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Aufgabe 2

Aufgaben
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Skate Rampen

(22 P)
(Skizze ist nicht maßstabsgerecht.)
Die „Table-Bank“ ist am Boden befestigt.
Sie soll von außen mit Farbe gestrichen werden.
b)
Berechne die Größe der Fläche, die gestrichen wird.
(7 P)
c)
Bestimme für die „Table-Bank“ die Größe des Steigungswinkels $\alpha$.
(3 P)
(Skizze ist nicht maßstabsgerecht.)
$\alpha´ = \beta´ = 28^{\circ}$
(Skizze ist nicht maßstabsgerecht.)
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$ Geometrische Körper nennen
In dieser Teilaufgabe sollst du die geometrischen Körper nennen, aus denen eine „Table-Bank“ zusammengesetzt ist. Die „Table-Bank“ besteht hierbei aus zwei verschiedenen geometrischen Körper.
b)
$\blacktriangleright$ Größe der Fläche berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe der Fläche berechnen, die gestrichen wird. Hierbei hast du gegeben, dass die „Table-Bank“ am Boden befestigt wird und sie von außen gestrichen wird. Somit musst du nun du Oberfläche der „Table-Bank“ ohne die Fläche des Bodens berechnen.
Die gestrichene Fläche setzt sich aus den zwei dreieckigen Flächen $A_D$ des Dreiecksprismas, der rechteckigen Fläche des Dreiecksprismas $A_{RD}$, den gegenüberliegenden kleineren rechteckigen Flächen $A_{Q1}$ des Quaders und den größeren rechteckigen Flächen $A_{Q2}$ des Mantels des Quader zusammen.
c)
$\blacktriangleright$ Steigungswinkel bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ bestimmen. Hierbei kannst du eine beliebige Winkelfunktion wählen. Für den Sinus gilt beispielsweise:
$\sin \alpha=\dfrac{ \text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\sin \alpha=\dfrac{ \text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
d)
$\blacktriangleright$ Größe der befahrbaren Fläche berechnen
Die befahrbare Fläche hat hierbei die Form eines Trapezes mit den dargestellten Maßen in der Abbildung 3. Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
Die Länge der Seiten $a$ und $c$ sind gegeben mit $a=9,9 \text{ m}$ und $c=4,2 \text{ m}$. Nun musst du noch die Höhe $h$ des Trapezes berechnen. Die Höhe $h$ des Trapezes kannst du durch den Punkt $D$ und durch den Punkt $C$ einzeichnen. Bezeichne den Schnittpunkt der Höhe durch den Punkt $D$ mit der Seite $a$ als Punkt $M_1$ und den Schnittpunkt der Höhe durch den Punkt $C$ mit der Seite $a$ als Punkt $M_2$.
Du erhältst folgende Abbildung:
Um die Höhe $h$ mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen benötigst du noch die Länge $z$. Die Länge $z$ kannst du aus der Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen.
$\blacktriangleright$ Winkel begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, warum die Winkel $\alpha´$ und $\gamma´$ gleich groß sind.
Bei den Winkeln $\alpha´$ und $\gamma´$ handelt es sich um Wechselwinkel.
e)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen. Hierfür hast du gegeben, dass der Schnittpunkt der Diagonale als Punkt $E$ bezeichnet wird. Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ kannst du berechnen, indem du zuerst eine Senkrechte der Strecke $\overline{AB}$ einzeichnest, die den Punkt $E$ schneidet. Den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Strecke $\overline{AB}$ kannst du hierbei beispielsweise mit $K$ bezeichnen.
Die Länge der Strecke $\overline{AK}$ kannst du nun bestimmen.
Die Länge der Strecke $\overline{KE}$ kannst du mit dem Tangens des Winkel $\alpha´$ berechnen. Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnest du entsprechend mit dem Satz des Pythagoras.
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a)
$\blacktriangleright$ Geometrische Körper nennen
In dieser Teilaufgabe sollst du die geometrischen Körper nennen, aus denen eine „Table-Bank“ zusammengesetzt ist. Die „Table-Bank“ besteht hierbei aus zwei verschiedenen geometrischen Körper.
Der erste geometrische Körper befindet sich links in der Abbildung und ist ein Quader, da der geometrische Körper sechs Rechtecke als Seitenflächen besitzt.
Der zweite geometrische Körper befindet sich rechts in der Abbildung und ist ein Dreiecksprisma, da der geometrische Körper zwei gegenüberliegende Flächen besitzt, welche Dreiecke sind. Außerdem besitzt er drei weitere Flächen, welche Rechtecke abbilden.
b)
$\blacktriangleright$ Größe der Fläche berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe der Fläche berechnen, die gestrichen wird. Hierbei hast du gegeben, dass die „Table-Bank“ am Boden befestigt wird und sie von außen gestrichen wird. Somit musst du nun du Oberfläche der „Table-Bank“ ohne die Fläche des Bodens berechnen.
Die gestrichene Fläche setzt sich aus den zwei dreieckigen Flächen $A_D$ des Dreiecksprismas, der rechteckigen Fläche des Dreiecksprismas $A_{RD}$, den gegenüberliegenden kleineren rechteckigen Flächen $A_{Q1}$ des Quaders und den größeren rechteckigen Flächen $A_{Q2}$ des Mantels des Quader zusammen.
Zur Berechnung der zwei dreieckigen Flächen $A_D$ des Dreiecksprismas brauchst du noch die unbekannte eingezeichnete Größe $x$. Die Größe $x$ kannst du hierbei wie folgt mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& x^2 +b^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt] x^2&=& c^2 -b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x&=&\sqrt {c^2-b^2}\\[5pt] &=& \sqrt {(1,9 \text{ m})^2-(0,7 \text{ m})^2} \\[5pt] &=& 1,77 \text{ m} \end{array}$
Daraus kannst du nun die Größe der Fläche $A$ bestimmen, die gestrichen wird. Für die Fläche $A$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2 \cdot A_{D} + A_{RD} +2 \cdot A_{Q1} + 2 \cdot A_{Q2}\\[5pt] A&=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot x + a_1 \cdot b_1+2 \cdot a_2 \cdot b_2 + 2 \cdot a_3 \cdot b_3\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 0,7 \text{ m} \cdot 1,77 \text{ m} + 1,9 \text{ m} \cdot 4,2 \text{ m}+2 \cdot 0,9 \text{ m} \cdot 0,7 \text{ m} + 2 \cdot 0,9 \text{ m} \cdot 4,2 \text{ m}\\[5pt] &=& 18,04 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Für die Größe der Fläche, die gestrichen wird gilt $A=18,04 \text{ m}$.
c)
$\blacktriangleright$ Steigungswinkel bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ bestimmen. Hierbei kannst du eine beliebige Winkelfunktion wählen. Für den Sinus gilt beispielsweise:
$\sin \alpha=\dfrac{ \text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\sin \alpha=\dfrac{ \text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Daraus folgt für den Winkel $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{ \text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{0,7 \text{ m}}{1,9 \text{ m}}\\[5pt] \sin \alpha&=& 0,368 & \quad \scriptsize \mid \, \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &=& 21,62 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt der Winkel $\alpha = 21,62^{\circ}$.
d)
$\blacktriangleright$ Größe der befahrbaren Fläche berechnen
Die befahrbare Fläche hat hierbei die Form eines Trapezes mit den dargestellten Maßen in der Abbildung 3. Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
Die Länge der Seiten $a$ und $c$ sind gegeben mit $a=9,9 \text{ m}$ und $c=4,2 \text{ m}$. Nun musst du noch die Höhe $h$ des Trapezes berechnen. Die Höhe $h$ des Trapezes kannst du durch den Punkt $D$ und durch den Punkt $C$ einzeichnen. Bezeichne den Schnittpunkt der Höhe durch den Punkt $D$ mit der Seite $a$ als Punkt $M_1$ und den Schnittpunkt der Höhe durch den Punkt $C$ mit der Seite $a$ als Punkt $M_2$.
Du erhältst folgende Abbildung:
Um die Höhe $h$ mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen benötigst du noch die Länge $z$. Die Länge $z$ kannst du wie folgt aus der Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& z + \overline{M_1M_2} +z\\[5pt] \overline{AB}&=& 2z + \overline{M_1M_2} & \quad \scriptsize \mid \, -\overline{M_1M_2}\\[5pt] 2z&=&\overline{AB} - \overline{M_1M_2}& \quad \scriptsize \mid \, :2\\[5pt] z &=& \dfrac{\overline{AB} - \overline{M_1M_2}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{9,9 \text{ m} - 4,2 \text{ m}}{2}\\[5pt] &=& 2,85 \text{ m} \end{array}$
Für die Höhe $h$ gilt entsprechend mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2&=& z^2 + h^2 & \quad \scriptsize \mid \, -z^2\\[5pt] h^2&=& \overline{AD}^2 -z^2& \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\,}\\[5pt] h&=&\sqrt{\overline{AD}^2 -z^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(4,6 \text{ m})^2 -(2,85 \text{ m})^2}\\[5pt] &=& 3,61 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Daraus ergibt sich für die Größe der befahrbaren Fläche folgende Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (9,9 \text{ m}+4,2 \text{ m}) \cdot 3,61 \text{ m}\\[5pt] &=& 25,45 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Die befahrbare Fläche besitzt einen Flächeninhalt von $A=25,45 \text{ m}^2$.
$\blacktriangleright$ Winkel begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, warum die Winkel $\alpha´$ und $\gamma´$ gleich groß sind.
Bei den Winkeln $\alpha´$ und $\gamma´$ handelt es sich um Wechselwinkel und diese Winkel sind immer gleich groß.
e)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen. Hierfür hast du gegeben, dass der Schnittpunkt der Diagonale als Punkt $E$ bezeichnet wird. Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ kannst du berechnen, indem du zuerst eine Senkrechte der Strecke $\overline{AB}$ einzeichnest, die den Punkt $E$ schneidet. Den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Strecke $\overline{AB}$ kannst du hierbei beispielsweise mit $K$ bezeichnen.
Für die Länge der Strecke $\overline{AK}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AK}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 9,9 \text{ m}\\[5pt] &=& 4,95 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Es ergibt sich folgende Abbildung:
Die Länge der Strecke $\overline{KE}$ kannst du mit dem Tangens des Winkel $\alpha´$ berechnen. Daraus folgt für die Länge der Strecke $\overline{KE}$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha´&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan \alpha´&=&\dfrac{\overline{KE}}{\overline{AK}} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot \overline{AK}\\[5pt] \overline{KE}&=& \tan \alpha´ \cdot \overline{AK}\\[5pt] &=& \tan \alpha´ \cdot \overline{AK}\\[5pt] &=& \tan 28^{\circ} \cdot 4,95 \text{ m}\\[5pt] &=& 2,63 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Für die Länge der Strecke $\overline{AE}$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2&=&\overline{AK}^2 + \overline{KE}^2 & \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{\overline{AK}^2 + \overline{KE}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(4,95 \text{ m})^2 + (2,63 \text{ m})^2}\\[5pt] &=& 5,34 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt, dass $\overline{AE}=5,34 \text{ m}$ gilt.
Bildnachweise [nach oben]
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