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Aufgabe 1

Aufgaben
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1.
Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer nur eine richtig. Eine Begründung wird nicht verlangt.
a)
$10^4=$
$0,001$
$10.000$
b)
$4 \cdot 198=$
$792$
$808$
c)
Gib die Größe des Winkels $\alpha$ an.
$70^{\circ}$
$110^{\circ}$
d)
$0,4 \text{ m}$ entspricht
$4\,\text{cm}$
$4\,\text{km}$
e)
Welche der genannten Strecken ist am kürzesten?
$700\,\text{cm}$
$0,007\,\text{km}$
f)
$500 \text{ ml}$ sind nicht
$0,5\,\text{dm}^3$
$0,5\,\text{m}^3$
g)
Welches Ereignis hat immer eine Wahrscheinlichkeit von $50\, \%$?
Aufgabe 1
Abb. 2: Reißzwecke
Aufgabe 1
Abb. 2: Reißzwecke
h)
Ein Würfel ist auch
eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche
ein Dreiecksprisma mit quadratischen Seitenflächen
i)
Wie hoch ist der Hamburger Fernsehturm (Heinrich-Hertz-Turm) ungefähr?
$280\,\text{ m}$
$1.000\,\text{ m}$
j)
$\dfrac{2}{7}+ \dfrac{6}{11}=$
$\dfrac{8}{18}$
$\dfrac{64}{77}$
k)
$\dfrac{3}{7} : \dfrac{9}{14}=$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{3}{2}$
l)
Welcher Punkt liegt auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $g(x)=2x-3$ ?
$P(1 \mid -1)$
$P(-2 \mid -1)$
m)
Die Lösung der Gleichung $0=(x-4)^2$ ist
$x=-2$
$x=4$
n)
Dies ist kein
Drachen
Viereck
o)
Eine Jacke kostete $70€$. Sie wird um $35\,\%$ reduziert. Jetzt kostet sie
$45,50\, €$
$115,50 \,€$
p)
Eine Lösung der Gleichung $9=x^2 -4x +4$ ist
$x=-3$
$x=1$
q)
Der Umfang der Figur beträgt
$7+\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$7+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
r)
In folgendem Dreieck gilt:
$\tan \alpha= \dfrac{a}{b}$
$\tan \alpha= \dfrac{b}{a}$
s)
In einer Urne befinden sich $3$ grüne und $4$ blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden zusammen mit einem Griff gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, eine grüne und eine blaue in der Hand zu haben, beträgt
$\left(\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{4}{7} \right) \cdot 2$
$\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{4}{6}$
t)
Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a$ und der Höhe $h$ hat einen Flächeninhalt von
$\dfrac{a\cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}}{2}$
$\dfrac{a\cdot \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 -a^2}}{2}$
u)
$\dfrac{y^2-2y+1}{y^2-1}=$
$\dfrac{y+1}{y-1}$
$y-1$
v)
$\sqrt{-4}=$
$2$
nicht lösbar (in $\mathbb{R}$)
w)
Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$. Der Radius wird verdoppelt. Mit welchem Term lässt sich das Volumen bestimmen?
$\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^6$
$\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3^2}$
x)
$\tan \alpha =1$, dann ist
Länge der Hypotenuse $=$ Länge der Ankathete
Länge der Ankathete $>$ Länge der Gegenkathete
2.
Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnet sich mit $V=\dfrac{1}{3}G \cdot h$.
Das Volumen beträgt $75 \text{ cm}^3$ und die Höhe ist $9 \text{ cm}$.
Berechne die Kantenlänge $a$ der Grundfläche.
3.
In einer Urne befinden sich $5$ Kugeln: $4$ blaue Kugeln und $1$ gelbe Kugel. Es sollen $2$ Kugeln gezogen werden, ohne sie zurückzulegen.
  • Zeichne ein Baumdiagramm für diesen Zufallsversuch
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
4.
Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_1(3 \mid 2)$ und $P_2(7 \mid 10)$.
Ermittle die Gleichung einer Funktion $g$, die diese Gerade beschreibt.
$g(x)=$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
https://de.wikipedia.org/wiki/Rei%C3%9Fzwecke#/media/File:Thumbtacks_color.jpg – Reissnägel mit Plastiküberzug, Simon A. Eugster, CC BY-SA 3.0.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
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Tipps
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
Du sollst die Lösung von $10^4$ berechnen. Forme die Rechnung so um, dass du sie Schritt für Schritt lösen kannst.
b)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Lösung von $4\cdot 198$ berechnen. Forme die Rechnung so um, dass du sie Schritt für Schritt lösen kannst.
c)
$\blacktriangleright$ Winkel angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe des Winkels $\alpha$ angeben.
Die erste Möglichkeit ist, dass du den Winkel mit einem Geodreieck nachmisst.
Du kannst hierbei aber auch mit dem Ausschlussverfahren arbeiten. Überlege dir welche Möglichkeiten dabei wegfallen.
d)
$\blacktriangleright$ Einheiten umrechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen welcher Wert $0,4 \text{ m}$ entspricht. $1 \text{ m}$ entspricht hierbei $10 \text{ dm}$.
e)
$\blacktriangleright$ Kürzeste Strecke finden
In dieser Teilaufgabe sollst du entscheiden, welche Strecke am kürzesten ist. es gilt hierbei, dass $1 \text{ km}$ $1.000 \text{ m}$ entspricht. $1 \text{ m}$ entspricht widerum $10 \text{ dm}$ und $1 \text{ dm}$ entspricht der Strecke von $10 \text{ cm}$. Es gilt außerdem, dass $1 \text{ cm}$ $10 \text{ mm}$ entspricht.
f)
$\blacktriangleright$ Einheiten betrachten
In dieser Aufgabe sollt du bestimmen, welcher Wert nicht $500 \text{ ml}$ entspricht. $1 \text{ ml}$ entspricht hierbei $1 \text{ cm}^3$. Desweiteren sind $1.000 \text{ ml}$ genau $1 \text{ l}$.
g)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit betrachten
In dieser Aufgabe sollst du begründen, welches Ereignis immer die Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ besitzt.
Bestimme hierbei die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse.
h)
$\blacktriangleright$ Körper beründen
Du sollst begründen, welcher Körper auch ein Würfel ist. Ein Würfel besteht aus insgesamt $6$ quadratischen gleich großen Flächen.
i)
$\blacktriangleright$ Höhe begründen
Im Vergleich zum Hamburger Fernsehturm besitzt der Berliner Fernsehturm ungefähr eine Höhe von $368 \text{ m}$.
j)
$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Ergebnis von $\dfrac{2}{7}+ \dfrac{6}{11}$ bestimmen. Für die Addition von Brüchen musst du diese auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der gemeinsame Hauptnenner, der beiden Nenner beträgt $77$.
k)
$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Ergebnis von $\dfrac{3}{7} : \dfrac{9}{14}$ bestimmen. Du teilst zwei Brüche, indem du mit dem Kehrbruch des zweiten Bruches multiplizierst.
l)
$\blacktriangleright$ Punkt finden
In dieser Aufgabe sollst du untersuchen, welcher Punkt auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $g(x)=2x-3$ liegt. Du musst also eine Punktprobe durchführen. Dies bedeutet, dass du die Koordinaten des jeweiligen Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen musst und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt.
m)
$\blacktriangleright$ Lösung angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Lösung für die Gleichung $0=(x-4)^2$ herausfinden. Dazu kannst du die jeweiligen Lösungsmöglichkeiten in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Aussage wahr ist.
n)
$\blacktriangleright$ Figuren zuordnen
In dieser Teilaufgabe hast du eine Raute gegeben und sollst herausfinden, welche Figur keine Raute ist.
Eine Raute besitzt $4$ gleich lange Seiten, welche nicht senkrecht aufeinander stehen müssen.
o)
$\blacktriangleright$ Preis berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass eine Jacke $70€$ kostete und sie um $35\,\%$ reduziert wird.
Das bedeutet, dass der Preis der Jacke sinkt. Der neue Preis der Jacke entspricht $65\,\%$ von dem alten Preis der Jacke, da die Jacke um $35\,\%$ reduziert wird.
p)
$\blacktriangleright$ Lösung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du eine Lösung der Gleichung $9=x^2 -4x +4$ bestimmen. Hierzu kannst du die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Aussage der Gleichung wahr ist.
q)
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Umfang der Figur berechnen. Hierfür musst du die Länge der Seiten der Figur addieren. Die Länge der Diagonalen kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
r)
$\blacktriangleright$ Beziehungen betrachten
In dieser Teilaufgabe sollst du untersuchen, welche der dargestellten Beziehungen gilt. Bestimme also zuerst die Katheten und die Hypotenuse. Die Hypotenuse befindet sich in einem rechtwinkligen Dreieck immer gegenüberliegend des rechten Winkels. Daraus folgt, dass die Seite $c$ die Hypotenuse des dargestellten Dreiecks ist.
s)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
In einer Urne befinden sich $3$ grüne und $4$ blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden zusammen mit einem Griff gezogen. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, eine grüne und eine blaue in der Hand zu haben. Somit handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass die gesamte Anzahl der Kugeln bei dem zweiten Ziehen eine Kugel weniger beträgt.
t)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ und der Höhe $h$ berechnen.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Die Höhe $h$ kannst du in einem gleichseitigen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
u)
$\blacktriangleright$ Lösung angeben
In dieser Teilaufgabe hast du den Term $\dfrac{y^2-2y+1}{y^2-1}$ gegeben und sollst die Lösung des Terms angeben. Den Term kannst du mit den binomischen Formeln umformen.
v)
$\blacktriangleright$ Lösung finden
Du sollst die Lösung von $\sqrt{-4}$ finden. In den reellen Zahlen kann man keine Wurzel von einer negativen Zahl ziehen.
w)
$\blacktriangleright$ Volumenformel finden
Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$. Der Radius wird verdoppelt. Somit gilt für den neuen Radius $r_N=2 \cdot r$.
x)
$\blacktriangleright$ Längen betrachten
Es gilt $\tan \alpha =1$. Für den Tangens gilt:
$\tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
2.
$\blacktriangleright$ Kantenlänge bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Kantenlänge $a$ der Grundfläche bestimmen. Du hast gegeben, dass die Pyramide quadratisch ist, dass bedeutet, dass sie eine quadratische Grundfläche besitzt. Für den Flächeninhalt der Grundfläche gilt somit $G=a^2$. Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnet sich mit $V=\dfrac{1}{3}G \cdot h$.
Das Volumen beträgt $75 \text{ cm}^3$ und die Höhe ist mit $9 \text{ cm}$ gegeben. Du kannst also die Werte einsetzen und die Gleichung nach $a$ auflösen.
3.
$\blacktriangleright$ Baummdiagramm zeichnen
In einer Urne befinden sich $5$ Kugeln: $4$ blaue Kugeln und $1$ gelbe Kugel. Es werden $2$ Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen.
Beim ersten Ziehen der Kugel ziehst du mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{4}{5}$ eine blaue Kugel, da sich insgesamt $4$ blaue Kugel in der Urne befinden und insgesamt aus $5$ Kugeln gezogen wird. Entsprechend gelten auch die weiteren Wahrscheinlichkeiten. Da es sich allerdings um Ziehen ohne Zurücklegen handelt befinden sich beim zweiten Ziehen nur noch insgesamt $4$ Kugeln in der Urne.
4.
$\blacktriangleright$ Gleichung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Geraden bestimmen, welche durch die Punkte $P_1(3 \mid 2)$ und $P_2(7 \mid 10)$ verläuft. Benutze hierfür die $2$-Punkt-Form einer Geraden. Die $2$-Punkt-Form einer Geraden lautet:
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 10^4&=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 100 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 1.000 \cdot 10 \\[5pt] &=& 10.000 \end{array}$
Somit ist die richtige Lösung $10.000$.
b)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot 198&=& 2 \cdot 2 \cdot 198 \cdot \\[5pt] &=& 2 \cdot 396\\[5pt] &=& 792 \end{array}$
Somit ist die richtige Lösung $792$.
c)
$\blacktriangleright$ Winkel angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe des Winkels $\alpha$ angeben.
Die erste Möglichkeit ist, dass du den Winkel mit einem Geodreieck nachmisst.
Du kannst hierbei aber auch mit dem Ausschlussverfahren arbeiten. An dem eingezeichneten Winkel kannst du erkennen, dass der Winkel nicht größer als $90^{\circ}$ ist. Somit fallen als mögliche Lösungen $98^{\circ}$ und $110^{\circ}$ weg. Nun musst du noch entscheiden, ob der Winkel $\alpha$ gleich $70^{\circ}$ oder gleich $30^{\circ}$ gilt. Da der Winkel in der Nähe von $90^{\circ}$ liegt. Beträgt der gesuchte Winkel $\alpha = 70^{\circ}$.
d)
$\blacktriangleright$ Einheiten umrechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen welcher Wert $0,4 \text{ m}$ entspricht. $1 \text{ m}$ entspricht hierbei $10 \text{ dm}$ und daraus folgt, dass $0,4 \text{ m}$ einem Wert von $4 \text{ dm}$ entspricht.
e)
$\blacktriangleright$ Kürzeste Strecke finden
In dieser Teilaufgabe sollst du entscheiden, welche Strecke am kürzesten ist. es gilt hierbei, dass $1 \text{ km}$ $1.000 \text{ m}$ entspricht. $1 \text{ m}$ entspricht widerum $10 \text{ dm}$ und $1 \text{ dm}$ entspricht der Strecke von $10 \text{ cm}$. Es gilt außerdem, dass $1 \text{ cm}$ $10 \text{ mm}$ entspricht.
Daraus folgt, dass die Strecke von $0,7 \text{ m}$ die kürzeste Strecke ist, da sie einer Strecke von $70 \text{ cm}$, $700 \text{ mm}$ und $0,0007 \text{ km}$ entspricht.
f)
$\blacktriangleright$ Einheiten betrachten
$1 \text{ ml}$ entspricht hierbei $1 \text{ cm}^3$. Das bedeutet, dass $500 \text{ ml}$ dem Volumen von $500 \text{ cm}^3$ entsprechen. $500 \text{ cm}^3$ entspricht $0,5 \text{ dm}^3$. Desweiteren sind $1.000 \text{ ml}$ genau $1 \text{ l}$. Das bedeutet, dass $500 \text{ ml}$ auch $0,5 \text{ l}$ sind. Somit sind $500 \text{ ml}$ nicht $0,5 \text{ m}^3$.
g)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit betrachten
In dieser Aufgabe sollst du begründen, welches Ereignis immer die Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ besitzt.
Das Werfen einer Reißzwecke besitzt nicht die Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$, da sich die Reißzwecke beim werfen völlig unterschiedlich verhält.
Auch das Ziehen einer blauen Kugel besitzt nicht immer die Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$, da die blaue Kugel aus $2$ roten und $3$ blauen Kugeln gezogen wird.
Das Würfeln einer geraden Zahl mit einem Spielwürfel besitzt immer die Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$, da ein würfel insgesamt $6$ gleiche Flächen besitzt und $3$ davon eine gerade Zahl abbilden. Somit ist die Wahrscheinlichkeit mit $\dfrac{3}{6}$ gegeben und dies entspricht der Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$.
Beim Werfen einer qauderförmigen Prismas gibt es insgesamt $6$ mögliche Seiten auf denen der Würfel landen kann und somit ist die Wahrscheinlichkeit beim Werfen eines Prismas nicht $50\,\%$.
h)
$\blacktriangleright$ Körper beründen
Ein Würfel besteht aus insgesamt $6$ quadratischen gleich großen Flächen. Somit ist ein Würfel keine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und auch kein Dreiecksprisma mit quadratischen Seitenflächen, da eine Pyramide und ein Dreiecksprisma jeweils nur insgesamt $5$ Seiten besitzen. Ein Würfel ist auch kein Zylinder mit quadratischer Grundfläche, da ein Zylinder immer einen Kreis als Grundfläche besitzt.
Ein Würfel ist somit ein Prisma mit quadratischer Grundfläche.
i)
$\blacktriangleright$ Höhe begründen
Im Vergleich zum Hamburger Fernsehturm besitzt der Berliner Fernsehturm ungefähr eine Höhe von $368 \text{ m}$. Der Hamburger Fernsehturm kann nicht $19 \text{ m}$ hoch, da dies für einen Fernsehturm sehr klein wäre. Der Berliner Fernsehturm ist außerdem, dass höchste Bauwerk Deutschlands. Somit kann der Hamburger Fernsehturm nicht $1.000 \text{ m}$ und $630 \text{ m}$ hoch sein.
Das bedeutet der Hamburger Fernsehturm besitzt eine Höhe von $280 \text{ m}$.
j)
$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Ergebnis von $\dfrac{2}{7}+ \dfrac{6}{11}$ bestimmen. Für die Addition von Brüchen musst du diese auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der gemeinsame Hauptnenner, der beiden Nenner beträgt $77$. Somit kannst du beide Brüche wie folgt erweitern und addieren:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{7}+ \dfrac{6}{11}&=& \dfrac{2 \cdot 11}{7 \cdot 11}+ \dfrac{6 \cdot 7}{11 \cdot 7} \\[5pt] &=& \dfrac{22}{77}+ \dfrac{42}{77} \\[5pt] &=& \dfrac{64}{77} \end{array}$
Die richtige Antwort ist $\dfrac{64}{77}$.
k)
$\blacktriangleright$ Ergebnis bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Ergebnis von $\dfrac{3}{7} : \dfrac{9}{14}$ bestimmen. Du teilst zwei Brüche, indem du mit dem Kehrbruch des zweiten Bruches multiplizierst. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{7} : \dfrac{9}{14}&=&\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9}\\[5pt] &=& \dfrac{42}{63}\\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 21}{3 \cdot 21}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$
Die richtige Antwort ist $\dfrac{2}{3}$.
l)
$\blacktriangleright$ Punkt finden
In dieser Aufgabe sollst du untersuchen, welcher Punkt auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $g(x)=2x-3$ liegt. Du musst also eine Punktprobe durchführen. Dies bedeutet, dass du die Koordinaten des jeweiligen Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen musst und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt.
Für den Punkt $P(-1\mid -1)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 2x-3 \\[5pt] -1&=& 2 \cdot (-1) -3\\[5pt] -1&=& -5 \end{array}$
Für den Punkt $P(-2\mid -1)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 2x-3 \\[5pt] -1&=& 2 \cdot (-2) -3\\[5pt] -1&=& -7 \end{array}$
Für den Punkt $P(1 \mid -1)$ ist die Aussage $-1=-1$ wahr und der Punkt liegt auf der Geraden.
m)
$\blacktriangleright$ Lösung angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Lösung für die Gleichung $0=(x-4)^2$ herausfinden. Dazu kannst du die jeweiligen Lösungsmöglichkeiten in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Aussage wahr ist.
Für $x=2$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& (x-4)^2 \\[5pt] 0&=& (2-4)^2\\[5pt] 0&=& 4 \end{array}$
Für $x=4$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& (x-4)^2 \\[5pt] 0&=& (4-4)^2\\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$
Somit ist $x=4$ eine Lösung für die gegebene Gleichung.
n)
$\blacktriangleright$ Figuren zuordnen
In dieser Teilaufgabe hast du eine Raute gegeben und sollst herausfinden, welche Figur keine Raute ist.
Eine Raute besitzt $4$ gleich lange Seiten, welche nicht senkrecht aufeinander stehen müssen. Somit ist die Raute kein Quadrat, da bei einem Quadrat alle Seiten senkrecht aufeinander stehen.
o)
$\blacktriangleright$ Preis berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass eine Jacke $70€$ kostete und sie um $35\,\%$ reduziert wird.
Das bedeutet, dass der Preis der Jacke sinkt. Somit sind die Möglichkeiten $114,50 €$ und $115,50 €$ bereits ausgeschlossen. Nun musst du noch entscheiden, ob der neue Preis der Jacke bei $44,50 €$ oder bei $45,50 €$ liegt. Der neue Preis der Jacke entspricht $65\,\%$ von dem alten Preis der Jacke, da die Jacke um $35\,\%$ reduziert wird. Daraus kannst du den neuen Preis $P_N$ wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P_N&=& 70 € \cdot 0,65\\[5pt] &=& 45,50 €\\[5pt] \end{array}$
Der neue Preis der Jacke beträgt $45,50 €$.
p)
$\blacktriangleright$ Lösung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du eine Lösung der Gleichung $9=x^2 -4x +4$ bestimmen. Hierzu kannst du die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Aussage der Gleichung wahr ist.
Für $x=-1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& (-1)^2 -4\cdot (-1) +4 \\[5pt] 9&=& 9\\[5pt] \end{array}$
Für $x=1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& 1^2 -4 \cdot 1 +4 \\[5pt] 9&=& 1\\[5pt] \end{array}$
Somit ist die Lösung $x=-1$ eine Lösung für die gegebene Gleichung.
q)
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Umfang der Figur berechnen. Hierfür musst du die Länge der Seiten der Figur addieren. Die Länge der Diagonalen kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Für den Umfang $U$ der Figur gilt:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 5 \text{ cm} + 2 \text{ cm} + \sqrt{1^2 +1^2} \text{ cm} + \sqrt{2^2 + 1^2} \text{ cm} \\[5pt] &=& 7 \text{ cm} + \sqrt{2} \text{ cm}+ \sqrt{5} \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Der Umfang der Figur beträgt $7+\sqrt{2}+\sqrt{5}\text{ cm}$.
r)
$\blacktriangleright$ Beziehungen betrachten
In dieser Teilaufgabe sollst du untersuchen, welche der dargestellten Beziehungen gilt. Bestimme also zuerst die Katheten und die Hypotenuse. Die Hypotenuse befindet sich in einem rechtwinkligen Dreieck immer gegenüberliegend des rechten Winkels. Daraus folgt, dass die Seite $c$ die Hypotenuse des dargestellten Dreiecks ist.
Da die dargestellten Winkelfunktion nicht die Seite $c$ enthalten sind die Beziehungen $\sin \alpha = \dfrac{a}{b}$ und $\cos \alpha = \dfrac{a}{b}$ ausgeschlossen, da bei diesen Winkelfunktionen jeweils die Hypotenuse vorkommen muss.
Für den Tangens gilt $\tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$. Der Winkel $\alpha$ ist hierbei der Winkel der gegenüber der Seite $a$ liegt. Somit ist die Ankathete des Winkels $\alpha$ die Seite $b$ und die Gegenkathete die Seite $a$. Somit gilt die folgende Beziehung:
$\tan \alpha= \dfrac{a}{b}$
s)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
In einer Urne befinden sich $3$ grüne und $4$ blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden zusammen mit einem Griff gezogen. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, eine grüne und eine blaue in der Hand zu haben. Somit handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass die gesamte Anzahl der Kugeln bei dem zweiten Ziehen eine Kugel weniger beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine grüne Kugel zu ziehen beträgt $\dfrac{3}{7}$. Beim Ziehen der zweiten Kugel gibt es insgesamt noch $6$ Kugeln, da die erste Kugel bereits gezogen wurde. Somit ist die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel zu ziehen, nachdem du beim ersten Ziehen eine grüne Kugel gezogen hast, $\dfrac{4}{6}$. Mit der Pfadregel gilt für die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen ein grüne Kugel und beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel zu ziehen $\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{4}{6}$.
Außerdem musst du den weiteren Fall berücksichtigen, dass du zuerst eine blaue und anschließend ein grüne ziehst. Dieses Ereignis besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass du mit einem Griff eine grüne und eine blaue Kugel in den Händen hälst:
$2\cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{4}{6}$
t)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ und der Höhe $h$ berechnen.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Die Höhe $h$ kannst du wie folgt in einem gleichseitigen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 & \quad \scriptsize \, \mid -\left(\frac{a}{2}\right)^2\\[5pt] h^2&=& a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 & \quad \scriptsize \, \mid \sqrt{\,}\\[5pt] h&=& \sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] \end{array}$
Das Ergebnis für $h$ kannst du nun in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{a \cdot \sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}}{2} \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist mit $A=\dfrac{a \cdot \sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}}{2}$ gegeben.
u)
$\blacktriangleright$ Lösung angeben
In dieser Teilaufgabe hast du den Term $\dfrac{y^2-2y+1}{y^2-1}$ gegeben und sollst die Lösung des Terms angeben. Den Term kannst du mit den binomischen Formeln wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y^2-2y+1}{y^2-1}&=&\dfrac{(y-1)^2}{(y+1)\cdot (y-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{y-1}{y+1}\\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $\dfrac{y^2-2y+1}{y^2-1}=\dfrac{y-1}{y+1}$.
v)
$\blacktriangleright$ Lösung finden
Du sollst die Lösung von $\sqrt{-4}$ finden. In den reellen Zahlen kann man keine Wurzel von einer negativen Zahl ziehen. Somit ist $\sqrt{-4}$ nicht lösbar.
w)
$\blacktriangleright$ Volumenformel finden
Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$. Der Radius wird verdoppelt. Somit gilt für den neuen Radius $r_N=2 \cdot r$. Daraus folgt folgende Gleichung, indem du $r$ durch $r_N$ ersetzt.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_N^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (2 \cdot r)^3 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch ist die richtige Lösung $\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (2 \cdot r)^3$.
x)
$\blacktriangleright$ Längen betrachten
Es gilt $\tan \alpha =1$. Für den Tangens gilt:
$\tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Da $\tan \alpha =1 $ gilt, muss die Gegenkathete und die Ankathete gleich lang sein. Deshalb ist die Länge der Ankathete gleich der Länge der Gegenkathete.
2.
$\blacktriangleright$ Kantenlänge bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Kantenlänge $a$ der Grundfläche bestimmen. Du hast gegeben, dass die Pyramide quadratisch ist, dass bedeutet, dass sie eine quadratische Grundfläche besitzt. Für den Flächeninhalt der Grundfläche gilt somit $G=a^2$. Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnet sich mit $V=\dfrac{1}{3}G \cdot h$.
Das Volumen beträgt $75 \text{ cm}^3$ und die Höhe ist mit $9 \text{ cm}$ gegeben. Du kannst also die Werte einsetzen und die Gleichung wie folgt nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h \\[5pt] V&=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h & \quad \scriptsize \, \mid \cdot 3\\[5pt] 3 \cdot V&=& a^2 \cdot h & \quad \scriptsize \, \mid :h\\[5pt] a^2&=& \dfrac{3 \cdot V}{h} & \quad \scriptsize \, \mid \sqrt{\,}\\[5pt] a&=& \sqrt{\dfrac{3 \cdot $75 \text{ cm}^3}{$9 \text{ cm}}} \\[5pt] a&=& 5 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für die Kantenlänge $a=5 \text{ cm}$.
3.
$\blacktriangleright$ Baummdiagramm zeichnen
In einer Urne befinden sich $5$ Kugeln: $4$ blaue Kugeln und $1$ gelbe Kugel. Es werden $2$ Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen.
Beim ersten Ziehen der Kugel ziehst du mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{4}{5}$ eine blaue Kugel, da sich insgesamt $4$ blaue Kugel in der Urne befinden und insgesamt aus $5$ Kugeln gezogen wird. Entsprechend gelten auch die weiteren Wahrscheinlichkeiten. Da es sich allerdings um Ziehen ohne Zurücklegen handelt befinden sich beim zweiten Ziehen nur noch insgesamt $4$ Kugeln in der Urne. Für das Baumdiagramm mit den entsprechenden Wahrsccheinlichkeiten gilt somit:
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm
4.
$\blacktriangleright$ Gleichung bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Geraden bestimmen, welche durch die Punkte $P_1(3 \mid 2)$ und $P_2(7 \mid 10)$ verläuft. Benutze hierfür die $2$-Punkt-Form einer Geraden. Die $2$-Punkt-Form einer Geraden lautet:
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$
Somit folgt für die Gerade folgende Geradengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1 \\[5pt] &=&\dfrac{10-2}{7-3} \cdot (x-3) +2\\[5pt] &=& \dfrac{8}{4} \cdot (x-3) +2\\[5pt] &=& 2 \cdot (x-3) +2\\[5pt] &=& 2x -6 +2 \\[5pt] &=& 2x -4\\[5pt] \end{array}$
Die Geradengleichung ist somit mit $y=2x -4$ gegeben.
Bildnachweise [nach oben]
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