a^x=b \leftrightarrow x=\log_a (b)$
3.
$\blacktriangleright$Graphen zuordnen
Du sollst in dieser Aufgabe angeben, welche der aufgeführten Graphen jeweils zu dem Funktionsterm gehört. Betrachte hierbei die einzelnen Graphen und beachte die wichtigen Eigenschaften des Graphen.
Der Graph $a$ ist eine Funktion, die sich periodisch wiederholt. Als Funktionsterme sind hierbei nur Sinusunktionen angegeben, als sich periodisch wiederholende Funktionen. Der allgemeine Funktionsterm einer Sinusfunktion lautet:
$f(x)=a\cdot \sin(b\cdot x +c) +d$
$f(x)=a\cdot \sin(b\cdot x +c) +d$
Hierbei gibt $a$ die Streckung in $y$-Richtung, $b$ die Streckung in $x$-Richtung, $c$ die Verschiebung in $x$-Richtung und $d$ die Verschiebung in $y$-Richtung an. Die Funktion $f(x)=\sin(x)$ besitzt hierbei eine Amplitude bei $1$, geht durch den Punkt $(0 \mid 0)$ und ist $2\pi$-periodisch.
Der Graph $b$ zeigt eine quadratische Funktion, welche bei $x=4$ eine Nullstelle besitzt. Prüfe also für welchen quadratischen Funktionsterm $f(x=4)=0$ gilt.
Der Graph $c$ verläuft durch den Punkt $( 0 \mid 0)$ und ist keine periodische Funktion. Überprüfe somit für welche der verbliebenen Funktionsterme $f(x=0)=0$ gilt.
Der Graph $d$ zeigt erneut eine quadratische Funktion. Diese quadratische Funktion verläuft durch den Punkt $(0 \mid 4)$. Setze somit $x=0$ in die restlichen quadratischen Funktionen und prüfe ob $f(x=0)=4$ gilt.
4.
a)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beide gezogenen Kugeln grün sind. Du weißt hierfür, dass sich in einem Säckchen $2$ rote, $3$ blaue und $5$ grüne Kugeln befinden. Hierbei wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Das bedeutet, dass sich beim zweiten Ziehen nur noch insgesamt $9$ Kugeln in dem Säckchen befinden.
Zeichne hierfür ein Baumdiagramm und gebe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an. Es folgt folgendes Baumdiagramm:
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass beide gezogenen Kugeln blau sind. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem Baumdiagramm und den Pfadregeln berechnen.
b)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beide gezogenen Kugeln gleichfarbig sind. Du hast zuvor bereits die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass beide Kugeln grün sind. Du musst nun noch die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass beide Kugeln blau oder rot sind. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du anschließend zusammen addieren und du erhältst die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
c)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Du musst somit alle Ereignisse betrachten bei denen mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Anchließend musst du die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse bestimmen und durch summieren der einzelnen Wahrscheinlichkeiten die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse bestimmen, für die gilt, dass mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Das erste Ereignis ist, dass du bereits im ersten Zug eine blaue Kugel ziehst, dann ist es egal, welche Kugel du bei deinem zweiten Zug ziehst. Außerdem gibt es noch die Ereignisse, dass du beim ersten Ziehen eine grüne oder eine rote Kugel ziehst und beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel ziehst.
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a)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
Du sollst die Lösung des Terms $0,07 \cdot 0,7$ angeben. Forme hierbei den Term um, sodass du die Lösung einfacher berechnen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} 0,07\cdot 0,7&=& (7 \cdot 0,01) \cdot (7 \cdot 0,1)\\[5pt] &=& 7 \cdot 7 \cdot 0,01 \cdot 0,1\\[5pt] &=& 49 \cdot 0,001\\[5pt] &=& 0,049 \end{array}$
$0,07\cdot 0,7=0,049 $
Somit ist $0,049$ die richtige Lösung.
b)
$\blacktriangleright$ Einheiten betrachten
$1 \text{cm}^3$ entspricht hierbei $1 \text{ ml}$. Somit musst du zuerst $3,4 \text{ m}^3$ in die Einheit $\text{cm}^3$ umrechnen, anschließend kannst du es in $\text{ml}$ angeben:
$\begin{array}[t]{rll} 3,4 \text{ m}^3&=& 3,4 \; (100 \text{ cm})^3 \\[5pt] &=& 3,4 \cdot 100^3 \text{ cm}^3 \\[5pt] &=& 3.400.000 \text{ cm}^3 &\quad \scriptsize \mid\; 1 \text{ cm}^3 \text{ entspricht } 1 \text{ ml} \\[5pt] &=& 3.400.000 \text{ ml} \end{array}$
$3,4 \text{ m}^3= \dotsc$
Damit ist $3.400.000 \text{ ml}$ die richtige Lösung.
c)
$\blacktriangleright$ Klammern auflösen
Löse die Klammern auf, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Dabei multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} (x+7)(2x+4)&=& x\cdot 2x + x \cdot 4 + 7 \cdot 2x + 7 \cdot 4 \\[5pt] &=& 2x^2 + 4x + 14x + 28 \\[5pt] &=& 2x^2 + 18x + 28 \end{array}$
$(x+7)(2x+4)=\dotsc$
Hiermit ist $2x^2 + 18x + 28$ die richtige Lösung.
d)
$\blacktriangleright$ Brüche addieren
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Brüche addieren. Hierzu musst du zuerst die beiden Brüche auf den gleichen Nenner bringen, danach kannst du die Zähler addieren. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{5}&=& \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \dfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{10}{15} + \dfrac{12}{15} \\[5pt] &=& \dfrac{10 + 12}{15} \\[5pt] &=& \dfrac{22}{15} \end{array}$
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{5}=\dfrac{22}{15}$
Die richtige Lösung lautet $\dfrac{22}{15}$.
e)
$\blacktriangleright$ Dritte Wurzel ziehen
Hier ist deine Aufgabe die dritte Wurzel zu ziehen. Berechne zuerst die Zahl unter der Wurzel (Radikand), danach kannst du die Kubikzahlen der Lösungsmöglichkeiten berechnen und damit vergleichen. Stimmen die beiden Zahlen überein, ist es die richtige Lösung.
1. Schritt: Radikand berechnen
$8^2=8\cdot 8=64$.
Die Kubikzahl der Lösung muss also $64$ sein.
2. Schritt: Kubikzahlen berechnen
Berechne die Kubikzahlen der vier Antwortmöglichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} 2^3&=& 2 \cdot 2 \cdot 2 &=& 4 \cdot 2 &=& 8 &\neq& 64 \\[5pt] 3^3&=& 3 \cdot 3 \cdot 3 &=& 9 \cdot 3 &=& 27 &\neq& 64 \\[5pt] 4^3&=& 4 \cdot 4 \cdot 4 &=& 16 \cdot 4 &=& 64 \\[5pt] 8^3&=& 8 \cdot 8 \cdot 8 &=& 64 \cdot 8 &=& 512 &\neq& 64 \\[5pt] \end{array}$
$2^3= \dotsc$
$64$ ist die Kubikzahl von $4$, also gilt insgesamt:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt[3]{8^2}&=& \sqrt[3]{64} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{4^3} \\[5pt] &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
Somit ist $4$ die richtige Lösung.
f)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
Berechne $2^{-3}$ mit der Potenzregel für negative Exponenten. Es gilt folgende Potenzregel:
$a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}$
$a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}$
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 2^{-3}&=& \dfrac{1}{2^3} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{8} \\[5pt] \end{array}$
Somit ist $\dfrac{1}{8}$ die richtige Lösung.
g)
$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe den Verkaufspreis des Gebrauchtwagen mit Mehrwertsteuer berechnen. Die Mehrwertsteuer beträgt $19\%$ von $12.000€$. Addiere den Betrag der Mehrwertsteuer zum ursprünglichen Preis dazu, um den Verkaufspreis $V$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 12.000 €+ 0,19 \cdot 12.000 €\\[5pt] &=& 12.000 € + 2.280 € \\[5pt] &=& 14.280 € \\[5pt] \end{array}$
$V=14.280 €$
Somit ist $14.280 €$ die richtige Lösung.
h)
$\blacktriangleright$ Möglichkeiten berechnen
Hier sollst du berechnen, wie viele verschiedene Aufstellungen es für die 6 Schüler an der Kinokasse gibt. In der Reihe gibt es $6$ verschiedene Plätze. Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, um den ersten Platz zu besetzen. Anschließend kannst du überlegen, wie viele Möglichkeiten es noch für den zweiten, dritten, vierten, fünften und sechsten Platz gibt. Die Anzahl aller Aufstellungen erhältst du, indem du jeweils die Möglichkeiten für die einzelnen Plätze miteinander multiplizierst.
Betrachte also zuerst den ersten Platz. Du hast $6$ Schüler, die dort stehen können, also $6$ Möglichkeiten. Stelle einen der $6$ Schüler auf den Platz.
Betrachte nun den zweiten Platz. Da ein Schüler bereits auf Platz $1$ steht, sind noch $5$ Schüler vorhanden, die dort stehen könnten. Also $5$ Möglichkeiten. Für den dritten Platz gibt es jetzt noch $4$ Schüler, da $2$ Schüler auf den ersten beiden Plätzen stehen. Das entspricht $4$ Möglichkeiten.
Nach diesem Schema erhältst du weiter, dass es für den vierten Platz noch $3$ Möglichkeiten, den fünften Platz $2$ Möglichkeiten und den letzten Platz noch eine Möglichkeit gibt. Damit kannst du also die Anzahl aller möglichen Aufstellungen wie folgt berechnen:
$6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Somit ist $120$ die richtige Lösung.
i)
$\blacktriangleright$ Faktor bestimmen
Du sollst bestimmen, um welchen Faktor sich das Volumen des Zylinders verändert. Für diese Aufgabe brauchst du zuerst die Formel für das Volumen eines Zylinders. Die Formel für das Volumen $V$ eines Zylinders mit der Höhe $h$ und dem Radius $r$ lautet:
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
Vergleiche nun dieses Volumen mit dem Volumen eines Zylinders mit doppeltem Radius und doppelter Höhe. Der neue Zylinder hat also den Radius $2r$ und die Höhe $2h$.
Das Volumen des neuen Zylinders $V^*$ kannst du nun mit der obigen Formel berechnen und weiter umformen, sodass du das Volumen des neuen Zylinders $V^*$ mit dem Volumen des normalen Zylinders $V$ vergleichen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} V^*&=&\pi \cdot (2r)^2 \cdot (2h)\\[5pt] &=&\pi \cdot 2^2 \cdot r^2 \cdot 2\cdot h \\[5pt] &=& ( 4 \cdot 2 ) \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) &\quad \scriptsize \mid\; \pi \cdot r^2 \cdot h = V \\[5pt] &=& 8 \cdot V \end{array}$
$V^*=8 \cdot V$
Insgesamt gilt also $V^*=8 \cdot V$. Das heißt, dass das Volumen sich verachtfacht, wenn der Radius und die Höhe sich verdoppeln.
Somit ist $8$ die richtige Lösung.
j)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$A=\text{„Zwei gleiche Augenzahlen und Wappen“}$
$A=\dotsc$
bei einem Wurf mit zwei fairen sechsseitigen Spielwürfeln und einer fairen Münze gefragt. Da das Ergebnis des Münzwurfs unabhängig vom Ergebnis der Würfel ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ folgendermaßen aufteilen:
$P(A)=P(\text{„gl. AZ“})\cdot P(\text{„Wappen“})$.
$P(A)=\dotsc$
Berechne also die beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten, um die insgesamte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit Augenzahlen berechnen
Berechne also zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleiche Augenzahlen geworfen werden. Es gibt insgesamt $36$ verschiedene Ausgänge bei einem Wurf mit zwei Würfeln. Dabei gibt es $6$ Ausgänge, bei denen die Augenzahlen gleich sind (beide Würfel mit Augenzahl $1$, $2$,…,$6$). Da es sich um faire Würfel handelt, ist jeder Wurf gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also:
$\begin{array}[t]{lll} P(\text{„Zwei gleiche Augenzahlen“})&=&\dfrac{6}{36} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{„Zwei gl. AZ“})= \dotsc$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit Wappen berechnen
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Wappen zu werfen. Da es sich hierbei um eine faire Münze handelt, haben die beiden möglichen Ausgänge Wappen und Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit. Somit gilt:
$P(\text{„Wappen“})=\dfrac{1}{2}$.
3. Schritt: Ergebnis berechnen
Die beiden oben berechneten Wahrscheinlichkeiten kannst du nun einsetzen. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(\text{„Zwei gleiche Augenzahlen“})\cdot P(\text{„Wappen“})\\[5pt] &=& \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \\[5pt] \end{array}$
$P(A)=\dfrac{1}{12}$
Somit ist $\dfrac{1}{12}$ die richtige Lösung.
k)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Hier sollst du die Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen. Setze dazu die Werte der Antwortmöglichkeiten ein und überprüfe, ob das Ergebnis eine Nullstelle ist. Berechne also die Funktionswerte $f(4)$, $f(2)$ und $f(-2)$:
$\begin{array}[t]{lll} f(4)&=& 4^2-4 \\[5pt] &=& 12 &\neq& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} f(2)&=& 2^2-4 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} f(-2)&=& (-2)^2-4 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Also sind $2$ und $-2$ Nullstellen der Funktion $f$.
l)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Berechne den Flächeninhalt eines Kreises. Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit Radius $r$ lautet:
$A=\pi \cdot r^2$
$A=\pi \cdot r^2$
Setze in der Formel den Radius $r=10\text{ cm}$ ein:
$\begin{array}[t]{lll} A&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (10 \text{ cm})^2 \\[5pt] &\approx& 314 \text{ cm}^2 \end{array}$
$A \approx 314 \text{ cm}^2$
Damit ist $314\text{ cm}^2$ die richtige Antwort.
m)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Hier musst du entscheiden, welche der angegebenen Lösungen die Gleichung löst. Überprüfe hierbei was passiert, wenn du $x=2$ bzw. $x=-2$ in die Gleichung einsetzt.
1. Schritt: $x=2$ überprüfen
Setze $x=2$ in die Gleichung ein. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] \dfrac{(2-2)(2+2)}{(2-2)}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{0 \cdot 4}{0}&=& 0 \end{array}$
$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}= \dotsc$
Da man jedoch nicht durch $0$ teilen darf, ist dies kein zulässiger Term. Somit ist $x=2$ kein zulässiger Wert für die Gleichung und insbesondere keine Lösung.
2. Schritt: $x=-2$ überprüfen
Setze $x=-2$ in die Gleichung ein. Daraus folgt
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] \dfrac{((-2)-2)((-2)+2)}{((-2)-2)}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{(-4) \cdot 0}{-4}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{0}{-4}&=& 0 \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$
$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}= \dotsc$
Somit ist $x=-2$ eine Lösung der Gleichung und auch die richtige Antwort.
n)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des ersten Strahlensatzes lösen, da $\overline{BD}$ und $\overline{CE}$ parallel sind. Der Strahlensatz für die vorliegende Skizze lautet:
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}}$.
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}}$.
Neben dem gesuchten Wert $\overline{CE}$ ist auch noch der Wert $\overline{AC}$ unbekannt. Berechne zuerst mit der Skizze die Länge der Strecke $\overline{AC}$, anschließend kannst du mit Hilfe der obigen Formel die Lösung bestimmen.
1. Schritt: $\overline{AC}$ berechnen
Du erkennst auf der Skizze, dass folgende Beziehung gilt:
$\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$.
Da du $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ kennst, kannst du sie in die Formel einsetzen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AB}+\overline{BC}\\[5pt] &=& 4 \text{ cm} + 2 \text{ cm}\\[5pt] &=& 6 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{AC}=6 \text{ cm}$
2. Schritt: $\overline{CE}$ berechnen
Löse die Formel nach $\overline{CE}$ auf und setze dann die restlichen Werte ein:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AC} \cdot \overline{CE} \\[5pt] \overline{AB} \cdot \overline{CE}&=&\overline{BD} \cdot \overline{AC} &\quad \scriptsize \mid\; : \overline{AB} \\[5pt] \overline{CE}&=&\dfrac{\overline{BD} \cdot \overline{AC}}{\overline{AB}} \\[5pt] \overline{CE}&=&\dfrac{5 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm}}{4 \text{ cm}} \\[5pt] &=& 7,5 \text{ cm} \end{array}$
$\overline{CE}=7,5 \text{ cm}$
Somit ist $7,5 \text{ cm}$ die richtige Antwort.
2.
a)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Bestimme hier alle Lösungen der Gleichung $(x-2)(2x+12)(x+5)=0$. Die Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn das Produkt auf der linken Seite gleich Null ist. Nach dem Satz über das Nullprodukt ist das Produkt genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Überprüfe also für welche Werte die einzelnen Faktoren gleich Null sind.
Der erste Faktor ist $(x-2)$. Gesucht sind alle $x$, für die die Gleichung $x-2=0$ erfüllt ist. Addierst du auf beiden Seiten $2$, dann erhältst du die Lösung $x=2$.
Betrachte nun den zweiten Faktoren. Hier kannst du genauso vorgehen:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 2x&=& -12&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=& -6 \end{array}$
$x=-6$
Somit ist $x=-6$ eine weitere Lösung.
Setze auch den letzten Faktor gleich Null und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] x&=& -5 \end{array}$
$x=-5 $
Die letzte Lösung der Gleichung lautet $x=-5$.
Insgesamt ist das Produkt auf der linke Seite für $x=-6$, $x=-5$ und $x=2$ gleich Null und damit sind dies alle gesuchten Lösungen der Gleichung.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Du sollst alle Lösungen der Gleichung $-3x^2+24x-45=0$ bestimmen. Hierbei kannst du die Lösungen mit der $pq$-Formel bestimmen. Dazu musst du die gegebene Gleichung noch in die folgende Form bringen:
$x^2+px+q=0$
$x^2+px+q=0$
Die Lösung der Gleichung kannst du anschließend mit folgender Formel bestimmen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Forme also zuerst die gegebene Gleichung wie folgt um:
$\begin{array}[t]{rll} -3x^2+24x-45&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] x^2-8x +15&=& 0 \end{array}$
$-3x^2+24x-45= \dotsc$
Somit folgen mit $p=-8$ und $q=15$ folgende Lösungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{-8}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-8}{2}} \right)^2 - 15} \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt {16 - 15} \\[5pt] &=& 4 \pm 1 \\[5pt] x_1 &=& 5 \\[5pt] x_2 &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}= \dotsc$
Somit besitzt die Gleichung die Lösungen $x_1=5$ und $x_2=3$.
c)
$\blacktriangleright$ Lösungen bestimmen
Du sollst alle Lösungen der Gleichung $3^{2x}-27=0$ bestimmen. Forme dazu die die Gleichung um und verwende den Logarithmus. Es gilt für den Logarithmus folgende Formel:
$a^x=b \leftrightarrow x=\log_a (b)$
$a^x=b \leftrightarrow x=\log_a (b)$
Forme somit die gegebene Gleichung wie folgt um:
$\begin{array}[t]{rll} 3^{2x}-27&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +27 \\[5pt] 3^{2x}&=& 27 \\[5pt] 2x&=& log_3(27) &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{2} \cdot log_3(27) \\[5pt] \end{array}$
$x= \dotsc$
Du musst dir nun überlegen, was das Ergebnis von $log_3(27)$ ist. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} log_3(27)&=& x \\[5pt] 3^x&=& 27 \\[5pt] \end{array}$
Überlege dir, wie das Ergebnis für $3^x=27$ lauten muss. Hierbei gilt für $x=3$, da $3^3=27$ gilt und daraus folgt folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{1}{2} \cdot log_3(27) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung für diese Gleichung ist somit $x=\dfrac{3}{2}$.
3.
$\blacktriangleright$Graphen zuordnen
Du sollst in dieser Aufgabe angeben, welche der aufgeführten Graphen jeweils zu dem Funktionsterm gehört. Betrachte hierbei die einzelnen Graphen und beachte die wichtigen Eigenschaften des Graphen.
Der Graph $a$ ist eine Funktion, die sich periodisch wiederholt. Als Funktionsterme sind hierbei nur Sinusunktionen angegeben, als sich periodisch wiederholende Funktionen. Der allgemeine Funktionsterm einer Sinusfunktion lautet:
$f(x)=a\cdot \sin(b\cdot x +c) +d$
$f(x)=a\cdot \sin(b\cdot x +c) +d$
Hierbei gibt $a$ die Streckung in $y$-Richtung, $b$ die Streckung in $x$-Richtung, $c$ die Verschiebung in $x$-Richtung und $d$ die Verschiebung in $y$-Richtung an. Die Funktion $f(x)=\sin(x)$ besitzt hierbei eine Amplitude bei $1$, geht durch den Punkt $(0 \mid 0)$ und ist $2\pi$-periodisch.
Der angegebene Graph geht hierbei auch durch den Punkt $(0 \mid 0)$. Das bedeutet, dass der Funktionsterm zu dem Graphen keine Verschiebung in $x$- und $y$-Richtung besitzt. Die Amplitude liegt bei dem abgebildeten Graphen auch bei $1$ und somit besitzt der Funktionsterm auch keine Streckung in $y$-Richtung. Der gegebene Graph ist hierbei allerding $\pi$-periodisch. Somit besitzt der Funktionsterm eine Streckung in $x$-Richtung. Daraus folgt, dass der zugehörige Funktionsterm $f_{11}(x)=\sin(2x)$ lautet.
Der Graph $b$ zeigt eine quadratische Funktion, welche bei $x=4$ eine Nullstelle besitzt. Prüfe also für welchen quadratischen Funktionsterm $f(x=4)=0$ gilt. Dies ist nur für den Funktionsterm $f_8(x)=(x-4)^2$ der Fall. Somit lautet zu dem Graphen $b$ der zugehörige Funktionsterm $f_8(x)$.
Der Graph $c$ verläuft durch den Punkt $( 0 \mid 0)$ und ist keine periodische Funktion. Überprüfe somit für welche der verbliebenen Funktionsterme $f(x=0)=0$ gilt. Dies ist nur für den Funktionsterm $f_3(x)=2^x-1$ der Fall. Somit gehört der Graph $c$ zu dem Funktionsterm $f_3(x)$.
Der Graph $d$ zeigt erneut eine quadratische Funktion. Diese quadratische Funktion verläuft durch den Punkt $(0 \mid 4)$. Setze somit $x=0$ in die restlichen quadratischen Funktionen und prüfe ob $f(x=0)=4$ gilt. Für $f_6(x)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_6(x)&=& x^2 +4 \\[5pt] f_6(x=0)&=& 0^2 +4 \\[5pt] &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
Somit gehört der Graph $d$ zu dem Funktionsterm $f_6(x)$.
4.
a)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beide gezogenen Kugeln grün sind. Du weißt hierfür, dass sich in einem Säckchen $2$ rote, $3$ blaue und $5$ grüne Kugeln befinden. Hierbei wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Das bedeutet, dass sich beim zweiten Ziehen nur noch insgesamt $9$ Kugeln in dem Säckchen befinden.
Zeichne hierfür ein Baumdiagramm und gebe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an. Es folgt folgendes Baumdiagramm:
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass beide gezogenen Kugeln blau sind. Für diese Wahrscheinlichkeit folgt mit dem Baumdiagramm und den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(„2 \text{ mal grün}“)&=& \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{9} \\[5pt] \end{array}$
$P(„2 \text{ mal grün}“)= \dfrac{2}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, zwei grüne Kugeln zu ziehen liegt bei $\dfrac{2}{9}$.
b)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beide gezogenen Kugeln gleichfarbig sind. Du hast zuvor bereits die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass beide Kugeln grün sind. Du musst nun noch die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass beide Kugeln blau oder rot sind. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du anschließend zusammen addieren und du erhältst die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Mit dem Baumdiagramm folgen folgende Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(„2 \text{ mal blau}“)&=& \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} \\[5pt] \end{array}$
$P(„2 \text{ mal blau}“)=\dfrac{1}{15}$
$\begin{array}[t]{rll} P(„2 \text{ mal rot}“)&=& \dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{1}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{45} \\[5pt] \end{array}$
$P(„2 \text{ mal rot}“)=\dfrac{1}{45}$
Daraus folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(„2 \text{ mal gleiche Farbe}“)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(„2 \text{ mal gleiche Farbe}“)&=& P(„2 \text{ mal blau}“) + P(„2 \text{ mal grün}“)+ P(„2 \text{ mal rot}“) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{45} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{45} \\[5pt] \end{array}$
$P(„2 \text{ gl. Farbe}“)=\dfrac{14}{45}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln die gleiche Farbe besitzen beträgt $\dfrac{14}{45}$.
c)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Du musst somit alle Ereignisse betrachten bei denen mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Anchließend musst du die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse bestimmen und durch summieren der einzelnen Wahrscheinlichkeiten die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse bestimmen, für die gilt, dass mindestens eine gezogene Kugel blau ist. Das erste Ereignis ist, dass du bereits im ersten Zug eine blaue Kugel ziehst, dann ist es egal, welche Kugel du bei deinem zweiten Zug ziehst. Außerdem gibt es noch die Ereignisse, dass du beim ersten Ziehen eine grüne oder eine rote Kugel ziehst und beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel ziehst. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der gezogenen Kugeln blau ist gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(„mind. 1 \text{ mal blau}“)&=& P(„1. blau“) + P(„\text{1. rot und 2. blau}“)+ P(„\text{1. grün und 2. blau}“) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{3}{9}+ \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{3}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{8}{15} \\[5pt] \end{array}$
$P(„mind. 1 \text{ mal blau}“)=\dfrac{8}{15}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du mindestens eine blaue Kugel ziehst beträgt $\dfrac{8}{15}$.
Bildnachweise [nach oben]
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