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Aufgabe 3

Aufgaben
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Feuerwerksrakete und Wasserraketen

a)
In der Silvesternacht werden in Deutschland insgesamt ungefähr $10.000$ Tonnen Feuerwerksartikel gezündet.
„Ein LKW kann mit $12,5\;\text{t}$ geladen werden. Dieser müsste $800$-mal fahren, um die Feuerwerksartikel zu transportieren“, überlegt Sabrina.
Bestätige, dass Sabrina Recht hat.
(2 P)
b)
Im Jahr $2015$ wurden rund $1.294$ Millionen Euro für Feuerwerksartikel bezahlt. $20\;\%$ davon wurden für Raketen ausgegeben.
Berechne die Ausgaben für Raketen für das Jahr 2015.
(2 P)
In einem Schulprojekt werden Raketen in einem Versuch mit Hilfe von Wasserdruck betrieben.
c)
Die Flugbahn einer solchen Rakete (siehe Abbildung $1$) lässt sich modellhaft mithilfe einer Parabel darstellen. Die Entfernung vom Abschussort $x$ und die Höhe $y$ der Rakete sind jeweils in Metern angegeben.
(2 P)
Gib durch Ablesen an:
  • Die maximale Höhe, die diese Rakete ungefähr erreicht, beträgtm.
  • Die ungefähre Entfernung zwischen dem Start- und dem Landepunkt dieser Rakete beträgtm.
  • Die fehlenden Angaben in der Wertetabelle sind:
    $x$$ 0$$5 $$ $$ $
    $y$$0 $$ $$ 80$$ 80$
    $x$$y$
    $0 $$0 $
    $5 $$ $
    $ $$ 80$
    $ $$ 80$
  • Begründe, warum zum Beispiel für $x=35$ kein $y$-Wert mehr dargestellt wird.
  • (7 P)
Die Funktionsgleichung $f(x)=-0,4x^2+12,2x$ beschreibt die Flugbahn dieser Rakete modellhaft. $x$ gibt die Entfernung vom Abschussort der Rakete in Meter an, $f(x)$ die Höhe der Rakete in Meter.
d)
  • Berechne die genaue Entfernung vom Startpunkt bis zur Landung.
  • Ermittle durch Rechnung die maximale Höhe, die die Rakete erreicht.
  • (8 P)
e)
Die Rakete soll bei einer Entfernung von $4\;\text{m}$ vom Startpunkt ein Gebäude mit einer Höhe von $40\;\text{m}$ überfliegen (siehe Abbildung 2). Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob die Rakete das Gebäude trifft.
(3 P)
#scheitelpunkt#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1-2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$ Aussage bestätigen
$\dfrac{10.000\;\text{t}}{12,5 \;\text{t}}=800$
Die Aussage von Sabrina ist richtig.
b)
$\blacktriangleright$ Ausgaben für Raketen im Jahr $\boldsymbol{2015}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} W&=&p\;\% \cdot G &\quad \scriptsize \\[5pt] W&=&20\;\% \cdot 1,294\;\text{Millionen Euro}&\quad \scriptsize \\[5pt] W&=&258,8 \;\text{Millionen Euro} \end{array}$
Es werden $258,8$ Millionen Euro für Raketen ausgegeben.
c)
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe der Rakete angeben
Die $y$-Achse gibt die Flughöhe der Rakete in Metern an. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Parabel, somit lässt sich durch Ablesen der $y$-Koordinate in diesem Punkt, die Höhe $H\approx 93\;\text{m}$ bestimmen.
$\blacktriangleright$ Entfernung zwischen Start- und Landepunkt angeben
Die Entfernung zwischen Start- und Landepunkt der Rakete lässt sich über die Differenz der $x$-Werte der Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen des Graphen geben an, dass sich die Rakete am Boden befindet. Bei der ersten Nullstelle ist sie noch nicht gestartet, bei der zweiten ist sie gerade wieder gelandet. Es ergibt sich:
$30-0=30$
Die Entfernung beträgt $30\;\text{m}$.
$\blacktriangleright$ Wertetabelle ergänzen
Die Werte in der Tabelle lassen sich durch Ablesen der fehlenden $x$- und $y$- Werte bestimmen.
$x$$ 0$$5 $$9$$ 21$
$y$$ 0$$50 $$80 $$ 80$
$x$$y$
$0 $$0 $
$ 5$$50 $
$9 $$ 80$
$ 21$$80 $
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
Die Rakete landet bereits in ca. $30$ Metern Entfernung vom Startpunkt. Da sich die Rakete dann auf dem Boden befindet ist der zugehörige $y$-Wert, der die Höhe beschreibt, Null. Der $y$-Wert kann nicht mehr sinken, da die Rakete nicht tiefer als bis zum Erdboden sinken kann.
d)
$\blacktriangleright$ Entfernung von Start- und Landepunkt berechnen
Die Entfernung von Start- und Landepunkt entspricht der Differenz der $x$-Werte der beiden Nullstellen.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-0,4x^2+12,2x &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,4) \\[5pt] 0&=&x^2-30,5x\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-30,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-30,5}{2}\right)^2-0} \\[5pt] x_{1,2}&=& 15,25 \pm \sqrt{232,56} \\[5pt] x_{1}&=& 0\\[5pt] x_{2}&=& 30,5\\[5pt] \end{array}$
Die Entfernung zwischen Start- und Landepunkt beträgt $30,5\;\text{m}$.
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe bestimmen
Die Parabel, die die Flugbahn der Rakete beschreibt, verläuft symmetrisch. Da die Parabel bei $x_1=0$ und $x_2=30,5$ Nullstellen besitzt, muss der höchste Punkt genau in der Mitte, bei $x=15,25$ liegen.
$\begin{array}[t]{rll} f(15,25)&=&-0,4\cdot (15,25)^2+12,2\cdot(15,25)&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&93,03 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die maximale Höhe beträgt ca. $93,03\;\text{m}$.
e)
$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob die Rakete das Haus trifft
Damit die Rakete das Haus nicht trifft, muss sie bei $x=4$ bereits höher als $40$ Meter fliegen.
$\begin{array}[t]{rll} f(4)&=&-0,4\cdot4^2+12,2\cdot 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&42,4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Rakete befindet sich in $4$ Metern Entfernung vom Startpunkt bereits auf einer Höhe von $42,4\;\text{m}$, sie trifft das Haus also nicht.
#pq-formel#prozent#nullstelle
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