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Aufgabe 3

Aufgaben
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Barometer

Es ist bekannt, dass die Luft „dünner“ wird, wenn man auf einen Berg steigt. Physiker sagen dazu, dass der Luftdruck sinkt. Mit einem Barometer kann man den Luftdruck messen, also feststellen, wie „dünn“ die Luft ist. Daraus kann man die Höhe berechnen, in der man sich befindet.
Peter möchte einen $3.600 \text{ m}$ hohen Berg besteigen. Damit er zu jeder Zeit weiß, in welcher Höhe er sich befindet, hat er ein geeignetes Handy mit einer Barometer-App ausgestattet. Diese App möchte er bei seiner Wanderung testen.
Auf seinem Weg nach oben hat er an drei Orten, an denen ihm die Höhe bekannt war, den Luftdruck gemessen und in der nachfolgenden Tabelle eingetragen.
Höhe $h$ über dem Meeresspiegel$0$$3.300$$3.600$
Luftdruck $p$ in $\text{hPa}$$1.013$$672$$647$
Tab. 1:Luftdruckwerte in hPa, Hektopascal (hPa) ist eine Maßeinheit für Luftdruck. Der Einfluss der Temperatur
auf den Luftdruck soll nicht berücksichtigt werden.
a)
Bestätige, dass der Zusammenhang zwischen der Höhe und dem Luftdruck nicht linear ist.
(6 P)
Der Luftdruck kann durch die Funktion $p$ mit
$p(h)=p_0 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h} =1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$
$p(h)=p_0 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h} =1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$
$p(h)=\dotsc$
modelliert werden. Dabei ist $p(h)$ der Luftdruck in der Höhe $h$. Der Luftdruck wird in hPa und die Höhe in m angegeben. Der Druck $p_0$ ist der Luftdruck auf Meereshöhe von $0 \text{ m}$.
b)
Bestätige, dass die Werte in der Tabelle 1 durch die Funktion $p$ annähernd korrekt beschrieben werden.
(6 P)
Auf dem Weg nach unten macht Peter eine zweistündige Rast. Dort misst er den Luftdruck $690 \text{ hPa}$.
c)
Bestimme, in welcher Höhe $h$ sich Peter zu diesem Zeitpunkt befindet.
(5 P)
Im Laufe seiner Rast verschlechtert sich das Wetter deutlich. Am Ende der Rast misst Peters Barometer-App nur noch $685 \text{ hPA}$.
d)
Ermittle, anhand dieser neuen Messung den neuen Luftdruck auf Meereshöhe.
(5 P)
#exponentielleswachstum
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$Zusammenhang bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass der Zusammenhang zwischen der Höhe und dem Luftdruck nicht linear ist. Hierfür hast du die Werte aus der Tabelle gegeben. Zu der jeweiligen Höhe $h$ wird der entsprechende Luftdruckwert zugeordnet. Ein linearer Zusammenhang besteht, falls du durch die gegebenen Werte eine Gerade festlegen kannst und diese Gerade durch alle drei Punkte verläuft.
Du kannst also eine Gerade durch die erste beiden gegebene Punkte festlegen und anschließend mit der Punktprobe prüfen, ob der dritte Punkt auch auf der Geraden liegt.
Aus der Tabelle kannst du die Punkte $P_1(0 \mid 1.013)$, $P_2(3.300 \mid 672)$ und $P_3(3.600 \mid 647)$ ablesen. Zuerst kannst du die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen, welche durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ verläuft. Die Funktionsgleichung der Geraden $y$ kannst du mithilfe der Zweipunkteform bestimmen. Für die Zweipunkteform gilt folgende Formel:
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
b)
$\blacktriangleright$Werte bestätigen
In dieser Aufgabe sollst du du bestätigen, dass die Werte in der Tabelle 1 durch die gegebene Funktion $p$ annähernd korrekt beschrieben werden. Hierbei hast du Funktion des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Höhe mit $p(h)=1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$ gegeben.
Du kannst die gegebenen Höhen aus der Tabelle in die Funktionsgleichung für $h$ einsetzen und erhältst dadurch den entsprechenden Funktionswert an der jeweiligen Höhe. Diese Funktionswerte, welche den Luftdruckwert in hPA angeben kannst du anschließend mit den Luftdruckwerten aus der Tabelle vergleichen und prüfen, ob diese annähernd übereinstimmen.
c)
$\blacktriangleright$Höhe bestimmen
Du sollst die Höhe $h$ bestimmen, in welcher sich Peter zu dem Zeitpunkt seiner Rast befindet. Hierbei hast du gegeben, dass der Luftdruck in der gesuchten Höhe $h$ mit $690 \text{ hPa}$ gegeben ist. Du hast bereits gegeben, dass du den Luftdruck $p$ in Abhängigkeit von der Höhe $h$ mit der Funktionsgleichung $p(h)=1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$ beschrieben wird.
Hierbei hast du den entsprechenden Luftdruckwert mit $p(h)= 690 \text{ hPa}$ gegeben und sollst die zugehörige Höhe $h$ bestimmen. Setze also den gegebenen Luftdruckwert in die Funktionsgleichung ein und forme nach der unbekannten Höhe $h$ um.
d)
$\blacktriangleright$Luftdruck ermitteln
In dieser Aufgabe sollst du anhand der neuen Messung den neuen Luftdruck auf Meereshöhe ermitteln. Hierfür hast du gegeben, dass er am Ende seiner Rast nur noch $685 \text{ hPa}$ misst. Du hast gegeben, dass der Luftdruck durch die Funktion $p(h)=p_0 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$, wobei $p_0$ den Luftdruck auf Meereshöhe von $0 \text{ m}$ angibt. Du sollst nun diesen Luftdruck auf der Meereshöhe bestimmen. Du hast gegeben, dass Peter bei seiner Rast einen Luftdruck von $685 \text{ hPa}$ misst und du hast bereits in der Teilaufgabe zuvor berechnet, dass er sich dabei auf einer Höhe von $h \approx 3.088,15$ befindet. Du kannst nun also den Wert des Luftdrucks und die entsprechende Höhe in die gegebene Funktionsgleichung einsetzen und nach dem Luftdruck $p_0$ auf Meereshöhe umformen.
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a)
$\blacktriangleright$Zusammenhang bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass der Zusammenhang zwischen der Höhe und dem Luftdruck nicht linear ist. Hierfür hast du die Werte aus der Tabelle gegeben. Zu der jeweiligen Höhe $h$ wird der entsprechende Luftdruckwert zugeordnet. Ein linearer Zusammenhang besteht, falls du durch die gegebenen Werte eine Gerade festlegen kannst und diese Gerade durch alle drei Punkte verläuft.
Du kannst also eine Gerade durch die erste beiden gegebene Punkte festlegen und anschließend mit der Punktprobe prüfen, ob der dritte Punkt auch auf der Geraden liegt.
Aus der Tabelle kannst du die Punkte $P_1(0 \mid 1.013)$, $P_2(3.300 \mid 672)$ und $P_3(3.600 \mid 647)$ ablesen. Zuerst kannst du die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen, welche durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ verläuft. Die Funktionsgleichung der Geraden $y$ kannst du mithilfe der Zweipunkteform bestimmen. Für die Zweipunkteform gilt folgende Formel:
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
Somit folgt mit den Punkten $P_1(0 \mid 1.013)$ und $P_2(3.300 \mid 672)$ folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1 \\[5pt] &=& \dfrac{672-1.013}{3.300-0} \cdot (x-0) +1.013\\[5pt] &=& -0,103 \cdot x +1.013 \\[5pt] \end{array}$
$ y=-0,103 \cdot x +1.013$
Nun kannst du durch eine Punktprobe prüfen, ob der Punkt $P_3$ auch auf dieser Geraden liegt. Dazu musst du die Koordinaten des Punktes $P_3$ für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob dies zu einer wahren oder falschen Aussage führt. Mit dem Punkt $P_3(3.600 \mid 647)$ folgt für die Punktprobe:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,103 \cdot x +1.013 \\[5pt] 647&=& -0,103 \cdot 3.600 +1.013 \\[5pt] 647&=& 641 \\[5pt] \end{array}$
$647=641$
Da $647 \neq 641$ ist, ist dies keine wahre Aussage und somit hast du bestätigt, dass kein linearer Zusammenhang zwischen der Höhe und dem Luftdruck besteht.
b)
$\blacktriangleright$Werte bestätigen
In dieser Aufgabe sollst du du bestätigen, dass die Werte in der Tabelle 1 durch die gegebene Funktion $p$ annähernd korrekt beschrieben werden. Hierbei hast du Funktion des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Höhe mit $p(h)=1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$ gegeben.
Du kannst die gegebenen Höhen aus der Tabelle in die Funktionsgleichung für $h$ einsetzen und erhältst dadurch den entsprechenden Funktionswert an der jeweiligen Höhe. Diese Funktionswerte, welche den Luftdruckwert in hPA angeben kannst du anschließend mit den Luftdruckwerten aus der Tabelle vergleichen und prüfen, ob diese annähernd übereinstimmen.
Für $h=0 \text{ m}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}\\[5pt] p(0)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot 0}\\[5pt] &=& 1.013 \\[5pt] \end{array}$
$p(0)=1.013$
Der Funktionswert für $h=0 \text{ m}$ entspricht exakt dem angegebenen Luftdruck aus der Tabelle.
Für $h=3.300 \text{ m}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}\\[5pt] p(3.300)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot 3.300}\\[5pt] &\approx& 672\\[5pt] \end{array}$
$p(3.500)\approx 672$
Der Funktionswert für $h=3.300 \text{ m}$ entspricht somit auch annähernd dem angegebenen Luftdruck aus der Tabelle.
Für $h=3.600 \text{ m}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}\\[5pt] p(3.600)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot 3.600}\\[5pt] &\approx& 647 \\[5pt] \end{array}$
$p(3.700) \approx 647$
Somit stimmt auch der Funktionswert für $h=3.600$ annähernd mit dem angegebenem Wert aus der Tabelle überein und dadurch hast du bestätigt, dass die Werte in der Tabelle 1 durch die Funktion $p$ annähernd korrekt beschrieben werden.
c)
$\blacktriangleright$Höhe bestimmen
Du sollst die Höhe $h$ bestimmen, in welcher sich Peter zu dem Zeitpunkt seiner Rast befindet. Hierbei hast du gegeben, dass der Luftdruck in der gesuchten Höhe $h$ mit $690 \text{ hPa}$ gegeben ist. Du hast bereits gegeben, dass du den Luftdruck $p$ in Abhängigkeit von der Höhe $h$ mit der Funktionsgleichung $p(h)=1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$ beschrieben wird.
Hierbei hast du den entsprechenden Luftdruckwert mit $p(h)= 690 \text{ hPa}$ gegeben und sollst die zugehörige Höhe $h$ bestimmen. Setze also den gegebenen Luftdruckwert in die Funktionsgleichung ein und forme nach der unbekannten Höhe $h$ um.
Für die Höhe $h$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}\\[5pt] 690&=& 1.013 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h} & \quad \scriptsize \mid \, :1.013 \\[5pt] \dfrac{690}{1.013}&=& 10^{-0,000054 \cdot h}& \quad \scriptsize \mid \, \mathrm{log}_{10}(\,) \\[5pt] -0,000054 \cdot h&=& \mathrm{log}_{10}\left(\dfrac{690}{1.013}\right)& \quad \scriptsize \mid \, :(-0,000054) \\[5pt] h&=& -\dfrac{1}{0,000054} \cdot \mathrm{log}_{10}\left(\dfrac{690}{1.013}\right)\\[5pt] &\approx& 3.088,15 \\[5pt] \end{array}$
$h \approx 3.088,15$
Somit macht Peter bei einer Höhe von $h \approx 3.088,15$ eine Rast.
d)
$\blacktriangleright$Luftdruck ermitteln
In dieser Aufgabe sollst du anhand der neuen Messung den neuen Luftdruck auf Meereshöhe ermitteln. Hierfür hast du gegeben, dass er am Ende seiner Rast nur noch $685 \text{ hPa}$ misst. Du hast gegeben, dass der Luftdruck durch die Funktion $p(h)=p_0 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h}$, wobei $p_0$ den Luftdruck auf Meereshöhe von $0 \text{ m}$ angibt. Du sollst nun diesen Luftdruck auf der Meereshöhe bestimmen. Du hast gegeben, dass Peter bei seiner Rast einen Luftdruck von $685 \text{ hPa}$ misst und du hast bereits in der Teilaufgabe zuvor berechnet, dass er sich dabei auf einer Höhe von $h \approx 3.088,15$ befindet. Du kannst nun also den Wert des Luftdrucks und die entsprechende Höhe in die gegebene Funktionsgleichung einsetzen und nach dem Luftdruck $p_0$ auf Meereshöhe umformen.
Für den Luftdruck $p_0$ folgt mit der Höhe $h\approx 3.088,15$ und $p(h)= 685 \text{ hPa}$:
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& p_0 \cdot 10^{-0,000054 \cdot h} & \quad \scriptsize \mid \, :10^{-0,000054 \cdot h} \\[5pt] p_0&=&\dfrac{p(h)}{10^{-0,000054 \cdot h}} \\[5pt] &\approx& \dfrac{685}{10^{-0,000054 \cdot 3.088,15}} \\[5pt] &\approx& 1.005,66\\[5pt] \end{array}$
$p_0 \approx 1.005,66$
Der Luftdruck auf Meereshöhe beträgt somit etwa $1.005,66 \text{ hPa}$.
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