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Aufgabe 4

Aufgaben
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Hamburg-Marathon

(22 P)
b)
Georg brauchte beim Hamburg-Marathon durchschnittlich für einen Kilometer $4,25$ Minuten.
Entscheide durch Rechnung, ob er die Strecke unter $3$ Stunden geschafft hat.
(3 P)
In der folgenden Tabelle wird dargestellt, wie viele Läufer das Ziel erreicht haben.
JahrLäufer gesamtdavon weiblich
2015$14.753$$3.359$
1986$6.957$$633$
c)
  • Bestätige, dass der prozentuale Anteil der weiblichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, im Jahr 2015 etwa $23\,\%$ betrug.
  • Zeichne für das Jahr 2015 den Anteil der weiblichen und männlichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, in das Kreisdiagramm in der Anlage.
  • Vervollständige das Kreisdiagramm mit einer Beschriftung.
(5 P)
d)
Georg behauptet, dass im Jahr 2015 ungefähr $5$-mal so viele Frauen ins Ziel gekommen sind wie im Jahr 1986.
Vera meint, es wären $2,5$-mal so viele, wenn man die jeweiligen Anteile vergleicht.
Begründe, dass beide Aussagen richtig sind.
(4 P)
Jeder Läufer bekommt eine Startnummer, die er sichtbar auf der Brust tragen muss.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Startnummern von $1$ bis einschließlich $20.000$ fortlaufend vergeben werden.
Georg glaubt, dass ihm die „$4$“ Glück bringt.
e)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Georgs Startnummer mit der Ziffer $4$ beginnt.
(4 P)
f)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal die Ziffer $4$ in seiner Startnummer vorkommt.
(3 P)

Anlage zum Aufgabenteil c)

Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://www.flickr.com/photos/mprinke/8686593314 – Hamburg-Marathon 2013, m.prinke, CC BY-SA.
[2]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit des schnellsten Läufers in km/h berechnen. Der schnellste Läufer lief im Jahr 2015 die Strecke in $2$ Stunden $7$ Minuten und $17$ Sekunden. Die Strecke ist hierbei $42,195 \text{ km}$ lang. Die Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ in km/h berechnest du mit folgender Formel:
$v=\dfrac{s}{t}$
$v=\dfrac{s}{t}$
Hierbei gibt $s$ die Strecke in Kilometern und $t$ die Zeit, welche für die Strecke benötigt wurde, in Stunden an.
Du musst zuerst die Zeit von $2$ Stunden $7$ Minuten und $17$ Sekunden in Stunden umrechnen. Hierfür weißt du, dass eine Stunde $60$ Minuten und dadurch auch $3.600$ Sekunden umfasst.
b)
$\blacktriangleright$ Zeit begründen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass Georg beim Hamburg Marathon durchschnittlich für einen Kilometer $4,25$ Minuten gebraucht hat. Du sollst durch Rechnung begründen, ob er die Strecke unter $3$ Stunden geschafft hat.
Du weißt also, dass er durchschnittlich für einen Kilometer $4,25$ Minuten gebraucht hat. Damit kannst du die Zeit in Minuten berechnen, die er für die gesamte Strecke von $42,195 \text{ km}$ gebraucht hat. Diese Zeit kannst du anschließend noch in Stunden umrechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil bestätigen
Du sollst bestätigen, dass der prozentuale Anteil der weiblichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, im Jahr 2015 etwa $23 \,\%$ betrug. In der Tabelle ist gegeben, dass im Jahr 2015 insgesamt $14.753$ Läufer das Ziel erreicht haben und davon $3.359$ Teilnehmer weiblich waren.
$\blacktriangleright$ Kreisdiagramm vervollständigen
Du sollst für das Jahr 2015 den Anteil der weiblichen und männlichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, in das Kreisdiagramm in der Anlage einzeichnen. Hierfür hast du bereits bestätigt, dass der Anteil der weiblichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, im Jahr 2015 bei etwa $23\,\%$ lag. Dies kannst du anschließend in den Kreisdiagramm eintragen. Der restliche Anteil des Kreisdiagramms ergibt sich durch den Anteil der männlichen Läufer.
Um einen Anteil von $23\,\%$ in das Kreisdiagramm einzutragen musst du zuerst den Winkel $\alpha$ berechnen, der $23\,\%$ des gesamten Kreises, also $360^{\circ}$, entspricht.
d)
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Aussage, dass im Jahr 2015 ungefähr $5$-mal so viele Frauen ins Ziel gekommen sind wie im Jahr 1986 richtig ist. Hiefür weißt du, dass im Jahr 2015 $3.359$ Frauen ins Ziel gekommen sind und im Jahr 1986 $633$ Frauen.
Du kannst die Anzahl der Frauen, welche im Jahr 2015 ins Ziel gekommen sind durch die Anzahl der Frauen, welche im Jahr 1986 ins Ziel gekommen sind, teilen.
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
Du sollst zudem begründen, dass die Aussage, dass es $2,5$-mal so viele wären, wenn man die jeweiligen Anteile vergleicht stimmt. Den Anteil der Frauen im Jahr 2015 hast du bereit berechnet. Dieser beträgt etwa $23\,\%$. Du kannst nun den Anteil der Frauen im Jahr 1986 wie oben berechnen und diese miteinander vergleichen.
e)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass Georgs Startnummer mit der Ziffer $4$ beginnt. Hierbei ist gegeben, dass die Startnummern von $1$ bis einschließlich $20.000$ fortlaufend vergeben werden. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit $P$ kannst du mit der Anzahl aller günstigen Ereignissen $G$ und der Anzahl aller möglichen Ereignissen $A$ bestimmen. Für $P$ gilt folgende Formel:
$P=\dfrac{G}{A}$
$P=\dfrac{G}{A}$
Insgesamt gibt es $20.000$ verschiedene Ereignisse, da es $20.000$ unterschiedliche Startnummern gibt. Somit gilt $A=20.000$. Die Anzahl aller günstigen Ereignisse musst du nun noch bestimmen.
f)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass mindestens einmal die Ziffer $4$ in seiner Startnummer vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit kannst du erneut mit der Anzahl aller möglichen Ereignisse und mit der Anzahl aller günstigen Ereignisse berechnen.
Die Anzahl aller möglichen Ereignisse ist erneut mit $A=20.000$ gegeben. Die Anzahl aller günstigen Ereignisse musst du dir hierbei noch Schritt für Schritt überlegen.
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a)
$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit des schnellsten Läufers in km/h berechnen. Der schnellste Läufer lief im Jahr 2015 die Strecke in $2$ Stunden $7$ Minuten und $17$ Sekunden. Die Strecke ist hierbei $42,195 \text{ km}$ lang. Die Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ in km/h berechnest du mit folgender Formel:
$v=\dfrac{s}{t}$
$v=\dfrac{s}{t}$
Hierbei gibt $s$ die Strecke in Kilometern und $t$ die Zeit, welche für die Strecke benötigt wurde, in Stunden an.
Du musst zuerst die Zeit von $2$ Stunden $7$ Minuten und $17$ Sekunden in Stunden umrechnen. Hierfür weißt du, dass eine Stunde $60$ Minuten und dadurch auch $3.600$ Sekunden umfasst. Dadurch folgt für die Zeit $t$ in Stunden:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& 2 + \dfrac{7}{60} + \dfrac{17}{3.600} \\[5pt] &=& \dfrac{251-236}{236} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=& 2,12 \text{ h}\\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du mit der gegebenen Formel die Durchschnittsgeschwindigkeit wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{42,195 \text{ km}}{2,12 \text{ h}} \\[5pt] &=& 19,9 \dfrac{\text{ km}}{\text{ h}} \\[5pt] \end{array}$
Dadurch besaß der schnellste Läufer eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $19,9 \dfrac{\text{ km}}{\text{ h}}$.
b)
$\blacktriangleright$ Zeit begründen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass Georg beim Hamburg Marathon durchschnittlich für einen Kilometer $4,25$ Minuten gebraucht hat. Du sollst durch Rechnung begründen, ob er die Strecke unter $3$ Stunden geschafft hat.
Du weißt also, dass er durchschnittlich für einen Kilometer $4,25$ Minuten gebraucht hat. Damit kannst du die Zeit in Minuten berechnen, die er für die gesamte Strecke von $42,195 \text{ km}$ gebraucht hat. Diese Zeit kannst du anschließend noch in Stunden umrechnen. Für die gesamte Zeit $t_{Ges}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} t_{Ges}&=& 4,25 \dfrac{\text{ min}}{\text{ km}} \cdot 42,195 \text{ km}\\[5pt] &=& 179,33 \text{ min}\\[5pt] &=& \dfrac{ 179,33}{60} \text{ h}\\[5pt] &=& 2,99 \text{ h}\\[5pt] \end{array}$
Georg schaffte den Hamburg-Marathon in unter $3$ Stunden.
c)
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil bestätigen
Du sollst bestätigen, dass der prozentuale Anteil der weiblichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, im Jahr 2015 etwa $23 \,\%$ betrug. In der Tabelle ist gegeben, dass im Jahr 2015 insgesamt $14.753$ Läufer das Ziel erreicht haben und davon $3.359$ Teilnehmer weiblich waren. Dadurch folgt für den Anteil der weiblichen Läufer $p_{W1}$:
$\begin{array}[t]{rll} p_{W1}&=& \dfrac{3.359}{14.753} \\[5pt] &=& 0,228 \\[5pt] \end{array}$
Der Anteil der weiblichen Läufer betrug somit etwa $23\,\%$.
$\blacktriangleright$ Kreisdiagramm vervollständigen
Du sollst für das Jahr 2015 den Anteil der weiblichen und männlichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, in das Kreisdiagramm in der Anlage einzeichnen. Hierfür hast du bereits bestätigt, dass der Anteil der weiblichen Läufer, die das Ziel erreicht haben, im Jahr 2015 bei etwa $23\,\%$ lag. Dies kannst du anschließend in den Kreisdiagramm eintragen. Der restliche Anteil des Kreisdiagramms ergibt sich durch den Anteil der männlichen Läufer.
Um einen Anteil von $23\,\%$ in das Kreisdiagramm einzutragen musst du zuerst den Winkel $\alpha$ berechnen, der $23\,\%$ des gesamten Kreises, also $360^{\circ}$, entspricht. Für den Winkel $\alpha$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 0,23 \cdot 360^{\circ} \\[5pt] &=& 82,8^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
Du weißt damit, dass ein Winkel von $82,8^{\circ}$ $23\,\%$ des gesamten Kreises entspricht. Du kannst also einen Abschnitt mit einem Winkel von $82,8^{\circ}$ in das Kreisdiagramm einzeichnen und diesen mit Anteil der weiblichen Läufer beschriften. Der restliche Abschnitt des Diagramms kannst du anschließend mit Anteil der männlichen Läufer beschriften. Für das Kreisdiagramm folgt:
Abb. 1: Kreisdiagramm
Abb. 1: Kreisdiagramm
d)
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Aussage, dass im Jahr 2015 ungefähr $5$-mal so viele Frauen ins Ziel gekommen sind wie im Jahr 1986 richtig ist. Hiefür weißt du, dass im Jahr 2015 $3.359$ Frauen ins Ziel gekommen sind und im Jahr 1986 $633$ Frauen.
Du kannst die Anzahl der Frauen, welche im Jahr 2015 ins Ziel gekommen sind durch die Anzahl der Frauen, welche im Jahr 1986 ins Ziel gekommen sind, teilen. Dadurch erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} n&=& \dfrac{3.359}{633} \\[5pt] &=& 5,31\\[5pt] \end{array}$
Du kannst also sagen, dass die Behauptung stimmt, dass im Jahr 2015 ungefähr $5$-mal so viele Frauen ins Ziel gekommen sind wie im Jahr 1986.
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
Du sollst zudem begründen, dass die Aussage, dass es $2,5$-mal so viele wären, wenn man die jeweiligen Anteile vergleicht stimmt. Den Anteil der Frauen im Jahr 2015 hast du bereit berechnet. Dieser beträgt etwa $23\,\%$. Du kannst nun den Anteil der Frauen im Jahr 1986 wie oben berechnen und diese miteinander vergleichen. Für den Anteil der Frauen im Jahr 1986 folgt mit insgesamt $6.957$ Läufer und davon $633$ Frauen:
$\begin{array}[t]{rll} p_{W2}&=& \dfrac{633}{6.957} \\[5pt] &=& 0,091\\[5pt] &=& 9,1\,\%\\[5pt] \end{array}$
Diese beiden Anteile kann man nun miteinander vergleichen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} n&=& \dfrac{23\,\%}{9,1\,\%} \\[5pt] &=& 2,5\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt, dass die Aussage, dass es $2,5$-mal so viele wären, wenn man die jeweiligen Anteile vergleicht, richtig ist.
e)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass Georgs Startnummer mit der Ziffer $4$ beginnt. Hierbei ist gegeben, dass die Startnummern von $1$ bis einschließlich $20.000$ fortlaufend vergeben werden. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit $P$ kannst du mit der Anzahl aller günstigen Ereignissen $G$ und der Anzahl aller möglichen Ereignissen $A$ bestimmen. Für $P$ gilt folgende Formel:
$P=\dfrac{G}{A}$
$P=\dfrac{G}{A}$
Insgesamt gibt es $20.000$ verschiedene Ereignisse, da es $20.000$ unterschiedliche Startnummern gibt. Somit gilt $A=20.000$. Die Anzahl aller günstigen Ereignisse musst du nun noch bestimmen. Ein günstiges Ereignis liegt vor, falls die Startnummer mit der Ziffer $4$ beginnt. Ein günstiges Ereignis liegt also vor, falls die Startnummer $4$ ist. Außerdem liegt ein günstiges Ereignis vor für $40-49$. Entsprechend auch für $400-499$ und $4.000-4.999$. Somit folgt für die Anzahl aller günstigen Ereignisse:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& 1 + 10 + 100 + 1.000 \\[5pt] &=& 1.111\\[5pt] \end{array}$
Für die Wahrscheinlichkeit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G}{A}\\[5pt] &=&\dfrac{1.111}{20.000}\\[5pt] &=& 0,0556\\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Georgs Startnummer mit der Ziffer $4$ beginnt etwa $5,56\,\%$.
f)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du sollst in dieser Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass mindestens einmal die Ziffer $4$ in seiner Startnummer vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit kannst du erneut mit der Anzahl aller möglichen Ereignisse und mit der Anzahl aller günstigen Ereignisse berechnen.
Die Anzahl aller möglichen Ereignisse ist erneut mit $A=20.000$ gegeben. Die Anzahl aller günstigen Ereignisse musst du dir noch überlegen.
Betrachte dafür zunächst die Startnummern von $1-99$. Hierfür gibt es insgesamt $19$ günstige Ereignisse, da die Nummern von $40-49$ enthalten sind, sowie $4$, $14$, $24$ und weitere bis $94$. Die gleiche Anzahl an günstigen Ereignissen gilt nun auch für die Nummern von $100-199$, $200-299$, $300-399$, $500-599$, $600-699$, $700-799$, $800-899$ und $900-999$. Die Startnummern von $400-499$ sind alles günstige Ereignisse. Somit ergibt sich insgesamt für die Anzahl aller günstigen Ereignisse für die Startnummern von $1-999$:
$\begin{array}[t]{rll} 19 \cdot 9 + 100 &=& 271 \end{array}$
Die Startnummern von $1.000-1.999$, $2.000-2.999$, $3.000-3.999$, $5.000-5.999$, $6.000-6.999$, $7.000-7.999$, $8.000-8.999$ und $9.000-9.999$, besitzen die identische Anzahl an günstigen Ereignissen. Die Startnummern von $4.000-4.999$ sind alles günstige Ereignisse. Daraus ergibt sich für die Anzahl aller günstigen Ereignisse der Startnummern von $1-9.999$:
$271 \cdot 9 +1.000= 3.439$
Die Startnummern von $10.000-19.999$ besitzen erneut die gleiche Anzahl an günstigen Ereignissen und daraus folgt für die Gesamtanzahl aller günstigen Ereignisse:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& 3.439 \cdot 2 \\[5pt] &=& 6.878 \\[5pt] \end{array}$
Für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal die Ziffer $4$ vorkommt folgt dadurch:
$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G}{A} \\[5pt] P&=& \dfrac{6.878}{20.000} \\[5pt] P&=& 0,3439 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal die Ziffer $4$ in seiner Startnummer vorkommt $34,39\,\%$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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