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Aufgabe 2

Aufgaben
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Billard

d)
Für ein Spiel sind auf dem Tisch Markierungslinien eingezeichnet (siehe Abbildungen $1$ und $2$).
  • Berechne die Länge einer Markierungslinie.
  • Ermittle die Größen der Winkel $\alpha$ und $\beta$
(8 P)
#flächeninhalt#winkel
Bildnachweise [nach oben]
[1-3]
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a)
$\blacktriangleright$ Größe der Spielfläche bestätigen
Die Größe der Spielfläche lässt sich durch Multiplikation der Seitenlängen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a \cdot b &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2,84\;\text{m} \cdot 1,42\;\text{m}\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&4,03\;\text{m}^2 \end{array}$
Die Spielfläche ist ca. $4\;\text{m}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Kosten für Stoffbezug berechnen
Das Stofftuch soll $15\;\%$ größer sein, als die Spielfläche, deshalb gilt für die Größe des Stofftuches:
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&4,03 \;\text{m}^2\cdot 1,15 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_S&=&4,63\;\text{m}^2 \end{array}$
Das Stofftuch ist ca. $4,63\;\text{m}^2$ groß.
Die Kosten für den Bezug lassen sich mit dem Dreisatz berechnen.
$\cdot 4,63$
Aufgabe 2
$\begin{array}{rrcll} &1\;\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}&47,59\;\,€\\[5pt] &4,63\;\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}&220,34\;\,€\\[5pt] \end{array}$ Aufgabe 2
$\cdot 4,63$
Die Kosten für das Stofftuch betragen ca. $220,34\;\;€$.
c)
$\blacktriangleright$ Abstand der Punkte bestätigen
Die lange Seite der Spielfläche, wird durch $7$ Punkte in $8$ gleich große Abschnitte $a$ unterteilt. Für einen Abschnitt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&\frac{a_{ges}}{8} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\frac{2,84\;\text{m}}{8}&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&0,355\;\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&35,5\;\text{cm} \end{array}$
Der Abstand zwischen zwei Punkten beträgt $35,5\;\text{cm}$.
d)
$\blacktriangleright$ Länge einer Markierungslinie berechnen
Die Länge der Markierungslinie lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=&\sqrt{(71\;\text{cm})^2+(35,5\;\text{cm})^2}\\[5pt] c&\approx&79,38\;\text{cm} \end{array}$
Die Markierungslinie ist ca. $79,38\;\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$ Größe der Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{\beta}$ bestimmen
Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ lassen sich über die Sinusbeziehung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \;\mid \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}(\frac{35,5\;\text{cm}}{79,38\;\text{cm}})&\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&26,56°\\[5pt] \end{array}$
Der Winkel $\beta$ lässt sich nach dem gleichen Prinzip berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&\sin^{-1}(\frac{71\;\text{cm}}{79,38\;\text{cm}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&=&63,43° \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ beträgt ca. $\alpha=26,56°$ und der Winkel $\beta$ beträgt ca. $\beta=63,43°$.
e)
$\blacktriangleright$ Länge des Weges von Kugel $\boldsymbol{1}$ bestimmen
Der Winkel $\beta$ ist ca. $\beta=36,11°$ groß. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt $180°$, somit kann für $\alpha$ direkt $\alpha=50,89°$ angenommen werden. Mit diesen Angaben kann nun die Strecke $a$, ebenfalls mit dem Sinussatz berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=&\frac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\alpha) \ \\[5pt] a&=&\frac{b}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\alpha) &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\frac{72\;\text{cm}}{\sin(36,11°)} \cdot \sin(50,89°) &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&94,78\;\text{cm} \end{array}$
Die Strecke, die die Kugel $1$ zurücklegt, setzt sich aus den Strecken $a$ und $b$ zusammen.
$s=94,78\;\text{cm} +72\;\text{cm}=166,80\;\text{cm}$
Die Strecke, die die Kugel $1$ zurücklegt beträgt ca. $166,50\;\text{cm}$.
#satzdespythagoras#sinussatz#dreisatz#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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