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Aufgabe 4

Aufgaben
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Skinachwuchs

Der Cheftrainer des Deutschen Ski-Verbands möchte in Vorbereitung auf die nächste Saison die Nachwuchsarbeit begutachten. Dazu lässt er sich Videoaufnahmen sämtlicher Läufe der 16- bis 18-jährigen Slalomfahrer und -fahrerinnen aus der Saison 2015/16 zuschiken. Er möchte sehen, ob die Fahrer ihre Läufe erfolgreich beenden oder nicht, etwa wenn ein Slalomfahrer ein Tor verpasst oder stürzt.
Die Aufzeichnungen sind aber leider beschädigt und daher unvollständig. in der folgenden Tabelle sind die vorhandenen Informationen vermerkt.
Aktuelle SaisonLauf beendetLauf nicht beendetGesamt
Lauf eines Slalomfahrers$1.164$$10.368$
Lauf einer Slalomfahrerin$1.248$$12.256$
Gesamt$20.212$$22.624$
Tab. 1: Vierfeldertafel
Im Folgenden sollen die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten angesehen werden.
a)
Vervollständige die obige Vierfeldertafel.
(3 P)
Der Cheftrainer lässt vom Computer zufällig $5$ Videodateien auswählen, um diese zu analysieren. Geh davon aus, dass die Wahrsscheinlichkeit für das „Nichtbeenden“ eines Laufs in dieser Auswahl genauso groß ist wie in der Gesamtheit aller Videos.
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der…
… ein zufällig ausgewählter Lauf beendet wurde.
… alle fünf zufällig ausgewählten Läufe beendet wurden.
… mindestens eine Aufzeichnung einen Lauf zeigt, der nicht beendet wurde.
(6 P)
Aus der Saison 2014/15 liegen keine Viedoaufnahmen, sondern lediglich einige Daten vor.
Diese Daten sind im Baumdiagramm (siehe Abbildung 1 in der Anlage) zusammengefasst.
c)
Vervollständige das Baumdiagramm, berechne gegebenfalls fehlende Angaben.
(4 P)
d)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der in der Saison 2014/15 eine ausgeschiedene Person weiblich war.
(3 P)
Ein Co-Trainer schaut flüchtig über die Daten und sagt dazu:
1)
In der aktuellen Saison 2015/16 fahren die männlichen Nachwuchsfahrer sicherer als die weiblichen, weil sie in viel weniger Läufen ausscheiden.
2)
Die Wahrscheinlichkeit ins Ziel zu kommen ist in beiden Skisaisons gleich.
e)
Beurteile die beiden Aussagen des Co-Trainers.
(6 P)

Anlage

Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
#wahrscheinlichkeit#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$Vierfeldertafel vervollständigen
In dieser Teilaufgabe sollst du die gegebene Vierfeldertafel vervollständigen. Die Gesamtzahlen in der Vierfeldertafel berechnen sich durch Addition der Werte aus den einzelnen Zeilen bzw. Spalten. Beispielsweise ist der Lauf eines Slalomfahrers unterteilt in diejenigen, welche den Lauf beendet haben und diejenige, welche den Lauf nicht beendet haben. Hierbei ist gegeben, dass insgesamt $10.368$ Slalomfahrer geloffen sind. Insgesamt haben $1.164$ den Lauf nicht beendet.
b)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Aufgabe sollst du verschiedene Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Du hast gegeben, dass du die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten ansehen kannst.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter Lauf nicht beendet wurde. Bezeichne hierbei das Ereignis, dass ein zufällig ausgeählter Lauf nicht beendet wurde mit $A$.
Du kannst aus der Vierfeldertafel ablesen, dass insgesamt $22.624$ Läufer oder Läuferinnen den Lauf angetreten sind und davon $2.412$ den Lauf nicht beendet haben.
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle fünf zufällig ausgewählten Läufe beendet wurden. Dazu musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein Lauf beendet wurde. In der oberen Teilaufgabe hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass ein Lauf nicht beendet wurde. Das Ereignis, dass ein Lauf nicht beendet wurde hast du bereits mit $A$ bezeichnet. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Lauf beendet wird beendet. Dies entspricht somit dem Ereignis $\overline{A}$, da ein Lauf beendet wurde, falls Ereignis $A$ nicht eintritt.
Du kannst somit die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit lautet:
$P(\overline{A})=1- P(A)$
$P(\overline{A})=1- P(A)$
Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass alle fünf zufällig ausgewählten Läufe beendet wurden. Das bedeutet, dass $5$-mal nacheinander das Ereignis $\overline{A}$ eintritt.
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens eine Aufzeichnung einen Lauf zeigt, der nicht beendet wurde. Bezeichne dies als Ereignis $B$. Du hast hierbei gegeben, dass der Cheftrainer von dem Computer zufällig $5$ Videodateien auswählen lässt, um diese zu analysieren. Du sollst hierbei davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für das „Nichtbeenden“ eines Laufs in dieser Auswahl genauso groß ist wie in der Gesamtheit aller Videos.
Hierbei kannst du das Gegenereignis betrachten. Das Gegenereignis lautet entsprechend, dass alle Aufzeichnung einen Lauf zeigen, der beendet wurde. Bezeichne dieses Ereignis mit $\overline{B}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass fünf zufällig ausgewählte Aufzeichnungen einen Lauf zeigen, der beendet wurde hast du bereits in der Teilaufgabe zuvor berechnet und es gilt $P(\overline{B})=P(5 \cdot \overline{A})$.
Somit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis berechnen.
c)
$\blacktriangleright$Baumdiagramm vervollständigen
In dieser Teilaufgabe sollst du das gegebene Baumdiagramm vervollständigen. Betrachte dazu die einzelnen Stufen des Baumdiagramms. Überlege dir, wie sich die angegebenen Wahrscheinlichkeiten aus den bereits bestehenden Wahrscheinlichkeiten berechnen. Du kannst an dem Baumdiagramm erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine männliche Person den Lauf nicht beendet $0,0448$ beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du aus der Multiplikation der jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen.
Bezeichne hierbei beispielsweise das Ereignis, dass die Person männlich ist mit $m$ und weiblich mit $w$. Das Ereignis, dass die Person den Lauf beendet kannst du desweiteren mit $L$ und das Ereignis, dass die Person den Lauf nicht beendet mit $\overline{L}$ bezeichnen. Mit den Pfadregeln kannst du nun die jeweils fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.
d)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in der Saison 2014/15 eine ausgeschiedene Person weiblich war. Du sollst also die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass eine Person weiblich war unter der Voraussetzung, dass diese Person den Lauf nicht beendet hat. Es handelt sich somit um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit $P_\overline{L}(w)$ bezeichnen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst du mit folgender Formel berechnen:
$P_\overline{L}(w)=\dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P(\overline{L})}$
$P_\overline{L}(w)=\dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P(\overline{L})}$
Du benötigst somit noch die Wahrsscheinlichkeit $P(\overline{L})$. Für die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{L})$ folgt mit den jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten folgende Formel:
$P(\overline{L})=P_w(\overline{L}) \cdot P(w) + P_m(\overline{L}) \cdot P(m)$
$P(\overline{L})=P_w(\overline{L}) \cdot P(w) + P_m(\overline{L}) \cdot P(m)$
$P(\overline{L})= \dotsc$
e)
$\blacktriangleright$Aussage beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussagen des Co-Trainers beurteilen. Die erste Aussage lautet, dass in der aktuellen Saison 2015/16 die männlichen Nachwuchsfahrer sicherer fahren als die weiblichen, da sie in viel weniger Läufen ausscheiden. Betrachte dazu die Werte in der Vierfeldertafel und überprüfe die gegebene Aussage.
Aus der Vierfeldertafel lässt sich ablesen, dass in der Saison 2015/16 insgesamt $1.164$ Fahrer und $1.248$ Fahrerinnen den Lauf nicht beendet haben. Es haben somit mehr Fahrerinnen den Lauf nicht beendet als Fahrer. Da aber insgesamt $12.256$ Fahrerinnen und nur $10.268$ Fahrer den Lauf angetreten sind, musst du zuerst überprüfen, ob die Fahrer wirklich sicherer fahren. Dazu musst du die relativen Häufigkeiten überprüfen.
$\blacktriangleright$Aussage beurteilen
Du sollst die Aussage beurteilen, dass die Wahrscheinlichkeit ins Ziel zu kommen in beiden Saisons gleich ist. Berechne also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer in der Saison 2015/16 ins Ziel kommt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer in der Saison 2014/15 ins Ziel gekommen ist.
In der Saison 2015/16 hast du durch die Vierfeldertafel gegeben, dass $20.212$ Läufe von insgesamt $22.624$ beendet wurden.
In der Saison 2014/15 kannst du die Wahrscheinlichkeit durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit folgender Formel berechnen:
$P(L)=P_w(L) \cdot P(w) + P_m(L) \cdot P(m)$
$P(L)=P_w(L) \cdot P(w) + P_m(L) \cdot P(m)$
$P(L)= \dotsc$
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a)
$\blacktriangleright$Vierfeldertafel vervollständigen
In dieser Teilaufgabe sollst du die gegebene Vierfeldertafel vervollständigen. Die Gesamtzahlen in der Vierfeldertafel berechnen sich durch Addition der Werte aus den einzelnen Zeilen bzw. Spalten. Beispielsweise ist der Lauf eines Slalomfahrers unterteilt in diejenigen, welche den Lauf beendet haben und diejenige, welche den Lauf nicht beendet haben. Hierbei ist gegeben, dass insgesamt $10.368$ Slalomfahrer geloffen sind. Insgesamt haben $1.164$ den Lauf nicht beendet. Daraus folgt für die Anzahl $n_1$ der Slalomläufer, welche den Lauf beendet haben:
$\begin{array}[t]{rll} n_1&=& 10.368 -1.164\\[5pt] &=& 9.204\\[5pt] \end{array}$
Dies gilt entsprechend auch für die weiteren fehlende Werte. Daraus folgt folgende Vierfeldertafel:
Aktuelle SaisonLauf beendetLauf nicht beendetGesamt
Lauf eines Slalomfahrers$9.204$$1.164$$10.368$
Lauf einer Slalomfahrerin$11.008$$1.248$$12.256$
Gesamt$20.212$$2.412$$22.624$
b)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Aufgabe sollst du verschiedene Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Du hast gegeben, dass du die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten ansehen kannst.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter Lauf nicht beendet wurde. Bezeichne hierbei das Ereignis, dass ein zufällig ausgeählter Lauf nicht beendet wurde mit $A$.
Du kannst aus der Vierfeldertafel ablesen, dass insgesamt $22.624$ Läufer oder Läuferinnen den Lauf angetreten sind und davon $2.412$ den Lauf nicht beendet haben. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&\dfrac{2.412}{22.624}\\[5pt] &=&\dfrac{603}{5.656}\\[5pt] &\approx& 0,1066 \\[5pt] &\approx& 10,66\,\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinllichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Läufer oder Läuferin den Lauf nicht beendet beträgt etwa $10,66\,\%$.
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle fünf zufällig ausgewählten Läufe beendet wurden. Dazu musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein Lauf beendet wurde. In der oberen Teilaufgabe hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass ein Lauf nicht beendet wurde. Das Ereignis, dass ein Lauf nicht beendet wurde hast du bereits mit $A$ bezeichnet. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Lauf beendet wird beendet. Dies entspricht somit dem Ereignis $\overline{A}$, da ein Lauf beendet wurde, falls Ereignis $A$ nicht eintritt.
Du kannst somit die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit lautet:
$P(\overline{A})=1- P(A)$
$P(\overline{A})=1- P(A)$
Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass alle fünf zufällig ausgewählten Läufe beendet wurden. Das bedeutet, dass $5$-mal nacheinander das Ereignis $\overline{A}$ eintritt.
Für die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1- P(A)\\[5pt] &\approx& 1- 0,1066\\[5pt] &\approx& 0,8934 \\[5pt] \end{array}$
Für die Wahrscheilichkeit $P(5 \cdot \overline{A})$, dass fünf zufällig ausgewählte Läufe beendet wurden folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} P(5 \cdot \overline{A})&=& P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \cdot P(\overline{A})\\[5pt] &=& 0,8934^5\\[5pt] &\approx& 0,5692 \\[5pt] &\approx& 56,92\,\% \\[5pt] \end{array}$
$P(5 \cdot \overline{A})\approx 56,92\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle fünf zufällig Läufe beendet wurden beträgt etwa $56,92\,\% $.
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens eine Aufzeichnung einen Lauf zeigt, der nicht beendet wurde. Bezeichne dies als Ereignis $B$. Du hast hierbei gegeben, dass der Cheftrainer von dem Computer zufällig $5$ Videodateien auswählen lässt, um diese zu analysieren. Du sollst hierbei davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für das „Nichtbeenden“ eines Laufs in dieser Auswahl genauso groß ist wie in der Gesamtheit aller Videos.
Hierbei kannst du das Gegenereignis betrachten. Das Gegenereignis lautet entsprechend, dass alle Aufzeichnung einen Lauf zeigen, der beendet wurde. Bezeichne dieses Ereignis mit $\overline{B}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass fünf zufällig ausgewählte Aufzeichnungen einen Lauf zeigen, der beendet wurde hast du bereits in der Teilaufgabe zuvor berechnet und es gilt $P(\overline{B})=P(5 \cdot \overline{A})$.
Somit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis berechnen. Es folgt entsprechend für $P(B)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 1- P(\overline{B})\\[5pt] &=& 1- P(5 \cdot \overline{A})\\[5pt] &\approx& 1- 0,5692\\[5pt] &\approx& 0,4308 \\[5pt] &\approx& 43,08\,\% \\[5pt] \end{array}$
$P(B)=43,08\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Aufzeichnung einen Lauf zeigt, der nicht beendet wurde beträgt etwa $43,08\,\%$.
c)
$\blacktriangleright$Baumdiagramm vervollständigen
In dieser Teilaufgabe sollst du das gegebene Baumdiagramm vervollständigen. Betrachte dazu die einzelnen Stufen des Baumdiagramms. Überlege dir, wie sich die angegebenen Wahrscheinlichkeiten aus den bereits bestehenden Wahrscheinlichkeiten berechnen. Du kannst an dem Baumdiagramm erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine männliche Person den Lauf nicht beendet $0,0448$ beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du aus der Multiplikation der jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen.
Bezeichne hierbei beispielsweise das Ereignis, dass die Person männlich ist mit $m$ und weiblich mit $w$. Das Ereignis, dass die Person den Lauf beendet kannst du desweiteren mit $L$ und das Ereignis, dass die Person den Lauf nicht beendet mit $\overline{L}$ bezeichnen. Mit den Pfadregeln kannst du nun die jeweils fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Für die Wahrscheinlichkeit $P(m \cap L)$, dass ein männlicher Läufer den Lauf beendet folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(m \cap L)&=& P(m) \cdot P(L)\\[5pt] &=& 0,56 \cdot 0,92\\[5pt] &=& 0,5152\\[5pt] \end{array}$
$P(m \cap L)=0,5152$
Für die Wahrscheinlichkeit $P_w(\overline{L})$, dass eine Person den Lauf nicht beendet, unter der Voraussetzung, dass die Person weiblich ist folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(w \cap \overline{L})&=& P(w) \cdot P_w(\overline{L}) & \quad \scriptsize \mid \, :P(w)\\[5pt] P_w(\overline{L}) &=& \dfrac{P(w \cap \overline{L})}{P(w)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,0616}{0,44}\\[5pt] &=& 0,14\\[5pt] \end{array}$
$P(w \cap \overline{L})=0,14$
Für die Wahrscheinlichkeit $P(L_w)$ folgt mit der Gegenwahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P_w(L)&=& 1 - P_w(\overline{L})\\[5pt] &=& 1- 0,14\\[5pt] &=& 0,86\\[5pt] \end{array}$
$P_w(L)=0,86$
Du sollst nun noch die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine weibliche Person den Lauf beendet. Es gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P(w \cap L)&=& P(w) \cdot P_w(L) \\[5pt] &=& 0,44 \cdot 0,86 \\[5pt] &=& 0,3784\\[5pt] \end{array}$
$P(w \cap L)=0,3784$
Somit ergibt sich folgendes Baumdiagramm:
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
d)
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in der Saison 2014/15 eine ausgeschiedene Person weiblich war. Du sollst also die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass eine Person weiblich war unter der Voraussetzung, dass diese Person den Lauf nicht beendet hat. Es handelt sich somit um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit $P_\overline{L}(w)$ bezeichnen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst du mit folgender Formel berechnen:
$P_\overline{L}(w)=\dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P(\overline{L})}$
$P_\overline{L}(w)=\dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P(\overline{L})}$
Du benötigst somit noch die Wahrsscheinlichkeit $P(\overline{L})$. Für die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{L})$ folgt mit den jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten folgende Formel:
$P(\overline{L})=P_w(\overline{L}) \cdot P(w) + P_m(\overline{L}) \cdot P(m)$
$P(\overline{L})=P_w(\overline{L}) \cdot P(w) + P_m(\overline{L}) \cdot P(m)$
$P(\overline{L})= \dotsc$
Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P_\overline{L}(w)$:
$\begin{array}[t]{rll} P_\overline{L}(w)&=&\dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P(\overline{L})} \\[5pt] &=& \dfrac{P(\overline{L} \cap w)}{P_w(\overline{L}) \cdot P(w) + P_m(\overline{L}) \cdot P(m)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,0616}{0,14 \cdot 0,44 + 0,08 \cdot 0,56} \\[5pt] &\approx& 0,5789 \\[5pt] &\approx& 57,89\,\% \\[5pt] \end{array}$
$P_\overline{L}(w) \approx 57,89\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgeschiedene Person weiblich war beträgt etwa $57,89\,\%$.
e)
$\blacktriangleright$Aussage beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussagen des Co-Trainers beurteilen. Die erste Aussage lautet, dass in der aktuellen Saison 2015/16 die männlichen Nachwuchsfahrer sicherer fahren als die weiblichen, da sie in viel weniger Läufen ausscheiden. Betrachte dazu die Werte in der Vierfeldertafel und überprüfe die gegebene Aussage.
Aus der Vierfeldertafel lässt sich ablesen, dass in der Saison 2015/16 insgesamt $1.164$ Fahrer und $1.248$ Fahrerinnen den Lauf nicht beendet haben. Es haben somit mehr Fahrerinnen den Lauf nicht beendet als Fahrer. Da aber insgesamt $12.256$ Fahrerinnen und nur $10.268$ Fahrer den Lauf angetreten sind, musst du zuerst überprüfen, ob die Fahrer wirklich sicherer fahren. Dazu musst du die relativen Häufigkeiten überprüfen.
Insgesamt sind also $1.164$ von $10.268$ Fahrer ausgeschieden. Somit folgt für die relative Häufigkeit bei den männlichen Fahrer $p_m$:
$\begin{array}[t]{rll} p_m&=&\dfrac{1.164}{10.268}\\[5pt] &\approx& 0,1123 \\[5pt] \end{array}$
Für die relative Häufigkeit $p_w$ der weiblichen Fahrer gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} p_w&=&\dfrac{1.248}{12.256}\\[5pt] &=& 0,1018 \\[5pt] \end{array}$
Das bedeutet, dass insgesamt etwa $11,23\,\%$ der männlichen Fahrer und etwa $10,18\,\%$ der weiblichen Fahrer ausgeschieden sind. Somit ist die gegebene Aussage falsch und die Fahrerinnen fahren durchschnittlich sicherer.
$\blacktriangleright$Aussage beurteilen
Du sollst die Aussage beurteilen, dass die Wahrscheinlichkeit ins Ziel zu kommen in beiden Saisons gleich ist. Berechne also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer in der Saison 2015/16 ins Ziel kommt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer in der Saison 2014/15 ins Ziel gekommen ist.
In der Saison 2015/16 hast du durch die Vierfeldertafel gegeben, dass $20.212$ Läufe von insgesamt $22.624$ beendet wurden. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(L(\text{„ 2015/16“}))$, dasss ein Läufer in der Saison 2015/16 ins Ziel gekommen ist folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(L(\text{ „ 2015/16“}))&=&\dfrac{20.212}{22.624}\\[5pt] &\approx& 0,8934 \\[5pt] \end{array}$
$P(L(\text{ „ 2015/16“})) \approx \dotsc$
In der Saison 2014/15 kannst du die Wahrscheinlichkeit durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit folgender Formel berechnen:
$P(L)=P_w(L) \cdot P(w) + P_m(L) \cdot P(m)$
$P(L)=P_w(L) \cdot P(w) + P_m(L) \cdot P(m)$
$P(L)= \dotsc$
Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Lauf in der Saison 2014/15 beendet wurde:
$\begin{array}[t]{rll} P(L)&=& P_w(L) \cdot P(w) + P_m(L) \cdot P(m)\\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,44 + 0,92 \cdot 0,56 \\[5pt] &\approx& 0,86 \cdot 0,44 + 0,92 \cdot 0,56 \\[5pt] &\approx& 0,8936\\[5pt] \end{array}$
$P(L) \approx 0,8936$
Somit ist die Aussage korrekt und die Wahrscheinlichkeiten stimmen in etwa überein.
Bildnachweise [nach oben]
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